Działanie ruchomego punktowego źródła ciepła w przestrzeni nieograniczonej

M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A 

1, 7 (1969) 

D Z IA Ł A N IE  R U C H O M E G O  P U N K T O W E G O  Ź R Ó D Ł A  C IE PŁA W  P R Z E S T R Z E N I  N I E O G R A N I C Z O N E J 

ZO FI A  S O B C Z Y Ń S KA  (PO ZN AŃ ) 

C elem niniejszej pracy jest wyznaczenie  p ola temperatu ry i  p ola przemieszczeń  w nie­ ograniczonej przestrzeni sprę ż ystej, wywołanych działaniem chwilowego, pu nktowego  ź ródła ciepła Q = Qo&(xt)d(t). Ź ródło to poru s za się  ze stałą  prę dkoś cią  v wzdłuż  osi x3  przyję tego kartezjań skiego układu współrzę dnych. 

Rozwią zaniem podob nego zagadnienia za jmowa li się  już  N O WACKI [3] i RO SEN TH AL  [4].  W yzn a czyli oni funkcje okreś lają ce pole temperatu ry oraz przemieszczenia  d l a ź ródła  ru chomego pu nktowego o stałej wydajnoś ci pomijają c w równaniu przewodnictwa ciepl­ nego pochodną  lokalną  fu nkcji  p ola temperatu ry. 

W niniejszej pracy pochodnej tej pomijać  nie bę dziemy.  Rozważ ane zagadnienie opisuje nastę pują cy układ równań :  równania przemieszczeniowe  (1)  ^ У 2« , + ( ^ + / ) е , ( = а ,(2/*+З А )<9,  i równanie przewodnictwa cieplnego  (2)  V2< 9 ­ — & = ­ d(x,)d(t); к  =  A .  X X CQ 

W równaniach tych щ  oznaczają  składowe wektora przemieszczenia, & — pole  tem­ peratu ry, QQ jest wydajnoś cią  ź ródła;  A i ozna cza współczynnik wewnę trznej przewodnoś ci  cieplnej, g jest gę stoś cią  oś rodka, a с  ciepłem właś ciwym; 8(xt) i <5(r) są  fu nkcja mi  D ir a ca  wzglę dem miejsca i czasu . 

Zakładamy, ż e w chwili t = 0 składowe wektora przemieszczenia oraz pole tempera­ tu ry równe są  zeru . 

Przypuś ć my, ż e ze ź ródłem zwią zany jest  r u ch omy układ współrzę dnych f ( równo­

legły do stałego układu współrzę dnych xt i ta ki, ż e 

£i =  * i i £2 = x2 i £3 = x3—vt. 

P o przeprowa dzeniu za mia ny zmiennych równanie przewodnictwa cieplnego (2) bę dzie  miało postać  

22  Z . SOBCZY Ń SK A 

Stosują c transformację   La p la ce' a  d o równań  przemieszczeniowych (1) i  d o równania (3)  otrzyma my 

(4)  ^ V2M_{L i}+ ( A + / * ) e_Ł, , = о с ,(2/1+З Х )в ^, 

P o uwzglę dnieniu przedstawienia całkowego fu nkcji  D ir a ca we współrzę dnych wa lco­ wych, rozwią zanie równania (5) otrzymu jemy w postaci 

(6)  0L=  f = e x p  przy  czym 

P o odwróceniu transformacji  La p la ce' a pole temperatu ry okreś la wzór 

8]/*

3

j/V>/*

3  ex p

L

  2

*

  4

*

  4

« ' J ' 

Ponieważ   ma my  d o czynienia z przestrzenią  nieograniczoną , pole przemieszczeń   mu s i  posiadać  potencjał zdefiniowa ny zwią zkami 

(8)

 щ  = Ф ,1. 

Równania przemieszczeniowe (1),  p o uwzglę dnieniu zwią zków (8), zredukują  się  wów­ czas  d o jednego równania Pois s ona 

(9)

 V20 = mG; m = 

l—p 

Rozwią zanie tego równania otrzyma my wykorzystują c rozwią zanie (7) oraz uwzglę d­ niają c fakt, ż e w pu nkcie, w którym aktu alnie znajduje się  ź ródło, to jest  d la r =  |3 = 0, 

fu nkcja potencjału równa się  zeru .  Rozwią zanie to  m a postać  

mO

 I

 v2t vS

3\  J l 

Moż emy teraz w opa rciu o zwią zki (8) wyznaczyć  przemieszczenia drogą  prostego róż ­ n iczkow a n ia .  M a m y 

D Z I A Ł A N I E  R U C H O M E G O  P U N K T O W E G O  Ź RÓ D Ł A  C IE P Ł A  23 

Jeż eli teraz scałkowalibyś my otrzyma ne  w zor y  ( 7 ) ,  ( 1 1 ) ,  ( 1 2 ) wzglę dem cza s u w gra ­ nica ch 0 < T < oo, otrzyma ne rozwią zania bę dą  odpowiadały rozwią zaniom NO WACKI EGO  [ 3]  d l a  r u ch omego ź ródła ciepła o stałej wydajnoś ci. 

Pokaż emy to  n a przykładzie  p ola temperatu ry  CO 00 

( 1 3 ) в  = Г  0{t­r)dr= Г   — = — 2 ± — =  е х р Г ­ ^ ­

4x 4x(t­r)\  4 ^ | / r2 +  l i L  2 « V  ' J 

Jeż eli na tomia s t we  w zor a ch  ( 7 ) ,  ( 1 1 ) i  ( 1 2 ) przyjmiemy v = O to  otr zyma my  d ob r ze  zna ne  w zor y  d l a nieru chomego  p u n ktow ego ź ródła ciepła  [ 3 ] . 

N a zakoń czenie należ y podkreś lić , ż e  w zor y  ( 7 ) ,  ( 1 1 ) i  ( 1 2 ) otrzyma ne w niniejszej  p r a cy są   d l a Q0 = 1 fu nkcja mi  G r een a i  j a k o takie mogą  być  wykorzys ta ne  d o  b u d ow y 

rozwią zań   d l a  d ow oln ego rozkładu ź ródeł. 

Literatu ra cytowana w tekś cie 

[ 1] В .  А . Д и т к и н ,  П .  И . К У З Н Е Ц О В , С п р а в о ч н и к  п о  о п е р а ц и о н н о м у  и з ч и с л е н и ю , Г о с . Т е х .­ Т е о р .  Л и т . ,  М о с к в а   1 9 5 1 .  [ 2]  A .  E R D E L Y I ,  W .  M A G N U S ,  F .  O B E R H E T T I N G E R ,  F .  G .  T R I C O M I , Tables of integral transforms,  M c G r a w ­ H i l l ,  1 9 5 4 .  [3]  W .  N O W A C K I , Thermoelasticity, Perga mon Press,  1 9 6 2 .  [4]  D .  R O S E N T H A L , The theory of moving sources of heat and its application to metal treatments, Tra ns a c­ tions  of the  A S M E  1 1 ,  1 9 4 6 . 

Р е з ю м е   В О З Д Е Й С Т В И Е   П О Д В И Ж Н О Г О   Т О Ч Е Ч Н О Г О   Т Е П Л О В О Г О   И С Т О Ч Н И К А   Н А   Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О Е   П Р О С Т Р А Н С Т В О   В  р а б о т е  р е ш а е т с я  з а д а ч а  о п р е д е л е н и я  т е м п е р а т у р н о г о  п о л я  и  п о л я  п е р е м е щ е н и й  в  у п р у г о м   б е с к о н е ч н о м  п р о с т р а н с т в е , п о д в е р ж е н н о м  в о з д е й с т в и ю  т е п л о в о г о  и с т о ч н и к а  Q =

 С о ^О ^Ж ')­

Э т о т  и с т о ч н и к  п е р е м е щ а е т с я  с  п о с т о я н н о й  с к о р о с т ь ю  v в д о л ь  о с и  х ъ. В  р е ш е н и и  и с п о л ь з у е т с я   т р а н с ф о р м а ц и я  Л а п л а с а . К о м п о н е н т ы  п е р е м е щ е н и й  о п р е д е л я ю т с я  п р и  п о м о щ и  ф у н к ц и и  п о т е н ­ ц и а л а  т е р м и ч е с к о г о  п е р е м е щ е н и я . П о л у ч е н н о е  р е ш е н и е  я в л я е т с я  ф у н к ц и е й  Г р и н а   д л я  Q0 = 1  и  м о ж е т  б ы т ь  и с п о л ь з о в а н о   д л я  п о с т р о е н и я  р е ш е н и я  з а д а ч и  п р и  п р о и з в о л ь н о м  р а с п р е д е л е н и и   и с т о ч н и к о в . 

24  Z .  S O B C Z Y Ń S K A 

S u m m a r y 

A C T I O N  O F A  M O V I N G  C O N C E N T R A T E D  H E A T  S O U R C E  I N  E L A S T I C  S P A C E 

The  a im  of the paper is to determine the temperature a nd displacement field  in  a n infinite elastic space  acted  on b y the heat source Q = Q<>i(xi)d(t). The heat source moves at constant velocity v along the  jCj­axis. The displacement components are expressed  i n terms  of the thermo­elastic displacement potential,  Laplace transforms being applied to the basic equations. The solu tion for Q0 = 1 represents the G reen 

fu nction  of the prob lem a nd ca n be applied to cases with arbitrary distributions  o f heat sources. 

K A T E D R A  M E C H A N I K I  P O L I T E C H N I K I  P OZNA Ń SK I EJ