17 listopad 2005

17 listopada 2005

1. Sprawdzi¢, »e funk ja Diri hleta (funk ja harakterysty zna zbioru li zb wymierny h

Q

)

f(x) =

 1

je±li

x

∈ Q;

0

je±li

x

6∈ Q

speªnia równanie

f

(x)

2

_{− f(x) = 0.}

2. Zaªó»my, »e funk je

f, g

s¡ i¡gªe w przedziale

(a, b)

. Co nale»y zaªo»y¢ o funk ja h

f

i

g

»eby równanie

f

(x) ·y(x) = g(x)

miaªowprzedziale

(a, b)

jednozna znei i¡gªerozwi¡zanie? 3. Nie h

f(t) =

 t + 2t

2

_{· sin}

1

t

dla

t

6= 0;

0

dla

t

= 0.

(a) Pokaza¢, »e

f

jestfunk j¡ ró»ni zkowaln¡. (b) Zbada¢ po hodn¡

f

w oto zeniuzera.

( ) Sprawdzi¢, »e

f

niejest funk j¡ wzajemnie jednozna zn¡ na»adnym oto zeniuzera. (d) Czy

f

′

jest i¡gªa wzerze?

4. Nie h

f

= (f

1

, f

2

)

bedzie odwzorowaniem z

R

2

w

R

2

danym wzorami

f

1

(x, y) = e

x

· cos y

,

f

2

(x, y) = e

x

· sin y

. (a) Jaki jest obraz

f

?

(b) Sprawdzi¢,»e funk ja

f

jest ró»ni zkowalna wsposób i¡gªy,jakobian

f

niejest równy

0

w»adnym punk ie

R

2

, ale

f

niejest wzajemnie jednozna zna. 5. Pokaza¢, »e ukªad równa« funk yjny h







3x + y − z + u

2

_{= 0}

x

_{− y + 2z + u = 0}

2x + 2y − 3z + 2u = 0

mo»eby¢rozwi¡zanywzgldem

x, y, u

wzale»no± iod

z

;wzgldem

x, z, u

wzale»no± iod

y

; wzgldem

y, z, u

wzale»no± iod

x

,aleniemo»eby¢rozwi¡zanywzgldem

x, y, z

wzale»no± i od

u

.

6. Zbada¢, zy równanie

x

− sin y = 0

okre±la jednozna znie i¡gª¡funk j uwikªan¡

y

= y(x)

napewnym oto zeniupunktów

A

= (

√

2

2

,

π

4

)

,

B

= (1,

π

2

)

,

C

= (0, 2π)

?

7. Zbada¢, zy równanie

x

y

− y

x

_{= 0}

okre±la jednozna znie i¡gª¡funk j uwikªan¡

y

= y(x)

napewnym oto zeniupunktów

A

= (2, 4)

,

B

= (e, e)

,

C

= (3, 3)

?

8. Zbada¢, zy równanie

x

4

− 2x

2

y

2

+ y

4

_{= 0}

okre±la jednozna znie i¡gª¡ funk j uwikªan¡

y

= y(x)

na pewnym oto zeniu punktów

A

= (0, 0)

,

B

= (1, 1)

,

C

= (−1, 1)

?

9. Obli zy¢ pierwsz¡ i drug¡ po hodn¡ funk ji uwikªany h

y

= y(x)

okre±lony h podanymi równaniami (a)

y

− arctan y − x

3

_{= 0}

; (b)

x

· e

y

+ y · e

x

− 2 = 0

wpunk ie

x

0

= 2

; ( )

x

· e

y

− y + 1 = 0

; (d)

x

2

_{+ y}

2

− 3xy = 0

; (e)

x

− y = sin x − sin y

; (f)

ln

px

2

_{+ y}

2

_{= arctan}

y

x

; (g)

y

−

1

2

· sin y = x

; (h)

y

= 2x · arctan

y

x

.

10. Napisa¢równaniasty zny h dokrzywy hokre±lony hpodanymirównaniamiwewskazany h

punkta h ty h krzywy h

(a)

x

3

_{+ y}

3

_{− 2xy = 0}

,

(x

0

, y

0

) = (1, 1)

; (b)

x

· e

y

+ y · e

x

_{= e}

xy

,

(x

0

, y

0

) = (1, 0)

; ( )

x

3

_{+ x − y}

3

_{− y = 0}

,

(x

0

, y

0

) = (2, 2)

; (d)

x

2

_{+ y}

2

− 3xy + x = 0

,

(x

0

, y

0

) = (1, 1)

. 11. Wyzna zy¢

y

′

dla

x

= 0

,

y

= 0

,je±li

(x

2

+ y

2

)

2

= 3x

2

y

_{− y}

3

.

12. Wyzna zy¢

y

′

,

y

′′

i

y

′′′

, je±li

x

2

+ xy + y

2

= 3.

13. Wyzna zy¢

y

′

,

y

′′

i

y

′′′

przy

x

= 0

,

y

= 1

, je±li

x

2

_{− xy + 2y}

2

_{+ x − y − 1 = 0.}

14. Wyzna zy¢ ekstrema lokalne funk ji uwikªany h posta i

y

= y(x)

okre±lony h równaniami (a)

x

2

_{+ y}

2

− xy − 2x + 4y = 0

; (b)

(x − y)

2

_{= y + xy − 3x}

; ( )

x

2

_{+ xy + y}

2

_{+ x − y − 2 = 0}

; (d)

x

3

_{+ y}

3

− 3xy = 0

; (e)

x

2

_{+ y}

2

_{− 3axy = 0}

(

a

jestparametrem).

15. Dla funk ji

z

= z(x, y)

znale¹¢ po hodne z¡stkowe pierwszego idrugiegorzdu, je±li (a)

x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

_{= a}

2

; (b)

z

3

_{+ 3xyz = a}

3

; ( )

x

+ y + z = e

z

;

(d)

z

=

px

2

_{− y}

2

_{· tan}

_√

z

x

2

_−y

2

; (e)

x

+ y + z = e

−(x+y+z)

.

16. Nie h

z

bdzie okre±lone jako funk ja

x

i

y

równaniem

z

= x + y · ϕ(z)

. Pokaza¢, »e

∂z

∂y

= ϕ(z) ·

∂z

∂x

,

przy zaªo»eniu, »e

1 − y · ϕ

′

_{(z) 6= 0}

. 17. Nie h

x

2

+ y

2

+ z

2

− 3xyz = 0

(⋆)

oraz

f

(x, y, z) = xy

2

z

3

.

(a) Znale¹¢

f

′

x

(1, 1, 1)

je±li

z

= z(x, y)

jestdana w sposób niejawny równaniem

(⋆)

. (b) Znale¹¢

f

′

x

(1, 1, 1)

je±li

y

= y(x, z)

jest dana wsposób niejawny równaniem

(⋆)

. ( ) Dla zego wyniki zpunktu (a) i(b) siró»ni¡?

18. Wyzna zy¢

∂

2

_z

∂x

2

,

∂

2

_z

∂x∂y

i

∂

2

_z

∂y

2

dla

x

= 1

,

y

= −2

i

z

= 1

, je±li

x

2

+ 2y

2

_{+ 3z}

2

_{+ xy − z − 9 = 0.}

19. Zaªó»my, »e

x

= x(y, z)

,

y

= y(x, z)

,

z

= z(x, y)

s¡ funk jami niejawnymi wyzna zonymi przez równanie

F

(x, y, z) = 0

. Pokaza¢, »e wów zas

∂x

∂y

·

∂y

∂z

·

∂z

∂x

= 1.

20. Nie h

x

= t +

1

t

, y

= t

2

₊

1

t

2

, z

= t

3

₊

1

t

3

.

Wyzna zy¢

∂y

∂x

,

∂z

∂x

,

∂

2

_y

∂x

2

oraz

∂

2

_z

∂x

2

, 21. Znale¹¢

∂

2

_z

∂x

2

, je±li

x

_{= cos φ · cos ψ, y = cos φ · sin ψ, z = sin φ.}

22. Funk ja

z

= z(x, y)

zadanajest równaniem

√

R

2

_{− z}

2

_{= y + x · f(z).}

Pokaza¢, »e

x

_·

∂z

∂x

+ (y −

√

R

2

_{− z}

2

_{) ·}

∂z

∂y

= 0.