Statyka paskich ukadw ramowych (MES)

ROZDZIAŁ IV. STATYKA PŁASKICH UKŁADÓW RAMOWYCH

Wybranie właściwego modelu obliczeniowego konstrukcji jest niezwykle ważne dla jakości i dokładności otrzymanych rezultatów. Decyzja czy dana konstrukcja jest ramą czy kratą (np. kratownicą o sztywnych węzłach) jest często subiektywna i zależy od doświadczenia i intuicji wykonującego obliczenia.

W rozdziale tym przedstawimy kolejny model konstrukcji prętowej - ramę płaską, który rozszerzy możliwości modelowania rzeczywistych układów prętowych. Element ramy płaskiej jest elementem ogólniejszym od przedstawionego w rozdz. II elementu kratowego, gdyż przy jego pomocy można również modelować idealne konstrukcje kratowe (przegubowe połączenia elementów w węzłach). Najprościej można by rzec, że rama jest konstrukcją, której pręty mogą być zginane a w kratownicy tylko ściskane lub rozciągane. Ma to następujące konsekwencje:

– pręt (element) ramy może być obciążony między węzłami,

– możliwe jest modelowanie różnego typu obciążeń: sił skupionych, momentów skupionych, obciążeń ciągłych,

– połączenie elementu z węzłem może być połączeniem sztywnym, gdy kąt obrotu węzła i przekroju przywęzłowego elementu są jednakowe, lub przegubowym, gdy możliwe są niezależne obroty węzła i przekroju przywęzłowego,

– węzeł ramy płaskiej ma trzy stopnie swobody tzn. dla wyznaczenia jego położenia musimy znać dwie składowe wektora przesunięcia uX, uY oraz kąty obrotu jZ.

W przypadku ram płaskich będziemy pomijali indeks Z przy kątach obrotu, gdyż wszystkie kąty obrotu na płaszczyźnie XY, której będziemy używali do opisu konstrukcji, są kątami obrotu względem osi Z. Załóżmy też, że element ramy jest prosty i jednorodny, tzn. wykonany z jednakowego materiału oraz o stałym przekroju poprzecznym. Rys.4.1 przedstawia widok elementu ramowego oraz kierunki i zwroty przemieszczeń i sił węzłowych, które uważać będziemy za dodatnie.

Rys.4.1

4.1. MACIERZ SZTYWNOŚCI ELEMENTU RAMY PŁASKIEJ

Przemieszczenia i siły węzłowe pokazane na Rys.4.1a, b pogrupujemy tak jak uprzednio (rozdz. II, III) w macierze jednokolumnowe, które nazywać będziemy wektorami. Wektor przemieszczeń węzła początkowego i i końcowego j w układzie lokalnym (Rys.4.1b):

u'_i ix iy i u u = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j , u'_j jx jy j u u = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j . (4.1)

Wektory sił węzłowych w lokalnym układzie współrzędnych

f '_i ix iy i F F M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú , f '_j jx jy j F F M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú. (4.2)

u u u ' ' ' e i j ix iy i jx jy j u u u u =é ë ê ù û ú = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú j j . (4.3)

Wektor sił węzłowych elementu w układzie lokalnym:

f f f ' ' ' e i j ix iy i jx jy j F F M F F M = é ë ê ù û ú = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú . (4.4)

Wszystkie utworzone tu wektory opisać można również w układzie globalnym:

u_i iX iY i u u = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j , u_j jX jY j u u = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j , (4.5) f_i iX iY i F F M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú , f_j jX jY j F F M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú, (4.6) u u u e i j iX iY i jX jY j u u u u = é ë ê ù û ú = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú j j , (4.7) f f f e i j iX iY i jX jY j F F M F F M =é ë ê ù û ú = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú . (4.8)

Tak jak w poprzednich rozdziałach kluczowe znaczenie będzie miał związek między siłami węzłowymi elementu a przemieszczeniami węzłów. Związek ten (analogiczny jak równanie 2.5 dla kratownicy) w lokalnym układzie współrzędnych ma postać:

K u'e 'e=f'e, (4.9)

a w układzie globalnym:

K ue e =fe. (4.10)

Skupimy się teraz na poszukiwaniu macierzy sztywności K'e w lokalnym układzie

współrzędnych a następnie jej transformacji do układu globalnego.

Równania równowagi elementu przedstawionego na Rys.4.1b prowadzą do następujących związków między siłami węzłowymi:

F_x F_ix F_jx F_ix F_jx

å

= + =0 ® = - ; F_y F_iy F_jy

å

= + = 0 ; M_i M_i M_j F_jy L

å

= + + = 0 . (4.11)

Jak widać brakuje jeszcze trzech równań, aby wyliczyć sześć składowych wektora

f 'e. Równań tych dostarczą nam rozważania dotyczące odkształceń elementu. Deformacja

spowodowana siłami osiowymi Fix oraz Fjx jest identyczna, jak dla elementu kratownicy,

skorzystamy więc z wyznaczonych wcześniej zależności 2.11, 2.12a. Pozostałe równania otrzymamy rozważając deformację giętną elementu oraz związek między siłami poprzecznymi i momentami zginającymi. Jak wiadomo między krzywizną a momentem zginającym zachodzi związek (por. [8]):

( )

1 1 2 2 2 3 2 r= +æ_èç ö_ø÷ é ë ê ê ù û ú ú = d y dx dy dx M x EJ_z , (4.12)

gdzie r oznacza promień krzywizny, E - moduł Younga materiału, Jz - moment bezwładności

Rys.4.2

Równowaga fragmentu pręta zginanego (Rys.4.2) dostarcza równania:

T x dM x

dx

( )= ( ). (4.13)

Odmienny niż to się zwykło przyjmować znak prawej strony równania (4.12) (por. [8]) wynika ze zwrotu osi y lokalnego układu współrzędnych, który w naszych założeniach skierowany jest „do góry”.

Ponieważ zajmować się będziemy tylko liniowymi konstrukcjami o małych ugięciach, przyjmiemy dy

dx << 1, co pozwoli uprościć równanie (4.12) do znanej postaci: d y dx M x EJ_z 2 2 = ( ) . (4.14)

Różniczkując dwukrotnie to równanie otrzymamy związek (por. [8], [10]): d y dx q x EJ y z 4 4 = ( ) , (4.15)

gdzie qy(x) oznacza ciągłe obciążenie prostopadłe do osi elementu. Rozważany tu element

wolny jest od obciążeń międzywęzłowych, więc q_y º 0 .

Ostatecznie otrzymujemy poszukiwany układ równań różniczkowych: a) d y dx 4 4 = , 0 b) d y dx M x EJ_z 2 2 = ( ) , c) d y dx T x EJ_z 3 3 = ( ) . (4.16)

– linii ugięcia elementu ramowego: y x( )=C₁ x +C x +C x+C 3 2 2 3 4 6 2 , (4.17) – momentu zginającego:

[

]

M x( )= EJ C x_{z 1} +C₂ , (4.18) – siły poprzecznej: T x( )= EJ C_{z 1}, (4.19)

gdzie C1 ... C4 oznaczają stałe całkowania, które należy wyznaczyć z warunków brzegowych. Mamy cztery warunki brzegowe

– w węźle i , x=0: y( )0 =u_iy, dy dx _x=0 =j , i (4.20) – w węźle j , x=L: y L( )=u_jy, dy dx _{x L=} = j . j (4.21)

Po podstawieniu tych warunków otrzymamy z równania (4.17) następujące wartości stałych całkowania: C L u u L i j jy iy 1 2 6 2 = æ + - -è ç ö ø ÷ j j , C L u u L i j jy iy 2 1 4 2 6 = - æ + - -è ç ö ø ÷ j j , C₃ = j_i, C₄ =u_iy. (4.22)

Stąd, po wstawieniu do równań (4.18), (4.19) i uwzględnieniu zwrotów momentów węzłowych oraz momentów zginających (por. Rys.4.1 i Rys.4.2) otrzymamy:

M M EJ L u u L i z i j jy iy = - = é + - -ë ê ù û ú ( )0 4j 2j 6 , M M L EJ L u u L j z i j jy iy = = é + - -ë ê ù û ú ( ) 2j 4j 6 , (4.23)

F T EJ L u u L iy z i j jy iy = = é + - -ë ê ù û ú ( )0 ₂ 6j 6j 12 , F T L EJ L u u L jy z i j jy iy = - = é- - + -ë ê ù û ú ( ) ₂ 6j 6j 12 .

Zestawiając w odpowiedniej kolejności równania (2.12a) i (4.23) otrzymujemy ostatecznie poszukiwaną macierz sztywności:

EA L -EA L 12EJ₃ L z 6EJ₂ L z _{- 12} 3 EJ L z 6EJ₂ L z K'e= 6EJ₂ L z L EJ_z 4 - 6 2 EJ L z L EJ_z 2 , (4.24) - EA L EA L - 12EJ₃ L z _{- 6} 2 EJ L z 12EJ₃ L z - 6EJ₂ L z 6EJ₂ L z L EJz 2 - 6EJ₂ L z L EJz 4

Związki opisane równaniami (4.23) znane są w mechanice budowli (w nieco innej postaci) pod nazwą wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń (por. [10]).

4.2. TRANSFORMACJA MACIEZRY SZTYWNOŚCI Z UKŁADU LOKALNEGO DO GLOBALNEGO

Przeniesienie macierzy K'e do globalnego układu współrzędnych odbywa się wg

analogicznych reguł jak te, które zostały opisane w p.2.4 równaniem (2.34). Do utworzenia macierzy obrotu elementu potrzebna nam będzie Ri - macierz obrotu z układu lokalnego do

globalnego węzła i. Ponieważ trzeci stopień swobody węzłów ramy jest obrotem wokół osi z, która nie zmienia swojego położenia, gdyż jest cały czas prostopadła do płaszczyzny xy, to obrót będzie identyczny z obrotem elementu kratowego:

u_iX =u_ixcosa-u_iysina , u_iY =u_ixsina+u_iycosa ,

lub w postaci macierzowej u u c s s c u u iX iY i ix iy i j j é ë ê ê ê ù û ú ú ú = -é ë ê ê ê ù û ú ú ú é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 0 0 1 ,u_i =R u_i '_i, gdzie R_i c s s c = -é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 0 0 1 (4.25)

Zgodnie z założeniami poczynionymi na wstępie element ramy jest prosty, tak więc macierz transformacji węzła j jest identyczna z Ri co doprowadza do ostatecznej postaci

macierzy transformacji elementu:

Re c s s c c s s c = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 . (4.26)

Po wykonaniu mnożeń macierzy opisanych równaniem (2.34) otrzymamy macierz sztywności elementu ramowego w globalnym układzie współrzędnych. Postać jej jest niestety dość złożona: uix uiy jix ujx ujy jjx 1 12 2 2 2 L c s l + æ è ç ö ø ÷ sc_L 1₂ 12 l -æ èç öø÷ -6s - 1æ_èç +12 ö_ø÷ 2 2 2 L c s l - -æ èç öø÷ sc L 1 12 2 l -6s Fix sc L 1 12 2 l -æ èç öø÷ 1 12 2 2 2 L s c l + æ è ç ö ø ÷ 6c - sc_L æ_èç 1₂ -12ö_ø÷ l - + æ è ç ö ø ÷ 1 12 2 2 2 L s c l 6c Fiy Ke EJz L = ₂ -6s 6c 4L -6s -6c 2L Mi (4.27) - æ + è ç ö ø ÷ 1 12 2 2 2 L c s l - -æ èç öø÷ sc L 1 12 2 l -6s 1 12 2 2 2 L c s l + æ è ç ö ø ÷ sc_L 1₂ 12 l -æ èç öø÷ 6s Fjx -scæ_èç - ö_ø÷ L 1 12 2 l - + æ è ç ö ø ÷ 1 12 2 2 2 L s c l -6c sc L 1 12 2 l -æ èç öø÷ 1 12 2 2 2 L s c l + æ è ç ö ø ÷ -6c Fjy -6s 6c 2L 6s -6c 4L Mj

l

2 2

=

J

AL

z

_c

= cosa

_s

= sina

4.3. KONDENSACJA STATYCZNA MACIERZY SZTYWNOŚCI

Element ramowy nie zawsze połączony jest z węzłem w sposób zapewniający zgodność wszystkich przemieszczeń węzła i przekroju przywęzłowego pręta. Najczęściej takimi niepełnymi połączeniami jest połączenie przegubowe pokazane na Rys.4.3.

Rys.4.3

W połączeniu tym kąt obrotu węzła nie wpływa na obrót przywęzłowego przekroju elementu, który może obracać się niezależnie od węzła (element e2 na Rys.4.3).

Nieznany kąt obrotu takiego elementu wyznaczamy z dodatkowego równania, którego dostarcza warunek równowagi momentów w przegubie. Można zatem zredukować ilość stopni swobody elementu, gdyż dodatkowy warunek równowagi pozwoli wyeliminować z układu równań jedno przemieszczenie. Pokażemy sposób eliminacji stopnia swobody na przykładzie dwóch rodzajów połączeń elementu z węzłem.

Przykład nr 1 - połączenie przegubowe (Rys.4.4).

Rys.4.4

Dodatkowy warunek równowagi przekroju przywęzłowego i:

Mi = 0, (4.28)

prowadzi po uwzględnieniu równań (4.2), (4.9) oraz (4.24) do warunku: EJ L u L u L z iy i jy j 6 +4 -6 +2 0 é ë ê ù û ú = j j , _(4.29)

a stąd wyliczamy poszukiwaną wartość kąta obrotu przekroju przy węźle i:

j_i uiy jy j_j L u L = -3 + -2 3 2 1 2 . (4.30)

Po wstawieniu tego wyniku do równania (4.9) przy uwzględnieniu macierzy (4.24) otrzymamy: F EJ L u L u L u L u L EJ L u L u L iy z iy iy jy j jy j z iy jy j = + -æ + -è ç ö ø ÷ - + é ë ê ê ù û ú ú= = é - + ë ê ù û ú 2 2 12 6 3 2 3 2 1 2 12 6 3 3 3 j j j , F EJ L u L u L u L u L jy z iy iy jy j jy j = - - -æ + -è ç ö ø ÷ + -é ë ê ê ù û ú ú= 2 12 6 3 2 3 2 1 2j 12 6j = é- + -ë ê ù û ú EJ L u L u L z iy jy j 2 3 3 3j , M EJ L u L u L u L u L j z iy iy jy j jy j = + -æ + -è ç ö ø ÷ - + é ë ê ê ù û ú ú= 6 2 3 2 3 2 1 2j 6 4j = é - + ë ê ù û ú EJ L u L u L z iy jy j 3 3 3j , (4.31)

a stąd nową macierz sztywności elementu z przegubem w węźle i: EA L 0 -EA L 0 0 0 3EJ₃ L z 0 - 3EJ₃ L z 3EJ₂ L z K'e( , )3i = . (4.32) -EA L 0 EA L 0 0 0 - 3 3 EJ L z 0 3EJ₃ L z _{- 3} 2 EJ L z 0 3EJ₂ L z 0 - 3 2 EJ L z 3EJ L z

Indeksy górne (3,i) w oznaczeniu macierzy sztywności (4.32) informują, że wyeliminowany został trzeci stopień swobody w węźle początkowym.

Rys.4.5

Dodatkowym warunkiem jest tu znikanie siły osiowej w węźle j:

Fjx = 0, (4.33)

co po analogicznych jak poprzednio przekształceniach doprowadza do równania:

Fix = 0, (4.34)

oraz nie zmienia zależności dla pozostałych sił węzłowych.

Macierz sztywności takiego elementu przybiera następującą postać: 12EJ₃ L z 6EJ₂ L z _-12 3 EJ L z 6EJ₂ L z K'e( , )1j = ₆ 2 EJ L z L EJ_z 4 - 6EJ₂ L z L EJ_z 2 . (4.35) -12EJ₃ L z _{- 6} 2 EJ L z 12EJ₃ L z _{- 6} 2 EJ L z 6EJ₂ L z L EJ_z 2 - 6EJ₂ L z L EJ_z 4

Indeksy górne (1,j) w oznaczeniu tej macierzy informują, że wyeliminowany został pierwszy stopień swobody w węźle końcowym elementu.

Przedstawiony tu proces nosi nazwę kondensacji statycznej macierzy sztywności. Podamy teraz zapis macierzowy operacji prowadzących do skondensowanej macierzy sztywności. Dla ułatwienia założymy, że eliminowanym stopniem swobody jest ostatni stopień swobody elementu. Wektory sił i przemieszczeń węzłowych oraz macierz sztywności podzielimy na bloki:

f_{1 =} K₁₁ K₁₀ u_{1 , (4.36)}

f₀ K₀₁ K₀₀ u₀ gdzie ze względu na symetrię macierzy mamy:

K₀₀ jest macierzą o wymiarach 1x1, a więc skalarem, skalarami są również bloki f₀ i u₀. Mnożenie bloków macierzy (4.36) daje:

a) f₁=K₁₁u₁+K₁₀u₀,

b) f₀ = =0 K₀₁u₁+K₀₀u₀ - skalar. (4.37)

Z równania (4.37b) wyliczymy

u₀ = -K₀₀-1K₀₁u₁, (4.38)

a po wstawieniu tego związku do (4.37a) otrzymujemy:

f₁ =K u_{11 1}-K K K u_{10 00}-1 _{01 1}, (4.39)

lub krócej

f₁ = ''K u₁, (4.40)

gdzie:

K' '=K₁₁-K K K₁₀ -₀₀1 ₁₀T , (4.41)

jest skondensowaną macierzą sztywności elementu.

Pozostaje jeszcze wyznaczyć wektor f₁ obciążenia elementu. Otrzymamy go przez

złożenie wektora obciążenia elementu ze sztywnymi połączeniami z węzłami foi obciążenia

wywołanego przemieszczeniem węzła zwolnionego z więzów fu

f f f f f f f f f = - =é ë ê ù û ú =é ë ê ù û ú -é ë ê ù û ú o u o o u u 1 0 1 0 1 0 . _(4.42) Ponieważ f₀ =f₀o -f₀u =0, (4.43) to f₀u =f₀o =K u_{01 1}o +K u₀₀o ₀, (4.44) a stąd

( )

u₀ = K₀₀o -1f₀o, (4.45)

gdyż pozostałe przemieszczenia, tzn. u₁ równe są zeru. Ostatecznie otrzymamy

( )

f₁ =f₁o -K₁₀o Ko₀₀ -1f₀o. (4.46)

W podany sposób można wyeliminować dowolny ze stopni swobody elementu, wymaga to jednak nieco bardziej złożonych przekształceniu. Pozostawiamy to zadanie jako ćwiczenie dla uważnych czytelników.

4.4. WARUNKI BRZEGOWE PŁASKICH KONSTRUKCJI RAMOWYCH

Podpory ram płaskich obejmują wszystkie wymienione w rozdz.II podpory przegubowe oraz podpory sztywne, które uniemożliwiają obrót węzła podporowego. Symboliczne oznaczenia tych podpór oraz warunki brzegowe je opisujące pokazane są na Rys.4.6.

Rys.4.6

Uwzględnienie warunków brzegowych wymaga modyfikacji globalnej macierzy sztywności konstrukcji i przebiega identycznie jak dla kratownic płaskich (p.2.6), nie będziemy więc szerzej opisywać tu sposobu modyfikacji macierzy. Możliwa jest oczywiście cała gama innych podpór jak przesuwne podpory ukośne, podpory sprężyste, których uwzględnienie również przebiega analogicznie jak w opisanych w rozdz.II przypadkach podpór kratownic.

Jako ogólną metodę uwzględniania nietypowych podpór, proponujemy użycie zamiast nich odpowiednich elementów brzegowych, które opisane będą w następnym punkcie.

4.5. ELEMENTY BRZEGOWE RAM PŁASKICH

Element brzegowy jest wygodnym obejściem problemów jakie napotykamy przy uwzględnieniu różnych, nietypowych warunków brzegowych. Pozwala, co prawda w sposób przybliżony, lecz wystarczająco dokładny, modelować podpory sztywne, sztywno-przesuwne, oraz zastąpić podpory sprężyste.

Przedstawimy teraz pojedynczy dowolnie nachylony element sprężysty, schemat tego elementu i używane oznaczenia pokazuje Rys.4.7.

Rys.4.7

Sztywności sprężyn: hrx oraz hry są siłami, które trzeba przyłożyć do ich końców, aby

wywołać jednostkowe ich wydłużenia. Sztywność obrotu podpory - gr jest momentem

niezbędnym do wywołania obrotu węzła r o kąt jednostkowy.

Macierz sztywności takiego elementu w lokalnym układzie współrzędnych ma postać: Kb rx ry r h h g = é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 0 0 0 0 . (4.47)

Jej transformacja do układu globalnego przebiega analogicznie jak w przypadku zwykłych elementów ramowych, czy kratowych z tym wyjątkiem, że dotyczy tylko jednego węzła (2.34). Macierz obrotu węzła opisana jest równaniem (4.15). Można, więc zapisać równanie transformujące macierz K'bdo układu globalnego:

Kb =R K R_r 'b _rT. (4.48)

(

)

(

)

Kb rx ry rx ry rx ry rx ry r c h s h sc h h sc h h c h s h g = + -- + é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 2 2 2 2 0 0 0 0 , (4.49)

gdzie s= sina , c= cosa .

Przy modelowaniu podpór niepodatnych należy założyć dużą sztywność odpowiedniej sprężyny. W większości przypadków sztywność rzędu 1ž1030

zapewnia bardzo dobrą zgodność wyników uzyskanych tą metodą z wynikami metody dokładnej.

4.6. SIŁY WEWNĘTRZNE WYWOŁANE OBCIĄŻENIEM STATYCZNYM Różnorodność obciążeń, które mogą oddziaływać na konstrukcję ramową jest znacznie większa niż była w przypadku kratownicy. Na elementy ramy oddziaływać mogą obciążenia skupione (siły, momenty), ciągłe (ciśnienie, obciążenie momentowe) i termiczne. Ułożenie równań równowagi wymaga zastąpienia obciążeń międzywęzłowych równoważnym układem sił i momentów skupionych, działających na węzły. Sposób redukcji obciążenia do węzłów będzie przedmiotem naszych rozważań w tym punkcie.

Równania (4.17) i (4.22) określają przemieszczenie elementu zginanego w kierunku osi y układu globalnego. Po dodaniu równań opisujących przemieszczenia w kierunku osiowym otrzymamy związki definiujące wektor przemieszczeń dowolnego punktu leżącego między węzłami.

( )

( )

( )

( )

u x N u u x u x x x y e = é ë ê ê ê ù û ú ú ú = j , (4.50)

gdzie N jest prostokątną macierzą funkcji kształtu. Składa się ona z dwóch bloków Ni(x) -

macierzy funkcji kształtu dla węzła początkowego oraz Nj(x) - macierzy funkcji kształtu

węzła końcowego.

( )

[

( )

( )

]

N x = N_i x N_j x . (4.51)

Z równania (4.17) i (2.10) otrzymać można obie macierze:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

N_i x L L = é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú w x w x w x w x w x 1 3 5 3 5 0 0 0 0 1 ' ' , (4.52)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

N_j x L L = é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú w x w x w x w x w x 2 4 6 4 6 0 0 0 0 1 ' ' ,

gdzie bezwymiarowe funkcje kształtu w x_i

( )

(i = 1,2 ... 6)) oraz ich pochodne w x_i'

( )

,

( )

w_i' ' x , zebrane są w Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.. Wprowadzono tu wygodną, bezwymiarową współrzędną x = x L/ .

Rozważmy teraz pręt (element) ramy płaskiej obciążony obciążeniem statycznym (Rys.4.8).

Rys.4.8

Siły węzłowe feznajdziemy zapisując warunki równowagi elementu. Skorzystamy z zasady

prac wirtualnych:

( )

W_n = f'e Tue (4.53a)

jest pracą sił węzłowych,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

[

]

W_z q_y x u x_y q_x x u x_x m x_o x dx L =

ò

+ + j 0 (4.53b) jest pracą sił zewnętrznych (obciążenia statycznego).

Siły skupione i momenty również można analizować w ten sposób zapisując:

q x( )=d(x-x_o)P, m x_o( )=d(x-x_o)M_o, (4.54) gdzie d(xo) jest dystrybucją delta Dirac’a zdefiniowaną następująco (por. [11]):

Tab.4.1 Nr 1 2 3 4 5 6 w_i 1- x x _{1 3- x}2 _+2x3 _x2

(

_x

)

3 2- x

(

1 2- x2 +x3

)

-x2

(

1-x

)

wykres w_i w_i' -1 1 _{-6 1x}

(

_-x

)

_{6 1x}

(

_{- x}

)

_{1 4- x+3x}2 _-x

(

_{- x}

)

2 3 wykres w_i' w_i' ' 0 0 - +6 12x 6 12- x - +4 6x - +2 6x wykres w_i' '

Równowaga elementu zostanie zachowana, gdy Wn+Wz = 0, tzn.

( )

f'e ue

[ ]

q

( )

u

( )

L x x dx T T = -

ò

0 , (4.56)

gdzie q(x) jest wektorem obciążeń zewnętrznych:

( )

( )

( )

( )

q x q x q x m x x y o = é ë ê ê ê ù û ú ú ú . (4.57)

Wstawiając do (4.56) wyrażenie na wektor przemieszczeń elementu (4.50) otrzymamy:

( )

f'e ue q N ue L dx T _T = -

ò

0 , (4.58)

( )

f'e N q L dx T = -

ò

0 , (4.59)

które umożliwi nam redukcję obciążeń działających na elementy do węzłów. Należy pamiętać, że w równaniach równowagi występują siły działające na węzły, a te są przeciwnie skierowane do sił działających na element (por. rys. 2.11), należy więc odejmować je od wektora sił węzłowych konstrukcji.

Sprawdzimy skuteczność równania (4.59) na trzech prostych przykładach: – obciążenie siłą skupioną przyłożoną do środka elementu,

– obciążenia momentem skupionym,

– obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na całym elemencie. Przykład nr 1.

Wprowadzimy dla wygody obliczeń bezwymiarową współrzędną x = x L/ . Siłę skupioną zapiszemy w następująco:

( )

(

)

q x = d x -é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 5 0 P .

i po wstawieniu do równania (4.59) otrzymamy:

( )

( )

(

)

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

f N N ' . . . . . e i j P d P L L d = - é ë ê ê ù û ú ú - -é ë ê ê ê ù û ú ú ú = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú =

ò

ò

T T 0 0 5 0 0 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 1 3 5 4 6 0 1 d x x d x w x d x w x d x w x d x w x x ( ) ( ) ( ) ( ) = é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú P L L P L L 0 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 5 8 0 0 5 8 3 5 4 6 w w w w . . . . . / . / czyli: F_ix = 0, F_iy = 1P 2 , Mi = PL 1 8 , F_jx = 0 , F_jy = 1P 2 , Mj = - PL 1 8 . Przykład nr 2. Rys.4.10

Moment skupiony przyłożony do środka elementu zapisujemy przy pomocy delty Dirac’a:

( )

(

)

q x d x = - -é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 0 5 M_o .

Po wstawieniu wektora obciążenia do równania (4.59) otrzymamy:

( )

( )

₍

₎

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

f N N ' . ' . / ' . ' . / ' . e o i j o M d M L L d = é ë ê ê ù û ú ú -é ë ê ê ê ù û ú ú ú = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú =

ò

ò

T T 0 0 0 5 0 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 1 3 5 4 6 0 1 d x x w x d x w x d x w x d x w x d x x = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú M L L o 0 3 2 1 4 0 3 2 1 4 czyli F_ix = 0, F L M iy = - o 3 2 , Mi = - Mo 1 4 , F_jx = 0 , F L M jy = o 3 2 , Mj = - Mo 1 4 . Przykład nr 3. Rys.4.11

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na całej długości elementu daje wektor obciążenia:

( )

q x = -é ë ê ê ê ù û ú ú ú q_o 0 1 0 .

Po podstawieniu wektora q

( )

x do (4.59) otrzymujemy równanie:

( )

( )

( )

( )

f ' / / / / e o o q L L L d q L L L = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú

ò

0 0 0 1 2 12 0 1 2 12 3 5 4 6 0 1 w x w x w x w x x , czyli F_ix = 0, F_iy = 1q L_o 2 , Mi = q Lo 1 12 , F_jx = 0 , F_jy = 1q L_o 2 , Mj = - q Lo 1 12 .

4.7. SIŁY WYWOŁANE OBCIĄŻENIEM TERMICZNYM

Oddziaływanie temperatury na elementy ramowe może wywołać ich wygięcie. Dzieje się tak wtedy, gdy pole temperatury w przekroju nie jest jednorodne. W kratownicy wygięcie prętów nie powodowało powstania sił węzłowych, gdyż elementy kratowe połączone są z węzłami przegubowo. Pręty konstrukcji ramowych mogą wywołać obrót węzła, musimy zatem wyznaczyć siły przywęzłowe w elemencie poddanym działaniu nierównomiernego pola temperatury.

Rozważmy element, którego włókna „górne” doznały działania przyrostu temperatury Dtg, a włókna „dolne” przyrostu temperatury Dtd (Rys.4.12). Pole temperatury

zapisać można następująco:

( )

( )

( )

Dt x y Dt x yD h t x o h , = + , (4.60) gdzie Dt

[

D D

]

h t y t y o = d g + g d 1

jest przyrostem temperatury włókien środkowych,

Dt_h =Dt_g -Dt_d - różnicą temperatur pomiędzy skrajnymi włóknami elementu, h - wysokością przekroju, yd - odległością środka ciężkości przekroju od włókien dolnych, yg -

odległością środka ciężkości przekroju od włókien górnych.

Odkształcenia włókien elementu wywołane polem temperatury są równe:

( )

( )

e_t y a_t t y a_t t_o t_h y

h

= D = æ_èçD +D ö_ø÷, _(4.61)

gdzie at jest współczynnikiem rozszerzalności termicznej materiału.

Przy braku swobody odkształceń pręta, powstają wewnątrz niego naprężenia:

s_x Ee_t a_tE t_o t_h y

h

= - = - æ_èçD +D ö_ø÷, _(4.62)

których wypadkowymi są siły wewnętrzne:

N dA E t dA t h ydA x A t o A h A = = - æ + è çç ö_ø÷÷

ò

s a D

ò

D

ò

. (4.63)

Ponieważ drugą z całek występujących w równaniu (4.63) jest momentem statycznym względem osi z, a ta przechodzi przez środek ciężkości przekroju musi być zatem równa zeru. Otrzymamy więc:

( )

( )

N x_t = -a D_t t_o x EA, (4.64)

tak samo jak w przypadku pręta kratownicy.

Drugą z sił wewnętrznych, którą wywołują naprężenia termiczne jest moment zginający:

( )

( )

( )

M x x ydA E t x ydA t h y dA t x t o A h A A = - = é + ë ê ê ù û ú ú

ò

ò

ò

s a D D 2 . (4.65)

Pierwsza całka w tym równaniu musi równać się zeru podobnie jak poprzednio w równaniu (4.63), a druga jest momentem bezwładności przekroju obliczonym względem osi

środkowej. Możemy zatem zapisać równanie momentu zginającego wywołanego naprężeniami termicznymi:

( )

( )

M x t x h EJ t t h z = a D , (4.66) gdzie J_z y dA A

=

ò

2 _{jest momentem bezwładności przekroju elementu względem osi z} przechodzącej przez środek ciężkości przekroju.

Siły przywęzłowe obliczymy podobnie jak poprzednio (p.4.6), stosując zasadę prac wirtualnych:

( )

ue f et

[

( )

]

t_t L x dx T _T ' =

ò

e 0 , (4.67) gdzie

( )

( )

t_t t t N x M x = é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 (4.68)

jest wektorem sił wewnętrznych wywołanych temperaturą. Zerowy wyraz w drugim wierszu tego wektora wynika stąd, że temperatura nie wywołuje sił poprzecznych w elementach. e(x) - jest wektorem gradientów przemieszczeń:

e(x)= du dx du dy d dx x y _e j é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú = B u , _(4.69)

B - jest macierzą pochodnych funkcji kształtu:

[

]

B = B_i B_j . (4.70)

Na podstawie równań (4.52) obliczymy

( )

( )

( )

( )

( )

( )

B_i x L L L L = é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 1 0 0 0 1 0 1 1 1 3 5 2 3 5 w x w x w x w x w x ' ' ' ' ' ' ' , (4.71)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

B_j x L L L L = é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 1 0 0 0 1 0 1 1 2 4 6 2 4 6 w x w x w x w x w x ' ' ' ' ' ' ' ,

gdzie w x_i

( )

, w x_i'

( )

, w_i' '

( )

x (i = 1,2 ... 6)) są bezwymiarowymi funkcjami podanymi w Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania..

Na podstawie równania (4.67) wyliczymy składowe wektora sił węzłowych:

f'et B t_t L dx =

ò

T 0 . (4.72)

Po wstawieniu do równania (4.72) macierzy (4.71) otrzymamy:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' et t o z h z h o z h z h E A t d J hL t d J h t d A t d J hL t d J h t d = -é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú

ò

ò

ò

ò

ò

ò

a w x x x w x x x w x x x w x x x w x x x w x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 5 2 4 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 D D D D D D ú ú ú ú ú ú , (4.73)

gdzie x₁ i x₂ są bezwymiarowymi współrzędnymi początku i końca przedziału działania obciążenia termicznego (Rys.4.13).

W przypadku, gdy obciążenie termiczne jest stałe i działa na całą długość elementu otrzymamy z (4.52): f 'et _t o z h o z h E A t J t h A t J t h = - -é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú a D D D D 0 0 . (4.74)

Równanie (4.52) czy też (4.53) opisuje siły wewnętrzne działające na element. Gdy tworzymy wektor obciążeń konstrukcji należy więc odjąć składowe tego wektora od odpowiednich składowych wektora globalnego.

ROZDZIAŁ IV. STATYKA PŁASKICH UKŁADÓW RAMOWYCH ...72

4.1. MACIERZ SZTYWNOŚCI ELEMENTU RAMY PŁASKIEJ ...73

4.2. TRANSFORMACJA MACIEZRY SZTYWNOŚCI Z UKŁADU LOKALNEGO DO GLOBALNEGO ... 78

4.3. KONDENSACJA STATYCZNA MACIERZY SZTYWNOŚCI...80

4.4. WARUNKI BRZEGOWE PŁASKICH KONSTRUKCJI RAMOWYCH...84

4.5. ELEMENTY BRZEGOWE RAM PŁASKICH ... 85

4.6. SIŁY WEWNĘTRZNE WYWOŁANE OBCIĄŻENIEM STATYCZNYM...86