Wiskundige vraagstukken ontleend aan de propaedeutische examens van de Technische Hogeschool, verzameld en van antwoorden voorzien; 2e dr.

HOGESCHOOL

TE DELFT

ONDER REDACTIE VAN DE

CENTRALE COMMISSIE VOOR STUDIEBELANGEN

Wiskllndige Vraagstukken

ONTLEEND AAN DE PROPAEDEUTISCHE

EXAMENS VAN DE TECHNISCHE

HOGESCHOOL. VERZAMELD EN VAN

.

ANTV/OORDEN VOORZIEN

DOOR

DR.

J.

H.

J.

ALMERING

/ / Bibliotheek TU Delft . P 0921 3253

I 111111111

C 159976 DELFT - 1957

q:lv

I

VOORWOORD.

In 1949 verscheen onder redactie van de Centrale Commissie voor Studie~ belangen Handleiding No. 80, onder de titel: Wiskundige Vraagstukken, ontleend aan de propaedeutische examens van de Technische Hogeschool. ver~· zameld en van antwoorden voorzien door Prof. Dr. O. Bottema.

Toen deze verzameling, die de vraagstukken toten met 1947 bevatte, uitver~ kocht raakte, o'ordeelde de Centrale Commissie voor Studiebelangen het ge~ wenst. opnieuw een dergelijke verzameling uit te geven.

Deze verzameling ziet hierbij het licht. Zij bevat de vraagstukken die opge~ geven werden tot en met september 1956.

Daar het jaarlijks opgegeven aantal vraagstukken na 1947 een sterke stijging vertoonde, en daar het wenselijk werd geacht om de omvang van het boek niet te veel te vergroten, konden slechts weinig vraagstukken van 1947 en vroegere jaren worden opgenomen. Laatstgenoemde vraagstukken werden door mij aan de bovengenoemde Handleiding 80 ontleend. Prof. Bottema gaf hier~ voor welwillend toestemming, waarvoor ik hem hierbij gaarne mijn dank betuig. Achter vele vraagstukken zijn tussen haakjes de richtingen waar ... voor zij werden opgegeven, vermeld. Ontbreekt deze aanduiding, dan werd het vraagstuk opgegeven voor alle, boven aan de bladzijde genoemde richtingen.

Om een indruk te geven van de hoeveelheid werk. die in een gegeven tijds~ bestek van de candidaat verlangd wordt. zijn in hoofdstuk XVIII de opgaven van de propaedeutische examens na de zomervacantie 1956 in hun oorspronke~ lijke samenhang opgenomen.

Vraagstukken, dieop een tweede zitting werden opgegeven, zijn niet vermeld. Vele vraagstukken van 1950 en ouder, die niet met de tegenwoordige exameneisen overeenstemden, werden weggelaten.

Bij de analytische meetkunde is het gebruikte assenkruis steeds rechthoekig. Bij de beschrijvende meetkunde is de eenheid steeds 1 cm; sinds 1945 zijn de vraagstukken bedo'eld ~oor een papierformaat van 50 X 32Yz, bij oudere jaren is het formaat 65 X 50. Tenzij het tegendeel vermeld is, wordt de lange zijde van het papier horizontaal genomen.

,Met In wordt de natuurlijke logarithme bedoeld.

Analyse.

blz. I. B, Tl, M 1.

Differentiëren, integreren, limieten, reeksen uiterste waarden 7 II. B, Tl, M1.

Meetkundige toepassingen .

25

lIl. Wb SI, V 1, El, NI, Mtl, Cl, Gl, Gml.

Functies, limieten, differentiëren, uiterste waarden.

32

IV. W1, SI, VI, El, N1, Mtl, Cl, G l, Gml. Integreren

43

V. W1, SI, V 1, El, NI, Mtl, Cl, G l, G m1. Reeksen

54

VI. Wb Sl, V 1, El, Nb Mt1, Cl, G_l, Gml. CompIexe getallen 65 VII. W1, SI, Vl. Partiële afgeleiden 70 VIII. W2, ~, V2, E2, N2, Mt2, C2, G2, Gm2. D if f eren tiaalrekenin g 72 IX. W2, S2, V2, E2, N2, Mt2, C2, G2, G m2. Integraalrekening 80 X. W_2,

&

2,

V_2,

&

,

N2, Mt2, C_2, G2, Gm2. Differentiaalvergelijkingen 90 XI. T2, M2• Analyse 100

Analytische meetkunde.

XII. B, Tl, MI.

Het platte vlak . 104

XIII. B, Tl, M1.

XIV.

XV.

W 1. Sl. Vl. El. Nl. Mt1. Cl. Gl. Gml. Analytische meetkunde en lineaire algebra W2•

S

2.

V2. ~. N2• Mt2. C2• G2. Gm2.

Analytische meetkunde en lineaire algebra

Beschrijvende meetkunde.

blz.

124 153

XVI. M.

Gewone orthogonale projectie. scheve parallelprojectie en

axonometrie . 176

XVII. Cl.

W

l. Sl. Vl.

Gewone orthogonale projectie. scheve parallelprojectie en

axonometrie . 184

XVI'II.

Propaedeutische examens na de zomervacantie 1956 . 205

Antwoorden.

Analyse (hoofdstuk I

ti

m XI) . 214

Analytische meetkunde (hoofdstuk XII t/m XV) 258 Propaedeutische examens na de zomervacantie 1956 (XVIII) 295

J. B, Tl> MI'

Differentiëren, integreren, limieten, reeksen, uiterste waarden.

1. Bepaal een kegel met gegeven inhoud I zodanig, dat de totale opper~ vlakte 0 zo klein mogelijk wordt. Schets 0 bij gegeven I voor

h

>

0 als functie van de hoogte h.

2. Schets de grafische voorstelling van de functie x

·f(x)

=

th

x2-1 .

Bepaal in het bijzonder:

(1937 )

a. de discontinuïteitspunten en de richtingen van de raaklijnen in die punten;

b. de asymptoten. . (1937)

3. Het grondvlak van een rechte cirkelkegel met een tophoek van 90° valt samen met het bovenvlak van een rechte cirkelcilinder. De straal van het grondvlak en de hoogte van de cilinder zijn r resp. h. Hoe moeten r en h ge~ kozen worden, opdat bij gegeven inhoud I van het uit cilinder en kegel be~ staande lichaam de totale ronde oppervlakte zo groot mogelijk zij?

4. Van de functie

vraagt men te bepalen:

2(x2- x) y=e

( 1937)

a. de discontinuïteitspunten en het gedrag van de functie aldaar, benevens het gedrag voor x ~ + 00;

h. de abscis van het niet~singuliere maximum of minimum, benevens de ordinaat van dat punt in drie decimalen nauwkeurig;

c. het gedrag van de afgeleide in de discontinuïteitspunten.

Schets de grafische voorstelling van de functie. ( 1937) .

5. Bepaal de kleinste waarde die de inhoud van een bolsegment met ge~ geven ronde oppervlakte kan hebben, en bewijs met behulp van de integraal~ rekening de gebruikte formules voor de oppervlakte en de inhoud van een bolsegment.

I ANALYSE H, Tl' Mi.

~~~--- ---6. Schets de grafische voorstelling van de functie

y =

e"x sin nx.

Bepaal in het bijzonder de hoogste en laagste punten. 7. Schets de grafische voorstelling van de functie

f(x)

=

e- xex • Bepaal daartoe in het bijzonder:

a. het bedrag vanf(x) vcorx- + oo,benevensf (0) ent' (0); b. de extreme waarde (n) .

(1938 )

Geef aan, hoe men de abscissen der buigpunten kan vinden door twee krom-men met elkaar te snijden.

N.B. Van de ordinaat van het maximum en van de abscissen der buig-punten wordt geen numerieke benadering verlangd.

8. Bereken en 1

1

-f

~

dx 1 - 3 9 x

V

1 --x -~ 6 12

=

!sin5 x cos 3x dx. o (1938) (1938 )

9. De straal van het grondvlak van een recht afgeknotte rechte cirkelkegel is 2 r, die van het bovenvlak is r; de hoogte is

h.

Bepaal

h

en r zo dat de inhoud van de afgeknotte kegel gelijk is aan die van een bol met gegeven straal a, en dat de ronde oppervlakte zo klein mogelijk is. Toon aan, dat inderdaad een minimum ontstaat.

10. Schets de grafische voorstelling van de functie

f(x)=tgxsin

8~

.

2 Bepaal daartoe in het bijzonder:

a. de periode;

b. de punten of! en assen van symmetrie; c. de punten waarvoor f(x)

=

0 is; d. de asymptoten;

(1939 )

e. de coördinaten der punten met horizontale raaklijn en het verloop der kromme in de nabijheid dier punten.

11. Schets de grafische vO'orstelling van de functie f(x)

=

X-X

voor x

>

O. Bepaal daartoe in het bij zonder het gedrag van f (x) voor x '-

+

0 en voor x '-

+

00, en van

t'

(x) voor x -

+

0, benevens de extreme waarde(n) .

12. Bepaal de extreme waarden van de functie f(x}

=

1 +x-x,/1 +x

(1939 )

voor x > - I, wanneer met

VI

+

x de niet~negatieve wortel uit 1

+

x be~ doeld wordt.

( 1940) 13. Schets de grafische voorstelling van de functie

f(x}= cos x cos 2x. Bepaal daartoe in het bijzonder:

a. de snijpunten met de x~as; b. de kleinste periode;

c. de extreme waarden;

d. de assen en punten van symmetrie.

(1940) 14. Schets de grafische voorstelling van de functie x3ex.

(1940 ) 15. Bepaal de maximale waarde van

f(x)

'

=

xm(1- x)n

in het interval 0 < x < I, als m en n co'nstanten

> 1

zijn. Bewijs dat inderdaad een maximum optreedt. Hoe veranderen de coördinaten van het hoogste punt, als m en n bij constant blijvende verhouding toenemen?

( 1940) 16. Bereken

r

x7_{(1 _x)80 dx. ( 1940)} 0' 17. Bereken: lim (tg x}tg2x.

"

x--.+ "4 (1941 ) 18. Bereken:

r

dx . (x2_{- x}

+

_1)~ (1941)

I 19. Bereken: 20. Bereken: a.

b.

c.

d.

a.

b.

ANALYSE :8>, Tl' M_l d~

d~

uit: x2 - xy

+

y2= a2.

f

sin~

dx. cos3 _x d2_{y .} Ult _Y3= a2x. d x_"

-I

3x-2 x2 - x + 1 dx. 4

f

sin3 cp c. 2

&

p,

cos cp o

d. (met behulp van reeksontwikkeling ) b

J

.

: dxx .

(1941 )

(1941)

21. Bepaal het hoogste punt, het laagste punt en het buigpunt van de kromme

(1942) 22. Een bol (straal

=

a) van kneedbare stof wordt vervormd tot een om~ wentelingslichaam L, bestaande uit een rechte cirkelcilinder C (straal gro'nd~ cirkel = a) en een rechte cirkelkegel K; de bovencirkeI van C is grondcirkel van K

Bepaal de extreme waarden van het totale oppervlak van L; de waarde nul van de hoogte x van K en de waarde nul van de hoogte y van C moeten in de beschouwing worden opgenomen.

(1942 ) 23. Het middelpunt van de grondcirkel van de rechte cirkelkegel K (straal grondcirkel a, ho'Ogte h) is de top van een kegel KJ; de grondcirkel van K'

is een parallelcirkel van K .

Bepaal de maximale waarde van de inhoud van

K'.

24. a. Onderzoek voor welke reële waarden van x de reeks: x x2 _x8 _x4 _'

'

-

2

+

"3

-4+

···

·

.

cO'nvergeert.

b. Ontwikkel In (1

+

x) in een machtreeks. Hierbij moet bewezen wor~ den voor welke waarde van x de ontwikkeling geldig is; er kan vol~ staan worden met de beschouwing van positieve waarden. van x.

(1946 ) 25. Stel een o'nderzoek in naar de extreme waarden, die de functie:

y

=

~(x- 8)2

+

~x2

aanneemt, als x het interval van - 3 tot

+

6 doorloopt. ( 1946 ) 26. Het punt P (x, y) doorloopt de in het eerste kwadrant gelegen boog van de ellips

b2_x2

+

_a2_y2

₌

_a2_b2

Bepaal de extreme waarden van x

+

y, van x2

+

y2 en van .x3

+

y3.

(1946 ) 27. Bereken: a.

f

x 2 (x

+

1)3 dx;

b.

f

dx y ( - x2

+

_2x

+

_{3) ,} c.

f

xlnxdx; d.

f

~

0

~

x

~

/

3

dx. ( 1947)

28. Men wenst een Cilindervormige maat (van boven open) te co'nstrueren met een inhoud I, een wanddikte d en een bodemdikte 2d.

Beschrijf de vorm van deze maat, bij welke de benodigde hoeveelheid mate~

riaal minimaal is. ( 1947)

29. a. Onderzoek voor welke reële waarden van x de reeks:

X x2 _x3

TI

+

2.3

+

3.4

+

.

.

...

convergeert.

b. Ontwikkel sin x in een machtreeks; hierbij te bewijzen, dat de ont-wikkeling geldt voor elke reële waarde van x. (1947) 30. Stel een onderzoek in naar de extreme waarden, die de functie:

2 3

xS (x_5)s

aanneemt, indien x het interval van - 1 tot

+

6 doorloopt. (1947) 31. De hoogten van een rechte Cirkelkegel K en van ee11l rechte cirkelcylin~ der C zijn resp. 4en 3

y

2;

de stralen -der grondcirkels zijn veranderlijk, de som s er van is constant.

Stel een onderzoek in naar de extreme waarden (relatieve en absolute) van de som van de ronde oppervlakken der beide lichamen.

I . ANALYSE B, Ti' Mi

Als gebied van de straal x van de grondcirkel van K neme men het gesloten interval (0, s). Aangenomen kan worden, dat s

>

4 is.

(1948) 32. Bereken: a.

r

x 2 + x - 2 . x (x2

+

_2x

+

₂₎ dx;

b.

f

x2

VI

dx

+

_x2 ; . x (1948,B) c.

I

arc sin x . dx.

"

V

I -

x!-33. P is een veranderlijk punt van de boven de X~as gelegen helft (eind~ punten inbegrepen) van de cirkel x2

+

y2

=

9 en Q is een punt van de boven de X~as gelegen helft van de cirkel x2

+

_{y2 - 2x - 35}

=

_{0; PQ is / / met}

de Y~as.

Stel een onderzoek in naar de extreme waarden van het segment

PQ.

(1948 ) 34. Bereken: a.

f

xv'

Jèl. - a2 _dx,

r

arc tg x d

b.

9. x, ~ x~ c.

f

dx sin 3x (1949, B)

35. Gegeven zijn de cirkels

x2

+

_{y2 - 2x}

= 0

_{en Jèl.}

+

_{y2 - 4x - 9}

=

_O.

en een veranderlijke rechte I door

°

(0; 0). die de cirkels snijdt in vier punten

in de volgorde A 0 , Ben

C.

.

Druk de som van de lengten van AO en Be uit in de hoek a die I met de positieve

x.

·

..

as maakt en stel een onderzoek in naar de extreme waarden van

die som. ( 1949)

36. Gegeven is de functie

24 4 - x f(x) = Jèl.

+

-5 In

-l+x

a. Ga na voor welke reële waarden van x de functie reële waarden aanneemt.

b. Bepaal de afgeleide functie en ga hiervan het tekenverloop na voor de waarden van x, waarvoor d2 functie reële waarden aanneemt.

c. Stel een onderzoek in naar hoogste en laagste punten van de kro'mme

y

=

f(x). Neem in 2

=

0,69 en in 3

=

1.10.

37. Bepaal de waarde van a zodanig, dat

I· lm ~ I' lm cos ax 2 - cos 9 an

I

=

2. n~ 0 x -+ n n - X"

(1950 ) 38. Gegeven is de functie y

=

a sin x

+

(1 - a) sin2 _{x, terwijl a}

>

_2.

Gevraagd de waarden van x te bepalen waarvoor y een uiterste waarde be~

reikt; tevens wordt gevraagd om af te leiden, wanneer een maximum en wan~

neer een minimum optreedt. ( 1950, B)

39. a. Bepaal:

+8

.

f

h

hm h2

+

9 dx

h--?O ' X"

als a positief is en h van de positieve kant tot nul nadert. b. Toon aan:

n

~

+

à

+ ... +

~<fdx

<

1

+~+?3+

... +

- -

,

n x n - l

I

waarin n (> 1) een natuurlijk getal voorstelt. (1950 )

40. Gegeven is het punt P (6, 4) en de parabool, waarvan de vergelijking

op een rechthoekig assenstelselluidt y2

=

4 x, met brandpunt P (1, 0). De coör~

dinaten van een willekeurig punt Q van de parabool stelt men voor door

x

=

.

,r

a

y

=

2À.

Men vraagt:

a. de vergelijking voor de À-waarden van de snijpunten

R

en

S

van de lijn

PP met de parabool.

b. de som van de afstanden PQ en QP uitgedrukt in À, als Q een wille~

keurig punt van de parabool is,

c. de noodzakelijke voorwaarde, opdat deze som, PQ

+

QP, minimaal is,

d. aan te tonen, dat deze voorwaarde aanwijst: Ie de punten

R

en

S,

geno'emd onder a,

2e een punt Q" zodanig gelegen, dat QoP evenwijdig is met de x~as,

e. te bewijzen, dat de hoek PQoP, door de normaal van de parabool in Qo,

wordt middendoor gedeeld,

t.

te bewijzen, dat de som van de afstanden PQ

+

QP in Qo een minimum

heeft. ( 1950)

41. Bepaal:

Ilm . 1 - sin x

+

cos x

x~k!n sin 2 x - cos x (1951, B)

42. Wanneer gegeven is, dat

I ANALYSE H, Tl' Mi

bewijs dan, dat

43. a. Bepaal:

~~

- 1

~

Y (1 - ctg 3 x). 1 - cos (1 - cos x) lim ---~---'-x __ o x4

b. Voor welke waarden van x convergeert de reeks

(1951, B)

33 _x3 _{1 . 3 3}5 _x5 _{1 . 3 . 5 3}7 _x7

3x-

~'

-

3

-

+~

'

-

5

-

- 2.4.6 '

-

7

-

+'"

44. Wanneer gegeven is, dat ).On:

an - .

j'

sinn x dx, o

(1951, T, M)

waarin n een natuurlijk getal voorstelt, vraagt men

n-1

a. te bewijzen, dat an

=

- -

a,v-2;

n

b. a" te berekenen (maak onderscheid tussen het geval, dat n even is en dat

n oneven is). 45. Bereken: eX_{'- l} a. lim -x __ o x2

+

tg2 X

(

2

n -

1

)3n

b. _{n _ _} lim _CO 2 _n co c.

I

arc; x dx 46. a) Bereken: lim 4 n2

(1 -

_co's

~)

_; n __ CO n

b) Onderzoek, met behulp van a), of de reeks

1

n-4n2(I-cos~) n=1 (1951, T, M) . (1951, B) convergeert of divergeert. ( 1951, T, M) I - 7< 1

47. Wanneer In

=

f

tgn X dx, waarin n een natuurlijk getal> 1 voorstelt,

o bewijs dan

1

a) In

=

- -l - In-s. n

-b) Bereken, door herhaalde toepassing van a), de uitdrukking I4n•

48. Een stoomboot legt dagelijks de afstand van A naar B af (AB

=

s meter). Men neemt aan, dat de onkosten aan brandstof - per uur - voor het varen van de boot a.x3 gulden bedragen (a

=

.

constante en x is de snelheid van de boot in stilstaand water, uitgedrukt in meters per uur). Wanneer nu de stroomsnelheid van het water IJ meter per uur bedraagt ,en de boot zou tegen de stroom in van A naar B moeten varen, vraagt men naar diè snelheid van de boot, waarvoor de onkosten aan brandstof voor de reis van A naar B mini~

maal zijn. (1951, T, M) 49. Bereken: a. 1Im . ln(l

+

. 3 x2 ) x~ 0 X arcsm x o b.

f

eX

y

1 -

_e2x _dx - 0 0

f

cot~ x dx c. In sm x

d. de coördinaten van de buigpunten van de kromme y

=

tg x sec x.

(1952) ~ x

=

tg t

50. Gegeven is de kromme ( y

=

cos t

a. Hoe liggen de bij de parameterwaarden t

=

ti en t

= -

ti behorende punten ten opzichte van elkaar?

b. Dezelfde vraag voor de bij t

=

ti en t

=

ti

+

n behorende punten.

c. Wat volgt uit a en b vo'or de kromme?

d. S.chets de kromme. (1952, B)

51. a. Als gegeven is, dat de som Zl

+

Z2 èn het product Z1Z2 van twee complexe getallen ZI en Z2 reëel is, beredeneer dan, wat hieruit volgt omtrent de getallen ZI en.Z2.

b. Bepaal alle wortels van de vergelijking: x6 - 2 x3

+

₂

=

_O.

52. Bereken:

a. lim sec x In (1 - 2 cotg x),

b.

:IJ "~2 I

(

7x+ 2

~ x2_{- 3 x - 4} o 3 c.

f

sin2 x tg x dx. o dx, (1952, T, M) (1952 )

I ANALYSE B, Tl' Mi 53. Gegeven is de functie a. Bereken lim [(x). xi'O [(x)

=

x sm

.

-

1

, x

x>

O.

b. Bepaal de horizontale asymptoot van de grafiek van de functie.

c. Bewijs dat de x~coördinaten. van de hoogste en de laagste punten van deze grafiek voldoen aan de vergelijking.

1

x

=

cotg- .

x

d. Bepaal de coördinaten van de buigpunten van de grafiek. e. Schets de grafiek.

54. Bereken de volgende integralen:

4

a}

I

In 3 1</3

5-x

~-dx x - I b)

f

tg2 _{X dx} o "'2 c)

!

x sin x cos x dx o 00 d)

fV

X2

+T-

x x2

+

1 dx. o 55. Schets de kromme I - x 9 y=ln - -+ - x 1

+x

4

Hierbij in het bijzonder aan te geven:

a) 't gebied, waar de functie y gedefinieerd is;

b) verticale asymptoten;

(1952)

(1952, B)

c) wat valt op te merken omtrent de y~waarc1ellJ, behorende bij tegenge~ stelde waarden van x?

d) eventuele maxima en minima;

e) eventuele buigpunten.

(1952, B)

56. Van een rechte cirkelkegel is de· straal van het gro'ndvlak r en de hoogte is

h.

Indien het volume

V

cO'nstant wordt gehouden, vraagt men naar

die verhouding van de hoogte h en de straal r van het grondvlak, zodanig, dat de oppervlakte van de kegelmantel minimaal is. (1952,

T,

M)

57. Bereken: 9

a)

f

25dx xVx (-5+Vx ) 1 n -2

b)

f

1 -: cos x dx; smx

"

"3 I c)

f

x In( 1 - x2)dx. (1953 ) 0 ~ 58. Gegeven f(x)

=

ex x - 2

a) Voor welke waarden van x is f(x) gedefinieerd? Bereken lim

f

(x) en lim

r

(x).

x.+O %+0

Wat is het gedrag van

f

(x), indien x van de positieve kant tot 0 nadert?

b) Bereken de extreme waarden van

f

(x) en onderzoek de aard dezer extremen.

c) Bepaal de asymptoten van de grafiek van y

=

f

(x) .

d) Schets deze grafiek. (1953, a, ben c voor B, T, M; d voor B)

59. a) Als n een natuurlijk getal en tn een reëel getal voorstelt, vraagt menl

te bewijzen, dat steeds

2 <

2

+

1 .

- tn = tn 2 '

n n

b) Als gegeven is, dat de reeks t12 + t'; + ta2 + ... + tn~

+

'"

conver-geert, vraagt men (met behulp van a) te beredeneren, of de reeks

ti +

~

t2 +

~

ta

+

... +

~tn

+ ... convergent is of divergent?

n

c) Voor welke waarden van x co'nvergeert de oneindige reeks

x

3 3 _

~

(X-;3)2

+

à (x-;/)a _

...

? (1953, T, M) 60. Bereken de volgende limieten.:

'lt -sin T ( I -

_V

x) lim I ,,-+1 nx a) b)

x_

lim (Vx2+x+l+Y4:#-1-3x). 00 (1953, a voor B, T, M; b voor B)

1 . ANALYSE B, TI' MJ 61. Bereken: In 2 ( e4x -::--c~----,=---

+

2

e2x

+

4: eX + - -4:

dx

. e2X(e2X+2ex+2) . o (I953,B) 62. Bereken lim (cos 7l x) 21n voor het gevaL dat x een geheel getal is en

m""'"

00

voor het geval. dat x géén geheel getal is.

l~

(1953, T, M)

63. Bereken:

lIe

(I953,T,M) 64:. a. Voor welke waarden van x convergeert de reeks

x+l 2(x+l)2 3(x+l)3

- 4:- + 4:2 + ~- + .... , en voor welke x divergeert de reeks?

b. Van de rij van positieve getallen al, a2, as, . •. is gegeven dat

an + I

>

an voor alle waarden van n, terwijl lim a"

<

1.

.onderzoek, of de reeks

1 1 1

- + - + - +

al alél2 ala2a3 co'nvergeert of divergeert.

2

65. Gegeven: [(x)

=

eX +-:;-.

a. Bereken de volgende limieten:

lim [( x ) ; lim [( x ) ; lim [( x ) ; lim [( x ) .

x~ 00 x""'" - 00 x ... o xyo

n""'"

00

(1953, T, M)

b. Bereken de uiterste waarden van [(x) en onderzoek de aard van deze extremen,

c. Schets de grafiek van [(x).

d. Bewijs, dat voor alle waarden x

7'=

0 geldt:

66. Bereken: 1 2 a.

f

X2~

1 dx. 1 J x4_{f"(x) - (4:x-I) [(x)}

_>

₀ (I954:,B)

1

b.

f

(COS X - sin x ) 'eCOS X + sin x dx

o 2 c.

I

I

x2 _{- 2 x}2 _{sin x}

I

_dx. o

-·1

_ 1

-67.

a. Gegeven

L

_

2

=

5 x - I; bepaallim y en lim y. y - x ... 1 x'tl

b. Bepaal de kleinste waarde van het positieve gehele getal n, waarvoor lim ( x~O 3 sin x

-x)

x

n

2

+

cos x van 0 verschilt. 68. Bewijs 1 x 2

<

bg tg x

<

x. als x

> o

.

+x

69. Gegeven: de functie y

=

x In x. a. Bepaal de uiterste waarden van y;

b. Beredeneer. of de kromme een buigpunt kan hebben;

(1954,B)

(1954, T. M)

(1954. T, M)

c. Geef nauwkeurig het gedrag van de kromme in de buurt van x

=

0;

d. Maak een schets van de kromme. (1954. T. M) 70. Door het punt P(a, b). gelegen in het eerste kwadrant. trekt men een. niet door 0 (0. 0) gaande. rechte l, die de x-as in A en de y-as in B snijdt.

Bewijs . .dat de minimumwaarde van OA

+

OB bedraagt

(y;

+

yb)2.

(1954, B) 71. a. o

72.

b)

Bereken: (1954.B) x - n .

a)' Bereken lim - .- - -. als n een natuurlijk getal voorstelt.

x~ n sin x n

ax+

b .

De functie y

=

(x _ 1 ) (x _ 4) heeft voor x

=

2 een UIterste waarde.

die gelijk is aan - 1. Bepaal a en b ~n óók de aard van de uiterste waar-de. Schets de kromme. . (1954. T. M)

1 ANALYSE B. Tl' Mi

73. Als y '=~ (arc sin

x )2.

bewijs dan. dat

(1 - x2_{)y'" - 3 xy" - y';= O.}

Bewijs daarna. dat voor elk natuurlijk getal n > 2 geldt:

(1 - .x8')y(n+l) - (2 n - 1) xy(n) - (n - 1)2 y(n~l)

'

=

0;

hierin stelt y('I1!,) de ne afgeleide van y voor.

(1954. T. M)

74. Bewijs. dat ~ :n

<

- - =

1

+

---

1

+

----=

1

+

...

<

~ (:n

+

1).

2V

1

_3V2

_4V3

(1954. T. M)

75. Als m en n geheel getallen vdorstellen (m

>

O. n

>

1) en

00

f

xmdx

Im.n= (1

+

x)m+n' bewijs dan. dat

Bereken daarna 1",. ". 76. Bereken: a) lim sin x . In x. xTO 1 b)

f

_x3 dx. y l - x2 0 IJ c)

I

2tg x sec2 x dx. IJ 2" 77. a) Bepaal: o m Im.n=

+

1 [",-1.n. m' n -lim n-+ 00 xD _{(x)

+

_g(x) xn+

1

(1954. T. M)

(1954.

B)

wanneer ;Je alle reële waarden doorloopt.

{(x) en g(x) nemen voor alle waarden van x eindige waarden aan.

b) lim sin x . In x (

1954.

T. M)

xTO

78. Bel'eken de maximale waarde van xm yn. wanneer gegeven is. dat x en

y positieve getallen voorstellen. terwijl

x.+

y 1= k, waarin k een constante

voorstelt. (m

>

O. n

>

0).

(1954, T. M)

79. a) Bereken: no

f

'

dx . als a

+

b

>

0, (x+a)vx-b o

•

b) Als 111

=

f

(a2 - x2) n dx. waarin n een positief geheel getal voorstelt. o

vraagt men

1°) het vel'band tussen I"en 1"_1;

2°) In te berekenen met het in 1 0) gevonden antwoord.

80. Door gebruik te maken van de betrekking tg § x

=

cotg ~ x - 2 cotg x

co 1 x

vraagt men de som te bepalen van de reeks ~1

2n

tg

2n'

81. Bereken:

a) Lim arc sin (1 - x)

x~1 l - x2

( Ir

n+

-b)

Lim

n

n~Oo

(

n-~r

c) Los op: 1

<

x

_<

2. (x-2)(x-3)

en licht uw antwoord toe aan de hand van een grafiek. 82. Bereken: 6

f

8 sin x dx a) cos x(3

+

sin2 _x) o +1 b)

f

x arc sin x dx .

V

I - x2 -~ 1

) f

xdx c (x-2)(x-3)' o 83. Bereken:

a) lim In(I - sin 2 x) x~o arctg x b) lim x-+o eX - cos x x (1954. T. M) (1954, T. M) (1954. B) (1954, B) (1955, T, M)

1 ANALYSE B, Tl' Mi

--~---

---84. Gegeven:

[( ) _

I

X

2 _{- 4 x}

I

+

₃

x -

_{x -}

3 '

Schets de grafiek van [(x).

a)

b)

Bereken de richtingsverandering van de raaklijn, bij het passeren van

het punt (4;3). (1955,T,M)

85. Onderzoek, voor welke waarden van x de volgende reeksen convergeren:

a) 2x 3x

2 _4x3

1 +

5

+

25

+

125

+ ...

b)

_{1-2f+4J--6f+'"}

x2 x4 x6

86. Bepilal de afgeleide van u naar x, als

xu·+ uv'= u - x xv

+

v2

₌

_U

+

_x.

Is de afgeleide totaal of partieel? 87. a. Bereken: lim

I

x

I

sin -32 .

x..-+-Oo x

b. Voor welke waarden van x geldt: In (x2

+

_{X - 2)}

<

_{In 4.}

c. Bereken:

f

In(x2

+

_{x - 2)dx.}

(1955, M)

(1955, M)

(1955,B) 88. Gegeven is de functie

f

(x) 1 2; men schrij ft de

n

~

de

afgeleide

l + x f(nl (x) van f(x) in de vorm

f

(n_l( ) _ gn (x)

X -- (1

+

x2)n+l

a) Bewijs, dat gn+dx)

=

(1

+

x2_{) g'n (x) - 2 x(n}

+

_{1) g .. (x).} b) Bewijs, door volledige inductie, dat gn(X) een veelterm in x is.

89. a) Bewijs met behulp van de substitutie x

=

n - y, dat

:re :re

f

x sin x d l.

f

sin x

x'- zn dx

1

+

cos2 _{x ·- 1}

+

_cos2 _X

o 0

en-berek~n daarna eerstgeno'emde integraal.

00

(1955, T, M)

b) Gegeven is: In

'

=

f

xne-X _{dx, waarin n een natuurlijk getal is.}

o .

Bewijs nu, dat I"

=

n

.

In-l en druk daarna In in

n

uit. ,~1955, T, M) 90. Voor welke waarden van x convergeert de reeks

n!'

3 n

: -1

(

X

2

---

--

---91. a. Gegeven: y

=

ln(tg x

+

sec x). Bewijs dat: (g')4 _ g'g"

+

(g")2

=

O. 2 b. Bereken: lim x2_{(x --}

y

x

2

-

_{1) sin} x~oo x n C. Bereken: lim n

f

(1

+

x)" dx. n~oo o (1955 )

92 .. Onderzoek voor welke waarden van x de volgende reeks convergeert:

~

~

(

~

)n

(1955, T, M) n=l n x

+

1

b

93. Bewijs, dat

f

x dx

=

§ n(a

+

.

b); waarin b

>

a:

y (x-a)(b-x) ,

a

1

°

door de substitutie x

=

a

+

(b - a)

t

2

;

b - x

2° door de substitutie

=

t;

x - a

3° door de substitutie x

=

a cos2 _t

+

_{b sin}2 _t.

94. a) Bereken:

x"

+

2"+1

lim (x > 0) n~ '" 3 x"

+

5 . 2"

b) Bepaal de extreme waarden van

g= (x-t 1)(x-2)2

alsmede de aard van deze extremen. 95. Bereken: - "j2

J

.

1 a) 2

x

arc cos --.;-

dx.

-2 2 (1955, T, M) (1955 ) b)

J

xdx y 2 x - x2 1 (1955, a voor B, T, M; b voor B) 96. Voor welke waarden van x convergeert de reeks

00

~ rr.? xn, indien 0

<

r

<

1? n=O

I 97. Bereken: l - x2 a) lim x--+ I sin (1 - Xl ) ANALYSE B, TI' MI ~----b) lim

i

In h/2 x2

+

x

+

1 -

vi

x2

+

2) - In x

r

X~Oo (1956, a voor B, b voor B, T, M) 98. Bereken de volgende integralen:

a)

f

x2 _cos

₂

_{x dx.} I b)

f

x In(1 - x2) dx. y'1-x2 o (1956, a voor B, b voor B, T, M) 99. Voor welke waarden van x geldt:

yx2-4

<

12x-11-3

(1956, B)

2. eX

100. Gegeven: f(x) = x2 _ 2 a) Onderzoek lim f(x) en lim f(x)

xyo x .... o

b) Bepaal de asymptoten van de grafiek van f(x)

c) Bepaal de extreme waarde (n) van

f

(x) ,en. de aard hiervan

d) Schets de grafiek van

f

(x) . (1956 )

101. Gegeven: an:= ~

i

1 - ( - l)n

r

te berekenen: IIm . al

+

a2

+ ...

.

+

an (1956, T, M) n~oo n 102. Bereken:

f

X tg2 X dx (1956, T. M)

103. a. Beredeneer of de reeks, waarvan de algemene term is

21 + (-I)"

an

_'

₌

_{n2+p2 '}

convergeert of divergeert; p stelt een constant getal voor.

b. Voor welke waarden van x convergeert (resp. divergeert) de reeks

I n 00 ( - - -X

)n

+

1

"=1 x - I

Meetkundige toepassingen.

1. Bereken de inhoud van het lichaam, begrensd door het oppervlak, dat ontstaat bij wenteling van de kromme:

y'=x+lnx

om de X~as en door de parallelvlakken, die door de punten (1,0) en (e,O)

gaan. (1948)

2. A (2, 1) is een gemeenschappelijk punt van de krommen

kl,:

x2 -

4 x

+

4 Y

1

=

0 ,en k2 : y

=

i

x2 -

§ In x

+

~ In 2;

de punten B van k1 en C van k2 hebben beide een abscis 4. Bereken de omtrek

van de vlakke figuur, begrensd door de boog AB van kl , het lijnsegment BC

en de boog CA van k2 • ( 1948)

.3. Bereken de inhoud van het lichaam, dat begrensd wordt door het opper~

vlak. dat ontstaat bij wenteling van de kromme:

y,= 1

+

x sin x

om de X~as en door de parallelvlakken, die door de oorsprong en door het punt

(; .0)

gaan. (1949, T, M)

4. Wat

versta~t

gij onder de kromtestraal in een punt van een vlakke kromme? ,Leid uitgaande van Uw definitie een formule voor de kromtestraal af. Bereken vervolgens de kromtestraal in het punt (1,1) van de kromme k:

x2_y

=

_{x3-4x2+ 12x-8.}

?lsmede de coördinaten van het middelpunt van de bij dit punt behorende kromtecirkel. Onderzoek of de kromme k buigpunten bezit. ( 1949, T, M)

5. Bepaal de oppervlakte, ingesloten door de kromme met vergelijking: en de lijn x:= 1.

x

=

.

y2(1 - x)

( 1950) 6. Op een rechthoekig assenstelsel wordt de· kromme gegeven, waarvan de vergelijking luidt:

x(x2

+

y2) := ay(x

+

y).

M,en vraagt (met behulp van poolcoördinaten) de oppervlakte te bepalen van dat deel van het vlak, dat ingesloten wordt door de X~as, de lijn met verge~

II

7.

a) b) c)

d)

ANALYSE B, Tl' Mi x+l

Van de functie y

=

wordt gevraagd:

x2~x

Bereken die waarden van x, waarvoor y een uiterste waarde bereikt en onderzoek of de uiterste waarden maxima of minima zijn.

Voor welke waarde van x heeft de grafische voorstelling van de ge~ geven functie een buigpunt?

Maak een schets van de bijbehorende grafische voorstelling.

Bepaal de oppervlakte van de figuur, ingesloten door het deel van de grafische voorstelling, waarvoor geldt x < - len de X~as.

(1951, B)

8. Gegeven zijn de vergelijkingen van een kromme (in parametervorm ) : x

=

cos t

+

t sin t a)

b)

c) d) y

=

sin t - t cos t. Toon aan, dat de X~as een as van symmetrie is.

Voor welke waarden van t in het interval - n <

t

< :n heeft de kromme een horizontale raaklijn?

Voor welke waarden van t in dat interval heeft de kromme een verticale

raaklijn? .

Schets de kromme in dat interval.

e) Bereken de lengte van het geschetste stuk van de kromme. (1951, B) 9. Van een vlakke kromme luidt de vergelijking op een rechthoekig assen~ stelsel

4y

=

x2 _{- 2 In x (1);}

a) bepaal de coördinaten van het punt op deze kromme, waar de kromming maximaal is;

b) bepaal de uiterste waarden van de door ( 1) voorgestelde functie en maak een schets van de kromme. ' (1951, T, M) 10. Binnen een cirkel (straal

=

a) ligt eén punt A op afstand b van het middelpunt van de cirkeL Men beschouwt de meetkundige plaats van het voet~ punt van de loodlijn vanuit A op een raaklijn aan de cirkel neergelaten.

a) Bepaal in poolcoördinaten de vergelijking van deze meetkundige plaats; kies daartoe A als oorsprong van het coördinatenstelsel.

b) Druk de oppervlakte, die door deze meetkundige plaats wordt inge~ sloten, uit in a en b. (1951, T, M) 11. Gegeven is de functie

f(x)

=

v'7+l

x+l x=l=-l.

a. Voor welke waarde van x heeft deze functie een extreme waarde en onderzoek de aard van dit extreem.

b. Bepaal de vergelijkingen van de asymptoten van de grafiek van de ge-geven functie.

c. Schets de grafiek van de functie.

d. Het oppervlak, dat ingesloten wordt door de grafiek, de rechten x

=

2 en y

=

1, wentelt om de X-as. Bereken de inhoud van het beschreven

lichaam. (1951, B)

12. Gegeven is de kromme ~ x

=

a (1 - cos t)

(y

=

at - n< t<n. a. Bewijs dat de X-as een as van symmetrie is.

b. Bepaal de coördinaten van de buigpunten van de kromme. c. Schets de kromme.

d. Bereken de grootte van het oppervlak, dat ingesloten wordt door de

kromme en de rechte x

=

2 a. (1951, B)

13. a. Voor welke waarden van x is de functie

gedefinieerd?

x+2

[(x)=

V

_x9_~, +4 _x - 1

b. Geef de vergelijkingen van de -horizontale en verticale asymptoten. c. Schets de grafiek van de functie.

d. Bereken de "oppervlakte" ingesloten door de grafiek, de positieve X- en

de positieve Y-as. (1952, B)

14. Gegeven is de vergelijking van een kromme in parametervorm: x

=

2 t (In t - 1)

l

_ 1 4 ( t

>

0.

y - - t2 )

a) Voor welke waarden van t ligt het punt van de kromme achtereenvol-gens in het 1 e, 2e, 3e resp. 4e kwadrant?

b) Bepaal het punt van de kromme, waar de raaklijn evenwijdig is aan de y-as.

c) Bepaal de richting van de raaklijn aan de kromme in het snijpunt met de y-jas en in het snijpunt met de x-as.

d) Toon aan, dat de lijn y

=

1 en de y-as asymptoten van de kromme zijn. e) Bepaal het oppervlak, ingesloten door de kromme, de positieve y-as en

de negatieve x-as.

f) Bepaal het oppervlak, ingesloten door de kromme, de positieve y-as en de lijn y

=

1. g) Schets de kromme. 1 Numerieke gegevens: e

=

2,72; In 2

=

0,69; In 2

=

1,45; e-1

₌

_{0,37; e-}2

=

_{0,14; e-}3

=

_{0,05. (1952, T, M)} 27

II ANALYSE B; Tl' MI

15. Gegeven is in parametervorm de kromme

x

t=I

t -

t In t

l

t

>

O.

y

'

=-tln t

~

a. Ga na voor welke waarden van t, x en y respectievelijk toe~ en afnemend zijn bij to'enemende waarde van t.

b. ,Bepaal de cOIÖrdinaten van het punt van de kromme. waar de raaklijn horizontaal loopt.

c. Bepaal <de cOIÖrdinaten van het punt van de kromme. waar de raaklijn ver~ tikaal loopt.

d. Bereken de vergelijking van de raaklijn in het snijpunt van de kromme met de Y~as.

e. Schets de kromme.

f. Bereken de in het eerste kwadrant gelegen oppervlakte. ingesloten door

de kromme e~ de X .... as. (1952)

16. Een kromme

C

wordt voorgesteld door de vergelijkingen

x=~(t--H

t>

O.

Gevraagd:

a) Ga het teken van x en y na vdor alle toegelaten waarden van t;

b) Wat valt op te merken omtrent cie ligging van twee punten van

C.

be~

h

_{oren e}

.

db" _{IJ t = tI en t}

=

-

1 7

.

tI

c) Laat zien dat de kromme van links naar rechts oploopt;

d) Bepaal de vergelijking van de raaklijnen in de punten. behorende bij

t'~ 1 ,eru bij t= 2. .

e) (Schets de kromme. en in dezelfde figuur ook de parabool

y:=

2 x2

+

1; f) Als P het punt is van de kromme C. behorende bijeen zekere t, en

Q

het punt van de parabool. waarvoor XQ

=

Xp, druk dan yQ ---. yP uit in

t.

Laat zien. dat de parabool geheel boven cie kromme C ligt;

g) Bereken het oppervlak van het deel van het vlak. dat doorlopen wordt door het lijnstuk PQ (zie f). als t de waarden van 1 tot 00 doorloopt.

(1952. B)

17. a) Bepaal de oppervlakte van de figuur tussen de kromme

y

=

xe-X

en de x~as. gerekend van x

'

=

0 tot de ordinaat van het buigpunt van de kromme. Bereken verder het oppervlak. ingesloten <door de x~as en de kromme. gerekend van x = : 0 tot oneindig.

b) Bepaal de oppervlakte tussen de twee lussen van de vlakke kromme, waarvan de vergelijking in pdolcoördinaten luidt:

r,= 1

+

2 sinqJ.

18. a) Gegeven de parabolen y := ,

x2 -

3 x en y

,

= -

x2

+

_{5 x.}

Bereken het oppervlak van het gedeelte van het platte vlak. dat door de beide parabolen ingesloten wordt.

b) Gegeven de kromme y

=

In x.

Bewijs. dat de raaklijn in het punt (e, 1) aan de kromme door 0 (0,0) gaat.

19. a) b) 20. a) b) c) d) e) 21. . (1953. B) Gegeven is de kromme Y'= In x. ,

Bewijs. dat de raaklijn in het punt

(e,

1) aan de kromme door het punt 0(0.0) gaat;

Bereken ,de inhoud van het lichaam. dat ontstaat door wenteling om de X~as van het gedeelte van het vlak. dat ingesloten wordt door de pO'si~ tieve X~as. de gegeven kromme ,eru de onder a) bedoelde raaklijn.

(1953. T. M)

x

125

Gegeven: [(x)

=

----===--,

-

27

x.

V l - x2

Voor welke waarden van x is [(x) gedefinieerd?

Bereken de waarden van x, waarvoor [(x) een extreme waarde heeft en bepaal de aard van deze extremen;

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek voor [(x) en bereken de tangens van de hoek. die de raaklijn in dat punt met de X~as maakt;

Schets de grafiek voor y= [(x);

Bereken het oppervlak. ingesloten door de grafiek van [( x). de rechte x:= 1 en de rechte 27 y

+

64

=

O. (1953. a. b. c. d voor B. T. M; e voor B) Gegeven:

2x

P(x) := . X

In

x; G(x) :=

1

I

.

+

nx

a. Schets de grafiek van y,= G(x).

b. Bereken de oppervlakte van het gedeelte van het platte vlak. ingesloten door de X~as en de grafiek van y i=,P(x). voor zover deze onder de X~as ligt.

c. Bereken de tangens van de hoek. die de krommen y:=,P(x) en y'= G(x) in hun snijpunten met elkaar maken. (1954. B)

22. Bepaal de oppervlakte tussen de kromme y

=

h

/

x) .

(In x) en de rechte lijnen x := 1. x;= e en y

,

=

O. (1954. T. M)

23. Gegeven: [(x)

,

=

\/1

+

In x

x

a) Schets de grafiek van [( x). Bepaal onder meer de extreme waarde van [( x) en de aard van dit extreem alsmede de vergelijking van de asymptoot.

II ANALYSE B, Tl' Mi

b) Bereken de oppervlakte van dat gedeele van het platte vlak, ingesloten door de grafiek van [(x) en de X~as, hetwelk gelegen is links van de ordinaat door het hoogste punt van de grafiek van [(x). (1954, B)

1

+.x2

24. Gegeven: [(x)

=

1 2 '

- x

a) Schets de grafiek van [(x); bepaal hierbij in het bijzonder de asymp~ toten, het extreem en de aard hiervan.

b) Ga na, voor welke waarden van x geldt, dat

I

:

~~

I

> 2 is.

c) Bereken de oppervlakte van het gedeelte van het platte vlak, dat inge~ sloten wordt door de kromme, de ho'rizontale asymptoot en de rechte x

=

2 en dat rechts van de y~as ligt. (1954, B)

1

25. De parabool y

=

a x2 _{en de rechte y}

₌

_-

_{x, Ca}

>

_{0) snijden elkaar}

a

behalve in '0 (0, 0) nog in het punt A.

a) Voor welke waarde van a heeft de scherpe hoek, die de gegeven krom~ men in hun snijpunt

A

met elkaar maken een extreme waarde en wat is de aard hiervan?

b) Stel in het onder a) bedoelde geval de vergelijking op van de raaklijn aan de parabdol in haar snijpunt A met de bijbehorende rechte.

(1954, B) 26. Gegeven: [(x)

=

(1 - x2)el - X_•

a) Schets de grafiek van [( x) en bepaal hierbij in het bij zonder het gedrag van [( x) voor x -

+

00 en x - - 00, alsmede de extreme waarden

van [(x) en de aard van deze extremen.

b) Bewijs, dat het oppervlak van het gedeelte van het platte vlak, ingesloten door de X~as en het boven deze as gelegen gedeelte van de grafiek van [( x) -gelijk is aan dat ingesloten door de positieve X ~as en het onder de positieve X ~as gelegen gedeelte van de grafiek van [( x) .

(1954,B) o

r

x+

1 27. a) Bereken: 9 3 2 dx . . r -

x+

-1 b) Gegeven: [(x)

=

(.x2 - 4 x

+

4) In x, x> O. Bereken de in het vierde kwadrant gelegen "oppervlakte",

de coördinaatassen ·en de grafiek van deze functie.

ingesloten door (1955, T, M) 28. In poolcoördinaten is gegeven de kro'mme:

r

=

sin 2 m

+

2 cos m -

!!....

< m <

!!....

'Y 'Y' 2 - 'r - 2 .

a) Bereken de poolcoördinaten van het punt van de kromme met de grQot~ ste afstand tot de pool.

b) Bereken de poolcoördinaten van de punten van de kromme waai de raaklijn loodrecht op de poolas staat.

5x(x-l)

29. Gegeven de functie f(x)

=

x2

+

4 x

+

5

a. Schets de grafiek van f(x). Onderzoek hierbij in het bijzo'nder de aan-wezigheid van asymptoten en van extreme waarden.

b. Bewijs, dat de rechtel: x --.: 2 y - 1

=

0 aan de grafiek van f(x) raakt

en bepaal de coördinaten van dit raakpunt.

De rechte I en de grafiek van [(x) hebben bovendien nóg een punt ge-meen. Bepaal de coördinaten van dit punt.

c. Bereken de hoek, waaronder de raaklijn 1 en de raaklijn m in 0 aan de grafiek van

f

(x), elkaar snijden. (1955, B) 30. Bereken ,de oppervlakte van ieder der beide delen, waarin het gedeelte van het platte vlak, ingesloten door de cirkel:

x 2

+

y2-2x= 0 verdeeld wordt door de parabool

y2

=

x. (1955, B)

31. Gegeven: f(x)

=

3(x In x - x)~. a. Bereken lim f(x) en lim f' (x).

xyo xyo

b. Bepaal de extreme waarden van [(x) en onderzoek de aard van deze extremen.

c. Bepaal de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van [(x). d. Bereken de oppervlakte van het gedeelte van het platte vlak, ingesloten

door de X-as, de grafiek van f(x) en de rechten x

=

1 en x

=

e.

(1955, B, T, M) 32. a. Schets de krommen kl : y

=

arctg x en k2 : y

=

arccos ~ x y2 in

één grafiek.

b. Bereken de tangens van de scherpe hoek, waaronder deze krommen elkaar snijden.

c. Bereken de oppervlakte van het gedeelte van het platte vlak, ingesloten

door kl , k2 en de X-as. (1955, B)

33. Gegeven zijn de functies:

y = - l x - l l + 3 I x - 2 1

45

en y

=

4 x2

+

9

a) Bereken de tangens van de scherpe hoek die de grafieken van deze functies in het punt (3, 1) met elkaar maken.

b) Schets op één assenstelsel de grafieken van deze functies. Neem hierbij als eenheid van lengte op beide ass,elll: 2 cm.

c) Bereken de oppervlakte van het gedeelte van het platte vlak, ingesloten door de grafieken van de beide gegeven functies.

(1955, B, T, M)

. 34. Ber;eken de oppervlakte van het gedeelte van het platte vlak dat inge-sloten wordt door de kro'mme:

111.

W

I , SI' VI'

El> Ni> Mt

l, Cl' Gl> Gml'

Functies, limieten, differentiëren, uiterste waarden.

1. Bepaal de maxima en minima der functie y van x, als:

xl

y3,= (1

+

x2)3 (1937)

2. In een gegeven bol een omwentelingscilinder te beschrijven, waarvan

de totale oppervlakte zo groot mogelijk zij. (1937)

3. Men vraagt de coëfficiënten a, b, een din:

y=

ax3

+

bx2

+

ex

+

d

zo te bepalen dat voor x= 1 de functies 'y,

ti,

y", yUf zich verhouden als de

getallen 2, 3, 4 en 3. (1937)

4. Schets de grafische voorstelling der functie y. die bepaald is door:

y

=

(x2)x. (1938)

Bepaal daarbij de eVlen:tuele maxima en minima en het gedrag der functie,

als x - 0, als x -

'

+

00 'en' als x _ - 00. ( 1938)

5. Op de zijden van een vierkant beschrijft men buitenwaarts gelijke gelijk~

benige ,driehoeken. Hoe moet de hoogte dezer driehoeken gekozen worden,

opdat voor de veelhoek die daardoor ontstaat, de verhouding van oppervlakte

tot omtrek een extreme waarde verkrijgt. Onderzoek of deze extreme waarde

een maximum of een minimum is. (1938)

6. MA

en

MB

zijn twee onderling loodrechte stralen van een cirkel. Hoe

kan iemand, die zich in A bevindt, in de kortst mogdijken tijd het midden van

MB

hereiken, als hij zich langs de omtrek van de cirkel

V5

maal zo snel kan

bewegen als binnen de cirkel? (1939)

7. Bepaal de extreme waarden van y, als

y5

=

a(x2 _ a2)2.

8. Schets de grafische voorstelling der functie:

I

y,= (x2)-;-.

(1939 )

(1939) Bewijs dat de functie een maximum heeft voor een zekere positieve waarde

9. Schets de grafische voorstelling van de functie

x3

In x4

+

1 .

Bepaal de punten waar deze kromme horizontale raaklijnen heeft en onder~

zoek, of deze aan een maximum of minimum beantwoorden. (1940)

10. Een kegel heeft tot grondvlak een ellips, waarvan de halve assen zijn

a en b. De top ligt op de loodlijn, die men in het middelpunt der ellips op het

grondvlak kan oprichten; de hoogte is h.

In deze kegel wo'rdt een cilinder beschreven zo, dat het grondvlak in het

grondvlak van de kegel valt en de omtrek van het bovenvlak op het ronde

oppervlak van de kegel. De hoogte van de cilinder moet minstens ~ h en

hoogstens ~ h zijn.

Onder alle cilinders, die men op deze wijze kan verkrijgen, wordt gevraagd

de cilinder te vinden:, met de grootste inhoud ,en die met de kleinste inhoud.

11. Bepaal de eventuele maxima en minima der functie

:C2

+

(1

+

2 x tg x) cos2 _x.

( 1940) (1941 )

12. Op de zes zijvlakken van een kubus met ribbe a beschrijft men buiten~

waarts gelijke regelmatige vierzijdige pyramiden. Bepaal de hoogte dezer pyra~

miden zodanig, dat voor het veelvlak, dat op deze wijze o'ntstaat, de verhouding

van inhoud tot oppervlak zo groot mogelijk is. ( 1941 )

13. Bepaal de grootste en de kleinste waarde, die de functie

x

+

yl5 - 4 sin x (1941)

:Tl

aanneemt wanneer x het vak van 0 tot

2

doorloopt met insluiting der grenzen.

14. Bepaal de waarde of waarden van x, waarvoor de functie y van x een

maximum of minimumwaarde aanneemt, indien gegeven is:

~~

=

2 x

+

1 -

Y

x2

+

X

+

1.

Onderzoek of de door y aangeno'men waarde een maximum~ of een mini~

mumwaarde is. (1941)

15. Bepaal de maxima en minima der functie

e-(x2 + _2x)

x2

+

_2x-8

bepaal, voor welke waarde van x de functie positief en voor welke zij negatief

is, en voor welke zij bij toenemende x toe~, voor welke afneemt. Schets de gra~

fische voorstelling der functie. ( 1941 )

16. Bereken:

x

lim

yx

s1nx•

x ... o

III

17. Bepaal de minimumwaarde van de functie x1nx(x

>

0').

Toon aan, dat werkelijk een minimum optreedt en schets de grafiek der

functie. ( 1941 )

18. a. Bepaal de maximum~ en de minimumwaarde van y, indien:

y

=

2.x3 - 9 kx2

+

_{12 k}2_{x - k}4

b. Voor welke waarden van k heeft de vergelijking: 2' xa - 9 kx2

+

_{12 k}2_{x - k}4

₌

₀ drie reële wortels?

19. Bepaal de extreme waarden van de functie (x-a)4

y="Va(x-a)2--ij : a

en schets de grafische voorstelling van de functie.

20. Bepaal de extreme waarden van de functie:

y=: - (x

+

a)

+

-ijx2_(x

+

_a),

en schets de grafische voorstelling van deze functie. 21. Welke gedaante krijgt de vergelijking

dy d

2

y (dy

)8

(x

+

a) . dx . dx2

+

x dx - 1

.

=

0,

als y tot onafhankelijk veranderlijke wo'rdt genomen?

22. Waarin gaat de vergelijking cPy dy

+

xy

+

sec2_{x= 0} dx2 _dx (1942 ) (1942) (1942 ) (1942 )

over, als t tot onafhankelijk veranderlijke wprdt gekozen, terwijl t = tg x? 23. Bereken: (1942 ) 1 lim [ln(ax) ]-;.

,,_00

x . (1942) 24. Bereken: (1942 ) 25. Bereken: lim ( 1

+

-

1

),,2

x (1942 )

,,_00

26. Bereken: 27'. Bereken: lim

~

In (1

+

x3)

r

4 x~o (1 - cos x2) 3 . lim ln(a

+

bex) (b

>

0, n

>

0). x~ 00 y (m

+

nx2)

Bewijs de gebruikte stelling . . 28. Schets de kromme:

y

=

2 y x - 3Vx.

Bepaal hierbij in het bijzonder:

a. De stand der raaklijn in

O

.

b. De eventuele maxima en minima van y.

c. Het buigpunt der kromme. 29. Schets de kromme: y

=

~ (In x2)2rX • (1942 ) ( 1942) (1942 )

Bepaal in het bijzonder het punt der kromme, waarvoor x

=

0, benevens de

raaklijn in dit punt. ( 1942)

30. Hoe bepaalt men de holle en de bolle zijde van een kromme? Bewijs het hiervoor gebruikte kenmerk. Pas dit toe op de kromme:

en schets deze kromme. 31. Bereken: y

=

2 x2 _{In x - 3 x}2 lim

(

y

x2

+

_X

+

_{In x -}

y

_x2

+

_{In x)} x~ 00 32. Schets de kromme: XX Y

=

1

+

x2x (x> 0)

Bepaal in het bijzonder:

(1942 )

( 1945)

a. het punt der kromme, dat men bereikt, wanneer x - 0, benevens de raak~

lijn in dit punt.

b. de extreme waarden van y.

c. de asymptoot der kromme. ( 1945)

33. Bereken de limiet: lim x~ 00 V x3+x2_{- x} X ( ; - arctg x ) (1945 )

34. Bereken de limiet:

lim (ch x . In sin 2 x - cos x . In sin x) ,

",- . 0

waarin ch x de hyperbolische cosinus van x betekerut.

35. Bepaal de extreme waarden van de uitdrukking

y2_ 2

x3,

indien x en y de coördinaten zijn van een punt van de cirkel:

x2+

y2,= 1. 36. Bereken de limiet: lim \/x~-l - \/x- l x_ I yIln x 37. Bereken: 1 .

~

In (1

+

x2)

~~

hm 9 •

,,-.0

x~ (1946) ( 1946) (1946 ) (1946 )

38. Men verbindt het punt B(O, b) met een punt P(x, y) van de parabool 2

y

=

~. Voor welke standen van P zal de afstand BP een minimum en voor a

welke een maximum zijn?

Men onderstelle a

>

0 en beschouwe afzonderlijk de gevallen:

a a

b=

2 en

b>

2"

39. Toon aan dat de vergelijking

xenx

=

1

(1946 )

voor iedere pdsitieve waarde van n één enkele wortel heeft. Zo an deze wortel

voorstelt, vraagt men te bewijzen:

1'0. an _ 0 als n - 00; 2

°

.

nan - 00 als n - 00. 40. Toon..aan, dat de functie

sin x ..

IJ·= - - (n geheel en pOSItIef)

xn

(1946 )

op het interval 0

<

x < 2";n voor één waarde van x een minimum heeft. Toon verder aan, dat deze waarde van x nadert tot;n als n - 00. (1947)

41. Bepaal de uiterste waarde(n) van de functie

y

'

=

(.0

+

27) e-1xl

~

[(x)

,

=

(X2)x- als X=FO ( [(0)

=

0.

Schets de grafiek van deze functie en bepaal de extreme waarden.

1b. De functies u en v van x wO'rden gedefinieerd dO'O'r: :Tt :Tt

tgu = x ' - 2

<

u

<

2'

:Tt 1t

cO'tg v

=

x, -

2

< v

<

0, 0

< v

<

2 .

( 1948)

Schets de grafiek van het prO'duct y

=

uv van deze twee functies. BeschO'uw in het bijzO'nder het verloO'p van. y in de O'mgeving van x

,

=

0, het gedrag van y

als x - + 00, en eventuele uiterste waarden

11. Wat is de grO'O'tste waarde van

-~

x

+

-V

~

x - sin x

als x het interval 0 <. x < ~ n dO'O'rlO'O'pt?

15.

Bewijs, dat vO'O'r x

<

°

geldt: 46. Bepaallim x~l 17. a. Bepaal e-x

>

1

+

(I-x) In (I-x). sin nx

+

tg ;nx (x-l)3 V~+ sin x lim x~ 00

V

x

+

cO's x (1918 ) (1948 ) ( 1919) ( 1919)

b.

In

een cirkel met straal n beschrijft men een regelmatige n~hO'ek. Bepaal de limiet waartO'e het verschil tussen de O'ppervlakten van de cirkel en van de n~ hO'ek nadert als n - 00. ( 1919)

18. De functies [( x) en g (x) hebben beide een tweede afgeleide die niet~

negatief is. Bewijs dat dit dan O'O'k het geval is vO'O'r de functie

F(x)

'=ln (ef(X)

+

eU(x»).

(1950)

19. Bepaal de groO'tste en de kleinste waarde die de functie

[(x)

=

(x2 _{- 8x}

+

_{11 )e-x"}

aanneemt, als x de reële g'etallen dO'O'rlO'O'pt. Schets de grafiek van de functie