Liniowa realizacja modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania

Pełen tekst

(1)LINIOWA REALIZACJA MODELI DYNAMIKI STOSOWANYCH W KOMPUTEROWYCH DYNAMICZNYCH SYSTEMACH NAUCZANIA ANNA BARCZ PIOTR PIELA Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny. Streszczenie Głównym elementem komputerowych systemów nauczania dla operatorów obiektów dynamicznych jest system symulacyjny. Podstaw tego systemu s modele matematyczne obiektu nauczania. Wymaganym warunkiem dla komputerowych systemów nauczania jest dokładno odwzorowania zachowania obiektu nauczania. Poniewa od jakoci modelu dynamiki zaley bezporednio jako procesu nauczania wan rol w procesie tworzenia komputerowych systemów nauczania odgrywa proces korekty parametrów modelu. Opis zachowania obiektu nauczania w postaci liniowych układów równa dynamicznych stwarza moliwo korzystania z dobrze opracowanych metod ogólnej teorii systemów. Mona do nich zaliczy : sterowalno , obserwowalno , identyfikowalno i metody ich bada. Zastosowanie tych metod pozwala na uproszczenie procesu kalibracji złoonych modeli obiektu nauczania. W artykule opisano algorytm tworzenia nieprzeliczalnego zbioru modeli liniowych, odpowiadajcego podstawowemu układowi równa nieliniowych, który opisuje obiekt dynamiczny. Zaproponowano przykładowy sposób zastpienia nieprzeliczalnego zbioru modeli liniowych – zbiorem przeliczalnym. Słowa kluczowe: komputerowy system nauczania, matematyczny model dynamiki, kalibracja 1. Wprowadzenie Komputerowe systemy nauczania s szeroko stosowane w szkoleniu operatorów procesów technologicznych, kierowców transportu samochodowego, w szkoleniu mechaników i pilotów lotnictwa cywilnego, w nauczaniu i podnoszeniu kwalifikacji sterników statków i innych rodków transportu [2]. Wszystkie komputerowe systemy nauczania mona podzieli na dwie podstawowe kategorie: systemy statyczne i systemy dynamiczne. Merytoryczne treci i cechy charakterystyczne tych dwóch kategorii systemów przedstawiono w pracy [4]. Głównym elementem dynamicznego inteligentnego systemu nauczania jest system symulacyjny. System ten moe by. zrealizowany z rónym stopniem złoonoci oraz przy pomocy rónych technik imitacji wygldu obiektu rzeczywistego. Bez wzgldu na sposób realizacji system symulacyjny oparty jest na matematycznym modelu obiektu nauczania. Naley podkreli , e niedostateczna dokładno. modelowania dynamiki obiektu nauczania, jak równie niezadowalajce rozwizania zadania komputerowej wizualizacji mog doprowadza do ukształtowania nieprawidłowych nawyków u ucznia. W zwizku z tym istotn rol w procesie tworzenia dynamicznego inteligentnego systemu nauczania odgrywa korekcja parametrów modelu matematycznego obiektu nauczania. Przedstawienie procesu dynamicznego (który opisany jest wielowymiarowym układem nieliniowych równa róniczkowych) w postaci liniowego układu dynamicznego, którego parametry.

(2) POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 27, 2010. 29. zale od biecego stanu obiektu [5] stwarza moliwo korzystania z dobrze opracowanych metod ogólnej teorii systemów. Mona do nich zaliczy : sterowalno , obserwowalno , identyfikowalno i metody ich bada. Zastosowanie tych poj pozwala na uproszczenie procesu kalibracji złoonych modeli obiektu nauczania. 2. Przedstawienie modelu nieliniowego przeliczalnym zbiorem modeli liniowych Dany jest obiekt dynamiczny, którego zachowanie mona opisa równaniem:. X = Φ ( X , U , t ). (1) m. n. gdzie: X ∈ R , U ∈ R – odpowiednio wektory stanu i sterowa, Φ – odpowiedniej wymiarowoci wektorowa funkcja gładka wzgldem wszystkich swoich argumentów. Wynikiem linearyzacji nieliniowego układ (1) w przestrzeni stanów wokół kadego punktu pewnego ruchu bazowego jest zbiór systemów przyblienia liniowego w postaci:. X = A( X , U ) X + B( X , U )U + F (t ),. (. (2). ). gdzie: A X , U , B ( X , U ) – macierze bdce funkcjami punktu przestrzeni stanów. Układ równa (2) jest poprawny w małym otoczeniu kadego bazowego punktu przestrzeni stanów. Dla oceny bliskoci ruchu nieliniowego systemu (1) i systemu liniowego (2) mona opracowa odpowiednie oceny. Nieprzeliczalny zbiór systemów (2) mona aproksymowa przeliczalnym zbiorem liniowych stacjonarnych systemów w postaci:. X = A j X + B jU + F j (t ), W równaniach (3) wektory. ( j = 1,2, , S ). (3). X , U oraz macierze A j , B j s tych samych wymiarowoci, co. odpowiednie wektory i macierze w układzie (2). Na rysunku 1 pokazano kolejno postpowa w trakcie rozwizywania tego zadania..

(3) 30. Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizacja modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania. Rysunek 1. Przedstawienie modelu nieliniowego za pomoc przeliczalnego zbioru modeli liniowych Kady liniowy stacjonarny układ (3) jest poprawny w ograniczonym otoczeniu pewnego bazowego punktu przestrzeni stanów. Rozmiar tego otoczenia jest zaleny od wyznaczonej wartoci błdu aproksymacji (rysunek 2).. Rysunek 2. Przedstawienie procesu dynamicznego zbiorem przeliczalnych stacjonarnych modeli liniowych Błd aproksymacji mona zdefiniowa w nastpujcy sposób: niech dzie trajektori nieliniowego systemu (1) w przestrzeni. X = X ( X 0 , U , t ) b-. R , a X * = X * ( X 0 , U , t ) stanowi n. trajektori systemu (3) w tej przestrzeni. Wektor błdu (odchylenia ruchu systemu liniowego od ruchu systemu nieliniowego) mona okreli w postaci:.

(4) POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 27, 2010. 31. ξ j (t ) = X (t ) − X * (t ) ,. (4). Dane jest nastpujce zadanie: zamieni (aproksymowa ) system (1) zbiorem systemów (3) w taki sposób, aby niektóre oceny błdu aproksymacji nie przewyszały zadanej wartoci. Tak ocen moe by na przykład euklidesowa norma wektora błdu aproksymacji. ξ j (t ). lub inne. oceny. Rysunek 3 przedstawia schemat blokowy algorytmu realizujcego proces zamiany modelu nieliniowego przeliczalnym zbiorem modeli liniowych.. Rysunek 3. Algorytm przełczania modeli liniowych Zgodnie ze schematem na odcinku od liniowy:. X = A0 X + B0U + F0 (t ),. [0, t1 ] nieliniowemu obiektowi (1) odpowiada system (5).

(5) 32. Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizacja modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania. Odpowiednio na odcinkach. [t1 , t 2 ] , [t 2 , t3 ] bazowemu nieliniowemu systemowi (1) odpowia-. daj systemy liniowe:. [t1 , t 2 ] [t 2 , t3 ]. X = A1 X + B1U + F1 (t ), X = A2 X + B2U + F2 (t ).. . Wybór prawego punktu granicznego. ξ j ≤ ξ max. , gdzie. ξ max. t j powinien by zdefiniowany przez warunek. stanowi maksymaln dopuszczaln norm wektora błdu aproksy-. macji. Działanie algorytmu przedstawionego na rysunku 3 zostanie zilustrowane na przykładzie systemu trzeciego rzdu z dwoma sygnałami sterujcymi u1 i u 2 . Model tego systemu opisany jest nastpujcymi równaniami róniczkowymi:. y1 = y2 ° ® y 2 = −2 y1 − 0.5 y2 − 3 y3 + u1 , ° y = −4 y y − y + 2u 1 2 3 2 ¯ 3. (6). Pierwszy model liniowy odpowiadajcy modelowi nieliniowemu (6) w przedziale czasowym 0, t1 uzyskano na podstawie linearyzacji dla warunków stanu ustalonego: y10 = 0 , y20 = 0 ,. [. ]. y30 = 1 , u10 = 3 , u 20 = 0.5 ,. Kolejne modele liniowe odpowiadajce modelowi nieliniowemu w przedziałach czasowych. [t1 , t 2 ] , [t 2 , t3 ], itd. uzyskano. w wyniku zastosowania algorytmu. identyfikacji na podstawie obróbki danych ruchu obiektu nieliniowego (6). W przedstawionym przykładzie wykorzystano identyfikacj metod najmniejszych kwadratów [1, 3]. Model liniowy odpowiadajcy modelowi nieliniowemu w przedziale czasowym t1 , t 2 uzyskano w wyniku identyfikacji modelu nieliniowego na podstawie pomiaru przebiegu zmiennych stanu i sterowa w przedziale czasowym 0, t1 . Model liniowy dla przedziału czasowego t 2 , t 3 uzyskano stosu-. [. [. ]. ]. [. ]. jc identyfikacj na podstawie pomiaru przebiegu zmiennych stanu i sterowa modelu nieliniowego w przedziale czasowym t1 , t 2 , itd. Rysunek 4 przedstawia reakcj modelu nieli-. [. ]. niowego na skokow zmian sygnału sterujcego. u2 ..

(6) POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 27, 2010. 33. Rysunek 4. Odpowied modelu (6) na skokow zmian sygnału sterujcego u 2 dla maksymalnej dopuszczalna normy wektora błdu aproksymacji ξ max = 0.01 Pocztek skoku nastpił w czasie. t 0 = 0 . Amplituda skoku wynosiła 0.05. Cigł czarn lini. zaznaczono przebieg poszczególnych zmiennych stanu dla modelu nieliniowego. Pionowe linie oznaczaj momenty, w których nastpuje przełczenie modeli liniowych. Szar przerywan lini zaznaczono przebieg zmiennych stanu dla modeli liniowych. Maksymalna dopuszczalna norma wektora błdu aproksymacji dla przedstawionego przykładu wynosiła ξ max = 0.01 . Model.

(7) 34. Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizacja modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania. nieliniowy został zastpiony picioma modelami liniowymi, których macierze A i B zostały przedstawione w tabeli 1. Wszystkie wartoci własne le w lewej półpłaszczynie, zatem otrzymane modele liniowe s stabilne. Tabela 1. Wartoci parametrów zbioru modeli liniowych. Mona zauway , e przy realizacji takiego algorytmu maj miejsce skoki wartoci zmiennych stanu systemu. Skoki te odbywaj si w momentach przełczania liniowych modeli dynamicznych, poniewa warunki pocztkowe ruchu nastpnego liniowego modelu róni si od granicznych warunków na prawym kocu trajektorii poprzedniego modelu liniowego. Mona w znacznym stopniu zmniejszy warto skoków zmiennych stanu w momentach przełczenia modeli liniowych poprzez zmniejszenie maksymalnej dopuszczalnej normy wektora błdu aproksymacji. Rysunek 5 przedstawia przebieg zmiennej y3 w przypadku zmniejszenia maksymalnej dopuszczalnej normy wektora błdu aproksymacji do wartoci ξ max = 0.001 . Ilo modeli liniowych odpowiadajcych modelowi nieliniowemu uległa zmianie. Otrzymalimy zbiór trzynastu modeli liniowych, który znacznie lepiej przyblia model nieliniowy..

(8) POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 27, 2010. 35. Rysunek 5. Przebieg zmiennej y3 dla ξ max = 0.001 (rysunek dolny – powikszenie) Wykorzystujc omawiany algorytm przełczania modeli liniowych mona całkowicie wyeliminowa skoki wartoci zmiennych stanu. Sytuacja ta jest moliwa w przypadku, gdy jako warunki pocztkowe nowego modelu liniowego w momencie przełczania przyjmiemy wartoci zmiennych stanu poprzedniego modelu liniowego. W tym przypadku norma wektora błdu aproksymacji jest liczona dla modelu liniowego posiadajcego warunki pocztkowe równe wartoci zmiennych modelu nieliniowego w momencie przełczania. Oznacza to, e w danym przedziale czasowym przeprowadzamy symulacj dwóch modeli liniowych, o takich samych parametrach, lecz innych wartociach pocztkowych. Na rysunku 6 przedstawiono przebieg zmiennej y3 w przypadku zamiany modelu nieliniowego za pomoc skoczonego zbioru modeli liniowych bez skoku wartoci zmiennych stanu w momencie przełczania. Rysunek górny otrzymano dla maksymalnej dopuszczalnej normy wektora błdu aproksymacji wynoszcej ξ max = 0.01 , natomiast dolny dla ξ max = 0.001 ..

(9) 36. Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizacja modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania. Rysunek 6. Przedstawienie modelu nieliniowego zbiorem modeli liniowych bez skoku wartoci zmiennych stanu w momencie przełczania 2. Podsumowanie Głównym elementem dynamicznego komputerowego systemu nauczania jest model obiektu nauczania. Zachowanie tego modelu w czasie rzeczywistym powinno precyzyjnie odpowiada zachowaniu obiektu rzeczywistego, jednak tworzenie tego typu modeli jest procesem trudnym i pracochłonnym. Przedstawienie zada modelowania dynamiki w postaci liniowych układów równa dynamicznych stwarza moliwo korzystania z dobrze opracowanych metod ogólnej teorii systemów. Mona do nich zaliczy : sterowalno , obserwowalno , identyfikowalno i metody ich bada. Zastosowanie tych poj pozwala na uproszczenie procesu kalibracji złoonych modeli obiektu nauczania. Opisane w artykule zadanie zamiany modelu nieliniowego przeliczalnym zbiorem modeli liniowych moe zosta zrealizowane na dwa sposoby. W pierwszym przypadku otrzymujemy skoki wartoci zmiennych stanu w momentach przełczania modeli. Zaistniała sytuacja nie powoduje jednak trudnoci dla uytkownika, poniewa liniowe modele dynamiczne wykorzystano tylko w badaniach charakterystyk modelowanego systemu, a komputerowa symulacja modelu odbywa si w oparciu o pełny nieliniowy układ równa róniczkowych. Sposób drugi, bez skoków zmiennych stanu, umoliwia zamian modelu nieliniowego zarówno w badaniach charakterystyk systemu, jak i w trakcie symulacji komputerowej..

(10) POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 27, 2010. 37. Bibliografia [1] [2] [3] [4]. [5]. Bieliska E., Finger J., Kasprzyk J., Jegierski T., Ogonowski Z., Pawełczyk M., Identyfikacja procesów, Wydawnictwo Politechniki

(11) lskiej, Gliwice, 2002. Dozortsev W. M., Komputerowe trenaery dla nauczania operatorów procesów technologicznych, Sinteg, Moskwa, 2009, (w jzyku rosyjskim). Ljung L., System Identification Theory for the User. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, New York, 1999. Popov O., Barcz A., Piela P., Komputerowe systemy nauczania dla operatorów obiektów dynamicznych, Studia i Materiały Polskiego Stowarzyszenia Zarzdzania Wiedz nr 23, 2009. Polskie Stowarzyszenie Zarzdzania Wiedz, Bydgoszcz, 2009 Popov O., Lalanne R., Gouarderes G., Minko A., Tretyakov A.. Some tasks of intelligent tutoring systems design for civil aviation pilots. Advanced Computer Systems. Kluwer Academic Publishers, Boston, Londyn, 2002.. LINEAR REALIZATION OF DYNAMICS MODELS USING IN THE COMPUTER DYNAMIC TUTORING SYSTEMS Summary The main element of computer tutoring systems for operators of dynamic objects is a simulation system. The mathematical models of tutoring object are the base of such systems. The high accuracy of mapping the behavior of the tutoring object is necessary for computer tutoring systems. Because the quality of the model dynamics depend directly on the quality of the learning process, an important role in the process of creating computer tutoring systems plays the process of correction parameters of the model. Description of the behavior of the tutoring object in the form of dynamic linear equations creates the possibility of using well-developed methods from general systems theory. These include: controllability, observability, traceability and methods for their research. Using these methods allows you to simplify the process of calibration of the complex models of tutoring object. The paper describes an algorithm to create an uncountable set of linear models, corresponding to the basic set of nonlinear equations, which describes the dynamic object. An example of how to replace a uncountable set of linear models with the a countable set of equations is suggested. Keywords: computer tutoring system, mathematical model, calibration Anna Barcz Piotr Piela Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny ul. ołnierska 49, 71-210 Szczecin e-mail:abarcz@wi.zut.edu.pl ppiela@wi.zut.edu.pl.

(12)