Ocena grupowa dla porządków częściowych. Wyznaczanie odległości

(1)

DARIUSZ WAGNER

Instytut Bada Systemowych, PAN

Streszczenie

Przy wyznaczaniu oceny grupowej zazwyczaj przyjmowane są pewne załoĪenia upraszczające. Z reguły zakłada siĊ, Īe eksperci oceniają wszystkie obiekty oraz, Īe zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej nie wystĊpują obiekty rów-nowaĪne. ZałoĪenia te w odniesieniu do rzeczywistych problemów są dosyü restryk-cyjne i warto podjąü próbĊ ich osłabienia.

W pracy przeanalizowano zagadnienie wyznaczenia odległoĞci miĊdzy ocenami w sytuacji, gdy zakłada siĊ, Īe eksperci nie są w stanie porównaü ze sobą niektórych obiektów oraz gdy dopuszcza siĊ moĪliwoĞü wystĊpowania obiektów równowaĪnych zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej. Rozpatrzono równieĪ pro-blem przechodnioĞci opinii ekspertów. ZałoĪono, Īe opinie podawane przez eksper-tów moĪna przedstawiü w postaci pewnej relacji binarnej, której elementami są wszystkie pary obiektów ze zbioru wskazane przez ekspertów.

Słowa kluczowe: decyzje grupowe, porzdek cz ciowy, macierze porówna parami, odległo ci midzy opiniami ekspertów

1. Wprowadzenie

Wyznaczanie oceny grupowej wie si z problemem agregacji informacji uzyskanej od eks-pertów. Moe to by konieczno ustalenia zwycizcy w wyborach, wyznaczenia kolejno ci ocenianych obiektów ze wzgldu na przyjte kryterium (kryteria) bd podjcia decyzji w spornej kwestii.

Zazwyczaj przyjmowane s pewne załoenia upraszczajce problem wyznaczania oceny gru-powej. Po pierwsze, z reguły zakłada si, e eksperci oceniaj wszystkie obiekty, po drugie, czsto przyjmuje si, e zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej nie wystpuj obiekty równowane. Obydwa załoenia w odniesieniu do rzeczywistych problemów s dosy restrykcyjne i warto podj prób ich osłabienia.

Problem równowano ci obiektów w ocenach ekspertów był rozwaany w wielu pracach (np. Cook, Seiford (1978), Armstrong i in. (1982), Bury, Wagner (2008a, b)).

Warto zauway, e z punktu widzenia eksperta przypadek równowano ci obiektów jest za-sadniczo róny od przypadku nieporównywalno ci obiektów. Sytuacja, w której ekspert nie ocenia tych obiektów, do oceny których nie czuje si kompetentny bd uwaa, e danych obiektów nie mona ze sob porównywa ze wzgldu na przyjte kryterium (kryteria) jest róna od przypadku, kiedy ekspert dokonujc oceny obiektów uwaa, e nie róni si one od siebie ze wzgldu na przyjte kryterium (kryteria). W niektórych pracach (Bogart (1973)) te dwie sytuacje s

(2)

utosa-miane, bd wyklucza si ocen zakładajc równowano obiektów.

W pracy przeanalizowano zagadnienie wyznaczania odległo ci szukanego uporzdkowania (oceny grupowej) od zbioru opinii podanych przez ekspertów w sytuacji, gdy zakłada si, e eksperci nie s w stanie porówna ze sob niektórych obiektów oraz gdy dopuszcza si moliwo wystpowania obiektów równowanych zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej.

Załoono, e opinie podawane przez ekspertów mona przedstawi w postaci pewnej relacji binarnej, której elementami s wszystkie pary obiektów ze zbioru O wskazane przez ekspertów.

W pracy zaproponowano sformułowanie macierzy binarnej okre lajcej t relacj, weryfikacj własno ci tej macierzy oraz zastosowanie jej do badania własno ci opinii podawanych przez ekspertów (zwłaszcza własno ci przechodnio ci) i wyznaczania odległo ci zdefiniowanej za pomoc rozwaanej macierzy.

Przyjmujemy nastĊpujące okreĞlenia:

ekspert podaje porządek liniowy, jeĪeli oceniane są wszystkie obiekty (moĪliwoĞü wystĊ-powania obiektów równowaĪnych jest dopuszczana lub nie),

uporządkowanie obiektów – porządek liniowy obiektów,

jeĪeli ekspert nie jest w stanie porównaü niektórych obiektów – podaje porządek czĊĞcio-wy (moĪliwoĞü czĊĞcio-wystĊpowania obiektów równowaĪnych jest dopuszczana lub nie), opinia – podany przez eksperta porządek czĊĞciowy (np. w postaci graficznej jako

dia-gram Hassego).

2. Postaü ocen podawanych przez ekspertów

Niech 2 oznacza zbiór obiektów, Oi∈2, i=1, ..., n oraz . = {1, ..., K} zbiór ekspertów

doko-nujcych oceny. Opinie ekspertów mog by podawane w skali porzdku lub w skali liczbowej. W pracy ograniczamy rozwaania do tej pierwszej moliwo ci.

Oceny podawane w skali porzdku mog mie dwojak posta.

Po pierwsze mog to by uporzdkowania obiektów, przy czym zazwyczaj przyjmuje si, e obiekt uwaany za najlepszy (w sensie wybranego kryterium/ kryteriów) jest umieszczony na pierwszym miejscu, za uwaany za najgorszy na ostatnim. Obiekty równowane, ujmowane w nawiasy, umieszczane s na tej samej pozycji, np.

P = {O1, (O2, O3), O4, O5}. (1)

Ten zapis jest wygodny przy zapisie porzdków liniowych.

Po drugie eksperci mog porównywa obiekty parami podajc tzw. macierze porówna para-mi.

Zakładamy, e wszystkie rozwaane relacje midzy obiektami odnosz si do przyjtego kry-terium (kryteriów) ich porównywania. Dla uproszczenia zapisu w dalszych rozwaaniach to załoenie jest pomijane.

Wprowadzamy nastpujce oznaczenia: j

k i O

O , jeeli zdaniem eksperta k obiekt Oi jest lepszy od Oj,

j k i O

O ≈ , jeeli zdaniem eksperta k obiekty Oi i Oj s równowane,

j k i O

(3)

j k i O

O ⊥ , jeeli zdaniem eksperta k obiektu Oi nie mona porównywa

z obiektem Oj.

Jeeli zakładamy, e wszystkie obiekty ze zbioru 2 s porównywalne, wówczas elementy ma-cierzy porówna parami podawanej przez eksperta o numerze k definiowane s nastpujco (Kemeny, Snell 1962) ] a [ A k ij k ₌ _{, gdzie} ° ° ¯ °° ® − ≈ = j k i j k i j k i k ij O O jeeli 1 O O jeeli 0 O O jeeli 1 a % . (2)

Litvak (1982) zaproponował rozszerzenie tej definicji na przypadek obiektów nieporównywalnych (eksperci podaj porzdek cz ciowy)

] a [ A kij k ₌ , gdzie ° ° ° ¯ °° ° ® ⊥ θ − ≈ = j k i j k i j k i j k i k ij O O jeeli O O jeeli 1 O O jeeli 0 O O jeeli 1 a % , (3)

gdzie θ jest pewn liczb całkowit.

Przykładem porzdku cz ciowego jest relacja ( , ≈, ⊥) na zbiorze obiektów 2.

Jeeli oceny podawane przez ekspertów maj charakter porzdków cz ciowych, wygodnie jest zapisywa opini eksperta w postaci zbioru par obiektów lub macierzy porówna parami bd graficznie, jako diagramy Hassego.

Przykład 1

Rozwamy nastpujc opini podan przez eksperta:

P = {(O1, O2), (O1, O3), (O1, O5), (O2, O3), (O3, O2), (O2, O4), (O3, O4)}. (4)

Zapis ten oznacza, e zdaniem tego eksperta obiekt O1 jest lepszy od wszystkich pozostałych

obiektów, obiekty O2 i O3 s równowane i lepsze od O4, za obiekt O5 nie jest porównywalny

z O2, O3 i O4.

Macierz porówna parami ma posta O1

O5

O4

O2

(4)

A1 = 0 1 O 0 1 1 1 O 1 0 0 1 O 1 0 0 1 O 1 1 1 1 0 O O O O O O 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 θ θ θ − θ − − − θ − θ − . (5)

3. Badanie przechodnioĞci opinii ekspertów

W przypadku, gdy opinia eksperta jest podawana w postaci macierzy porówna parami lub zbioru par obiektów moe zdarzy si, e bdzie nieprzechodnia.

Przykład 2.

Rozwamy macierz porówna parami dla piciu obiektów:

A2 = 0 1 1 1 1 O 1 0 1 1 1 O 1 1 0 1 1 O 1 1 1 0 1 O 1 1 1 1 0 O O O O O O 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 − − − − − − − − − − . (6)

Odpowiada ona nastpujcej opinii eksperta

Podana opinia jest nieprzechodnia ze wzgldu na cykl: O4, O2, O1.

Sprawdzanie przechodnio ci opinii ekspertów jest istotnym elementem procesu wyznaczania oceny grupowej.

Bezpo rednie badanie przechodnio ci opinii ekspertów na podstawie macierzy porówna pa-rami moe by mudne. Jest ono łatwiejsze, jeeli zostanie zastosowana pewna macierz binarna B, bdca przekształceniem macierzy porówna parami A. Elementy macierzy B s okre lone nastpujco (dla uproszczenia zapisu indeks k oznaczajcy numer eksperta został pominity).

Jeeli ° ° ¯ ° ° ® ⊥ ≈ j i j i j i j i O O O O O O O O % , to 0 b , 0 b 1 b , 0 b 1 b , 1 b 0 b , 1 b ji ij ji ij ji ij ji ij = = = = = = = = . (7)

Wprowadzamy funkcj boole’owsk B(x) okre lon, jak nastpuje

O3 O4 _O₅

O2

(5)

¯ ® < ≥ = 1 x dla 0 1 x dla 1 (x) B . (8)

Jeeli załoymy, e w macierzy porówna parami współczynnik θ <-1 oraz, e J jest macie-rz, której wszystkie elementy s równe 1, wówczas macierz B mona wyrazi jako

B = B(A+J), przy czym bij = B(aij+1). (9)

Przykład 3.

Dla uporzdkowania z przykładu 1 macierz B (oznaczona przez B1) jest nastpujca

1 0 0 0 0 O 0 1 0 0 0 O 0 1 1 1 0 O 0 1 1 1 0 O 1 1 1 1 1 O O O O O O B 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1= . (10)

Macierz B (7) okre la relacj binarn ( , ≈, ⊥) na zbiorze obiektów 2 . Własno ci tej rela-cji wygodnie jest sprawdza na podstawie własno ci macierzy B (Ross, Wright (1999)). Relacja jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz binarna spełnia warunek

B*B ≤ B, gdzie * oznacza iloczyn boole’owski macierzy, (11) B*B = B(B×B), tzn. wyraz o współrzdnych (i, j) macierzy B*B

¸¸ ¹ · ¨¨ © § ⋅ =

¦

= n 1 k kj ik b b ] j , i )[ B * B ( B , (B*B)[i,j] ≤ bij, dla i, j = 1, …, n. (12) Przykład 4.

Dla relacji opisywanej macierz B1 z przykładu 1 mamy:

1 1 1 B 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 * 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 B * B = » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª = » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª = _. ₍₁₃₎

Poniewa macierz B1 spełnia warunek (11), opinia eksperta przedstawiona za pomoc tej

macierzy jest przechodnia.

A zatem, zamiast sprawdza bezpo rednio własno ci macierzy porówna parami, mona bada własno ci odpowiadajcej jej macierzy binarnej B i na tej podstawie wnioskowa o własno ciach opinii podawanych przez ekspertów.

(6)

Przykład 5.

Macierz B2 dla opinii przedstawionej za pomoc macierzy A2 z przykładu 2 ma posta

» » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª = 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 B2 . (14)

Iloczyn boole’owski B2 * B2 wynosi

2 2 2 B 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 B * B ≤/ » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª = » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª × » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª = _. ₍₁₅₎

Zgodnie z oczekiwaniem (istnienie cyklu O4, O2, O1) opinia eksperta przedstawiona za

pomo-c macierzy B2 nie jest przechodnia.

4. Wyznaczanie odległoĞci miĊdzy uporządkowaniami

Odległo midzy uporzdkowaniami _Pk1_i_Pk2_{moe by definiowana za pomoc macierzy}

porówna parami.

Definicja 1 (Kemeny, Snell (1962))

Odległo midzy par obiektów (Oi, Oj) w uporzdkowaniu 1 k

P i par obiektów (Oi, Oj)

w uporzdkowaniu _Pk2_{dana jest zaleno ci} 2 1 2 1 k ij k ij k k ij(P ,P ) a a d = − _. ₍₁₆₎

Odległo midzy uporzdkowaniami _Pk1_i_Pk2 _{dana jest zaleno ci}

¦¦

= > = > − = = n 1 i n i j k ij k ij n 1 i n i j k k ij k k1_,_P 2₎ _d ₍_P1_,_P 2₎ _a1 _a 2 P ( d . (17)

Odległo danego uporzdkowania P od zbioru uporzdkowa podanych przez ekspertów P(k) = {P1, P2, …, PK} dana jest zaleno ci

¦¦¦

¦

= = > = = > = − = = = K 1 k n 1 i n i j ij k ij K 1 k n 1 i n i j k ij K 1 k k ) k ( a a ) P , P ( d ) P , P ( d ) P , P ( d . (18) Definicja 4 (Litvak (1982))

(7)

których nie mona porówna, to odległo midzy par obiektów (Oi, Oj) w opinii P k

i par obiektów (Oi, Oj) w opinii P dana jest zaleno ci

3 2 1 (i,j)I k ij I ) j , i ( k ij I ) j , i ( k ij k ij(P ,P) d (P ,P) d (P ,P) d (P ,P) d ∈ ∈ ∈ + + = _, ₍₁₉₎ gdzie

I1 – zbiór par indeksów (i, j) takich, e w opinii P Oi Oj lub Oj Oi,

I2 – zbiór par indeksów (i, j) takich, e w opinii P Oi≈ Oj,

I3 – zbiór par indeksów (i, j) takich, e w opinii P Oi⊥ Oj.

Przyjmujemy, e 0 , przypadku przeciwnym w O O P opinii w jeeli 0 ) P , P ( d i j k I ) j , i ( k ij 3 > ω °¯ ° ® ω ⊥ = ∈ . (20)

W zaleno ci od wzajemnego połoenia obiektów Oi oraz Oj w opiniach P oraz P k odległo ) P , P ( d k

ij moe przybiera warto ci ze zbioru {0, 1, 2, ω} (Litvak (1982)). Warto ci odległo ci )

P , P (

dij k dla moliwych kombinacji połoenia obiektów Oi oraz Oj w opniach P oraz Pk

przed-stawiono w tabeli 1. Tabela 1 Opinia P ) P , P ( d k ij O i Oj O ≈i Oj O %i Oj O ⊥i Oj j k i O O 0 1 2 ω j k i O O ≈ 1 0 1 ω j k i O O % 2 1 0 ω o p in ia P k j k i O O ⊥ ω ω ω ₀

W analogiczny sposób mona zdefiniowa odległo midzy opiniami ekspertów za pomo-c macierzy B.

Definicja 5

Odległo midzy par obiektów (Oi, Oj) w danej opinii 1 k

P i par obiektów (Oi, Oj) w opinii 2 k P

wyraona przy uyciu macierzy B ma posta

2 1 2 1 2 1 k ji k ji k ij k ij k k ij(P ,P ) b b b b d = − + − . (21) Definicja 6

Odległo midzy opiniami _Pk1_i_Pk2 _{definiowana przy uyciu macierzy binarnej B ma}

(8)

¦¦

= = = > = > − = − + − = = n 1 i n 1 j k ij k ij n 1 i n i j k ji k ji k ij k ij n 1 i n i j k k ij k k1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b b b ) P , P ( d ) P , P ( d . (22)

Ze wzgldu na brak symetrii macierzy B odległo d(Pk1,Pk2)_{, oznaczona jako}

) P , P ( d k1 k2 _{, jest} sumowana dla wszystkich par (i, j), a nie tylko dla i > j.

Definicja 7

Odległo d danej opinii P od zbioru opinii podanych przez ekspertów P(k) = {P1, P2, …, PK} dana jest zaleno ci

¦¦¦

¦

= = = = = = = − = = = K 1 k n 1 i n i j ij k ij K 1 k n 1 i n i j k ij K 1 k k ) k ( b b ) P , P ( d ) P , P ( d ) P , P ( d . (23)

W zaleno ci od wzajemnego połoenia obiektów Oi oraz Oj w opiniach P oraz Pk odległo

) P , P (

dij k moe przybiera warto ci ze zbioru {0, 1, 2}. Warto ci odległo ci d (Pk,P)

ij dla moliwych kombinacji połoenia obiektów Oi oraz Oj

w opiniach P oraz Pk przedstawiono w tabeli 2. Tabela 2 Opinia P ) P , P ( dij k i j O O (bij=1, bji=0) j i O O ≈ (bij=1, bji=1) j i O O % (bij=0, bji=1) j i O O ⊥ (bij=0, bji=0) j k i O O (b =1, k_ij b =0) k_ji 0 1 2 1 j k i O O ≈ (b =1, k_ij b =1) k_ji 1 0 1 2 j k i O O % (b =0, k_ij b =1) k_ji 2 1 0 1 o p in ia P k j k i O O ⊥ (b =0, k_ij b =0) k_ji 1 2 1 0

Mona pokaza, e tak zdefiniowana odległo d (Pk,P)

ij (21) spełnia aksjomaty odległo ci (Litvak (1982)):

1. d (Pk,P)

ij ≥ 0, dij(Pk,P) = 0 jeeli wzajemne połoenia obiektów Oi oraz Oj

w opiniach P oraz Pk s takie same.

2. d (P ,P) d (P,Pk) ij k

ij = ,

3. dij(Pk,P)≤dij(Pk,Pz)+dij(Pz,P).

4. Jeeli P′ jest permutacj opinii P oraz P′k jest tak sam permutacj opinii Pk, to d(P′k, P′) = d(Pk, P).

(9)

5. Najmniejsza dodatnia odległo dmin = 1 (co wynika z tabeli 2).

Warto zauway, e dla porzdków liniowych odległo ci definiowane za pomoc macierzy A i B s jednakowe.

5. Uwagi koĔcowe

Uogólnienie metod wyznaczania oceny grupowej na przypadki, gdy eksperci nie mog rozróni obiektów, bd ich porówna jest istotne dla praktycznych zastosowa tych metod. W szczególno ci uwzgldnienie tych sytuacji w ocenie grupowej znaczco rozszerza klas zada, jakie mog by rozwizywane.

Podej cie zaproponowane przez Litvaka (3) umoliwia rozwaanie porzdków cz ciowych podawanych przez ekspertów. Zaproponowana przez autorów modyfikacja tego podej cia (7) ułatwia badanie przechodnio ci opinii ekspertów oraz obliczanie odległo ci midzy ocenami stanowice podstaw do wyznaczania oceny grupowej na podstawie minimalizacji odległo ci szukanego uporzdkowania od zbioru opinii ekspertów.

Bibliografia

1. Armstrong R.D., Cook W.D., Seiford L.M., (1982), Priority ranking and consensus formation: The case of ties, Management Science, 28, no. 6, pp.638-645.

2. Bogart K.P., (1973), Preference structures I: Distances between transitive preference relations, Journal of Mathematical Sociology, 3, pp. 49-67.

3. Bury H., Wagner D., (2008a), Wyznaczanie oceny grupowej na podstawie podej cia Cooka-Seiforda z uwzgldnieniem moliwo ci wystpowania obiektów równowanych w ocenie grupowej. W: Trzaskalik T. (Red.): Modelowanie preferencji a ryzyko'08. Akademia Ekonomiczna w Katowicach, Katowice, ss. 31-43.

4. Bury H., Wagner D., (2008b), Group Judgement With Ties. Distance-Based Methods. In: Aschemann H. (Ed.): New Approaches in Automation and Robotics. I-Tech Education and Publishing, Vienna, Austria, ss. 153-172.

5. Cook W.D., Seiford L.M., (1978), Priority ranking and consensus formation, Management Science, 24, no. 16, pp. 1721-1732.

6. Kemeny J.G., Snell L.J., (1962), Preference Ranking: An Axiomatic Approach. In J.G. Kemeny and L.J. Snell, Mathematical Models in the Social Sciences, New York, Ginn. 7. Litvak B.G., (1982), Ekspertnaja informacija. Mietody połuczienija i analiza, Radio

i Swjaz, Moskwa.

(10)

GROUP JUDGEMENT FOR PARTIAL PREFERENCE ORDERS. DISTANCE-BASED APPROACH

Summary

Usually to determine group judgement one has to introduce some simplifying assumptions. Generally it is assumed that the experts are in a position to compare all the alternatives considered and there are no tied alternatives in experts’ opinions as well as in group judgement. These assumptions are rather restrictive and it is worth to weaken them.

In the paper the problem of determining the distance between preference orders for the case when experts may not be able to compare all of the alternatives as well as when tied alternatives can occur is considered. The transitivity of experts’ opin-ions is also discussed. It is assumed that experts’ opinopin-ions can be expressed as bi-nary relations defined over a set of all the pairs of elements under consideration. Key words: group decisions, partial order of alternatives, pairwise comparisons matrix, distance

between preference orders

Hanna Bury Dariusz Wagner

Instytut Bada Systemowych, Polska Akademia Nauk 01-447 Warszawa, Newelska 6 e-mail: bury@ibspan.waw.pl d.wagner@ibspan.waw.pl