Wykad 8

Wykład VIII

V.

𝑑𝑥 (𝑥 − 𝑥₀)𝑘 _𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} = 𝑥 − 𝑥₀=1 𝑡 𝑥 =1 𝑡+ 𝑥0 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡 𝑡2 =

Poprzez takie podstawienie uzyskujemy całkę, którą można rozwiązać metodą współczynników Lagrange’a

Przykład 8.1 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)3 _𝑥2_{+ 2𝑥}= 𝑥 + 1 =1 𝑡 𝑥 =1 𝑡− 1 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡 𝑡2 𝑥2_{+ 2𝑥 =} =1 − 2𝑡 + 𝑡2+ 2𝑡 − 2𝑡2 𝑡2 = 1 − 𝑡2 𝑡2 = − 𝑑𝑡 𝑡2 1 𝑡3 1 − 𝑡 2 𝑡2 = − 𝑡2𝑑𝑡 1 − 𝑡2=

całka do metody Lagrange’a

VI.

𝑅 𝑥, 𝑎𝑥 + 𝑏_{𝑐𝑥 + 𝑑} 𝑝1 𝑞1 , … , 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑝𝑛 𝑞𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑= 𝑡𝑠 𝑠 = 𝑁𝑊𝑊{𝑞1, … , 𝑞𝑛} =

W wyniku podstawienia otrzymujemy całkę z funkcji wymiernej

Przykład 8.2 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 1 3 _{− 1}𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 = 𝑡 6 𝑑𝑥 = 6𝑡5_𝑑𝑡 = 6 𝑡3_{− 1} 𝑡2_{− 1}𝑡5𝑑𝑡 = 6 𝑡 − 1 (𝑡2_{+ 𝑡 + 1)} 𝑡 − 1 (𝑡 + 1) 𝑡5𝑑𝑡 = 6 𝑡6_{+ 𝑡}4_{− 𝑡}3_{+ 𝑡}2_{− 𝑡 + 1 −} 1 𝑡 + 1 𝑑𝑡 = 6 𝑡7 7 + 𝑡5 5 − 𝑡4 4 + 𝑡3 3 − 𝑡2 2 + 𝑡 − ln 𝑡 + 1 + 𝐶 = 6 𝑥 + 1 6 7 7 + 𝑥 + 1 6 5 5 − 𝑥 + 1 6 4 4 + 𝑥 + 1 6 3 3 − 𝑥 + 1 6 2 2 + 𝑥 + 1 6 _{− ln 𝑥 + 1}6 _{+ 1 + 𝐶}

VII. Całkowanie funkcji trygonometrycznych:

a)

𝑠𝑖𝑛𝑛 _{𝑥 𝑐𝑜𝑠}𝑚 _{𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼}

1. Przynajmniej jedna z potęg jest nieparzysta ∧

𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍

niech

𝑚 > 0 ∧ 𝑚 = 2𝑘 + 1

:

𝐼 = 𝑠𝑖𝑛𝑛_{𝑥 (𝑐𝑜𝑠}2_𝑥)𝑘_{cos 𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡}sin 𝑥 = 𝑡

𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 = 1 − 𝑡}2 = 𝑡

𝑛 _{1 − 𝑡}2 𝑘_{𝑑𝑡 =}

2.

𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁

, obie parzyste(zamieniamy na funkcję podwojonego kąta)

→ 𝑠𝑖𝑛

2_{𝑥 =}1 2(1 − cos 2𝑥) 𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 =}1 2(1 + cos 2𝑥) sin 𝑥 cos 𝑥 =1 2sin 2𝑥

niech

𝑛 > 𝑚 ⇒ 𝑛 = 𝑚 + 2𝑘 𝐼 = 𝑠𝑖𝑛𝑚_{𝑥 𝑠𝑖𝑛}2_𝑥 𝑘_𝑐𝑜𝑠𝑚_{𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥} 𝑚 1 2 1 − cos 2𝑥 𝑘 𝑑𝑥 = 1 2sin 2𝑥 𝑚 ₁ 2 1 − cos 2𝑥 𝑘 𝑑𝑥 = Przykład 8.3 𝑐𝑜𝑠2_𝑥 𝑠𝑖𝑛3_𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2_𝑥 𝑠𝑖𝑛4_𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑥 = 𝑡 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛4_{𝑥 = 𝑠𝑖𝑛}2_𝑥 2_{= 1 − 𝑡}2 2 = −𝑡2_𝑑𝑡 1 − 𝑡2 2= −𝑡2_𝑑𝑡 1 − 𝑡 2 _{1 + 𝑡} 2= 𝐼 −𝑡2 1 − 𝑡 2 _{1 + 𝑡} 2= 𝐴 1 − 𝑡+ 𝐵 1 − 𝑡 2+ 𝐶 1 + 𝑡+ 𝐷 1 + 𝑡 2| × 1 − 𝑡 2 1 + 𝑡 2 −𝑡2_{= 𝐴 1 − 𝑡 1 + 𝑡} 2_{+ 𝐵 1 + 𝑡} 2_{+ 𝐶 1 − 𝑡} 2 _{1 + 𝑡 + 𝐷 1 − 𝑡} 2 𝑑𝑙𝑎 𝑡 = 1 − 1 = 4𝐵 ⇒ 𝐵 = −1 4 𝑑𝑙𝑎 𝑡 = −1 − 1 = 4𝐷 ⇒ 𝐷 = −1 4 𝑑𝑙𝑎 𝑡 = 0 0 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 ⇒ 𝐴 + 𝐶 =1 2 𝑑𝑙𝑎 𝑡 = 2 − 4 = −9𝐴 + 9𝐵 + 3𝐶 + 𝐷 ⇒ −3𝐴 + 𝐶 = −1 2 𝐴 =1 4 , 𝐶 = 1 4

𝐼 =1 4 1 1 − 𝑡− 1 1 − 𝑡 2+ 1 1 + 𝑡− 1 1 + 𝑡 2 𝑑𝑡 = 1 4 − ln 1 − 𝑡 − 1 1 − 𝑡+ ln 1 + 𝑡 + 1 1 + 𝑡 + 𝐶 =1 4 ln 1 + cos 𝑥 1 − cos 𝑥 − 1 1 − cos 𝑥+ 1 1 + cos 𝑥 + 𝐶 Przykład 8.4 𝐼 = 𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 𝑐𝑜𝑠}4_{𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥} 2_𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2sin 2𝑥 2 ₁ 2 1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 =1 8 𝑠𝑖𝑛22𝑥 + 𝑠𝑖𝑛22𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 8 1 2 1 − cos 4𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =∗ 𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =} sin 2𝑥 = 𝑡 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =1 2𝑑𝑡 =1 2 𝑡2𝑑𝑡 = 1 6𝑡3+ 𝐶 = 1 6𝑠𝑖𝑛32𝑥 + 𝐶 ∗= 1 16 𝑥 − 1 4sin 4𝑥 + 1 3𝑠𝑖𝑛32𝑥 + 𝐶

b)

sin 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 =1₂ sin 𝑎 + 𝑏 𝑥 + sin 𝑎 − 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑑𝑥 =1 2 cos 𝑏 − 𝑎 𝑥 − cos 𝑏 + 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 =1 2 cos 𝑏 − 𝑎 𝑥 + cos 𝑏 + 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 Przykład 8.5 sin 3𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 =1 2 sin 8𝑥 + sin(−2𝑥) 𝑑𝑥 = 1 2 − 1 8cos 8𝑥 + 1 2cos 2𝑥 + 𝐶

c)

𝑅 𝑠𝑖𝑛2_{𝑥, 𝑐𝑜𝑠}2_{𝑥, sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =} 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2_𝑥 1 = 𝑠𝑖𝑛2_𝑥 𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 + 𝑠𝑖𝑛}2_𝑥= 𝑡𝑔2_𝑥 1 + 𝑡𝑔2_𝑥= 𝑡2 1 + 𝑡2 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 =} 1 1 + 𝑡2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 1 + 𝑡2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑡 1 + 𝑡2 =

Przykład 8.6 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 − 5 sin 𝑥 cos 𝑥 + 2}= 𝑑𝑥 3𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 − 5 sin 𝑥 cos 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠}2_𝑥= 1 𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 𝑑𝑥} 3𝑡𝑔2_{𝑥 − 5𝑡𝑔 𝑥 + 2}= 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠2_𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 3𝑡2_{− 5𝑡 + 2}= 𝑑𝑎𝑙𝑒𝑗 𝑟𝑜𝑧𝑘ł𝑎𝑑 𝑛𝑎 𝑢ł𝑎𝑚𝑘𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡𝑒

d)

𝑅 sin 𝑥 , cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 2= 𝑡 sin 𝑥 = sin 2 ∗ 𝑥 2 = 2 sin 𝑥 2cos 𝑥 2= 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 = 2 sin 𝑥 2 cos𝑥2 𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 + 𝑐𝑜𝑠}2_𝑥= 2𝑡𝑔𝑥₂ 1 + 𝑡𝑔2𝑥 2 = 2𝑡 1 + 𝑡2 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡 1 + 𝑡2 cos 𝑥 = 1 − 𝑡2 1 + 𝑡2 = Przykład 8.7 𝑑𝑥 8 − 4 sin 𝑥 + 7 cos 𝑥= 𝑡𝑔 𝑥 2= 𝑡 sin 𝑥 = 2𝑡 1 + 𝑡2 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡 1 + 𝑡2 cos 𝑥 = 1 − 𝑡2 1 + 𝑡2 = 2𝑑𝑡 1 + 𝑡2 8 −_{1 + 𝑡}8𝑡 ₂+7 − 7𝑡_{1 + 𝑡2}2 = 2 𝑑𝑡 𝑡2_{− 8𝑡 + 15} = 2 𝑑𝑡 𝑡 − 3 (𝑡 − 5)=∗ 2 𝑡 − 3 (𝑡 − 5)= 𝐴 𝑡 − 3 + 𝐵 (𝑡 − 5) 2 𝑡 − 5 = 𝐴 + 𝐵 𝑡 − 5 𝑡 − 3 𝑑𝑙𝑎 𝑡 = 3 𝐴 = −1𝐵 = 1 ∗= − 1 𝑡 − 3+ 1 𝑡 − 5 𝑑𝑡 = − ln 𝑡 − 3 + ln 𝑡 − 5 + 𝐶 = ln 𝑡𝑔𝑥_{2 − 5} 𝑡𝑔𝑥_{2 − 3} + 𝐶 Przykład 8.8 6 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥𝑑𝑥 = −2 −3 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥

2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 = −2 ln 2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 𝐶

Przykład 8.9

sin 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠}2_𝑥=

2𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠}2_{𝑥 = 𝑡|}2

2𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠}2_{𝑥 = 𝑡}2

4 sin 𝑥 cos 𝑥 + 6 cos 𝑥 (− sin 𝑥) 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 2 sin 2𝑥 − 3 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑡𝑑𝑡 = −2𝑡𝑑𝑡 𝑡 = −2𝑡 + 𝐶 = −2 2𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠}2_{𝑥 + 𝐶} Przykład 8.10 𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠2_3𝑥= 𝑢 = 𝑥 𝑣′ ₌ 1 𝑐𝑜𝑠2_3𝑥 𝑢′ _{= 1 𝑣 =}1 3𝑡𝑔 3𝑥 =𝑥 3𝑡𝑔 3𝑥 − 1 3 𝑡𝑔 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3𝑡𝑔 3𝑥 − 1 3 sin 3𝑥 cos 3𝑥𝑑𝑥 =𝑥 3𝑡𝑔 3𝑥 − 1 3× − 1 3 −3 sin 3𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3𝑡𝑔 3𝑥 + 1 9ln cos 3𝑥 + 𝐶