Statystyka opisowa w 5-6-2012

(1)

1

SZEREG CZASOWY

Y – zjawisko badane w różnych okresach lub momentach czasu.

Dynamika zjawiska to zmiana zjawiska w czasie. Przykład.

Y – średni kurs akcji firmy OPTIMUS na giełdzie Okresy: notowania od 1.03.2010 do 15.05.2010; jednostka: notowanie.

(2)

2

Wartości zjawiska tworzą szereg czasowy: t_i t₁ t₂ ... t_n

y_i y₁ y₂ ... y_n

t_i– chwile lub okresy (przedziały powinny być jednakowe)

(3)

3

Średni poziom badanego zjawiska w szeregu

czasowym okresów liczymy za pomocą średniej

arytmetycznej natomiast w szeregu czasowym

momentów za pomocą średniej chronologicznej:

Y

y

n

ch n n

=

+ + + +

+

−

1

2

1

2

1

1 2 3

....

1

(4)

4 Przykład.

Liczbę pracowników pewnego banku wg stanu na koniec poszczególnych kwartałów roku podano w tabeli:

Kwartał I II III IV

Liczba pracowników ₇₂₄ ₇₁₂ ₆₉₆ ₆₆₆

średnia chronologiczna jest równa

Y_ch = 724 2+ 712+ 696+666 2 =

3 701

(5)

5

Tendencja rozwojowa (trend) - określa ogólny

kierunek rozwoju zjawiska w czasie. Metody określania tendencji rozwojowej: a) metoda średnich ruchomych

b) metoda analityczna (omówiona przy zagadnieniu regresji).

(6)

6

Np. średnia ruchoma trzyokresowa (k = 3) ma postać: Y₂ y1 y2 y3 3 = + + _,Y₃ y2 y3 y4 3 = + + _{, ... ,}Y_n yn yn yn −1 = − + − + 2 1 3

(7)

7 Przykład.

Liczba wypadków w pewnej firmie w kolejnych latach wynosiła: Rok 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Liczba wypadków 22 15 25 19 22 16 18 12 16 12 15 ś_rednie_(k=3) 20,7 19,7 22,0 19,0 18,7 15,3 15,3 13,3 14,3

(8)

8

Efekt wygładzania średnimi ruchomymi (k = 3) przedstawiono na wykresie: 0 5 10 15 20 25 30 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 lata li c z b a w y p a d k ó w dane średnie (k=3)

(9)

9 PRZYROSTY

Przyrosty absolutne (bezwzględne)

a)ciąg przyrostów bezwzględnych (o stałej

podstawie):

y1 - y0 , y2 -y0 , y3 -y0 , ... , yn -y0

(10)

10

b) ciąg przyrostów bezwzględnych

łańcuchowych (o zmiennej podstawie): y₂– y_{1 ,}y₃– y_{2 ,}y₄– y_{3 ,}... _,y_n– y_{n - 1}

(11)

11

Są to wielkości mianowane więc nie nadają się do porównań zmian dla różnych zjawisk.

Do porównań bardziej nadają się wielkości względne:

(12)

12

Przyrosty względne (wskaźniki tempa dynamiki) (często wyrażane w procentach)

a)ciąg przyrostów względnych o stałej podstawie y0: 0 0 n 0 0 2 0 0 1 y y -y , ... , y y -y , y y -y

(13)

13

b) ciąg przyrostów łańcuchowych:

1 -n 1 -n n 2 2 3 1 1 2 y y -y , ... , y y -y , y y -y

(14)

14

Przykład.

Y – liczba zarejestrowanych samochodów osobowych w pewnym mieście (stan na 31.12)

przyrosty absolutne przyrosty względne

Lata yt (szt.) stała podstawa

y0 = 1995

łańcuchowe _{stała podstawa}

y0 = 1995 łańcuchowe 1995 5261 0 x 0 x 1996 6112 851 851 0,162 0,162 1997 6505 1244 393 0,236 0,064 1998 6771 1510 266 0,287 0,041 1999 7153 1892 382 0,360 0,056

(15)

15

INDEKSY (wskaźniki dynamiki).

Indeksy dzielimy na:

• indeksy indywidualne (proste), • indeksy zespołowe (agregatowe).

(16)

16

Indeksy indywidualne.

a)ciąg indeksów o stałej podstawie:

I1/0 , I2/0 , I3/0 , ... , In/0

y0 – stała podstawa (dowolna spośród y1 , ..., yn).

gdzie

n

,

...

2,

1,

t

y

I

0 t t/0

=

(17)

17

b) ciąg indeksów łańcuchowych: I_{2/1 ,}I_{3/2 ,}I_{4/3 ,}... _,I_{n/n - 1} gdzie

n

,

...

3,

2,

t

y

I

1 -t t 1 -t/t

=

(18)

18 Uwaga.

zatem mamy zależność:

indeks łańcuchowy =

= przyrost względny łańcuchowy + 1

n , ... 3, 2, t I y y 1 y y y y 1 y y 1 -t/t 1 -t t 1 -t 1 -t 1 -t t 1 -t 1 t −yt− + = + = = =

(19)

19 Przykład.

Y – liczba wypadków drogowych w ciągu roku.

Rok _t _liczba wypadków yt y y I 0 t t/0 = y0 = 1995 y y I 1 -t t 1 -t/t = 1995 ₁ ₃₉₇₇₉ 1996 ₂ ₄₀₃₇₃ 1997 ₃ ₄₃₇₅₅ 1998 ₄ ₃₈₈₃₂ 1999 ₅ ₄₀₄₅₄

(20)

20 Przykład.

Y – liczba wypadków drogowych w ciągu roku.

Rok _t _liczba wypadków yt y y I 0 t t/0 = y0 = 1995 y y I 1 -t t 1 -t/t = 1995 ₁ ₃₉₇₇₉ _1,000 _X 1996 ₂ ₄₀₃₇₃ _1,015 _1,015 1997 ₃ ₄₃₇₅₅ _1,100 _1,084 1998 ₄ ₃₈₈₃₂ _0,976 _0,887 1999 ₅ ₄₀₄₅₄ _1,017 _1,042

(21)

21

Średnie tempo dynamiki to średnie tempo zmian przypadające na jednostkę czasu.

(22)

22 Zagadnienie.

Wyznaczyć liczb

g

taką, że gdyby wszystkie indeksy łańcuchowe były sobie równe i miały wartość g to wartość zjawiska w okresie tn

byłaby równa yn (taka sama jak przy różnych

(23)

23

Liczbę

g

nazywamy średnim tempem

dynamiki lub średnim tempem zmian lub

(24)

24 1 2/1 1 -n/n

...

I

−

⋅

=

n

g

1 1 n 1 n/1 y y I − − = = n n g Zauważmy, że (*)

y

n

=

I

n n/ −1

⋅ ⋅

....

I

2 1/

⋅

y

1

gdyby wszystkie indeksy były równe to

(**)

y

n

g

y

n

=

−1

⋅

1 Porównując (*) i (**) mamy (średnia geometryczna) Własność:

(25)

25 Uwaga

Średnie tempo dynamiki

g

możemy zastosować do wyznaczania prognozy:

( )

k n k n

y

g

y

*₊

=

(26)

26

1 −

=

g

T

(27)

27 % 4 , 100 004 , 1 017 , 1 042 , 1 887 , 0 084 , 1 015 , 1 4 ⋅ ⋅ ⋅ = = = = g % 4 , 0 004 , 0 = = T Przykład.

(28)

28

Indeksy agregatowe (zespołowe).

Indeksy agregatowe dzielimy na:

• indeksy agregatowe wielkości absolutnych (np. wartości, ilości, cen),

• indeksy (agregatowe) wielkości

stosunkowych (np. wydajność pracy koszt jednostkowy, gęstość zaludnienia).

(29)

29

Agregatowy wskaźnik (indeks) wartości I_w

m podstawowy okresie w wartoś_ci suma badanym okresie w wartoś_ci suma = = ∑ ∑ = = n i i n i i w w 1 0 1 1 w I

(30)

30

Gdy p1i – cena jednostkowa w okresie badanym

q1i – ilość w okresie badanym,

p0i – cena jednostkowa w okresie

podstawowym

q0i – ilość w okresie podstawowym

to

w1i = p1i q1i

(31)

31 Przykład.

Wyznaczymy agregatowy indeks wartości sprzedaży czterech artykułów A, B, C, D w latach 1995 i 1999: artykuł Sprzedaż (tys. szt.) Cena za 1 szt. (średnio) Wartość sprzedaży (zł) 1995 q0 1999 q1 1995 p0 1999 p1 1995 w0 = p0q0 1999 w1 = p1q1 A 220 248 4,65 14,90 B 2260 2185 1,65 4,20 C 1052 850 22,00 90,00 D 334 368 4,00 10,50 Ogółem _x _x _x _x

(32)

32 artykuł Sprzedaż (tys. szt.) Cena za 1 szt. (średnio) Wartość sprzedaży (zł) 1995 q0 1999 q1 1995 p0 1999 p1 1995 w₀ = p₀q₀ 1999 w₁ = p₁q₁ A 220 248 4,65 14,90 1023,00 3695,20 B 2260 2185 1,65 4,20 3729,00 9177,00 C 1052 850 22,00 90,00 23144,0 76500,0 D 334 368 4,00 10,50 1336,00 3864,00 Ogółem _x _x _x _x _{29232,0 93236,2}

(33)

33 % 319 190 , 3 0 , 29232 2 , 93236 I_w = = = = 1995 w sprzedaż_y wartoś_ci suma 1999 w sprzedaż_y wartoś_ci suma Zatem: Tzn. sprzedaż wzrosła o 219%.

(34)

34

Indeks agregatowy ilości Iq ., Indeks agregatowy cen Ip

Definicja indeksu Nazwa indeksu Cecha indeksu Wg Laspeyresa Wg Paaschego Indeks agregatowy ilości Stałe ceny jednostkowe (ceny z okresu podstawowego) (ceny z okresu badanego) Indeks agregatowy cen Stałe ilości (ilości z okresu podstawowego) (ilości z okresu badanego)

(35)

35

Indeks agregatowy ilości Iq ., Indeks agregatowy cen Ip

Definicja indeksu Nazwa indeksu Cecha indeksu Wg Laspeyresa Wg Paaschego Indeks agregatowy ilości Stałe ceny jednostkowe

∑

⋅ ⋅ = i i i i q L p q p q I 0 0 0 1 (ceny z okresu podstawowego)

∑

⋅ ⋅ = i i i i q P p q p q I 1 0 1 1 (ceny z okresu badanego) Indeks agregatowy cen Stałe ilości

∑

⋅ ⋅ = i i i i p L p q p q I 0 0 1 0 (ilości z okresu

podstawowego) (ilości z okresu _badanego)

∑

⋅ ⋅ = i i i i p P p q p q I 0 1 1 1

(36)

36

Dla powyższego przykładu:

artykuł q₁p₀ q₀p₁ A B C D Ogółem

(37)

37

Dla powyższego przykładu:

artykuł q₁p₀ q₀p₁ A 1153,2 3278,00 B 3605,25 9492,00 C 18700,00 94680,0 D 1472,00 3507,00 Ogółem 24930,45 110957

(38)

38 % 3 , 85 853 , 0 00 , 29323 45 , 24930 = = = q L I

(ilość globalnie spadła o 14,7%) % 84 84 , 0 00 , 110957 20 , 93236 = = = q P I

(39)

39 % 6 , 379 796 , 3 00 , 29232 00 , 110957 = = = p LI

(ceny globalnie wzrosły o 279,6%) % 374 74 , 3 45 , 24930 20 , 93236 = = = p PI

(40)

40

Wniosek: zmiana cen miała większy wpływ na

(41)

41 Zależności: p P q L W

I

=

⋅

p L q P W

I

=

⋅

(42)

42

Indeks Fiszera

dla ilości F

I

q

=

L

I

q

⋅

P

I

q

(43)

43

Wniosek

⋅

q

(44)

44

(45)

45 Niemiecki ekonomista Étienne Laspeyres (1834–1913)

(46)

46