Sterowanie predykcyjne ruchem statku na kursie

STEROWANIE PREDYKCYJNE RUCHEM STATKU NA KURSIE

W pracy przedstawiono regulator kursu statku, który wypracowuje sygnał sterujący na podstawie algorytmu sterowania predykcyjnego bez ograniczeń. Przeprowadzono badania symulacyjne na modelu matematycznym statku zawierającym dynamikę maszyny sterowej. Uzyskane wyniki sterowania porównano z wynikami uzyskanymi przy użyciu klasycznego regulatora kursu statku.

1. WPROWADZENIE

Na potrzeby niniejszej pracy do sterowania statkiem na kursie zastosowano sterowanie predykcyjne, znane w literaturze jako sterowanie MPC (Model Predictive Control). Najważniejszą właściwością sterowania MPC jest zdolność obsługi wielowymiarowych układów sterowania, w których sygnały wejściowe podlegają różnym typom ograniczeń. Z tych powodów sterowanie MPC staje się niezbędnym algorytmem w układach sterowania przemysłowego i wielowymiaro-wego z ograniczeniami [6]. przeszłość przyszłość t horyzont sterowania horyzont predykcji t+1 t+2 t+M t+P _z (t+k) (t) t1 (t+1|t) (t+k|t) Przewidywane wyjścia Wyznaczane sterowania _z(t+k)

W literaturze można znaleźć wiele przeglądowych prac naukowych poświęconych sterowaniu MPC [2, 3, 5, 7, 8]. Sterowanie predykcyjne doczekało się już również opracowań książkowych [1, 6, 10]. Na rysunku 2 pokazano schemat blokowy sterowania predykcyjnego ruchem statku na kursie, w którym ψz oznacza kurs zadany statku, ψ – rzeczywisty, natomiasy z jest zadanym wychyle-niem płetwy sterowej.

MPC Statek

z

 z

Rys. 2. Schemat blokowy układu regulacji

2. MODEL MATEMATYCZNY DYNAMIKI STATKU

Jako model matematyczny dynamiki statku wykorzystano model brytyjskiego okrętu wojennego [9]. Model ten jest bardzo przydatny do wstępnej oceny projektowanych algorytmów sterowania.

Model matematyczny opisujący zależność pomiędzy wychyleniem steru  a kursem statku  opisany jest modelem Nomoto I rzędu uzupełnionym o nielinio-wość Becha:   T K r H T K dt d _{ } ) ( 2 2

,

(1) przy czym: K – wzmocnienie, T – stała czasowa, ) (r

H – nieliniowa funkcja względem prędkości kątowej rd dt, która określana

jest eksperymentalnie ze standardowego testu spirali:

3

)

(r ar br

H   , (2)

gdzie a, b – stałe współczynniki.

W symulacjach zastosowano wartości parametrów dynamiki statku przy prędkości wzdłużnej u = 16 węzłów:

K = 0,093, T = 8,7 [s], a = 9,42, b = 2,24.

W celu skompletowania modelu dynamiki statku wprowadzono opis dynamiki maszyny sterowej. Zastosowana maszyna sterowa ma ograniczoną prędkość

wychylania płetwy sterowej do ok. 6/s, podczas gdy w zakresie _z 3o pręd-kość wychylania steru pracuje w liniowej części charakterystyki. Maksymalne wychylenie płetwy sterowej max = 35º

.

Na potrzeby sterowania predykcyjnego wyznaczono model liniowy dynamiki statku, przez nieuwzględnienie dynamiki maszyny sterowej i odrzucenie w nie-liniowości Becha składnika br3

. Model zlinearyzowany został zapisany w postaci następującej transmitancji:



sT aK



s K s s s G    ) ( ) ( ) (   =

_

_

8761 0 7 8 0930 0 , s , s ,  . (3)

Po dyskretyzacji zlinearyzowanej transmitancji (3) z okresem próbkowania Tp = 2 s uzyskano następujący model dyskretny w przestrzeni stanów:

 

 

 

 

 

t , , t , , t t t  _                 2340 0 2264 0 1 8110 1 0 8176 0 1 Fx G x x , (4)

 

t

 

t J

 

t



,



 

t 

 

t  Hx   0 00855x 0 , (5)

przy czym wektor stanu jest dwuelementowy x



r 



T i zawiera kurs statku 

i prędkość kątową statku rd dt.

3. REGULATOR LINIOWY PD

W celu dostarczenia wyników do porównania przeprowadzono dodatkowo badania symulacyjne przy użyciu regulatora PD o następującej transmitancji [9]:





s , s , , ) s ( ) s ( s G_PD 663 1 1 681 8 1 833 2 ) (       . (6) 4. REGULATOR PREDYKCYJNY

W pracy zastosowano algorytm sterowania predykcyjnego wyznaczającego sygnał sterujący bez ograniczeń. Podstawą do wyznaczenia sterowania był następujący wzór:

 

  _  

 

 

 

 _ 1 1T T T T T 1 t t t du r z x u z z    K K ψ K x K _, (7)

w którym sygnałem sterującym jest zadane wychylenie płetwy sterowej δz, wielkości

wejściowe:

z – wektor zawierający kolejne wartości zadane kursu, długość tego wektora

jest równa horyzontowi predykcji P,



1





t

x – ostatnio wyestymowany wektor stanu,

) 1 (t

z

 – poprzednio wyznaczona wartość zadana wychylenia steru.

Estymacja wektora stanu odbywała się przy użyciu stacjonarnego filtru Kalmana na podstawie modelu matematycznego dynamiki statku opisanego równaniami (4), (5). Model matematyczny dynamiki statku zastosowany w filtrze Kalmana nie zawierał dynamiki maszyny sterowej, w której zawarte są ograni-czenia na prędkość zmiany, jak również wartość maksymalną wychylenia płetwy sterowej. Filtr Kalmana zrealizowany został na podstawie następujących wzorów:



( )



) ( ) (t x t M m Hx t x      , (8) ) ( ) ( ) 1 (t F x t Gz t x     , (9) przy czym:

m – pomierzona wartość kursu,

M – macierz kowariancji wyznaczona przy użyciu funkcji Kalman z biblioteki

Matlaba.

W równaniu (8) wyznaczana jest estymowana wartość wektora stanu. Szczegóły dotyczące filtru Kalmana można znaleźć między innymi w [4].

Wartości wejściowe do wzoru (7) mnoży się przez odpowiednie macierze, a wektor zawierający kolejne wartości kursu zadanego mnożony jest przez macierz

r K opisaną wzorem: m u y r W S J K  , (10) gdzie: P P y I  W (11) P P P i i P i i u                     





HFG HFG HG HG HFG HG HG S        2 0 1 0 0 0 0 (12)

M P m               1 0 0 0 0 1 0 0 0 1       J (13)

Wyestymowany przez filtr Kalmana wektor stanu x mnoży się przez macierz Kx opisaną wzorem: m u y x x S W S J K  , (14) gdzie: M P P x               HF HF HF S  2 , (15)

natomiast macierze Wy, Su, Jm opisane są wzorami (11), (12) i (13). Wyznaczone w poprzednim kroku obliczeniowym zadane wychylenie steru mnoży się przez macierz K opisaną wzorem: _u

m u y u u S W S J K  T₁ , (16) gdzie: 1 1 0 1                   



P P i i u G HF HFG HG HG S _ , (17)

z kolei macierze Wy, Su, Jm opisane są wzorami (11), (12) i (13). We wzorze (7) suma zawarta w nawiasie mnożona jest przez macierz odwrotną Kdu opisaną wzorem:



u m



y u m m du m du S J W S J J W J K  T  T , (18) gdzie: P P du  I  W 2 , (19)

natomiast macierze Wy, Su, Jm opisane są wzorami (11), (12) i (13). W macierzy du

W , wartość skalującą przyjęto równą  = 0,1. Z opisanego w tym podrozdziale algorytmu sterowania (7) widać, że bardzo silnie zależy on od posiadanego modelu matematycznego obiektu.

5. WSKAŹNIKI JAKOŚCI STEROWANIA

Do oceny jakości sterowania podczas wykonywania manewru zmiany kursu wykorzystano bezpośrednie wskaźniki oceny przebiegu przejściowego: czas narastania (tn), wielkość pierwszego przeregulowania (Mp) i czas regulacji (tR). Czas narastania został określony jako czas do osiągnięcia 99% pożądanej zmiany kursu. Czas narastania używany jest do określenia prędkości odpowiedzi układu sterowania, podczas gdy wartość przeregulowania określa oscylacyjność odpowie-dzi układu. Czas regulacji wyznaczono dla 1% strefy przebiegu przejściowego od wartości ustalonej.

Dodatkowo do oceny jakości sterowania zastosowano dwa wskaźniki, określające średniokwadratowe odchyłki uchybu kursu statku (ψE) oraz kąty wychylenia steru (δE). Wskaźniki te w formie dyskretnej przyjmują następującą postać [9]:







N n n E

N

₁ 2

1

_



, (20)







N n n E

N

₁ 2

1

_



(21)

oraz dyskretny funkcjonał kwadratowy postaci E E

J









. (22)

6. WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH

Badania symulacyjne przeprowadzono w środowisku obliczeniowym Matlab/Simulink, w którym zaimplementowano układ z rysunku 2. Model matema-tyczny dynamiki statku wraz z dynamiką maszyny sterowej zbudowano wykorzystując elementarne bloki znajdujące się w bibliotece Simulinka, natomiast

algorytm sterowania zapisano w postaci s-funkcji przy użyciu kodu Matlaba. Badania symulacyjne obejmowały zmianę kursu zadanego o 40 deg i próby wykonano przy wykorzystaniu do sterowania regulatora PD opisanego wzorem (6), jak i regulatora predykcyjnego MPC opisanego wzorem (7). Regulator predykcyjny pracował z horyzontem sterowania M = 3 i horyzontem predykcji P = 3.

Przykładowe wyniki symulacji pokazano na rysunku 3. Na górnym wykresie znajdują się wyniki dotyczące kursu statku, natomiast na dolnym zadanego wychylenia płetwy sterowej δz. Na górnym wykresie linią kropkowaną zaznaczono kurs zadany, linią ciągłą normalną kurs statku uzyskany przy użyciu klasycznego regulatora PD (6), natomiast linią ciągłą pogrubioną kurs statku osiągnięty po zastosowaniu regulatora predykcyjnego, w skrócie nazwanego MPC.

Rys. 3. Wyniki badań symulacyjnych uzyskane w zamkniętym układzie sterowania statkiem na kursie przy użyciu regulatora PD (proporcjonalno-różniczkującego) i regulatora

predykcyjnego MPC (Model Predictive Control)

Przedstawione na dolnym wykresie zadane wychylenia steru δz nie są rzeczy-wistymi wychyleniami steru, gdyż płetwa sterowa może być maksymalnie wychy-lona do wartości 35 deg. Wszystkie wskaźniki jakości sterowania wyznaczone dla przeprowadzonych symulacji zebrano w tabeli 1.

Tabela 1 Wyznaczone wskaźniki jakości sterowania  = 0,1

tn tR Mp ΨE δE J

[s] [s] [%] – – –

PD 69,66 69,66 – 250,99 5032,4 754,23

MPC 136,54 136,54 – 262,99 1778,5 440,84

7. UWAGI I WNIOSKI

Zastosowany regulator predykcyjny MPC nie zawierał algorytmu optymalizacyjnego i wyznaczał sygnał sterujący bez ograniczeń, nie uwzględniając tego, że płetwa sterowa może maksymalnie wychylić się do 35 deg. Gdy weźmie się pod uwagę szybkość dochodzenia kursu statku do wartości zadanej, to uzyskany czas regulacji z regulatorem PD jest szybszy niż z regulatorem MPC. Jednak osiągnięcie większej dokładności okupione jest zdecydowanie większą wartością wskaźnika związanego z zadanym wychyleniem płetwy sterowej. Dal-sze prace związane z algorytmem predykcyjnym MPC będą prowadzone przy uwzględnieniu ograniczeń na sygnały sterujące i z wykorzystaniem metod optymalizacji.

LITERATURA

1. Camacho E.F., Bordons C., Model Predictive Control, 2nd ed., Springer 2004.

2. Clark D.W., Mohtadi C., Tuffs P.S., Generalized predictive control – Part I: the basic algorithm, Automatica, 1987, vol. 23, no. 2, s. 137–148.

3. Clark D.W., Mohtadi C., Tuffs P.S., Generalized predictive control – Part II: extensions and interpretations, Automatica, 1987, vol. 23, no. 2, s. 149–160.

4. Franklin G.F., Powell J.D., Workman M., Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley Longman Inc. 1988.

5. Garcia C.E., Prett D.M., Morari M., Model predictive control: Theory and practice; A survey, Automatica, 1989, vol. 25, no. 3, s. 335–348.

6. Maciejowski J.M., Predictive Control with Constraints, Prentice Hall, New York 2002.

7. Mayne D.Q., Rawlings J.B., Rao C.V., Scokaert P.O.M., Constrained model predictive control: stability and optimality, Automatica, 2000, vol. 36, no. 6, s. 789–814.

8. Morari M., Lee J.H., Model predictive control: past, present and future, Computers and Chemical Engineering, 1999, vol. 23, no. 4–5, s. 667–682.

9. Sutton R., Taylor S.D.H, Roberts G.N., Neuro-Fuzzy Techniques Applied to a Ship Autopilot Design, Journal of Navigation, 1996, vol. 49, no. 3, s. 410–430.

10. Tatjewski P., Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych, Oficyna Wydawnicza EXIT 2002.

MODEL PREDICTIVE CONTROL OF SHIP HEADING Summary

This paper presents the application of non-constrained model predictive control to ship heading controller. Simulation tests were done on a model of ship dynamic containing the model of steering machine. The obtained results of using the predictive control were compared with the results obtained with using the classical PD controller in heading control system.