Barbara NAWOLSKA
ORCID: 0000-0003-3864-0188 Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
(Nie)profesjonalizm matematyczny adeptów
zawodu nauczyciela edukacji wczesnoszkolnej
Abstract: (Un)professionalism in Mathematics of Adepts to the Profession of Early School Education Teacher
To meet the challenges of modern times, we must educate people who think logically and criti-cally. It is about thinking understood as a process of modifying the uncertainty of evaluations (judgments) under the influence of information obtained both as a result of logical and experimen-tal analyses. To make it possible, the teachers themselves should have such a skill, they should be masters in conducting research, in investigating, in solving problems and formulating correct judg-ments. Are future teachers professionals in this field? To be able to become them, they must make a huge effort and learn a lot more. If this does not happen, we will suffer an educational failure. Keywords: logical and critical thinking, formulating judgments, solving problems
Słowa kluczowe: myślenie logiczne i krytyczne, formułowanie sądów, rozwiązywanie problemów
Wprowadzenie
Zmieniająca się rzeczywistość stawia przed ludźmi nowe wyzwania. Współ-czesny świat zarzuca nas bogactwem różnorodnych ofert, mnóstwem informa-cji, nie zawsze rzetelnych, stwarza okazje do nabywania wielu doświadczeń, niekoniecznie dobrych. Wielość tego wszystkiego, co nas otacza, a nawet dość agresywnie atakuje, może wywoływać i często wywołuje w nas uczucie niepo-koju, niepewności, chaosu i zagubienia. Nie wiemy, która oferta jest dla nas korzystna, która informacja jest rzetelna/prawdziwa, jaką decyzję podjąć. Niekiedy w swoich decyzjach i poglądach próbujemy opierać się na sądach i wyborach osób dla nas ważnych, czyli na autorytetach. Niestety, zdarza się,
wych. Wydaje się, że internet jest wystarczającym ich źródłem. Powszechne jest nawet przekonanie, że szukając w internecie odpowiedzi na jakieś pyta-nia, można poszerzyć swoją wiedzę. Jest to przekonanie fałszywe, taka „wie-dza” jest bowiem jałowa i ulotna. Prawdziwą wiedzę każdy musi skonstru-ować sam w wyniku własnej aktywności (Spitzer, 2007, s. 17). „Uczenie się wymaga samodzielnej pracy mózgu; im intensywniej i im głębiej przetwarza-my dane zagadnienie, tym lepiej utrwala się ono w pamięci” (Spitzer, 2013, s. 86). Komputery, wyręczając ludzi w pracy umysłowej, nie wspomagają uczenia się. Sam dostęp do informacji nie gwarantuje samodzielności i re-fleksyjności myślenia.
Największym wyzwaniem, jakie stoi przed szkołą i nauczycielami, jest takie wykształcenie uczniów, by byli ludźmi myślącymi logicznie i krytycznie. Cho-dzi o myślenie rozumiane jako proces modyfikowania niepewności ocen (są-dów) pod wpływem informacji uzyskiwanych w wyniku zarówno analiz logicz-nych, jak i eksperymentalnych (Nosal, 1988, s. 16).
Już na początku XX w. J. Dewey pisał:
Jeżeli nasze szkoły wyrobią w uczniach takie nastawienie umysłu, że będzie mogło ono ich do-prowadzić do trafnego sądu w każdym zakresie spraw, z jakim uczniowie ci będą mieli do czy-nienia, to uczynią one więcej, niż uczyniłyby, wypuszczając uczniów mających jedynie obszer-ne zasoby wiadomości albo wysoki stopień sprawności w pewnych specjalnościach (1988, s. 134).
Kluczem do sukcesu w edukacji jest kształtowanie umiejętności poprawne-go rozumowania/wnioskowania, czyli formułowania trafnych sądów (wniosków/ konkluzji) na podstawie znanych przesłanek1. Chodzi bowiem o to, by szkoły
opuszczali ludzie dojrzali, myślący, bo tylko tacy są w stanie sprostać
wyzwa-1 Chodzi tu zarówno o rozumowanie wprost, czyli dedukcyjne, w którym na podstawie znanych przyczyn wnioskujemy o ich skutkach (następstwach), jak i o rozumowanie wstecz, czyli redukcyj-ne, w którym na podstawie znanych skutków (następstw) wnioskujemy o ich przyczynach, a także o rozumowanie indukcyjne, w którym formułuje się wnioski ogólne na podstawie spostrzeżeń od-noszących się do przypadków szczegółowych.
niom, jakie stawia przed nimi współczesny świat i ten świat przyszły, którego jeszcze nie znamy, a w którym będą żyć i pracować obecni uczniowie. Czy osiąg-nięcie takiego celu jest możliwe? Zapewne tak, pod warunkiem, że nauczyciel sam jest osobą myślącą logicznie i krytycznie. Raczej nie jest możliwe naucze-nie innych tego, czego samemu się naucze-nie umie.
Zdaniem J. Deweya w myśleniu ważny jest taki jego poziom, w którym świa-domie organizujemy czynności myślowe (1988, s. 18). Uczenie myślenia jest możliwe na materiale praktycznym, chodzi tu o nabywanie umiejętności i do-świadczeń w kierowaniu procesami myślenia podczas rozwiązywania praktycz-nych problemów w postaci odpowiednio skomponowanego pakietu zadań (tam-że). Osoba myśląca dostrzega przy tym problemy jako niepewność, wątpliwość, gromadzi materiał związany z sytuacją problemową (dane, fakty empiryczne i rozumowe), analizuje go i podejmuje decyzję, co z tego odrzucić jako nieistot-ne, niemające znaczenia, a co wykorzystać jako kluczowe dla rozwiązania (s. 137). Podczas takich działań (wyborów) zawsze zachodzi ryzyko podjęcia niewłaściwych kroków i wydania złego sądu, więc człowiek roztropny, myślący, ostrożnie dobiera to, co następnie podlega bądź potwierdzeniu, bądź uchyleniu przez dalsze wydarzenia (s. 140). Przy czym „nie można podać żadnych sztyw-nych i stałych reguł dotyczących tej czynności dobierania i odrzucania pewsztyw-nych faktów. Wszystko to sprowadza się do [...] trafności sądu, do rozsądku tego, kto sąd wydaje” (s. 137). Wysoki poziom umiejętności i miano kompetentnego znawcy, fachowca w dobieraniu argumentów i formułowaniu sądów, można osiągnąć jedynie przez długie, intensywne ćwiczenia. Tylko bowiem trening czyni mistrza. By być dobrym sędzią, nie wystarcza sama wiedza, bo — jak za-uważa J. Dewey — „Kto nie jest w stanie ocenić rozumnie, co się nadaje do in-terpretacji jakiejś sprawy niepokojącej lub wątpliwej, temu nie na wiele zda się to, że dzięki usilnej nauce nabył wielki zasób pojęć. Zasób wiadomości nie jest bowiem mądrością; wiadomości nie dają rękojmi dobrego sądu” (s. 140).
Jaki poziom mistrzostwa w tym zakresie charakteryzuje przyszłych nauczy-cieli, czyli osoby, które zamierzają kształcić innych?
Badania matematycznych umiejętności adeptów zawodu nauczyciela
W roku akademickim 2017/2018 52 studentów I roku studiów stacjonarnych z pedagogiki przedszkolnej i wczesnoszkolnej przed rozpoczęciem kursu z ma-tematyki dostało do rozwiązania kilka nietrudnych zadań matematycznych. Można nawet powiedzieć, że zadania były bardzo łatwe, bo pochodziły z Ogólno-polskich Badań Umiejętności Trzecioklasistów (OBUT). Jak poradzili sobie z tymi zadaniami adepci zawodu nauczycielskiego?
Zadanie 1. Wzdłuż drogi posadzono 13 młodych drzewek. Drzewka
sadzo-no co 10 m. Pierwsze drzewko posadzosadzo-no na początku drogi, a ostatnie na jej końcu. Jaką długość ma ta droga?2
By poprawnie rozwiązać zadanie, wystarczy zdać sobie sprawę, że 13 drze-wek sadzonych co 10 m wyznacza nie 13, lecz tylko 12 odcinków dziesięciome-trowych. Można się o tym przekonać, symulując sadzenie drzewek ułożeniem w rzędzie 13 patyczków i zliczaniem odstępów między nimi albo wykonując sto-sowny rysunek. W każdym z tych przypadków staje się oczywiste, że pierwsze posadzone drzewko nie wyznacza jeszcze żadnego odcinka (żadnej odległości), jest to punkt zerowy. Dopiero po posadzeniu drugiego drzewka zostaje wyzna-czony pierwszy odcinek dziesięciometrowy. Każde kolejno dosadzone drzewko wyznacza kolejny taki odcinek, a wszystkich odcinków jest o 1 mniej niż drze-wek. Odpowiedź: 120 m staje się wobec tego oczywista. A jak rozumowali stu-denci?
Bezbłędnie zadanie to rozwiązało zaledwie 29 osób. Znamienne jest to, że prawie wszystkie z nich (oprócz trzech) posłużyły się rysunkiem, dzięki czemu wprost „ujrzały” rozwiązanie (por. ryc. 1).
Rysunek okazał się bardzo pomocny w rozwiązywaniu tego zadania, gdyż wprost z niego można było odczytać, ile jest dziesięciometrowych odcinków, i ich liczbę wykorzystać do wyznaczenia długości drogi. Badani tę długość naj-częściej obliczali albo za pomocą dodawania 12 jednakowych składników (każ-dy 10 m), albo za pomocą mnożenia (12 · 10 m = 120 m).
2 Zadanie to było wykorzystane w badaniach umiejętności trzecioklasistów w 2008 r.; popraw-nie rozwiązało je 5,3% badanych uczniów (Dąbrowski, 2013, s. 62–63).
Niektórzy usiłowali zauważone zależności przedstawić przy użyciu innych formuł matematycznych. I tak cztery osoby zapisały: (13 – 1) · 10 m = 120 m (por. ryc. 2), kolejne trzy zapisały: 13 · 10 m – 10 m = 120 m (por. ryc. 3).
Jeszcze inne trzy osoby, po początkowym zastosowaniu błędnej strategii (najpierw liczyły 13 · 10 m = 130 m), po zilustrowaniu drzewek pod dokona-nymi już obliczeniami, zauważyły nieadekwatność zastosowanej strategii obli-czeniowej, dokonały jej korekty i dzięki temu również uzyskały poprawne roz-wiązanie. Przykład takiej pracy znajduje się na ryc. 4, na której wyraźnie, mimo pogrubionej długopisem „poprawy” (10 m · 12 = 120 m), widać, jaki był pier-wotny, niepoprawny pomysł rozwiązania (10 m · 13 = 130 m).
Pozostałe 20 osób niestety nie rozwiązało zadania poprawnie; aż w 14 pra-cach widnieje odpowiedź, że droga ma długość 130 m. Autorzy tych prac
naj-Ryc. 2. Praca Dominiki S. — poprawne rozwiązanie zadania 1
wyraźniej bezrefleksyjnie i bezpodstawnie przyjęli, że 13 drzew wyznacza 13 od-cinków. W przypadku ośmiu takich prac w rozwiązaniu występują tylko ra-chunki o postaci 13 · 10 m albo 10 m · 13. W sześciu pracach pojawiają się rysun ki poprawne lub nie. Niestety, te poprawne rysunki nie zostały wykorzy-stane, nie wiadomo więc, po co zostały zrobione. Taka sytuacja widoczna jest na ryc. 5. Autor tej pracy poprawnie, za pomocą 13 kropek, przedstawił symbo-licznie drzewka oraz za pomocą łuków zaznaczył odstępy między nimi. Na tym rysunku wyraźnie widać, że odstępów jest mniej niż drzewek (wystarczy je prze-liczyć). Ten fakt nie wywołał jednak żadnej refleksji autora, nie przysłużył się poprawnemu rozwiązaniu. Rysunek został zignorowany. Być może mamy tu do czynienia z pewnym rytuałem: w rozwiązywaniu zadań z poziomu edukacji wczesnoszkolnej należy zrobić rysunek, ale nie wiadomo po co, bo najważniej-sze są działania arytmetyczne, choćby nieadekwatne do sytuacji. Tutaj popraw-ny obraz był nieistotpopraw-ny, dominująca okazała się powzięta na wstępie fałszywa teza, że odcinków jest tyle, ile drzewek. Można rzec, że mamy do czynienia z brakiem myślenia, z brakiem krytycyzmu, bo — jak zauważa J. Dewey — każ-demu w niejasnej sytuacji nasuwa się jakaś myśl o czymś innym jako wyjaśnie-niu sytuacji bądź jej znaczewyjaśnie-niu. „Jeśli to znaczenie zostaje od razu przyjęte, nie ma myślenia refleksyjnego, nie ma prawdziwego sądu. Myśl zostaje przyjęta od razu, bezkrytycznie; jej miejsce zajmuje wiara dogmatyczna z wszystkimi swy-mi niebezpieczeństwaswy-mi” (1988, s. 141). Przeciwieństwem opisanych zachowań są te, w których „nasuwające się mniemanie trzymane jest w zawieszeniu aż do chwili przeprowadzenia badania i dociekania” (tamże) — takie zachowania J. Dewey określa mianem prawdziwych sądów. Refleksyjne myślenie/prawdziwe sądzenie ujawniło się u tych nielicznych osób, które, choć na początku posta-wiły złą tezę, po zbadaniu sytuacji odrzuciły ją i rozwiązały zadanie poprawnie (por. ryc. 4).
Niepoprawne rysunki siłą rzeczy nie mogły wesprzeć procesu rozwiązy-wania, są natomiast świadectwem braku zrozumienia sytuacji opisanej w za-daniu. Na przykład na ryc. 6. wyraźnie widać, jak autor każdemu drzewu pre-zentowanemu za pomocą kolejnych liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, ...) przypi-suje, przez podkreślenie łukiem, 10 m. Tworzy tym samym wzajemnie jed-noznaczne odwzorowanie, chociaż takie odwzorowanie w tym przypadku nie występuje.
W pięciu pracach pojawiają się niepoprawne rozwiązania wynikające ze zmiany danych, np. w czterech przypadkach droga ma długość 12 m (zamiast 120 m), a w jednym przypadku — 120 cm.
W jednej pracy widnieją obliczenia 13 – 2 = 11 i 10 · 11 = 110, a odpowiedź brzmi 110 m. Autor tej pracy nie zamieścił żadnej ilustracji; zapisane oblicze-nia świadczą najwyraźniej, że wie, iż odcinków wyznaczonych przez drzewka jest mniej niż drzewek, ale sądzi, że jest ich o 2 mniej, i swoich sądów nie we-ryfikuje.
Ryc. 5. Praca Małgorzaty T. — błędne rozwiązanie zadania 1
Ryc. 7. Praca Małgorzaty T. — błędne rozwiązanie zadania 2
Kolejne zadanie jest podobne do pierwszego (też jest mowa o sadzeniu drze-wek co 10 m), lecz sytuacja tu jest inna. To, co w zadaniu 1 było dane, tu jest nie-wiadome, natomiast to, co było niewiadome w zadaniu 1, w zadaniu 2 jest dane.
Zadanie 2. Wzdłuż drogi o długości 130 m posadzono co 10 m drzewka.
Pierwsze drzewko posadzono na początku drogi, a ostatnie na jej końcu. Ile drzewek posadzono?3
W rozwiązaniu tego zadania kluczowe jest uświadomienie sobie, że drzewek musi być więcej niż odcinków dziesięciometrowych. Można to łatwo zauważyć, jeżeli tylko dobrze zilustrujemy sytuację opisaną w zadaniu.
Nie wszyscy studenci, podobnie jak w zadaniu wcześniejszym, zauważyli właściwą zależność. Aż 16 osób nie rozwiązało zadania poprawnie, przy czym jedna z nich po obliczeniach 130 : 10 = 13, 13 + 2 = 15 stwierdziła, że posa-dzono 15 drzewek, 15 osób natomiast uważało, że posaposa-dzono 13 drzewek. Wśród tych 15 osób jedna podała tylko odpowiedź bez żadnych obliczeń i bez uzasadnienia; 14 osób wykonało dzielenie 130 : 10 = 13 i uzyskany iloraz po-dało jako liczbę drzewek. Cztery z nich oprócz dzielenia wykonały ilustracje, z których jedna była poprawna (por. ryc. 7). Niestety, nie została ona wykorzy-stana, jakby fakty (doświadczenie) nie miały żadnego wpływu na myślenie auto-ra, nie były podstawą refleksji. W pracy tej widać, że autor całkowicie zignoro-wał to, co sam trafnie przedstawił: zilustrozignoro-wał 130-me tro wą drogę, na której oprócz 13 odcinków (dziesięciometrowych) wyróżnił też tyle pionowych kresek, ile drzewek posadzono. Wzmocnieniem/potwierdzeniem właściwej liczby drzew są na tym rysunku także kropki pod linią drogi, ale i one nie zostały wykorzy-stane do ustalenia tej liczby. Jakby wbrew wszelkim faktom autor niestety stwierdził, że „posadzono 13 drzewek”.
3 Zadanie to było wykorzystane w badaniach umiejętności trzecioklasistów w 2010 r.; poprawnie rozwiązało je 3% badanych uczniów (Dąbrowski, 2013, s. 62–63).
Ilustracje w trzech innych pracach poprawne już nie były. Nie przedstawia-ły sytuacji z zadania, a jedynie jej fałszywe wyobrażenie. Na przykład na rys. 8 autor przy poziomej linii wyobrażającej drogę za pomocą pionowych kresek przedstawił 13 drzewek i ponumerował je jeszcze kolejno od 1 do 13. Przy czym długość tak przedstawionej drogi, zgodnie z założeniem, że drzewa rosną w od-stępach co 10 m, wynosi 120 m, a nie jak być powinno — 130. Autor jednak tego nie zauważył, nie sprawdził poprawności swojej tezy. Dodatkowo na pod-stawie tego niepoprawnego rysunku można stwierdzić, że autor nie umie posłu-giwać się linijką, nie wie bowiem, że mierzenie taką miarką rozpoczyna się od zera, a nie od jedynki. O niepoprawnym rozumieniu sensu mierzenia zdaje się świadczyć to, że liczby pod pionowymi kreskami na rysunku, początkowo trak-towane jako numery drzew, oznaczają także, jak to dalej widać, długość drogi (mierzoną dziesięciometrowymi odcinkami), przy której te drzewa rosną (po „drzewie 10” są już liczby 110, 120, 130 oznaczające długość w metrach, a nie liczbę drzew).
Na szczęście byli studenci (36 osób), którzy przedstawili poprawne rozwiąza-nia. Jedna osoba podała jedynie odpowiedź bez żadnego jej uzasadnienia, dzie więć
Ryc. 8. Praca Klaudii S. — błędne rozwiązanie zadania 2
osób wyznaczyło liczbę drzew, wykonując jedynie obliczenia w jednym zapisie (130 : 10 + 1) albo w dwóch (130 : 10 = 13, 13 + 1 = 14). Pozostali w poszuki-waniu rozwiązania posłużyli się rysunkami, w tym aż 17 osób wyznaczyło liczbę drzew, wykorzystując jedynie rysunek (por. ryc. 9), dziewięć osób odpowiedź zna-lezioną za pomocą rysunku uwiarygodniło natomiast rachunkami.
Warto zauważyć, że w pracach na ryc. 9 i 10 bardzo trafnie powiązano nu-mery drzew z wyznaczanymi przez nie odległościami. Pierwsze drzewo umiesz-czone jest na początku drogi, czyli w punkcie 0, drugie (na ryc. 10 drzewa nu-merowane są w systemie rzymskim) w punkcie 10 m itd. Można uznać, że jest to równocześnie poprawna prezentacja miarki/linijki.
Kolejne, trzecie zadanie zostało ułożone specjalnie dla studentów. Do jego rozwiązania potrzebne jest rozumienie tych samych zagadnień co w dwu po-przednich zadaniach, lecz w nieco innym ujęciu. W przypadku tego zadania w pracach studentów także pojawiły się błędy analogiczne do wcześniej już wy-kazanych.
Ryc. 10. Praca Ewy W. — poprawne rozwiązanie zadania 2
Zadanie 3. Drwal ma pociąć ośmiometrowy pień na metrowe kawałki. Za
każde przecięcie dostaje 20 zł. Ile złotych zarobi drwal za pocięcie tego pnia? Z zadaniem poradziło sobie 30 studentów. Dwie osoby zaczęły źle rozwiązy-wać, ale, ilustrując sytuację z zadania, zauważyły swój błąd i go poprawiły (por. ryc. 11).
Dwie osoby posłużyły się jedynie rachunkami. Jedna przedstawiła dwa dzia-łania w jednym zapisie: (8 – 1) · 20 = 140, a druga zapisała tylko 7 · 20 zł = = 140 zł. Pozostałe osoby (26) posłużyły się rysunkiem, który uzupełniły ra-chunkami (przykład na ryc. 12). Autor pod rysunkiem pnia zlicza metrowe ka-wałki — jest ich 8, a nad nim zlicza cięcia i znalezioną w ten sposób liczbę cięć wykorzystuje do obliczenia zarobku drwala: 7 · 20 = 140.
Niestety, oprócz poprawnych rozwiązań pojawiły się aż 22 prace z rozwiązania-mi błędnyrozwiązania-mi. W większości, bo aż w 21 przypadkach, zarozwiązania-miast liczyć cięcia, liczo-no kawałki drewna i w 12 pracach zapisaliczo-no obliczenia: 8 · 20 = 160. W
pozosta-Ryc. 12. Praca Emilii Ś. — poprawne rozwiązanie zadania 3
łych dziewięciu pracach oprócz rachunków była także ilustracja, która służyła je-dynie do ujawnienia niepoprawnego rozumienia sytuacji opisanej w zadaniu.
Na ryc. 13 znajduje się przykład takiej pracy, w której zamiast liczyć cięcia su-mowano metrowe kawałki i ich liczbę wykorzystano do ustalenia zarobku drwala, co oczywiście było postępowaniem niewłaściwym. Dodatkowo w tych obliczeniach niepoprawnie użyto znaku równości. Z jego lewej strony jest suma liczb bez mian, a z prawej — liczba z mianem, a więc w tej sytuacji równości brak.
W jednej pracy z niepoprawnym rozwiązaniem autor raczej zrozumiał sens za-dania i trafnie poszukiwał liczby cięć, ale wybrał nietypowy sposób i najwyraźniej zgubił się w obliczeniach. Na ryc. 14 widać, że jednym cięciem rozdziela pień na dwa czterometrowe kawałki, następnie każdy z tych kawałków dzieli na dwume-trowe (to już są trzy cięcia). W wyniku tych trzech cięć powstają 4 dwumedwume-trowe kawałki, które należy pociąć na kawałki jednometrowe. Wobec tego potrzebne są jeszcze cztery cięcia. Autor jednak „gubi” dwa kawałki i zlicza cięcia jedynie w dwóch, co sprawia, że tych cięć doliczył się o dwa za mało. Dalsze postępowa-nie jest poprawne, ale z postępowa-niewłaściwą liczbą cięć, co skutkuje błędnym wynikiem.
Podsumowanie
Zaprezentowanych zadań nie umieli rozwiązać trzecioklasiści4, a więc efekt
edukacji wczesnoszkolnej nie był dobry. Można było oczekiwać, że osoby po maturze, którymi są studenci I roku pedagogiki, poradzą sobie z nimi bez
tru-4 Zadanie, wykorzystane w badaniach w 2008 r., poprawnie rozwiązało zaledwie 5,3% trzecio-klasistów; zadanie 2 z 2010 r. poprawnie rozwiązało jedynie 3% uczniów (por. Dąbrowski, 2013, s. 62–63).
du. Jak jednak wynika z zaprezentowanego materiału, tak się nie stało. Wpraw-dzie poprawnych rozwiązań wśród studentów5 było więcej niż u
trzecioklasi-stów, ale biorąc pod uwagę, że studenci mają za sobą 12 lat nauki matematyki, a poziom trudności zadań nie jest zbyt wysoki, nie mamy żadnych powodów do radości. Można nawet powiedzieć, że te wszystkie lata nauki nie zakończyły się sukcesem.
Badani studenci będą jeszcze musieli w ramach studiów zaliczyć kurs z pod-staw matematyki. Jeżeli naprawdę chcą zostać nauczycielami, to ci, którzy z zada niami sobie nie poradzili, muszą podjąć ogromny wysiłek i nauczyć się umiejętnego analizowania i oceniania tego, co już pomyśleli. Pytanie, czy po ta-kim kursie nastąpi poprawa badanych umiejętności? Jeśli tak, to czy będzie ona trwała? Czy ci studenci jako przyszli nauczyciele będą w stanie rozwijać u swo-ich uczniów logiczne, refleksyjne i krytyczne myślenie? Czy będą w stanie na-uczyć ich podejmowania różnorodnych działań służących do stwierdzenia faktycz nego i obiektywnego stanu rzeczy, który należy wyjaśnić, czy nauczą ich podejmowania różnorodnych procesów zmierzających do wykluczenia zbyt po-śpiesznego „nadawania znaczeń”? Miejmy nadzieję, że tak, bo w przeciwnym razie poniesiemy porażkę edukacyjną.
Bibliografia
Dąbrowski, M. (2013). (Za) trudne, bo trzeba myśleć? O efektach nauczania matematyki na I etapie kształcenia. Warszawa: Instytut Badań Edukacyjnych.
Dewey, J. (1988). Jak myślimy. Przeł. Z. Bastgenówna. Warszawa: PWN.
Nosal, C. (1988). John Dewey — początki interpretacji funkcjonalnej psychologii myślenia i psychodydak-tyki. W: J. Dewey, Jak myślimy. Przeł. Z. Bastgenówna. Warszawa: PWN, s. 7–20.
Spitzer, M. (2007). Jak uczy się mózg. Przeł. M. Guzowska-Dąbrowska. Warszawa: PWN.
Spitzer, M. (2013). Cyfrowa demencja. W jaki sposób pozbawiamy rozumu siebie i swoje dzieci. Przeł. A. Lipiński. Słupsk: Wyd. Dobra Literatura.
