On disjointness properties of some smooth flows

Pełen tekst

(1)

(2)

(3)

(4) "!#!##$. %'&)(+*",-/.*0&1&324,,65+7.58271*024,9.:;,<.=>2?,=>..@1ACBD. EF, GIH JLK/MNOPMQSRUTWVK/XYMZ\[?]<^_a`CbK<cedOPMFf3Z\gab4hYMN[jiklmonp q r8st#uwvwxyzuP{}|S~ <wUwIUI}SozH8Iz0 8 ~//8Uz//// 2 / //#0 /@00 H/+3Soz 2 wHIPIP08eHS~/ P< eHWz /0/#¢¡<|SL/"W<w z~/wI80£G/¤ P¥¤}L0//0 ¢¦ /0SGP§ ¨}©/<wUz/ª¥¤///UI} 0 / z0/8~0I§ I« ozSHª8©/W<w /";0/+ ozª 0/+ 0/}# z/"z/#@ /0 //# 8~ "zG/¬;z w8 ~00 o¡@z~/~/o0 /U ~/wI0< 0~ <wG//wI P/3I0z #©S®<z/ 300z/ 80 /z/;/// //#¯ • 0 /° G ///±zz²0 ±z/IP ³}©/D<oo´ S/ }~ /I0U <wU }/ µG/²z/U W00 <z~ H / /¤ P • ?8©/+<w°o´ 0}Sz0¶ S/·<w¸ 8~<z#¸ P"zG/·8P 0¶0/ z¸<oS/L /H¶/ ¯ • / /000 // ° ²0 0 ~ I03¥¹z/ <o/}£ºe SPS»00z/I0z¼§ z / I ?8©S/}z/ «½z/0²z <w°o¡ ¾4¿ÀIÁ QSK/R°ÂdYQcÃR Á£¿ÅÄ ^ÆÅlÇ+ÈwÉÆËÊ·lÌÈÎÍ¤Ê·Ï lmÈz]<^¢ÈÐ]<^_µÌ#ÈwÍ¤Ñ¤Ñ+lÏ ÆP^µÏmolÒÑ¤ÆPÊÅÌ Í¤^ÓÆPmoÔl\_Í¹Õ¶ÈwÉÆPlmÖ>Í¹ÌË×ÉÆIÈwÉÆPm6Æ]ÕÉÓ_\Ö\^4]<Ê·Í¹ÕPÌ9É4]ÌL]?ÌÊ·llÈwÉjÊ·l\_ÆPÑØ8kl?Ò Æ Ê·lmoÆÙÏmoÆSÕIÍ¹ÌÆÚ8×DÆ¶×DlnÑ¹_jÑ¤Í¤ÛÆ¶Èwl?Û^l×Ü×WÉÆIÈwÉÆPm6ÇÃlmL]<^¢Ö>ÔÍÝÆP^jÆPmoÔl\_Í¹ÕÙÞl× l^Æ±ÕS]<^Ëß^_à]ªÌoÊ·llÈwÉàÕIlÊ·Ï4]Õ È+ÊË]<^Í¤ÇÃlÑ¹_ ÈwlÔÆIÈwÉÆPm+×ÍÈwÉË]ÎÌÊÅllÈwÉ {Tt }t∈R M Ê·Æ]ÌonmoÆ lâÍÈá]<^_µ]9ÌoÊ·llÈwÉ ÏmoÆSÌÆPmÝ\Í¤^ÔFÞl× Ìol6ÈwÉ4]/È;ÈwÉÆãÈ®×}l {St }t∈R Þl× ÌË]<moÆLmÊÅÆ]ÌnmoÆ ÈwÉÆPlmoÆIÈwÍ¹ÕS]<Ñ¤ÑÖ«Í¹m Ìlâ ÊÅlmoÏÉÍ¹ÕØ}äDÑ¤lÌÆPÑÖ³ moÆPÑå]/ÈwÆS_³ÈwlaÈwÉÆ'ÌÊÅllÈwÉ â Í¹Ì6éÎØ}êÎ]/ÈwlÛ ëÌàÏmolÔm]<Ê iÌoÆPÆíìî\Ú8ï]<mÈLðoðoð0ñeq·Èwl³_ÆSÌoÕImoÍ¤Ò Æ moÆ]<Ñ¤Í¤æ]/ÈwÍ¤l^çÏmolÒÑ¤ÆPÊè ienÏ¨ÈwlFÊ·Æ]ÌonmoÆ ÈwÉÆPlmoÆIÈwÍ¹ÕàÍ¹ÌlÊÅlmoÏÉÍ¹ÌÊàqÎ]<Ñ¤Ñ+Ï lÌoÌoÍ¤ÒÑ¤Æ9ÌÊ·llÈwÉò_\Ö\^4]<ÊÅÍ¹ÕPÌÎl^?] ÔÍÝÆP^ÙÌoÊ·llÈwÉ¶ÕIlâ Ê·Ï4]Õ ÈóÊË]<^Í¤ÇÃlÑ¹_ Ø Ä Ï ÆP^Í¤^Ô9Ò¢Ö6ÈwÉÆ¸Ç]<Ê·lnÌª]<mÈwÍ¹ÕIÑ¤ÆáÒ¢Ö'é^lÌolÝ ]<^_·ê;]/ÈwlÛ6ioìôIñeqzÚÈwÉÆPmoÆ8Í¹Ì3]óÌoÆPmoÍ¤ÆSÌlÇ moÆSÌonÑÈÌÈwl×8]<mw_ãmoÆ]<Ñ¤Í¤æ]/ÈwÍ¤l^ÅlÇ4ÈwÉÍ¹ÌÏmolÔm]<Ê iÌoÆPÆ8ÆØÔØ4ìî/ñ ]<^_áÈwÉÆ8moÆPÇÃÆPmoÆP^ÕIÆSÌÈwÉÆPmoÆPÍ¤^ qzØ¢é^ãÍ¤^¢ÈwÆPmoÆSÌ#ÈwÍ¤^ÔÎmoÆPÑå]/ÈwÆS_ÐÏmolÒÑ¤ÆPÊõ]ÌoÛÆS_ Í¤^µì öñ°Í¹Ì8Èwlãß^_']ÐÌoÊ·llÈwÉLmoÆ]<Ñ¤Í¤æ]/ÈwÍ¤l^'lÇ£÷ª]<nÌwÌÍå]<^'Þl× ÌIØ ð"^6ÈwÉÆÎÏmoÆSÌÆP^¢È±Ï4]<Ï ÆPmW×}Æª×WÍ¤Ñ¤ÑÇÃl\ÕInÌWl^LÈwÉÆÎÏmolÒÑ¤ÆPÊølÇÌÊÅllÈwÉLmoÆ]<Ñ¤Í¤æ]/ÈwÍ¤l^ lÇ@÷ª]<nÌoÌoÍå]<^·Þl×Ìl^·ÌÊ·llÈwÉ·ÕIlÊ·Ï4]Õ È£ÌonmoÇ]ÕIÆSÌ ieÍØÆØl^ãÌoÊ·llÈwÉãÕIlÊÅÏ4]Õ ÈÊË]<^ Í¤ÇÃlÑ¹_ÌlÇ_Í¤Ê·ÆP^ÌoÍ¤l^ÙùqzØ únÏÏ lÌoÆ;ÈwÉ4]/È Í¹Ì ] ∞ ÕIlÊ·Ï4]Õ ÈlmoÍ¤ÆP^¢Èz]<ÒÑ¤ÆáÌnmoÇ]ÕIÆ â .. M. C. ûzü ü ü8ý¸þzÿ}þzÿ

(5) ÿþ 0þzÿ "! $# ü% "!"&'Iü(%()!+*,"- ¡ 0oz"±~< 0H0/~/~ 0±GPH 0 /1¶ 0zP2# 3 ü4 ü4458û6 ¡ 7. ®989:.

(6) #4# 5. }¡ ¦ z z/ó¬Ð¡\8/#H. ×ÍÈwÉa^ÆPÔ¢]/ÈwÍÝÆ £nÑ¤ÆPm¸ÕÉ4]<m]Õ ÈwÆPmoÍ¹ÌÈwÍ¹Õà]<^_ Í¹ÌÎ]9Ï lÌoÍÈwÍÝÆ ∞ Ê·Æ]ÌonmoÆ·l^ Ø Í¤^¢Ý]<moÍå]<^¢ÈÅm ÆPmoÔl\_Í¹Õ ∞ Þl× CÌÐlâ ^ Ø£k£Ö\ÏÍ¹ÕS]<M Ñ¤ÑÖ äDl^ÌÍ¹_ÆPm·ÈwÉÆ6Ç]<Ê·Í¤ÑÖòlÇó]<Ñ¤Ñ ÌonÕÉµ]9Þl× É4]Ìªl^ÑÖÙ^l^ _ÆPmÔÆPâ ^ÆPm]/ÈwÆ9Ìw]__Ñ¤ÆSÌá]ÌªC Í¹ÌolÑå]/â ÈwÆS_aÕImoÍÈwÍ¹ÕSM ]<Ñ3Ï lÍ¤^¢ÈÌ¸]<^_ É4]Ì3]Èwm]<^Ì#ÝÆPmwÌ]<ÑØð0ÈÇÃlÑ¤Ñ¤l× â ÌÈwÉ4]/ÈÈwÉÆ8Þl×³Í¹ÌÊ·Æ]ÌonmoÆ ÈwÉÆPlmoÆIÈwÍ¹ÕS]<Ñ¤ÑÖãÍ¹ÌolÊ·lmoÏÉÍ¹Õ ÈwlÅ]ÐÌÏ ÆSÕIÍå]<Ñ°Þl×çÒnÍ¤ÑÈlÝÆPm]<^6ÆPmoÔl\_Í¹ÕªÍ¤^¢ÈwÆPmÝ]<Ñ° Æ ÕÉ4â]<^ÔÆªÈwm]<^ÌoÇÃlmoÊË]/ÈwÍ¤l^F]<^_ n^_ÆPm ]ÐÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^'lÇÈwÉÆ;ÇÃlmoÊ k X (bi log({x − βi }) + ci log({βi − x})), f (x) = g(x) − i=1. ×ÉÆPmoÆ Í¹Ì ]ãÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^¶lÇÒ ln^_ÆS_LÝ]<moÍå]/ÈwÍ¤l^@Ú@]<^_ Ú bi , ci i = 1, . . . , k, Pk ]<moÆ¸^l^ g ^: ÆPTÔ¢]/→ ÈwÍÝRÆÐÕIl^ÌÈz]<^¢ÈÌóÌnÕÉ'ÈwÉ4]/È Pk iÌÆPÆ9ìôô ñeqzØUk}ÉÆ bi = i=1 ci > 0 Ç]<Ê·Í¤ÑÖµlâ Ç ]<Ñ¤Ñ8ÌonÕÉ?ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^Ìá×Í¤Ñ¤ÑDÒ Æ6_ÆPî=1 lÈwÆS_? Ò¢Ö

(7) Ä ÷;ú Øð"^µÈwÉÍ¹ÌÐÏ4]<Ï ÆPm ×}ÆL_Æ]<ÑW×WÍÈwÉ³ÈwÉÆLÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ ÕS]ÌÆL×ÉÆPmoÆLÌoÏ ÆSÕIÍå]<ÑÞl×ÌË]<moÆLÒnÍ¤Ñ+ÈËlÝÆPm·molÈz]/ÈwÍ¤l^Ì ie Æ ÕÉ4]<^ÔÆSÌªlÇ£È®×}làÍ¤^¢ÈwÆPmÝ]<Ñ¹Ìzq lm± Æ ÕÉ4]<^ÔÆSÌªlÇ£ÈwÉmoÆPÆÐÍ¤^¢ÈwÆPmÝ]<Ñ¹ÌP Ø aÆÐÏmolÝÆáÈwÉ4]/È ÇÃlmó]ãÈ®Ö\ÏÍ¹ÕS]<ÑÌnÕÉ¶Í¤^¢ÈwÆPmÝ]<Ñ Æ ÕÉ4]<^ÔÆ¸Èwm]<^ÌoÇÃlmoÊË]/ÈwÍ¤l^¶ÈwÉÆá_\Ö\^4]<Ê·Í¹ÕPÌ lÇ£ÌÏ ÆSÕIÍå]<Ñ Þl× ÌÅÒnÍ¤ÑÈËn^_ÆPm9 ]

(8) Ä ÷Îú ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^>Í¹ÌãÈwlÈz]<Ñ¤ÑÖ«_Í UÆPmoÆP^¢ÈàÇÃmolÊ ÈwÉlÌoÆFlÇ â + ÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®Ö¨lmoÍ¤ÔÍ¤ ^ ¶ieÑ¤Í¤ÛÆ6÷ª]<nÌwÌÍå]<^µÞl× ÌIÚïlÍ¹ÌwÌl^òÌonÌÏ ÆP^ÌoÍ¤l^òÞl×Ìá]<^_µ_\Ö ^4]<Ê·Í¹ÕS]<Ñ°ÌÖÌÈwÆPÊÅÌ8ÕIlÊÅÍ¤^ÔãÇÃmolÊ ÌÈz]/ÈwÍ¤l^4]<mÖLÌ#Ö\Ê·ÊÅÆIÈwmoÍ¹Õ ÌÈz]<ÒÑ¤Æ;Ïmol\ÕIÆSÌwÌÆSÌzqzØ Ä ^ â αâ ÈwÉÆàÒ4]ÌÆàlÇ8ÈwÉÍ¹Ì¸moÆSÌnÑÈÐ×DÆàÕIl^ #ÆSÕ ÈwnmoÆàÈwÉ4]/ÈáÈwÉÆ9]<Ò lÝÆ Ê·ÆP^¢ÈwÍ¤l^ÆS_?Þl×Ì¸É4]PÝÆ ^lÅÌoÊ·llÈwÉLmoÆ]<Ñ¤Í¤æ]/ÈwÍ¤l^¶l^'ÌoÊ·llÈwÉ'ÕIlÊ·Ï4]Õ È±ÌnmoÇ]ÕIÆSÌPØ Ä â nm±]<ÏÏmol¢]ÕÉ'Í¹ÌWÍ¤^LÇ]Õ È Ý\Íå ] #lÍ¤^Í¤^ÔÌP Ø Í¹Ì#ÈwlmoÍ¹ÕS]<Ñ¤ÑÖÚ #lÍ¤^Í¤^ÔÌ ×DÆPmoÆ¸Í¤^¢Èwmol\_nÕIÆS_FÒ¢ Ö ¸! Ø nmwÌÈwÆP^Ò ÆPmoÔàÍ¤^FÉÍ¹Ì Ï4]<Ï ÆPmã#ì "ñl^¶_Í¹$Ì #lÍ¤^¢Èw^ÆSÌwÌP Ø %WÆSÕS]<Ñ¤ÑÈwÉ4]/È È®×DlàÌÖÌÈwÆPÊÅÌ l^ ]<^_ {Tt }t∈R l^ ]<mo' Æ &(*)*+ ,-(*.0/Í¤Ç3ÈwÉÆ·l^ÑÖ Í¤^¢Ý]<mo(X, Íå]<^¢È¸B,Ê·µ) Æ]ÌonmoÆ {St }t∈R (Y, C, ν) l^ ×WÉÍ¹ÕÉ É4]Ì;ÊË]<moÔÍ¤^4]<Ñ l^ {Tt × ]<^S_ t }t∈R l^ â Í¹Ì±ÈwÉÆ·Ïmol\_nÕ È µ ν Ê·Æ](X Ìonmo× ÆØ Y, ð"Ç3B]Å⊗ _\Ö\C) ^4]<Ê·Í¹ÕS]<ÑÌÖÌÈwÆPÊ Í¹Ì±_Í¹1Ì X #lÍ¤^¢ÈóÇÃmolÊ ÌolYÊ·Æ Û^l×W^ áÌ#ÖÌ ÈwÆPÊ ÈwÉÆP^áÈwÉÆ8Í¤^ÇÃlmoÊË]/ÈwÍ¤l^á{T ×}tÆ}}Ô¢t∈R ]<Í¤^·]<Ò lnÈ Í¹ÌÈwÉ4]/È£ÍÈÌ_\Ö\^4]<Ê·Í¹ÕPÌ â {St }t∈R {Tt }t∈R Í¹Ì±ÕIlÊÅÏÑ¤ÆIÈwÆPÑÖF_Í ÆPmoÆP^¢ÈªÇÃmolÊ ÈwÉ4]/ÈólÇ ØUð"^FÏ4]<mÈwÍ¹ÕInÑå]<mPÚ ÈwÉÆ¸È®×}làÌ#ÖÌÈwÆPÊÅÌ {St }t∈R É4]PÝÆ;^lÅÕIlÊ·Ê·l^6Ç]Õ ÈwlmwÌIØ Ä ^Æ±lÇ ÈwÉÆ±ÇÃÆ]/ÈwnmoÆSÌ}_Í¹ÌÈwÍ¤^ÔnÍ¹ÌoÉÍ¤^Ô·_\Ö\^4]<Ê·Í¹ÕPÌDlÇ ÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®ÖàlmoÍ¤ÔÍ¤^ Í¹Ì+ÈwÉÆ 2

(9) 3)ÏmolÏ ÆPmÈ®Ö«Í¤^¢Èwmol\_nÕIÆS_ Í¤^)#ì 4ñ0Ø+é Þl× É4]Ì·ÈwÉ5 Æ 2

(10) 6 ÏmolÏ ÆPmÈ®Ö«Í¤Ç {St }t∈R ÈwÉÆá×}Æ]<Û'ÕIÑ¤lÌnmoÆãlÇ Í¤^¶ÈwÉÆÐÌoÆIÈól7 Ç ¶]<moÛlÝFlÏ ÆPm]/ÈwlmwÌól^¶ÈwÉÆán^ t ∈ R} _ÆPmoÑÖ\Í¤^Ô 2 ÌÏ4]ÕIÆ6ÕIl{S ^ÌtÍ¹Ì:ÈÌá lÇ8Í¤^_ÆSÕIlÊ·Ï lÌ]<ÒÑ¤8 Æ ¶]<moÛlÝ¨lÏ ÆPm]/ÈwlmwÌPØk}É9 Æ 2

(11) 6 â L â ÏmolÏ ÆPmÈ®ÖLÍ¹ÌWÌ]/ÈwÍ¹ÌoßÆS_LÒ¢Ö9Ê·:Í \Í¤^Ô·Þl× ÌIÚU÷;]<nÌoÌoÍå]<^'Þl× Ì¸ioìôùñeqzÚ4ïlÍ¹ÌwÌl^FÌonÌÏ ÆP^ ÌoÍ¤l^ÎÞl×Ì]<^_;_\Ö\^4]<Ê·Í¹ÕS]<ÑÌÖÌ#ÈwÆPÊËÌ°ÕIlÊÅÍ¤^Ô8ÇÃmolÊCÌÈz]/ÈwÍ¤l^4]<mÖÎÌ#Ö\Ê·ÊÅÆIÈwmoÍ¹Õ Ì#Èz]<ÒÑ¤Æ â αâ Ïmol\ÕIÆSÌwÌÆSÌáio<ì ;/ñeqzØ é^?]<ÏÏmol¢]ÕÉµ×WÉÍ¹ÕÉ³]<Ñ¤Ñ¤l× ÌÎnÌÎÈwlFÏmolÝÆà_Í¹1Ì #lÍ¤^¢Èw^ÆSÌwÌáÇÃmol= Ê >

(12) 3ÓÞl× Ì¸ÇÃlm ÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ Þl×Ì+ÒnÍ¤ÑÈ8lÝÆPmDmoÍ¤ÔÍ¹_6]<nÈwlÊ·lmoÏÉÍ¹ÌÊËÌ}]<^_Ën^_ÆPm}mollÇ°ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^ÌD×ÉÍ¹ÕÉ Ì]/ÈwÍ¹ÌÇåÖÐ@ ] ? ÆP^ #lÖ Aê lÛ\ÌoÊË]8È®Ö\Ï ÆDÍ¤^CÆ B¢n4]<Ñ¤ÍÈ®ÖÎ×8]Ì_ÆIÝÆPÑ¤lÏ ÆS_áÍ¤^9#ì 4ñ0Ø<k}ÉÆ+Êà]<Í¤^ÎÍ¹_Æ] lÇ ÈwÉÍ¹ÌD]<ÏÏmol¢]ÕÉËÍ¹Ì£ÈwÉÆ ÇÃlÑ¤Ñ¤l×WÍ¤^ÔØúnÏÏ lÌoÆÈwÉ4]/È Í¹Ì£ÈwÉÆ ÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ Þl× f ÒnÍ¤ÑÈóÇÃmolÊ ]<^_ ! Ø aÆÎÈwÉÆP^ÙÑ¤llÛF]/ÈóÍ¤^Ì#Èz]<^ÕIÆSÌ {(T f )t }t∈R Ú lÇ f )t , t ∈ R ]D Ì ¶]<moÛlÝ·lTÏ ÆPm]/ÈwlfmwÌDl^ÅÈwÉÆn^_ÆPmoÑÖ\Í¤^Ô 2 ÌoÏ4]ÕIÆó(T ]<^_Ë ÌÈwn_\ÖãÈwÉÆ×DÆ{(T ]<Û·ÕI)Ñ¤lt }Ìnt∈R moÆ lÇ8ÈwÉÆ6ÌoÆIÈãlÇÌnÕÉ³lÏ ÆPm]/ÈwlmwÌI2 Ø 'lmoÆàÏmoÆSÕILÍ¹ÌoÆPâ ÑÖÚÍÈãÍ¹Ì¸ÏmolÝÆS_òÈwÉ4]/ÈÐÈwÉÆàÍ¤^¢ÈwÆPÔm]<Ñ.

(13) (®ÿ 2

(14) . /ÿ. . . #4#. lÏ ÆPm]/Èwlm Ò ÆPÑ¤l^ÔÌ±ÈwlàÈwÉÍ¹Ì ×}Æ]<Û'ÕIÑ¤lÌonmoÆÚU×ÉÆPmoÆ Í¹Ìª]ËÕIÆPmÈz]<Í¤^ f dP (t) R (T ÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®Ö Dlmo)ÆP−t Ñ£ÊÅ Æ]ÌnmoÆ·×ÉÍ¹ÕÉaÍ¹ÌÎ_ÆIÈwÆPmoÊ·Í¤^ÆS_¨Ò¢ÖÙÈwÉÆ·mollÇ}ÇÃnP^Õ ÈwÍ¤l^ Ø3Í ^4]<Ñ¤ÑÖÚ°Í¤Ç Í¹Ìª^lÈá] ? Í¤m]Õ·Ê·Æ]ÌnmoÆÚ@ÈwÉÆP^ f Í¹ÌÎ_Í¹$Ì #lÍ¤^¢È¸ÇÃmolÊÜ×}Æ]<ÛÑÖ¶ÊÅfÍ: \Í¤^Ô â P T 2

(15) 3òÞl×ÌPØ ð"^ ÈwÉÍ¹ÌÎÏ4]<Ï ÆPm;×DÆ· Æ ÈwÆP^_aÈwÉÆà]<Ò lÝÆà]<ÏÏmol¢]ÕÉ¨Èwl'ÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ3Þl× Ì;ÒnÍ¤ÑÈ¸lÝÆPm ]<nÈwlÊ·lmoÏÉÍ¹ÌoÊÅÌËÉ4]PÝ\Í¤^Ô?l^ÑÖ«ÌolÊ·ÆFÑ¤l\ÕS]<Ñ±moÍ¤ÔÍ¹_ÍÈ®Ö«ÏmolÏ ÆPmÈ®ÖØ

(16) @ÆIÈ Ò ÆÙ] ÈÌIØd) é±ÌoÌonÊ·Æ ÕIlÊ·Ï4]Õ ÈÊ·ÆIÈwmoÍ¹ÕDÌoÏ4]ÕIÆ8]<^_áÑ¤ÆIÈ Ì#Èz]<^_áÇÃlmÈwÉÆ ]<Ñ¤ÔÆPÒm]lÇ+lmoÆPÑÌoÆI(X, B ÈwÉ4]/È Í¹ÌÅ]<^³ÆPmoÔl\_Í¹σÕ'â ]<nÈwlÊ·lmoÏÉÍ¹ÌoÊLÚ×WÉÆPmoÆ Í¹Ì·] T : (X, B, µ) → (X, B, µ) ÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®Ö>Ê·Æ]ÌnmoÆØ}é±ÌoÌonÊ·ÆLÈwÉ4]/È Í¹Ì9]¨ÌoCÆ B¢nÆP^ÕIÆÙlÇóÈwl×DÆPmwÌËµÇÃlm {ξn }n∈N ÌonÕÉÅÈwÉ4]/È Ú¢×ÉÆPmoÆ Ì#Èz]<^_Ì+ÇÃlm3ÈwÉÆ±n^Í¤l^àlÇ@Ñ¤ÆIÝÆPÑ¹Ì+lÇ Ú\]<^T_ µ(Cn ) → α > 0 Cn ÌolÊ·ÆÐÍÈwÆPm]/ÈwÍ¤l^ qn lÇ Èwm]<^ÌÇÃlmoÊËÌ±ÈwÉÆãÒ lÈoÈwlÊÜlÇ l^¢Èwl9ÈwÉÆãÌoÆIÈó×ξÉnÍ¹ÕÉÙÍ¹Ì T T ξn ÕIÑ¤lÌoÆàieÍ¤^6ÈwÉÆ¸ÌÆP^ÌoÆÎlÇ q3ÈwlÅÍÈÌÆPÑ¤Ç® Ø LlmoÆPlÝÆPmPÚUÌnÏÏ lÌoÆ;ÈwÉ4]/È Í¹Ì ∈ L2 (X, B, µ) ]ÎÏ lÌÍÈwÍÝÆªÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^L]<^d_ Í¹Ì}]¸ÌoCÆ B¢nÆP^ÕIÆólÇ°Ï lÌoÍÈwÍÝÆó^fnÊá Ò ÆPmwÌ}ÌonÕÉËÈwÉ4]/È {an }n∈N ÈwÉÆ9ÌCÆ B¢nÆP^ÕIÆ Í¹Ì¸Ò ln^_ÆS_ Ø Ä ^ÆËlÇ}ÈwÉÆàÊË]<Í¤^ { Cn |f (qn ) (x) − an |2 dµ(x)}n∈N moÆSÌonÑÈÌÐlÇÈwÉÆ9ÏmoÆSÌoÆP^¢È·Ï4]<Ï ÆPm'iÌoÆPÆ6k8ÉÆPlmoÆPÊq¸ÌÈz]/ÈwÆSÌÐÈwÉ4]/È·n^_ÆPmÐÈwÉÆL]<Ò lÝÆ ]ÌwÌnÊÅÏÈwÍ¤l^ÌIÚ iôq. (T f )an → α (T f )−t dP (t) + (1 − α)J,. ×ÉÆPmoÆ. R. Í¹ÌóÈwÉÆ·×DÆ]<Û¶Ñ¤Í¤Ê·ÍÈ;lÇ+ÈwÉÆÅÌÆCB¢nÆP^ÕIÆËlÇD_Í¹ÌÈwmoÍ¤ÒnÈwÍ¤l^Ì¸lÇ (qn ) P ]<^_ Í¹Ì8] ¶]<moÛlÝ·lÏ ÆPm]/ÈwlmPØ aÆ±ÌoÉl×>Èw{f É4]/È}l^−ÕIÆ·ainôq : (Cn , µ( · |Cn )) → R}n∈N Í¹Ì;Ìw]/ÈwÍ¹ÌoßÆS_ÙÈwÉÆP^ f Í¹Ìª_Í¹1Ì #lÍ¤^¢JÈÎÇÃmolÊ ]<Ñ¤ÑÊ·:Í \Í¤^Ô9Þl× ÌP Ø jÉÆP^ÆIÝÆPmªÍ¤^«iôq Í¹Ì ^lÈ±] ?±Í¤m]ÕªÊÅÆ]ÌTnmoÆªÈwÉÆP^ f Í¹ÌW_Í¹1Ì #lÍ¤^¢È ÇÃmolÊ ×}Æ]<ÛÑÖàÊ·:Í \Í¤^Ô 2

(17) 3µÞl× ÌPØ P T aÆLÈwÉÆP^ ÌoÉl× ÈwÉ4]/ÈÙiôqãÉlÑ¹_ÌÅÇÃlmÅÈ®×DlµÕIÑå]ÌwÌÆSÌËlÇªÌÖÌÈwÆPÊÅÌDÌÏ ÆSÕIÍå]<Ñ Þl× Ì ÒnÍ¤ÑÈ lÝÆPmWÆPmoÔl\_Í¹Õ;Í¤^¢ÈwÆPmÝ]<Ñ Æ ÕÉ4]<^ÔÆÎÈwm]<^ÌÇÃlmoÊà]/ÈwÍ¤l^Ì±]<^_6n^_ÆPmÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^ÌlÇ Ò ln^_ÆS_ÎÝ]<moÍå]/ÈwÍ¤l^6iÌoÆPÆ}úÆSÕ ÈwÍ¤l^ 4qzÚ<]<^_¸ÌoÏ ÆSÕIÍå]<ÑÞl× ÌÒnÍ¤ÑÈlÝÆPmÌolÊ·Æ3Í¤mom]/ÈwÍ¤l^4]<Ñ molÈz]/ÈwÍ¤l^Ì}l^ËÈwÉÆóÕIÍ¤mwÕIÑ¤Æª]<^_Ën^_ÆPm

(18) Ä ÷;ú ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^ÌIØð"^ËÈwÉÆ Ñå]/ÈoÈwÆPm8ÕS]ÌoÆ P +â Í¹Ì8^lÈ ?±Í¤m]ÕØ é Ì+]<^Ë]<ÏÏÑ¤Í¹ÕS]/ÈwÍ¤l^Ë×DÆ _ÆS_nÕIÆWÈwÉ4]/ÈDÌÏ ÆSÕIÍå]<Ñ Þl×Ì3ÒnÍ¤ÑÈ+lÝÆPm3ÆPmoÔl\_Í¹ÕWÍ¤^¢ÈwÆPmÝ]<Ñ Æ ÕÉ4]<^ÔÆÙÈwm]<^ÌÇÃlmoÊË]/ÈwÍ¤l^Ì']<^_ n^_ÆPm9ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^Ì9lÇ;Ò ln^_ÆS_>Ý]<moÍå]/ÈwÍ¤l^@ÚW]<^_. ÕIl^ÌoCÆ B¢nÆP^¢ÈwÑÖFÆPmoÔl\_Í¹Õ¸ÕIlÊ·Ï l^ÆP^¢ÈÌ±lÇÒÍ¤Ñ¤Ñ¤Íå]<mw_FÞl×Ìl^Fm]/ÈwÍ¤l^4]<ÑÏ lÑÖ\Ôl^ÌIÚ°]<moÆ _Í¹1Ì #lÍ¤^¢ÈÇÃmolÊ ]<Ñ¤Ñ¢Ê·:Í \Í¤^ÔWÞl×ÌPØ/k}ÉÍ¹ÌÌÈwmoÆP^ÔÈwÉÆP^Ìê;]/ÈwlÛ ëÌÕIÑå]ÌoÌoÍ¹ÕS]<Ñ¢moÆSÌonÑÈÌ]PÖ\Í¤^Ô ÈwÉ4]/È ÌonÕÉLÞl× Ì]<moÆ;^lÈWÊ·:Í \Í¤^ÔFioì<ñeqzØ nmÈwÉÆPmoÊÅlmoÆÚ ×}ÆÐÏmolÝÆãÈwÉ4]/È;ÆIÝÆPmÖÙÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ£Þl× ÕIl^Ì#ÈwmonÕ ÈwÆS_alÝÆPm¸]àÕIÍ¤mwÕIÑ¤Æ molÈz]/ÈwÍ¤l^ç×ÉÍ¹ÕÉ ]_Ê·ÍÈÌF]?Ìon·ÕIÍ¤ÆP^¢ÈwÑÖÓÇ]ÌÈ¶]<ÏÏmol \Í¤ÊË]/ÈwÍ¤l^ Ò¢Öjm]/ÈwÍ¤l^4]<Ñ¹ÌF]<^_ n^_ÆPm8mollÇÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^6Ò ÆPÑ¤l^ÔÍ¤^ÔãÈwl

(19) Ä ÷;ú Í¹Ì8_Í¹$Ì #lÍ¤^¢ÈÇÃmolÊ ×}Æ]<ÛÑÖËÊÅ:Í \Í¤^Ô + 2

(20) 3 Þl× ÌPØk8ÉÍ¹ÌáÆSÌwÌÆP^¢ÈwÍå]<Ñ¤ÑÖ³Ì#ÈwmoÆP^ÔÈwÉÆP^ÌÅê l\ÕÉÆPmoÔÍ¤^@ëÌ·ÕIÑå]ÌwÌÍ¹ÕS]<ÑWmoÆSÌnÑÈÅÌ]PÖ\Í¤^Ô ÈwÉ4]/È ÌonÕÉ'ÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ°Þl× Ì]<moÆ;^lÈÊ·:Í \Í¤^Ô'ioìôôIñeqzØ Í¹Ì]Þl×³l^ ¿ R c Á c Á O b Á Â"! f+V$#K/R%#£ZKQzN ¿ é±ÌoÌonÊ·Æ+ÈwÉ4]/È ØúnÕÉË]±Þl× _ÆIÈwÆPmoÊÅÍ¤^ÆSÌ3]ón^ÍÈzS]<m= ÖÅ]{S Õ ÈwÍ¤tl}^@t∈R ÚÌ#ÈwÍ¤Ñ¤Ñ4_ÆP^lÈwÆS_. (X, B, µ). S = {St }t∈R.

(21) #. }¡ ¦ z z/ó¬Ð¡\8/#H. û ü. Ò¢Ö. S. ÚlÇ. R. l^. L2 (X, B, µ). Ò¢ÖàÈwÉÆ;ÇÃlmoÊánÑå] f 7→ f ◦ St .. +Ö¨]LÞl×õ×DÆ·×Í¤Ñ¤ÑD]<Ñ×W]PÖÌÎÊ·Æ]<^ò]-)

(22) ,ÚÍØÆØ×DÆÅmoÆCB¢nÍ¤moÆËÈwÉ4]/È¸ÈwÉÆ Í¹Ì ]<Ò lÝÆFmoÆPÏmoÆSÌoÆP^¢Èz]/ÈwÍ¤l^jÍ¹ÌËÕIl^¢ÈwÍ¤^nlnÌ+ÈwÉÆFÊà]<Ï R 3 t 7→ hf ◦ St , gi ∈ C ÕIl^¢ÈwÍ¤^nlnÌ+ÇÃlmD]<Ñ¤Ñ ¢ Ø. é w Ì Ì n Å Ê 8 Æ · Ê l o m P Æ l Ý P Æ £ m w È 4 É / ] È ¹ Í £ Ì P Æ o m Ô \ l _ ¹ Í ± Õ < ] ^ _ f, g ∈ L2 (X, B, µ) S Ñ¤ÆIÈ Ò ÆË]<^lÈwÉÆPmÎÆPmoÔl\_Í¹ÕÅÞl× _ÆPß^ÆS_al^ Ø +Öa] + ,-(*. (*. T = {Tt }t∈R ]<^_ ×DÆáÊÅÆ]<^Ù]<^¢Ö Í¤^¢Ý]<moÍå]<^¢(Y, È;ÏC, molÒ4ν)]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®Ö¶Ê·Æ]ÌonmoÆ Ò ÆIÈ®×} ÆPÆP^ S T l^ ×ÉlÌÆFÏmol #ÆSÕ {S ÈwÍ¤lt ^×ÌàTlt^ }t∈R â ]<^_ ]<moÆ'CÆ B¢n4]<ÑÈwl ]<^_ (X × Y, B ⊗ C) X Y µ ν moÆSÌoÏ ÆSÕ ÈwÍÝÆPÑÖØ3k8ÉÆ9ÌoÆIÈãl> Ç #lÍ¤^Í¤^ÔÌÐÒ ÆIÈ®×}ÆPÆP^ ]<^_ Í¹ÌÐ_ÆP^lÈwÆS_?Ò¢Ö Ø S T J(S, T ) k8ÉÆ6ÌonÒÌÆIÈÅlÇÆPmoÔl\_Í¹Õ #lÍ¤^Í¤^ÔÌ·Í¹Ìã_ÆP^lÈwÆS_³Ò¢Ö e ]<^_ò×DÆ9×WmoÍÈwÆ ]<^_ e Í¤^ÌÈwÆ]_àlÇ ]<^_ e moÆSÌÏ JÆSÕ Èw(S, ÍÝÆPTÑÖØ) £moÔl\_Í¹2 Õ #lÍ¤^Í¤^ÔJ(S) ÌW]<moÆ J (S) J(S, S) J (S, S) Æ ]Õ ÈwÑÖÅ Æ ÈwmoÆPÊË]<Ñ4Ï lÍ¤^¢ÈÌDÍ¤^·ÈwÉÆ ÌoÍ¤Ê·ÏÑ¤ Æ. Ø÷±ÍÝÆP^ _ÆPß^Æª]<^ J(S, T ) lÏ ÆPm]/Èwlm Ò¢Ö9moCÆ B¢nÍ¤moÍ¤^Ô·ÈwÉ4%]/∈ È J(S, T ) 2 2 Φ% : L (X, B, µ) → L (Y, C, ν). . f (x)g(y) d%(x, y) = Φ% (f )(y)g(y) dν(y). X×Y. Y. ÇÃlm£Æ]ÕÉ ]<^_ Øk8ÉÍ¹Ì£lÏ ÆPm]/Èwlm3É4]ÌÈwÉÆWÇÃlÑ¤Ñ¤l×Í¤^Ô f ∈ L2 (X, B, µ) g ∈ L2 (Y, C, ν) ¶]<moÛlÝ9ÏmolÏ ÆPmÈ®Ö i0ùq 'lmoÆPlÝÆPmPÚ. Φ% 1 = Φ∗% 1 = 1. ]<^_. . i ;q. Φ% f ≥ 0. ×WÉÆP^ÆIÝÆPm. ÇÃlmWÆ]ÕÉ. Φ% ◦ S t = Tt ◦ Φ %. f ≥ 0.. t ∈ R.. "ð ^jÇ]Õ ÈSÚ}ÈwÉÆPmoÆÙÍ¹ÌL]µl^Æ Èwl l^Æ¨ÕIlmomoÆSÌÏ l^_ÆP^ÕIÆ¨Ò ÆIÈ®×}ÆPÆP^>ÈwÉÆaÌÆIÈLlÇ ¶]<moÛlÝ â â lÏ ÆPm]/ÈwlmwÌ Ìw]/ÈwÍ¹ÌoÇåÖ\Í¤^Ôòi ;qó]<^_ÙÈwÉÆ·ÌÆIÈ Ú Φ : L2 (X, B, µ) → L2 (Y, C, ν) J(S, T ) ×ÉÆPmoÆóÈwÉÆ #lÍ¤^Í¤^Ô ÔÍÝÆP^LÒ¢Ö Í¹ÌW_ÆIÈwÆPmoÊÅÍ¤^ÆS_6Ò¢ÖËÈwÉÆÎÇÃlmoÊánÑå] %. Φ. %(A × B) = Φ(χA ) dν B. ÇÃlm+Æ]ÕÉ ]<^_ iÌÆPÆ ÆØÔØUìô4/ñeqzØ¶]<moÛlÝ·lÏ ÆPm]/ÈwlmwÌDÕIlmomoÆSÌoÏ l^_Í¤^Ô¸Èwl A∈B B∈C ÆPmoÔl\_Í¹2 Õ #lÍ¤^Í¤^ÔÌ+×Í¤Ñ¤Ñ Ò Æ±ÕS]<Ñ¤Ñ¤ÆS_'(*. & , ,-) IØ lÈwÍ¹ÕIÆ ÈwÉ4]/È+ÈwÉÆ±Ïmol\_nÕ È}Ê·Æ] ÆCB¢n4]<Ñ¹ÌÈwÉÆ â ÌonmoÆWÕIlmomoÆSÌÏ l^_Ì£Èwl±ÈwÉ@ Æ F]<moÛlÝálÏ ÆPm]/Èwlm3_ÆP^lÈwÆS_ãÒ¢Ö Ú<×ÉÆPmoÆ (f ) ÕIl^ÌÈz]<^¢ÈDÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^ Ø Ä ^ ×DÆÕIl^ÌoÍ¹_ÆPm3ÈwÉÆW×DÆ]<ÛÐlÏ ÆPm]/Èwlm3ÈwlÏ lÑ¤lÔÖØ J(S) f dµ X ð"^FÈwÉÍ¹ÌÈwlÏ lÑ¤lÔÖ Ò ÆSÕIlÊ·ÆSÌó]·ÊÅÆIÈwmoÍ¤æ]<ÒÑ¤ÆÐÕIlÊ·Ï4]Õ ÈóÌoÆPÊ·ÍÈwlÏ lÑ¤lÔÍ¹ÕS]<ÑÌoÆPÊ·Í âØ ÔmolnÏòÍ¤^¨×ÉÍ¹ÕÉ J(S) Í ÇÃlmã]<Ñ¤Ñ 2 g ∈ L (X, B, µ) % f, gi lm Æ]ÕÉ Ú %n ÕS→ ]<^F%Ò ÆáÕIlhΦ ^Ì%Í¹n_f, ÆPmogi ÆS_ → ]Ìó ]hΦF ]<moÛlÝLlÏ ÆPm]/Èwf,lmó l^ 2 Ø t ∈ R St L (X, B, µ) k8ÉÆÕIlmomoÆSÌoÏ l^_Í¤^ÔÐÌÆPÑ¤Ç #lÍ¤^Í¤^ÔáÍ¹Ì3_ÆP^lÈwÆS_ÅÒ¢Ö ]<^_ÅÍÈ3Í¹Ì£ Æ ]Õ ÈwÑÖã ÈwÉÆ #lÍ¤^Í¤^Ô µS t ÕIl^ÕIÆP^¢Èwm]/ÈwÆS_'l^6ÈwÉÆªÔmâ ]<ÏÉ'lÇ Ø S lÑ¤Ñ¤l×Í¤^Ô¨#ì "/ñ0Ú ]<^_ ]<moÆ·tÕS]<Ñ¤Ñ¤ÆS_ &-(*)*+ ,(*. /Í¤Ç Ø >B¢nÍÝ S T J(S, T ) = {µ ⊗ ν} ]<Ñ¤ÆP^¢ÈwÑÖÚUÈwÉÆálÏ ÆPm]/Èwlm Í¹Ì ÈwÉÆ¸l^Ñ5 Ö F]<moÛlÝFlÏ ÆPm]/Èwlm ÈwÉ4]/ÈóÍ¤^¢ÈwÆPmÈ®×Í¤^ÆSÌ ]<^_ â St ieÇÃlm8Æ]ÕÉ qzØ. . Tt. t∈R.

(23) (®ÿ 2

(24) . /ÿ. . #. û #. é^ÓÆPmoÔl\_Í¹ÕaÞl× l^C]?Ì#Èz]<^_]<mw_ ÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®ÖçÌoÏ4]ÕIÆ Í¹ÌàÌw]<Í¹_íÈwlµÉ4S]PÝ= ÆFÈw{S ÉÆ t : t ∈ , R} / ?Í¤Ç (X, B, µ) S := {St : t ∈ R} ⊂ J e (S) iÌoÆPÆË#ì 4ñeqzØ Ú¢ÌolÎÍÈ3Í¹ÌD]<^ 2

(25) 3ÙÞl×;Øð0È+Í¹Ì+]<Ñ¹ÌolÎÆ]ÌÖ ð"Ç Í¹Ì£ÊÅ:Í \Í¤^ÔªÈwÉÆP^ t∈R ÈwlÅÌoÆPÆ;SÈwÉ4]/Èó]<Ñ¤Ñ°ÆPmoÔl\_Í¹ÕÎS Þl= ×Ì8{S ×tÍ}ÈwÉF _Í¹∪ÌoÕI{moÆI}ÈwÆáÌÏ ÆSÕ ÈwmonÊ É4]PÝÆ;ÈwÉÆ 2

(26) 6?ÏmolÏ ÆPmÈ®ÖØ ð0ÈÎ×W]Ì¸ÌÉl×^¨Í¤^>ìôù/ñ£ÈwÉ4]/È·÷ª]<nÌwÌÍå]<^òÞl×ÌÎÉ4]PÝÆÅÈwÉÆ 2

(27) 3jÏmolÏ ÆPmÈ®Ö iÌoÆPÆà]<Ñ¹Ìol #ì 4/ñ}ÇÃlm·]F_Í¤moÆSÕ ÈãÏmollÇqz2 Ø 'lmoÆPlÝÆPmPÚïlÍ¹ÌwÌl^íÌnÌoÏ ÆP^ÌÍ¤l^íÞl× Ìã]<^_?_\Ö\^4]<Ê·Í¹ÕS]<Ñ ÌÖÌ#ÈwÆPÊËÌ+ÕIlÊ·Í¤^ÔÎÇÃmolÊ Ì#Èz]/ÈwÍ¤l^4]<mÖËÌÖ\Ê·Ê·ÆIÈwmoÍ¹Õ ÌÈz]<ÒÑ¤Æ±Ïmol\ÕIÆSÌoÌoÆSÌ}]<Ñ¹Ìol¸ÆP^ #lÖãÈwÉÆ αâ 2

(28) 3òÏmolÏ ÆPmÈ®ÖïÌoÆPÆÅ<ì ;<ñeqzØ únÏÏ lÌÆ8ÈwÉ4]/È Í¹Ì£]<^ãÆPmoÔl\_Í¹Õ8Þl×íl^ Ø÷óÍÝÆP^Å] ÏmolÒ4] â ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®Ö +lmoÆPÑ Ê·Æ]ÌonTmoÆ = {T l^ t }t∈R_ÆPß^ÆWÈwÉÆ Í¤^¢ÈwÆPÔm]< Ñ F]<mo(X, ÛlÝ·B, lÏ µ) ÆPm]/Èwlm P R T dP (s) R s l^ 2 Ò¢Ö. . L (X, B, µ). D. . E. Ts dP (s) f, g = hTs f, gi dP (s). R. R. ÇÃlm¸]<Ñ¤Ñ Ø@é ^4]<ÑÖÌÍ¹ÌÎÌoÍ¤Ê·Í¤Ñå]<móÈwl6ÈwÉ4]/È;Í¤^¨ï£molÏ lÌÍÈwÍ¤l^ ;\Ø²ùàlÇóì#4ñ 2 ÔÍÝÆSÌ8ÈwÉf,Æ;gÇÃl∈ Ñ¤Ñ¤lL ×WÍ¤^(X, ÔÅmoB, ÆSÌonµ) ÑÈSØ.

(29) ¶ô ! #" {tT}=⊂{TR } ,-) D/. ,. (. 9/. (*)/. ). t t∈R .!&. n. $ 0<α≤1 (*). /. .. -.. ,&-(. , ,-.. ). /. (Y, C, ν). /. Ttn → α Ts dP (s) + (1 − α)J,. .

(30)

(31) % R J ∈ J(T ) &(' P ) +* ieÍÃq T -, . ) /01 2 ieÍ¤ÍÃq T 3

(32) & (*). ,. (*). ( ($/. &-(*)$+ ,-(*. /. ,. (*)&-(*)$+ ,-(*.0/. (. R. @,. -). ,-.. ( (*.. ,. ,. -. &. .. ). ( (*.. ,. ). .. -). P. (*). . .!,/. k ÉÆ;ÇÃlÑ¤Ñ¤l×WÍ¤^Ô·È®×Dl·Ñ¤ÆPÊ·ÊË]ÌD×WÍ¤Ñ¤Ñ°Ò Æ;ÕIl^¢ÝÆP^Í¤ÆP^¢È±Í¤^']<ÏÏÑ¤Í¹ÕS]/ÈwÍ¤l^ÌlÇï£molÏ lÌÍ } â ÈwÍ¤l^¨ôØ. 40567698 ù:

(33) B, µ) hT χ T, χ: Li ≥(X,0 B, µ) →A, LB (X, ∈ B& ieÍÃq<; Ú / = # , 2 . & T1 = T 1 = 1 T ieÍ¤ÍÃq>; Ú T1 = 0 T ≡ 0& ? ieÍÃq}úÍ¤^ÕIÆ , T χ i ≥ 0 ÇÃlm]<Ñ¤Ñ A, B ∈ B Ú\×DÆ±É4]PÝÆ hf, T χ i ≥ 0 ÇÃlmªÆ]ÕÉ ^& l^ ^ÆPÔ¢]/ÈwÍÝhχ Æ ]<^_ Ø ÆP^ÕIÆ ÇÃlm ,-). (*.. ,. / , ). /. 9/. ∗. /. (*). 2. , .!&. ,. /. /. 2. /. .. A. B. (*). ,. ,. / ,. .. ,,. A. ∗. B L2 (X, B, µ). ∗. . B. hT f, χB i ≥ 0 Æ]ÕÉ <] â ^_9ÈwÉnÌ f ∈ ÇÃlm±]<^¢Ö ØB ∈ B B∈B Tf ≥ 0 f ≥0 ieÍ¤ÍÃq +ÖL]ÌoÌonÊ·ÏÈwÍ¤l^@Ú ÇÃlmWÆIÝÆPmÖ Ø ä+l^ÌoÆCB¢nÆP^¢ÈwÑÖÚ U T χA ≥ 0. ]<^_9ÈwÉÆPmoÆPÇÃlmoÆ. A∈B. T χA = T (1 − χAc ) = −T χAc ≤ 0 T χA = 0. ÇÃlm8ÆIÝÆPmÖ. A∈B. Ú×ÉÍ¹ÕÉLÍ¤Ê·ÏÑ¤Í¤ÆSÌ. T ≡0. Ø. &.

(34) }¡ ¦ z z/ó¬Ð¡\8/#H. ûIû #. 40567698 / . = #, -2 !" {T } {T },2J

(35) - , L (X, +B, µ) & ! 0<α≤1 A, B ∈ B & lim hT χ , χ i ≥ αhJχ , χ i ' +, 4 Ú T → αJ + (1 − α)J J /= $, -2 & ? ±ÆP^lÈwÆËÒ¢Ö T : L (X, B, µ) → L (X, B, µ) ÈwÉÆÅ×}Æ]<ÛÙÑ¤Í¤Ê·ÍÈ¸lÇ}ÈwÉÆ ÌoÆ ¢nÆP^ÕIÆ & Ø +ÖL]ÌoÌonÊ·ÏÈwÍ¤l^@Ú×}ÆªÉ4]PÝÆ 5;. /. ). /. , ,. n. ,-.. .. ). n. 9/. ). (*. /. / ,. 8,. ). ,-.. ,-). 2. / ,. / ,. , :,. -. &8/. /. /. -(*) /1). /. ,. n→∞. .. ,,. CB. ieöq. 0 (*). ) ,. n A. B. n. ,. ?. {Tn }. A. ,. / ,. 2. B. 0. 2. Ø Ø

(36) °ÆIÈ 0 Ò Æã_ÆPß^ÆS_ÙÒ¢Ö 0 Case 1 α < 1 J : L2 (X, B, µ) → L2 (X, B, µ) Ø m o l Ê e i ö z q Ú D × 6 Æ 4 É P ] Ý Æ Ã Ç l Å m < ] Ñ¤Ñ Ø+úJÍ¤^ÕI=Æ 1 0χ , χ i ≥ 0 hJ A, B ∈ B (T − αJ) 1−α Ú Í¹ÌD] F]<moÛlÝ·lÏ ÆPm]/Èwlm8A]Ì£×}BÆPÑ¤ÑÚ¢Ò¢Ö

(37) °ÆPÊ·ÊË]ÎùØä+l^ÌoCÆ B¢nÆP^¢ÈwÑÖÚ J 0 1 = J 0∗ 1 = 1 J 0 Ø Tn → αJ + (1 − α)J 0 Ø molÊ ieöqzÚ×}ÆWÉ4]PÝÆ ÇÃlmD]<Ñ¤Ñ Ø Case 2 α = 1 h(T − J)χA , χB i ≥ 0 A, B ∈ B úÍ¤^ÕIÆ Ú ÚÒ¢9 Ö

(38) °ÆPÊ·ÊË]ãùØUä+l^ÌoCÆ B¢nÆP^¢ÈwÑÖÚ Ø hT χA , χB i ≥ αhJχA , χB i. ÇÃlm]<Ñ¤Ñ. A, B ∈ B. (T − J)1 = 0 T ≡ J. Tn → J. b R ÅO ¿

(39) °ÆIÈ Ò Æ ]<^>ÆPmoÔl\_Í¹Õa]<nÈwlÊ·lmoÏÉÍ¹ÌoÊèlÇ¸]µÌ#Èz]<^_]<mw_ ¿ #£Z\YcÃ Ï molÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®ÖòÌoÏ4]ÕIÆ Ø3T?±ÆP^lÈwÆËÒ¢Ö

(40) @ÆPÒ ÆSÌoÔnÆàÊ·Æ]ÌnmoÆËl^ Øé ÌwÌonÊ·Æ (X, B, µ) λ R ÈwÉ4]/È Í¹Ì£] Ï lÌoÍÈwÍÝÆ8ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^@Ø¢k}ÉÆ ) ( , 1 T f = {(T f )t }t∈R ÒnÍ¤ÑÈ±fÇÃmo∈lÊ L (X, ]<^B, _ µ)Í¹Ì_ÆPß^ÆS_Ll^LÈwÉÆ¸ÌoÏ4]ÕIÆ f = {(x, t) ∈ X × R : 0 ≤ t < iÕIl^ÌoTÍ¹_ÆPmoÆS_Ëf×ÍÈwÉ f Ú¢ÈwÉÆ±moÆSÌ#ÈwmoÍ¹Õ ÈwÍ¤l^6lX Ç ÈwÉÆ± Ïmol\_nÕ È ]<Ñ¤ÔÆPÒm]\Ú]<^_ f Ú f (x)} â ^_ÆPmªÈwÉÆË]Õ ÈwµÍ¤l^ ÈwÉÆ·moÆSÌ#ÈwmoÍ¹Õ ÈwÍ¤l^µlÇ3ÈwÉÆ·ÏmoBl\_nÕ È¸Ê·Æ]ÌonmoÆ Èwl qz Ø σ. µ⊗λ X×R lÇÈwÉÆáÌÏ ÆSÕIÍå]<ÑÞl× Æ]ÕÉFÏ lÍ¤^¢È±Í¤^ f Ê·lÝÆSÌWÝÆPmÈwÍ¹ÕS]<Ñ¤ÑÖ¶]/È n^ÍÈóÌoÏ ÆPÆS_ Ú@]<^_L×DÆ Í¹_ÆP^¢ÈwÍ¤ÇåÖ³ÈwÉÆFÏ lÍ¤^¢È ×WÍÈwÉ X iÌÆPÆFÆØÔØ±ìùÚ}ä+É4]<ÏÈwÆPm¶ôô ñeqzØ}÷±ÍÝÆP^ (x, f (x)) (T x, 0) ×DÆ;ÏnÈ m∈Z  m−1 x) Í¤Ç m > 0,  f (x) + f (T x) + · · · + f (T Í¤Ç f (m) (x) = 0 m = 0,  Í¤Ç  m −1. . −(f (T x) + · · · + f (T. x)). m < 0.. k ÉÆª]Õ ÈwÍ¤l^9lÇ f ÕS]<^àÒ Æ ×}ÆPÑ¤Ñ n^_ÆPmwÌÈwll\_à×WÉÆP^Ë×}Æ±ÕIl^ÌoÍ¹_ÆPmDÈwÉÆ±ÇÃlÑ¤Ñ¤l×Í¤^Ô } ]Õ ÈwÍ¤l^ÌËl^íÈwÉÆ¶ÌÏ4T]ÕIÆ Ø7Í¤mwÌÈSÚ3Ñ¤ÆIÈ (X × R, µ ⊗ λ) _ÆP^lÈwÆªÈwÉÆ¸ÌÛÆI× Ïmol\_nÕ È ÔÍÝÆP^LÒ¢Ö S−f : (X × R, µ ⊗ λ) →. (X × R, µ ⊗ λ). lÈwÍ¹ÕIÆáÈwÉ4]/È. S−f (x, r) = (T x, r − f (x)).. ÇÃlmªÆ]ÕÉ ØäDl^ÌÍ¹_ÆPmóÈwÉÆ k k f (k) (x)) k∈Z ¢nlÈwÍ¤ÆP^¢È;ÌoÏ4](S ÕIÆ −f f) (x, r) = (T Ú x,×rÉ− ÆPmoÆÎ ÈwÉÆámoÆPÑå]/ÈwÍ¤l^ Í¹Ì± _ÆPß^ÆS_¶Ò¢Ö Γ = X × R/∼ (x, r) ∼ Í ÇÃlm+]<^ãÍ¤^¢ÈwÆPÔÆPm ØúÍ¤^ÕI∼Æ (k) ]\ØÆØ¤Ú (x0 , r0 ) (x, r) = (S−f )k (x0 , r0 ) k f (x) → +∞ µâ ×ÍÈwÉ6^l·Ñ¤lÌwÌ8lÇÔÆP^ÆPm]<Ñ¤ÍÈ®Ö6×DÆ;ÕS]<^¶]ÌoÌonÊ·ÆªÈwÉ4]/È8ÈwÉÆÎÌoÆIÈ B. {(x, r) ∈ X × R : 0 ≤ r < f (x)}.

(41) (®ÿ 2

(42) . /ÿ. . û. # . Í¤^¢ÈwÆPmwÌoÆSÕ ÈÌ¸Æ]ÕÉ¨ÆCB¢nÍÝ]<Ñ¤ÆP^ÕIÆ9ÕIÑå]ÌwÌÎlÇ Í¤^¨Æ ]Õ ÈwÑÖal^ÆÅÏ lÍ¤^¢È9i]<^_¨ÉÆP^ÕIÆàÕS]<^ ∼ Ì#Èz]<^_ËÇÃlm3ÈwÉÆ±Þl×jl^ Ò Æ±Í¹_ÆP^¢ÈwÍ¤ßÆS_Ë×WÍÈwÉ f qzØ

(43) °ÆIÈ Γ σ = {σt }t∈R (X × R, µ ⊗ λ) ÔÍÝÆP^LÒ¢Ö. lÈwÍ¹ÕIÆ·ÈwÉ4]/È. σt (x, r) = (x, r + t).. IÕ lÊ·ÊÐnÈwÆSÌó×ÍÈwÉ Øk}ÉÆP^¨ÈwÉÆËÌoÏ ÆSÕIÍå]<Ñ+Þl× ÕS]<^µÒ ÆÅÌoÆPÆP^ σt S−f Tf ]ÌWÈwÉÆ B¢nlÈwÍ¤ÆP^¢ÈóÞl×ClÇÈwÉÆÐ]Õ ÈwÍ¤l^ Ò¢Ö9ÈwÉÆ¸moÆPÑå]/ÈwÍ¤l^ Ø ð0È ÇÃlÑ¤Ñ¤l×ÌÈwÉ4]/È±ÔÍÝÆP^ σ ∼ < ] ^ _ w È É P Æ o m ; Æ Æ. \. ¹ Í Ì È. Ì á ] n ^ Í ¢ B n Æ Ì n Õ 6 É ÈwÉ4]/È f. (x, r) ∈ X. 56(8 Óô. t∈R. f. k. (T )t (x, r) = (S−f ) ◦ σt (x, r).. lm ]<Ñ¤Ñ@ÊÅÆ]Ìnm]<ÒÑ¤Æ. ×}ÆªÉ4]PÝÆ. A, B ⊂ X f X µf ((T f )t A ∩ B) = µ ⊗ λ((S−f )k σt A ∩ B).. 56(8 Cù:ãúnÏÏ lÌÆÅÈwÉ4]/È. ÈwÉÆ;ÇÃlmoÊ. k∈Z. A = A1 × A2. Ú. k∈Z. A, B ⊂ X × R Øk}ÉÆP^ B = B1 × B2. µ ⊗ λ((S−f )k A ∩ B) =. . T k A1 ∩B1. ]<moÆÅÊ·Æ]Ìnm]<ÒÑ¤ÆËmoÆSÕ Èz]<^ÔÑ¤ÆSÌÎlÇ. λ((A2 + f (−k) (x)) ∩ B2 ) dµ(x).. k}ÉÆ;ÏmollÇeÌWlÇÈwÉÆ;moÆPÊË]<moÛ\Ì]<moÆÎÌÈwm]<Í¤ÔÉ¢ÈwÇÃlm×W]<mw_F]<^_LÕS]<^LÒ Æ;ÇÃln^_6Í¤^µì#4ñ0Ø ÷±ÍÝÆP^ lÇ±Ï lÌÍÈwÍÝÆ'Ê·Æ]ÌonmoÆ'ÕIl^ÌÍ¹_ÆPm·ÈwÉÆLÍ¤^_nÕIÆS_«]<nÈwlÊÅlmoÏÉÍ¹ÌÊ A ∈ B ]<^_³ÈwÉÆ'ßmwÌ#ÈàmoÆIÈwnmo^«ÈwÍ¤Ê·ÆLÊË]<Ï Èwl Ø}÷óÍÝÆP^ ] TA : A → A Ñ¤ÆIÈ τA : A → N Ò Æ A_ÆPß^ÆS_>Ò¢Ö Ï lÌoÍÈwÍÝÆ Í¤^¢ÈwÆPÔm]<ÒÑ¤Æ ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^ Øk8ÉÆP^µÈwÉfÆ6:ÌÏ X ÆSÕIÍå]<→Ñ8ÞRl×Ì ffA ]<^: _ A → fRA ]<moÆàÊ·ÆIÈwmoÍ¹ÕS]<Ñ¤ÑÖ fA (x) = f (τA (x)) (x) T (TA ) Í¹ÌolÊ·lmoÏÉÍ¹ÕØ. # Z\YcÃb R ÅO RUZK b4d°QSRUgaR4K #cOSgÖb c Á b eR°Yb K<c ceÂcåQzN ¿ £ ° Ò ÆL]¶ÕIlÊ·Ï4]Õ ÈãÊ·ÆIÈwmoÍ¹Õ9ÌoÏ4]ÕIÆØ>

(44) °ÆIÈ ÌÈz]<^_?ÇÃlmáÈwÉÆ #K/R#ZKQzN ¿

(45) °ÆIÈ ]<Ñ¤ÔÆPÒm]alÇª]<Ñ¤Ñ D (X, lmoÆPÑd)ÌoÆIÈÌË]<^_³Ñ¤ÆIÈ Ò ÆF]ÙÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®Ö$DlB moÆPÑÊ·Æ]ÌonmoÆLl^ σ â Ø. µ ú nÏÏ lÌoÆ±ÈwÉ4]/È Í¹Ì8]<^àÆPmoÔl\_Í¹ÕóÊ·Æ]ÌonmoÆ ÏmoÆSÌÆPmÝ\Í¤^ÔË]<Xn T : (X, B, µ) → (X, B, µ) ÈwlÊ·lmoÏÉÍ¹ÌoÊ ]<^_·ÈwÉÆPmoÆóÆ \Í¹ÌÈW]<^àÍ¤^ÕImoÆ]ÌÍ¤^Ô·ÌÆCB¢nÆP^ÕIÆ lÇ°^4]/â Èwnm]<Ñ ^nÊáÒ ÆPmwÌ â {qn } ]<^_']ÐÌoCÆ B¢nÆP^ÕIÆ lÇ DlmoÆPÑÌoÆIÈÌWÌonÕÉ6ÈwÉ4]/È {Cn }. µ(Cn ) → α > 0,. µ(Cn 4 T −1 Cn ) → 0,. sup d(x, T qn x) → 0.. x∈Cn.

(46) @ÆIÈ Ò ÆÎ]¸Ï lÌoÍÈwÍÝÆ DlmoÆPÑ@ÇÃn^Õ ÈwÍ¤l^@ØUúnÏÏ lÌoÆªÈwÉ4]/È8ÈwÉÆPmoÆ;Æ \Í¹Ì#ÈÌ 2 ] ÌoÆCB¢nÆP^fÕIÆ∈ L (X,lÇ µ) ; moÆ]<Ñ ^nÊáÒ ÆPmwÌ+ÌnÕÉÅÈwÉ4]/È+ÈwÉÆ ÌoÆCB¢nÆP^ÕIÆ {an } { Cn |fn (x)|2 dµ(x)} Í¹Ì8Ò ln^_ÆS_ Ú×ÉÆPmoÆ Ã Ç l m 4 Ø ± é D Ì w È É Î Æ _ ¹ Í Ì ÈwmoÍ¤ÒnÈwÍ¤l^Ì (qn ). fn := f − an n∈N 1 (fn |Cn )∗ (µ|Cn ) : n ∈ N µ(Cn ). ]<moÆªn^Í¤ÇÃlmoÊ·ÑÖÅÈwÍ¤ÔÉ¢ÈSÚÒ¢ÖÅÏ4]ÌwÌoÍ¤^ÔÐÈwl·]¸ÇÃnmÈwÉÆPmWÌnÒÌoÆCB¢nÆP^ÕIÆ;Í¤Ç°^ÆSÕIÆSÌwÌ]<mÖË×}ÆªÕS]<^ ]ÌwÌnÊÅÆóÈwÉ4]/È 1 (fn |Cn )∗ (µ|Cn ) → P µ(Cn ).

(47) }¡ ¦ z z/ó¬Ð¡\8/#H. û. # '. ×}Æ]<ÛÑÖáÍ¤^ Ú<ÈwÉÆWÌÆIÈ£lÇ4ÏmolÒ4]<ÒÍ¤Ñ¤ÍÈ®ÖDlmoÆPÑÊ·Æ]ÌonmoÆSÌl^ Ø