14 listopad 2019: jasnosc Eddingtona, rownania Milne'a-Eddingtona, atmosfera szara

Wykład 7 - jasność Eddingtona, równania

Milne-Eddingtona, atmosfera szara

Jasność Eddingtona

I Gradient ciśnienia promieniowania:

dPrad dr = 4 3aT 3dT dr

I Gradient temperatury w równowadze promienistej:

dT dr =

−3κρLr

16πacr2_T3

Korzystając z powyższych wzorów można otrzymać maksymalną jasność gwiazdy znajdującej się w równowadze hydrostatycznej.

Jasność Eddingtona c.d.

I Przyjmujemy, że całkowite ciśnienie jest sumą ciśnienia gazu i ciśnienia promieniowania P = Pg + Prad = Pg + 1₃aT4.

I Ciśnienie promieniowania nie może spadać z wysokością szybciej niż ciśnienie całkowite.

    dPrad dr     < g ρ (1)

I Z tego wynika, że −4 3aT 3dT dr = κρLr 4πcr2 < GMρ r2 (2)

I Ograniczenie na jasność przy założeniu równowagi hydrostatycznej

L < 4πGcM

Jasność Eddingtona c.d.

Sensownym ograniczeniem na wartość współczynnika

nieprzezroczystości jest wartość współczynnika rozpraszania na swobodnych elektronach (κe = 0.2(1 + X )cm2/g ). L < 4πGcM 0.2(1 + X ) = 65200L M M 1 1 + X (4)

Równania Milne’a Eddingtona

I Równanie transferu w atmosferze płaskorównoległej: µdIν

d τν

= Iν − Sν (5)

I Rowiązanie otrzymujemy po skorzystaniu z czynnika całkującego exp (−τ_µ))

I Dla promieniowania skierowanego w górę (µ > 0, promieniowanie od τν,2 do τν,1) rozwiązanie ma postać:

Iν(τν,1, µ) = Iν(τν,2, µ) exp ( τν,1− τν,2 µ )+ Z τν,2 τν,1 Sνexp (− τν − τν,1 µ ) d τν µ ,

I Dla promieniowania skierowanego w dół (µ < 0, promieniowanie od τν,1 do τν,2) otrzymujemy: Iν(τν,2, µ) = Iν(τν,1, µ) exp ( τν,1− τν,2 −µ )+ Z τν,2 τν,1 Sνexp ( τν − τν,2 −µ ) d τν −µ

Równanie Milne-Eddiingtona c.d

I Dla atmosfery półnieskończonej (τν,2→ ∞)

Iν(τν, µ) = R∞ τν Sνexp (− τν0−τν µ ) d τν0 µ dla µ > 0 (6) I Dla atmosfery nieoświetlonej z góry (Iν(τν = 0) = 0 dla

µ < 0): Iν(τν, µ) = Rτν 0 Sνexp ( τ0 ν−τν −µ ) d τ0 ν −µ dla µ < 0 (7) I Aby obliczyć średnie natężenie promieniowania, musimy

wykonać całkę: Jν = 1₂ R1 0 R∞ τν Sνexp (− τ0 ν−τν µ ) d τ0 ν µ d µ + 1 2 R0 −1 Rτν 0 Sνexp ( τν0−τν −µ ) d τν0 −µd µ (8)

Równania Milne-Eddiingtona c.d.

I Zamiana zmiennych w = _µ1 dla µ > 0 i w = −1_µ dla µ < 0 i zmiana kolejności całkowania pozwala zapisać:

Jν = 1₂ R∞ τν R∞ 1 Sνexp [−w (τ 0 ν− τν)]dw_w d τν0 + 1 2 Rτν 0 R∞ 1 Sνexp [−w (τν − τ 0 ν)]dww d τ 0 ν (9)

I Możemy dodać oba człony po prawej stonie i zapisać w postaci Jν = 1 2 Z ∞ 0 E1(|τν − τν0|)Sνd τ0 (10)

I Wykorzystana została funkcja wykładniczo-całkowa określona wzorem En(t) = Z ∞ 1 exp (−wt) wn dw (11)

Równania Milne-Eddiingtona c.d.

W analogiczny sposób możemy zapisać równanie na strumień energii promieniowania o częstotliwości ν

Fν = 2π Z ∞ τν SνE2(τν0 − τν)d τν0 − 2π Z τν 0 SνE2(τν− τν0)d τ 0 ν (12)

i drugi moment energii promieniowania

Kν = 1 2 Z ∞ 0 E3(|τν− τν0|)Sνd τ0 (13)

Ponieważ gęstość energii promieniowania jest związana ze średnim momentem promieniowania, a ciśnienie promieniowania z drugin momentem pola promieniowania mamy następujące wzory:

Uν = 2π c Z ∞ 0 E1(|τν− τν0|)Sνd τ0 (14) Pν = 2π c Z ∞ 0 E3(|τν − τν0|)Sνd τ0 (15)

Podstawowe własności funkcji wykładniczo-całkowej

I W dziedzinie liczb rzeczywistych określone są pomiędzy 0 a ∞

E1(x ) w przedziale ]0, ∞) I Wartość En(0)

E1(x ) → ∞ dla x → 0+

En(0) = _n−11 dla n = 2, 3, 4, ...

I Funkcja En(x ) → 0 dla x → ∞ szybciej niż e−x

I Pochodna funkcji En(x ) d

Atmosfera szara

I Atmosfera w której współczynnik pochłaniania κν nie zależy

od częstotliwości nazywamy atmosferą szarą

I Choć założenie wydaje się niezwykle odległe od rzeczywistości jest ono przybliżeniem dobrze ilustrującym zachowanie

atmosfery w niektórych sytuacjach:

- bardzo gorące gwiazdy - rozpraszanie na swobodnych elektronach

- gwiazdy podobne do Słońca - pochłanianie promieniowania przez ujemny jon wodorowy

Rozwiązanie zagadnienia atmosfery szarej w przybliżeniu

Eddingtona

Będziemy rozpatrywali płaskorównoległą, półnieskończoną atmosferę szarą, znajdującą się w równowadze promienistej, przy zastosowaniu przybliżenia Eddingtona (J = 3K ).

Wszystkie wielkości występujące w równaniu transferu całkujemy po częstotliwościach i otrzymujemy wielkości bolometryczne

µdI

d τ = I − S (16)

Z scałkowanego po częstotliwościach warunku równowagi promienistej przy skorzystaniu z postaci bolometrycznej funkcji źródłowej otrzymujemy:

S = J = B(T )

Wtedy całkując po kątach otrzymamy

dFrad d τ = 0

Rozwiązanie zagadnienia atmosfery szarej w przybliżeniu

Eddingtona c.d.

Gdy równanie transferu pomnożymy obustronnie przez µ i scałkujemy po µ

2dK

d τ =

1 2πFrad

Kiedy pole promieniowania jest bardzo słabo anizotropowe (głęboko we wnętrzu), lub w sytuacji modelu dwustrumieniowego (I = I+ dla µ > 0 i I = I− dla µ < 0 stosunek K /J nazywany

czynnikiem Eddingtona ma wartość 1/3.

Przy założeniu, że jest to spełnione w całej atmosferze zapisujemy

dJ d τ =

3 4πFrad

Rozwiązanie zapisujemy w postaci (q - stała do wyznaczenia, w ogólności q = q(τ ) i nazywamy je funkcją Hopfa )

J(τ ) = 3

Rozwiązanie zagadnienia atmosfery szarej w przybliżeniu

Eddingtona c.d.

Stałą q możemy wyznaczyć np. z warunku, na strumień opuszczający atmosferę (F (τ = 0) przy I (τ = 0, µ < 0) = 0)

F (τ = 0) = 2π Z ∞ 0 S (τ0)E2(τ0)d τ0 = 3 2F Z ∞ 0 (τ0+ q)E2(τ0)d τ0

Korzystając z własności En(x ) człon z τ całkujemy przez części, a

ze stałą q mamy wynik od razu

F (τ = 0) = 3 2F  1 2q + Z ∞ 0 E3(τ0)d τ0  = 3 2F  1 2q − E4(τ )| ∞ 0  F (τ = 0) = 3₂F 1₂q +1₃
czyli q = 2₃

Rozwiązanie zagadnienia atmosfery szarej w przybliżeniu

Eddingtona c.d.

Przebieg średniego natężenia promieniowania dany jest więc wzorem

J = 3

4πFrad(τ + 2

3) (17)

Całkowity strumień energii promieniowania określamy jako

Frad = σTef4 = ac4 T 4

ef. Ponieważ S = J = B = σπT

4 _{to przebieg}

temperatury w zależności od głębokości optycznej opisany jest wzorem σ πT 4 ₌ 3 4πσT 4 ef(τ + 2/3) czyli T (τ ) = Tef  3 4 1/4 (τ + 2/3)1/4

Temperatura powierzchniowa wynosi w tym przybliżeniu

T (τ = 0) = 1

2 1/4

Pociemnienie brzegowe

Pociemnieniem brzegowym będziemy nazywali zależność

ϕ(µ) = I (τ = 0, µ)

I (τ = 0, µ = 1)

Może być ona wyznaczana obserwacyjnie dla Słońca dla różnych długości fali. W przypadku atmosfery szarej w przybliżeniu Eddingtona I (τ = 0, µ) = Z ∞ 0 S exp (−τ0/µ)d τ 0 µ = 3 4πFrad(µ + 2 3)

pociemnienie brzegowe opisane jest prostym wzorem

ϕ(µ) = I (µ, τ = 0) I (µ = 1, τ = 0) = 3 5(µ + 2 3)

Rozwiązanie modelu atmosfery szarej metodą

Chandrasekhara

Rozwiązanie problemu atmosfery szarej metodą Eddingtona nie jest bardzo odległe od rozwiązania dokładnego, ale warto poznać metodę otrzymania rozwiązania dowolnie bliskiego rozwiązania dokładnego aby przybliżyć matematyczne aspekty modelowania atmosfer gwiazdowych. Przy atmosferze szarej nie musimy

rozpatrywać różnych częstotliwości natomiast będą nas interesować różne kierunki rozchodzenia się promieniowania. W metodzie Chandrasekhara korzystamy z własności kwadratur Gaussa i za kierunki µi wybrane są miejsca zerowe wielomianów Legendre’a

stopnia 2n (mamy n kierunków w górę i n w dół).

Z 1 −1 I d µ → j =n X j =−n ajIj

Ij = I (µj), kierunki rozmieszczone są symetrycznie (µ−j = −µj), a

Wielomiany Legendre’a

Wielomiany Legendre’a są ortogonalne na przedziale [-1,1] z wagą 1

Z 1 −1 Pm(x )Pn(x )dx = 2 2n + 1δmn (18) P0(x ) = 1 P1(x ) = x P2(x ) = 1₂(3x2− 1) ... Pn(x ) = ₂1n P[n/2] i =0 (−1)i  n i   2n − 2i n  xn−2i (19)

Warunki na wartości wag aj (musimy wyznaczyć n wartości aj) n X j =1 ajµ2(n−1)j = 1 2n − 1

Równanie transferu dyskretyzujemy na 2n kierunków (n “w górę” i

n “w dół”) i korzystamy, że dla atmosfery szarej S = J (2n

równań) µi dIi d τ − Ii = − 1 2 n X j =−n ajIj (20)

i szukamy rozwiązań w postaci

Ii = Aiexp (−kτ )

Po podstawieniu do równania otrzymujemy

Ai = _1+kµiA gdzie A = 1₂

Pn

Podstawienie Ai = _1+kµiA do (1 + kµi)Ai = 1 2 n X j =−n ajAj prowadzi do równania 1 = 1 2 n X j =−n aj 1 + kµj = 1 2 n X j =1  aj 1 − kµj + aj 1 + kµj  = n X j =1 aj 1 − (kµj)2

Otrzymujemy równanie charakterystyczne na k2

W (k) = 1 − n X j =1 aj 1 − (kµj)2 = 0

Równanie to ma pierwiastek podwójny k2 = 0, co oznacza, że rozwiązanie na Ii jest wtedy funkcją liniową. Równanie (20)

spełnione jest przez Ii = b(τ + µi + Q) (b i Q - stałe, które

wyznaczymy później). Przebieg funkcji W (k) daje nam informacje, że mamy n − 1 różnych od 0 pierwiastków o wartościach

Zastosowanie warunków brzegowych w rozwiązaniu

Chndrasekhara dla atmosfery szarej

Ogólne rozwiązanie na Ii(τ ) jest postaci

Ii(τ ) = b " τ + Q + µi + n−1 X l =1  Llexp (−klτ ) 1 + klµi +L−lexp (klτ ) 1 − klµi # (21) Jeżeli rozpatrujemy atmosferę półnieskończoną, to natężenie dla τ → ∞ powinno rosnąć liniowo a więc stałe Ll przy exp(klτ )

powinny być równe 0 i stała b = _4π3 Frad

Jeżeli mamy atmosferę nieoświetloną z góry to dla i < 0 otrzymujemy n równań na n niewiadomych

I (τ = 0, µi) = 0 czyli Q +Pn−1l =1

Ll

1+klµi = µi

Czyli ostatecznie dla atmosfery półnieskończonej, nieoświetlonej z góry mamy rozwiązanie w postaci

Ii(τ ) = 3 4πFrad τ + Q + µ + n−1 X l =1 Llexp (−klτ ) 1 + klµi ! (22)

Funkcja źródłowa w metodzie Chandrasekhara

Sumujemy natężenia Ii dla danego τ

S (τ ) = J(τ ) = 1 2 n X i =−n aiIi = 3 4πFrad τ + Q + n−1 X l =1 Llexp (−klτ ) !

Przebieg temperatury z głębokością optyczną

T (τ ) = Teff " 3 4 τ + Q + n−1 X l =1 L_lexp (−klτ ) !#1/4

Zależność Barbier-Eddingtona

Ponieważ zależność liniowa funkcji źródłowej S od τ i w związku z tym również Sν(τν nie jest bardzo odległa od rzeczywistości w

empirycznych modelach atmosfery Słońca korzysta się z niej przy odtworzeniu warunków fizycznych (np. zależności T (τν) dla

różnych długości fali) Z postaci funkcji źródłowej Sν = a0+ a1τ

otrzymamy Inu(τν = 0, µ) = a0+ a1µ a więc w tym przybliżeniu

Sν(τν) = Iν(τν = 0, µ)

Empiryczny model atmosfery Słońca

I Obserwacje pociemnienia brzegowego dla wielu µi i różnych

długoścu fali

I Zależność Barbier-Eddingtona

I Założenie lokalnej równowagi termodynamicznej

Modele atmosfer nieszarych

Uwzględnienie zależności współczynnika absorbcji od częstotliwości znacznie utrudnia problem rozwiązywania równania transferu, który należy rozwiązywać łącznie z równaniem równowagi mechanicznej.

Równania dla płasko-równoległej atmosfery przy założeniu l.r.t. i

izotropowego rozpraszania

I Zmienne niezależne to gęstość powierzchniowa m określająca położenie w atmosferze, ν i µ

m =

Z R

r

ρdr (23)

I Stan atmosfery opisany jest przez P, ρ, T - zależne od tylko od m, Fν, κν i Bν zależne od m, ν i Iν(m, µ)

I Wyliczamy zmienne zależne dla założonych wartości parametrów globalnych

g = GM_R2, Tef = _πacRL 2

1/2 , X

Modele atmosfer nieszarych c.d.

Równanie transferu zapisujemy w postaci

µdIν dm = κν(Iν− Sν), (24) gdzie Sν = (1 − χν)Bν+ χνJν (25) gdzie χν = κs,ν/κν i κν = κa,ν+ κs,ν Jν = 1 2 Z 1 −1 Iν(µ0)d µ0

Równanie równowagi hydrostatycznej zapisujemy w postaci

dPg dm = g − 1 c Z ∞ 0 κνFnud ν (26)

Warunek równowagi promienistej Z ∞ 0 κa,νJνd ν = Z ∞ 0 κa,νBνd ν (27)

Modele atmosfer nieszarych c.d.

Górny warunek brzegowy w przypadku nieoświetlonej atmosfery

Iν(m = 0, µ) = 0 dla µ < 0 (29)

Wewnętrzny warunek brzegowy wymaga, aby na dużych

głębokościach optycznych rozwiązania na Iν dążyły do przybliżenia

dyfuzyjnego Iν(m = 0, µ) → Bν+_{d τ}d B_nuνµ dla wszystkich τν = Rm 0 κνdm 0_{→ ∞} (30)

Konstrukcja modelu atmosfery nieszarej

Natężenie promieniowania przybliżamy trójwymiarową tablicą

Iνn,mi,µj ≡ Inij n = 1, ..., nt i = 1, ..., it j = 1, ..., jt (31)

Rozwiązanie iteracyjne

I Wychodzimy od próbnych wartości ρ0_i, T_i0 (np. wynikające z rozwiązania atmosfery szarej)

I Wyliczamy Bni i wartości κs,ni i κa,ni

I Wyliczamy Inij (dla każdego i mamy nt× jt niewiadomych)

I Wyliczamy strumień i korzystamy z niego w równaniu równowagi hydrostatycznej

I Otrzymujemy zmienione wartości ρi i Ti i kontynuujemy