Przedstawiona rozprawa doktorska jest związana z nową dyscyplina naukową biocybernetyką i inżynierią biomedyczną, która należy do obszaru nauk technicznych. Dyscyplina ta zawiera w sobie zagadnienia związane z medycyną, biologią, biomatematyką, czy też z cybernetyką uprawianą przez inżynierów. Ta rozprawa skupiona jest wokół problemów biomatematyki oraz numerycznego badania systemów dynamicznych, w szczególności ich chaotycznych zachowań.
Nieregularne przebiegi obserwowane w wynikach pomiarowych rzeczywistych układów biologiczno- medycznych mogą być związane nie tylko z dużą złożonością tych układów i niedoskonałościami metod pomiarowych, ale również z samą strukturą układów. Innymi słowy mówiąc rzeczywiste systemy biologiczo- medyczne mogą przy pewnych warunkach po prostu być chaotyczne, mogą "zawierać" strukturę matematyczna generującą chaos. A. Lasota uważał, że taką matematyczną strukturą "odpowiedzialną" za chaos w systemach biologicznych może być miara niezmiennicza o nietrywialnych własnościach ergodycznych (możemy także powiedzieć, że układ wykazuje nietrywialne własności ergodyczne). Sformalizował on takie podejście dla zaproponowanego przez siebie modelu zmian ilości krążących w krwiobiegu krwinek czerwonych (erytrocytów), stawiając hipotezę o nietrywialnych własnościach ergodycznych tego modelu. Model ma postać równania różniczkowego z opóźnionym argumentem, w którym przy odpowiednim doborze parametrów można zadać funkcję produkcji erytrocytów w formie unimodalnej. Taki charakter zależności erytropoezy (produkcji erytrocytów) odpowiada warunkom patologicznym zaistniałym w organizmie. Ważne jest, że równania o takiej strukturze jak rozważane w rozprawie mają szerokie zastosowania w modelowaniu procesów biologicznych. Znane są dowody istnienia rozwiązań okresowych takich równań, natomiast jak do tej pory poza szczególnymi przypadkami mało można powiedzieć o istnieniu chaotycznych rozwiązań w precyzyjnie określonym sensie dla równań różniczkowych z opóźnieniem w ogóle. W rozprawie wychodząc od hipotezy A. Lasoty przeprowadzono numeryczne badanie wspomnianego modelu zaburzonej erytropoezy w celu obserwacji jego nietrywialnych (nie skupionych na punkcie) własności ergodycznych. Z punktu
widzenia matematycznego uzyskane wyniki obliczeniowe sugerują, że dla wyznaczonego zakresu parametrów istnieje atraktor o nieprostej strukturze, wspierający niezmienniczą miarę mieszającą oraz, że prawie każda trajektoria układu jest turbulentna w sensie Bass'a. W konsekwencji układ może być również chaotyczny w sensie Auslander'a i Yorke'a. Zatem przedstawione wyniki popierają hipotezę A. Lasoty o istnieniu nietrywialnych własności ergodycznych układu. Z punktu widzenia biologiczno-medycznego wyniki sugerują że w warunkach zaburzonej erytropoezy mogą wystąpić nieregularne zmiany ilości krążących w krwiobiegu erytrocytów.
Przeprowadzenie zaprezentowanej w rozprawie analizy numerycznej wymagało zaprojektowania metodyki obliczeniowej opartej na bardzo złożonej matematycznej teorii ergodycznej. W tym celu w rozprawie opracowano w monograficznym ujęciu fundamenty badania chaosu na gruncie teorii ergodycznej.
W rozprawie wyprowadzono zależność na pobudzenie układu produkcji erytrocytów, gdy ta produkcja zadana jest unimodalną funkcją odpowiadającą nietypowej erytropoezie. Dzięki otrzymanej zależności można lepiej zrozumieć rolę potęgi s (która według wiedzy autora nie była wcześniej interpetowana w literaturze) występującej w funkcji unimodalnej badanego równania. Reprezentuje ona stopień zaburzenia normalnej odpowiedzi erytropoetycznej. Wyliczony wzór dobrze wpasowuje się w dotychczasowe wyniki A. Lasoty i M. Ważewskiej- Czyżewskiej bowiem dla s=0 otrzymane równanie przyjmuje postać podanej przez nich zależności na pobudzenie układu dla nieliniowości odpowiadającej normalnej erytropoezie, gdy jednak s>0 zależność odpowiedzi erytropoetycznej zniekształca się, a pobudzenie jest wyhamowywane i to wyhamowywanie jest tym większe im większe jest s. A. Lasota i M. Ważewska-Czyżewska wyprowadzili monotonicznie malejącą zależność dla normalnej odpowiedzi erytropoetycznej wprowadzając zależność na pobudzenie układu. Autor zastosował rozumowanie odwrotne, to znaczy dla danej nieliniowości unimodalnej wyliczony został stopień pobudzenia układu.
"Chaos in the Ergodic Theory Approach in the Model of Disturbed Erythropoiesis"
The PhD thesis concerns new scientific discipline i.e. biocybernetics and biomedical engineering as part of technical sciences. It contains problems connected with medicine, biology, biomathematics and also engineering approach to cybernetics. This thesis focuses on biomathematics and numerical studies of dynamical systems, particularly its chaotic behavior.
Irregular courses observed in the results of measurements of the bio-medical systems can be connected not only with their complexity or with the imperfection of the measuring methods, but also with the structure of the system. In the other words the biological systems can simply be chaotic, can "contain" a mathematical structure generating chaos. A. Lasota thought that an invariant measure with nontrivial ergodic properties can be such structure. He proposed a model describing the change of overall number of red blood cells (erythrocytes) in the blood circulation and formulated a hypothesis of nontrivial ergodic properties of the model. The model has a form of delay differential equation, where the production function of erythrocytes can be given in a form of unimodal function. Such a character of erythropoiesis (erythrocytes production) concerns the pathological conditions which arisen it the body. It is important that equations with such structure have broad applications for the modeling of biological systems. There proofs of the existence of periodic solutions of such equations are known, while until now, besides some particular cases, a little is known about the existence of chaotic solutions for delay differential equations. In the thesis, starting from the Lasota's hypothesis, numerical analysis of the delay model of disturbed erythropoiesis is done in order to observe nontrivial (non concentrated on a point) ergodic properties. From the mathematical point of view obtained results suggest that for determined range of Darameters there exists an attractor of non simDle structure, supporting invariant mixing measure and that almost each trajectory of the system is turbulent in the sense of Bass. In the consequence the system can be also chaotic in the sense of Auslander and Yorke. Thus the presented results support the Lasota's hypothesis of nontrivial ergodic properties of the system. From the
biomedical point of view the results suggest that the disturbance of the erythropoietic process can be followed by irregular changes of overall number of erythrocytes in the blood circulation.
In order to carry out numerical analysis the computational methodology was prepared on the basis of complex mathematical ergodic theory. In the thesis the foundations of the ergodic theory approach to chaos were presented in the monographic form.
In the thesis the dependence of the excitation of the erythrocyte production system with the production given by the unimodal function (corresponding to the untypical erythropoiesis) was derived. Thanks to obtained dependence the role of power 5 (which according to the autor's knowledge was not interpreted before in the bibliography) occurring in the unimodal function can be understood better. It represents the rate of the disturbance of the normal erythropoietic response. Obtained formula fits well to the classical results of A. Lasota and M. Ważewska-Czyżewska, because for s=0 the formula represents the dependence for normal erythropoiesis, however when s>0 the dependence is being deformed and the excitation is being slow down. The higher is s the excitation of the system is lower. A. Lasota and M. Ważewska-Czyżewska derived monotonie decreasing function (for the normal erythropoiesis) introducing the excitation of the system dependence. The author of the thesis used the inverse reasoning i.e for the given unimodal function the rate of the exctitation of the system was determined.
