LABORATORIUM VOOR
SCHEEPSBOUWKUNDE
TECHNISCHE H O G E S C H O O L DELFT
r n
STABILITEIT, LEKBEREKENING EN SCHOTTENKROMME.
door
P r o f . I r . J. G e r r i t s m a . C o l l e g e d i c t a a t K I .
S t a b i l i t e i t , l e k b e r e k e n i n g en schottenkromme. I n d e l i n g van het c o l l e g e . 1. I n l e i d i n g . 1.1. Algemene beschouwingen. 1.2. G e s c h i e d e n i s . 2. De e v e n w i c h t s t o e s t a n d van een d r i j v e n d s c h i p . 2.1. De m e t a c e n t r i s c h e s t r a a l .
2.2. De aard van het e v e n w i c h t . 2.3. Het dwarsscheepse e v e n w i c h t . 3. A a n v a n g s s t a b i l i t e i t . 3.1. De dwarsscheepse a a n v a n g s s t a b i l i t e i t . 3.2. De i n v l o e d van v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k k e n op de aanvangs-s t a b i l i t e i t . 4. S t a b i l i t e i t b i j e i n d i g e h o e k v e r d r a a i i n g t . o . v . het e v e n w i c h t . 4.1. Dwarsscheepse s t a b i l i t e i t b i j e i n d i g e s l a g z i j . 4.2. De kromme van d r u k k i n g s p u n t e n B (é).
4.3. Het k e r n v l a k van de l a s t l i j n e n en de m e t a c e n t r i s c h e kromme. 4.4. De kromme van armen van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t .
4.5. De dynamische s t a b i l i t e i t .
4.6. De dynamische s t a b i l i t e i t r e c h t s t r e e k s berekend. 5. De aard van h e t e v e n w i c h t b i j u i t w e n d i g e b e l a s t i n g .
6. De b e r e k e n i n g van de kromme van armen van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t . 6.1. De f o r m u l e van S c r i b a n t i . ( w i t d r u k k e n 6.1 t/m 6 . i i ) . 6.2. W i l l e k e u r i g e scheepsvormen.
6.2.1. De f o r m u l e s van Atwood en Moseley. 6.2.2. De methode van Barnes.
6.2.3. De methode van K r i l o f f .
6.2.4. De i n t e g r a t o r m e t h o d e van F e l l o w .
6.2.5. De p l a n i m e t e r m e t h o d e van Doyëre, M i d d e n d o r f en L i d d e l . 6.3. Benaderingsmethoden v o o r het b e r e k e n e n van de kromme van armen
6.3.1. De l e methode van Prohaska. 6.3.2. De 2e methode van Prohaska. 6.3.3. Japanse benaderingsmethode.
6.4. Benaderingsmethode voor het b e p a l e n van KB en BM.
6.5. Het u i t z e t t e n van de kromme van armen van s t a t i s c h e s t a b i l i -t e i -t .
6.6. De e x p e r i m e n t e l e b e p a l i n g van de kromme van armen. 6.7. De h e i l i n g p r o e f .
7. Het s l i n g e r e n van een s c h i p .
7.1. De s l i n g e r p e r i o d e b i j g r o t e s l i n g e r h o e k e n .
7.2. V e r s n e l l i n g e n a l s g e v o l g van de s l i n g e r b e w e g i n g . 8. Toepassingen, ( w i t d r u k k e n 8.1 t/m 8 . 4 ) .
8.1. Het berekenen van de metacentrumhoogte b i j gegeven s l a g z i j . 8.2. Het berekenen van s l a g z i j door asymmetrische l a d i n g .
8.3. De i n v l o e d van v l o e i b a r e l a d i n g b i j g r o t e s l a g z i j . 8.4. De i n v l o e d van w i n d d r u k .
8.5. Hangende l a d i n g .
8.6. Aan de grond g e l o p e n schepen; h e t dokken. 8.7. S u p e r p o s i t i e van k e n t e r e n d e momenten. 8.8. De i n v l o e d van v r i j boord en bovenbouwen. 8.9. Het v e r s c h u i v e n van l a d i n g . 9. B e o o r d e l i n g van de dwarsscheepse s t a b i l i t e i t , ( w i t d r u k k e n 9.1 t/m 9.3; 9.1. I n l e i d i n g . ^^^^^ ^A, 9B, 9C, 9D en 9.2. V e r a n t w o o r d e l i j k h e i d v o o r de s t a b i l i t e i t . 9.3. S t a b i l i t e i t s c r i t e r i a . 0. Langsscheepse s t a b i l i t e i t , ( w i t d r u k 10.1).
10.1. Het v e r p l a a t s e n van k l e i n e g e w i c h t e n aan b o o r d . 10.2. Het moment van 1 cm t o t a l e t r i m v e r a n d e r i n g . 10.3. Het l a d e n en l o s s e n van k l e i n e g e w i c h t e n . 10.4. De t r i m v e r a n d e r i n g b i j h e t l a d e n en l o s s e n van g r o t e g e w i c h t e n . 10.5. Een u n i v e r s e e l t r i m d i a g r a m . 10.6. T r i m d i a g r a m v o l g e n s v,d. Ham. 1. L e k b e r e k e n i n g e n . ( B i j l a g e I I A ) . 11.1. I n l e i d i n g . 11.2. Eenvoudige b e n a d e r i n g e n . 11.2.1. E v e m v i j d i g i n z i n k e n .
11.2.2. B e n a d e r i n g van het algemene g e v a l . 11.3. De methode K r i l o f f .
11.4. De methode K n i i p f f e r .
-12. Schottenlcronime. ( w i t d r u k k e n -12.1 t/m -12.10). 12.1. Enkeie b e g r i p p e n . 12.2. V u l b a r e l e n g t e . 12.3. De b e p a l i n g van de p e r m e a b i l i t e i t . 12.4. De b e p a l i n g van de t o e l a a t b a r e l e n g t e . 12.5. Benaderingsmethode.
12.5.1. De methode van Webster.
12.5.2. De methode van de Board o f Trade. 12.5.3. S k i n n e r en P h i l i p s .
LIJST VAN SYMBOLEN. Symbool B e t e k e n i s , A G r o o t s p a n t o p p e r v l a k m A^^ W a t e r l i j n o p p e r v l a k . A^ O r d i n a a t o p p e r v l a k t e r p l a a t s e x. AB A f s t a n d d r u k k i n g s p u n t u i t a.1.1. AG A f s t a n d systeemzwaartepunt u i t a.1.1. B Scheepsbreedte op de m a l ; d r u k k i n g s p u n t . BM M e t a c e n t r i s c h e s t r a a l ( a f s t a n d d r u k k i n g s p u n t B t o t h e t dwars-metacentrum M). BM^ A f s t a n d d r u k k i n g s p u n t B t o t h e t langsmetacentrum . C, ,6 Blokcoëfficiënt. b C^,3 Grootspantcoëfficiënt. Cp,(}) Langsscheepse p r i s m a t i s c h e coëfficiënt. C ,a Coëfficiënt van de o n t w e r p l a s t l i j n . wp D H o l t e u i t de b a s i s . D^^ Dynamische s t a b i l i t e i t . e Dynamische weg. F V r i j b o o r d . F G e t a l van Froude. n FB D r u k k i n g s p u n t i n l e n g t e u i t v . 1 . 1 . FG Systeemzwaartepunt u i t v . 1 . 1 . G G e w i c h t s z w a a r t e p u n t . g V e r s n e l l i n g van de z w a a r t e k r a c h t . GM Metacentrumhoogte. GM^ Langsmetacentrumhoogte. GZ Arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t (h) . I ^ Langstraagheidsmoment van de w a t e r l i j n . I ^ Dwarstraagheidsmoment van de w a t e r l i j n . K K i e l p u n t . 1^ D w a r s t r a a g h e i d s s t r a a l . KB D r u k k i n g s p u n t boven b a s i s . KG Systeemzwaartepunt boven b a s i s . KM Metacentrum boven b a s i s . KM^ Langsmetacentrum boven b a s i s . K W i n d k r a c h t . w L Lengte over a l l e s , o.a L S c h e e p s l e n g t e t u s s e n de l o o d l i j n e n . PP
L ^ Lengte van de w a t e r l i j n gemeten op de c . w . l . L Lengte van de w a t e r l i j n i n h e t algemeen,
w i
-Moment, n o d i g v o o r 1 cm t o t a l e t r i m v e r a n d e r i n g op de l o o d l i j Kenterend moment. Langsmetacentrum. Moment van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t . Windmoment. V a l s e metacentrum. Zeeg a c h t e r . Zeeg v o o r . Diepgang u i t b a s i s . Diepgang a c h t e r . Diepgang v o o r . S l i n g e r p e r i o d e . D i m e n s i e l o z e s l i n g e r p e r i o d e . Maximale d i e p g a n g ( t o t o n d e r k a n t k i e l ) . T o t a l e t r i m . Zwaartepunt w a t e r l i j n t . o . v . o r d . 10. D r u k k i n g s p u n t i n l e n g t e t . o . v . o r d . 10. S o o r t e l i j k g e w i c h t v l o e i s t o f . O p d r i j v e n d e k r a c h t (dépiacement).
Dépiacement met h u i d en aanhangsels i n zoet w a t e r . Dépiacement met h u i d en aanhangsels i n zeewater.
Gewicht, n o d i g v o o r 1 cm d i e p g a n g s v e r a n d e r i n g i n zeewater. Volume; w a t e r v e r p l a a t s i n g . Trimhoek. P e r m e a b i l i t e i t . S o o r t e l i j k e d i c h t h e i d . Dwarsscheepse h e l l i n g s h o e k .
Dwarsscheepse h e l l i n g s h o e k w a a r b i j dek t e w a t e r ; dynamische t a l u d h o e k .
Dwarsscheepse h e l l i n g s h o e k w a a r b i j arm=0 ( r a n g e ) . Dwarsscheepse h e l l i n g s h o e k w a a r b i j arm=maximaal. S t a t i s c h e t a l u d h o e k .
1. I n l e i d i n g .
1.1. Algemene beschouwingen.
S t a b i l i t e i t i s een algemeen b e g r i p ; w i j kunnen e r o n d e r v e r s t a a n : a l l e eigenschappen d i e h e t s c h i p v e r t o o n t a l s h e t u i t een e v e n w i c h t s s t a n d w o r d t g e b r a c h t . Het i s d a a r b i j n i e t van b e l a n g o f de v e r s t o r i n g een hoek-v e r d r a a i i n g o f een l i n e a i r e hoek-v e r p l a a t s i n g t . o . hoek-v . de e hoek-v e n w i c h t s s t a n d t e n g e v o l g e h e e f t . I n h e t algemeen z u l l e n zowel s t a t i s c h e a l s dynamische v e r -s c h i j n -s e l e n een r o l -s p e l e n .
I n d i t c o l l e g e z a l de b e h a n d e l i n g i n hoofdzaak b e p e r k t worden t o t s t a t i s c h e v e r s c h i j n s e l e n ; ook de v e r s t o r i n g van h e t e v e n w i c h t komt o n e i n -d i g langzaam t o t s t a n -d . B i j -de b e s p r e k i n g van h e t s l i n g e r e n van een s c h i p w o r d t wel e n i g e aandacht gegeven aan dynamische a s p e c t e n .
1.2. G e s c h i e d e n i s .
Archimedes (212 v.Chr.) h e e f t reeds onderzoek gedaan aan d r i j v e n d e ma-t h e m a ma-t i s c h e vormen. Simon S ma-t e v i n ( b e g i n 17e eeuw) voerde h e ma-t b e g r i p mema-tacen- metacen-t r u m i n . C h r i s metacen-t i a a n Huygens h e e f metacen-t onderzoek v e r r i c h metacen-t aan h e metacen-t e v e n w i c h metacen-t van d r i j v e n d e r e c h t h o e k i g e b a l k e n . H i j h e e f t d i t onderzoek beëindigd omdat h i j geen p r a c t i s c h e t o e p a s s i n g m o g e l i j k a c h t t e . Bouger s c h r e e f i n 1746 een boek " T r a i t e du N a v i r e " w a a r i n h i j scheepsbouwkundige b e r e k e n i n g e n b e s c h r e e f . H i j berekende de p l a a t s van h e t metacentrum en g a f d i t p u n t z i j n h u i d i g e naam.
B e r n o u i l l i en E u l e r toonden aan op welke w i j z e de s l i n g e r p e r i o d e vau een s c h i p berekend kan worden. E u l e r (1749) g e b r u i k t e b i j de s t u d i e van scheepsbewegingen voor h e t e e r s t de s t e l l i n g d a t de beweging g e s p l i t s t kan worden i n een r o t a t i e en een t r a n s l a t i e . De t h e o r i e vond langzamerhand z i j n weg naar de o n t w e r p e r s .
Chapman, c h e f - c o n s t r u c t e u r van de Zweedse M a r i n e , g a f h i e r v a n b l i j k i n z i j n boeken, w a a r i n zeer n a u w k e u r i g e 1 i j n e n t e k e n i n g e n z i j n opgenomen. D a a r i n z i j n d r u k k i n g s p u n t en metacentrum aangegeven.
Atwood (1800) berekende v o o r het e e r s t de h y d r o s t a t i s c h e momenten d i e o n t s t a a n a l s h e t s c h i p een h e l l i n g k r i j g t . I n z i j n t i j d s t a a r d e men z i c h b l i n d op de a a n v a n g s s t a b i l i t e i t . Een c a t a s t r o p h e met een Engels M a r i n e schip
1.2( 1 8 7 0 ) , de " C a p t a i n " , was a a n l e i d i n g t o t v e r d e r e s t u d i e van de s t a b i l i -t e i -t b i j g r o -t e h e i l i n g s h o e k e n . De " C a p -t a i n " b l e e k een -t e k l e i n v r i j b o o r d t e hebben, waardoor de s t a b i l i t e i t b i j g r o t e r e h e i l i n g s h o e k e n o n v o l d o e n de was en het s c h i p k a p s e i z d e . De ramp was a a n l e i d i n g om de s t a b i l i t e i t s -l e e r i n de p r a k t i j k t e gaan g e b r u i k e n .
I n verband met de zee-eigenschappen en de v e i l i g h e i d van h e t s c h i p i n g o l v e n i s v o o r a l na de 2e W e r e l d o o r l o g de l e e r van de scheepsbeweg i n scheepsbeweg e n o n t w i k k e l d . Onder meer z i j n enkele r e s u l t a t e n van deze s t u d i e t e -rug t e v i n d e n i n de s t a b i l i t e i t s v o o r s c h r i f t e n van Japan, Polen en Rus-l a n d . V o o r t s i s na _+ 1955 van b e Rus-l a n g de t o e p a s s i n g van rekenautomaten b i j h e t u i t v o e r e n van scheepsbouwkundige b e r e k e n i n g e n , z o a l s s t a b i l i -t e i -t -t r i m en l e k b e r e k e n i n g e n .
1-2. De e v e n w i c h t s t o e s t a n d van een d r i j v e n d s c h i p .
Voor zover de bewegingen van een d r i j v e n d s c h i p geen r o l s p e l e n , g e l d t de Wet van Archimedes: de o p d r i j v e n d e k r a c h t i s g e l i j k aan h e t ge-w i c h t van l i e t v e r p l a a t s t e ge-w a t e r . Voor een d r i j v e n d s c h i p g e l d t :
xvaar i n :
P = scheepsgewicht V = w a t e r v e r p l a a t s i n g
Y = s o o r t e l i j k g e w i c h t van h e t w a t e r .
De v e c t o r van de h y d r o s t a t i s c h e o p d r i j v e n d e k r a c h t i s i n v l a k w a t e r
steeds v e r t i c a a l g e r i c h t . Het s c h i p b e v i n d t z i c h i n een e v e n w i c h t t o e s t a n d a l s de som van de k r a c h t e n en van de momenten n u l i s . De w e r k l i j n van de o p d r i j v e n d e k r a c h t bevat h e t d r u k k i n g s p u n t . Aan de voorwaarde v o o r even-w i c h t i s dus v o l d a a n a l s h e t g e even-w i c h t s z even-w a a r t e p u n t G eveneens op deze werk-l i j n werk-l i g t . De aard van h e t evenwicht s p e e werk-l t een b e werk-l a n g r i j k e r o werk-l b i j h e t b e o o r d e l e n van de s t a b i l i t e i t van een s c h i p .
V o o r b e e l d e n .
1. Voor een d r i j v e n d s c h i p i n v l a k water i s de som van de h o r i z o n t a l e h y d r o s t a t i s c h e k r a c h t e n , evenals de h o r i z o n t a l e component van h e t scheepsgewicht steeds g e l i j k aan n u l . Het evenwicht i n h e t h o r i z o n -t a l e v l a k i s daarom i n d i f f e r e n -t . He-t s c h i p v e r z e -t z i c h dan ook n i e -t tegen een o n e i n d i g langzame r o t a t i e om een v e r t i c a l e as o f tegen een o n e i n d i g e langszame dwarsscheepse en/of langsscheepse v e r p l a a t s i n g . 2. De s i t u a t i e i s anders voor h o e k v e r d r a a i i n g e n om een h o r i z o n t a l e as.
A l s v o o r b e e l d b e z i e n we een dwarsscheepse h e l l i n g ij) ( z i e F i g u u r ) .
P 2. 1 P Op h e t s c h i p w e r k t b i j een s l a g z i j cj) een s t a b i l i t e i t s m o m e n t : M = G Z . Y V = y V. G N s i n * s t 4> 2.2
-2.2-M ((})) i s de kromme van het s t a t i s c h s t a b i l i t e i t s m o m e n t . Nu i s : S L
M ^ GZ = h = - f
cfe arm van h e t s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t s m o m e n t . De kromme h(4)) noemt men de kromme van armen van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t . Het s t n b i l i t e i t s m o m e n t o n t s t a a t d o o r d a t b i j de s l a g z i j tj) , de w e r k l i j n van o p d r i j v e n d e kracht-d i e kracht-door g a a t , n i e t meer samenvalt met kracht-de w e r k l i j n van h e t scheeps-g e w i c h t d i e door G b l i j f t scheeps-gaan. Het d r u k k i n scheeps-g s p u n t v e r p l a a t s t z i c h naar B^ omdat b i j s l a g z i j de vorm van h e t o n d e r w a t e r g e d e e l t e van h e t s c h i p v e r a n d e r t en daarmee v e r a n d e r t de p l a a t s van h e t z w a a r t e p u n t B^ van het volume.
Om de aard van h e t e v e n w i c h t t e g e n s l a g z i j t e onderzoeken beschou-wen we nu de t o e s t a n d d i c h t b i j (j) = O, w a a r b i j e v e n w i c h t v e r o n d e r s t e l d w o r d t .
/
^;
Z ƒ — 9/
1
Kis é-> O dan n a d e r t N, t o t het metacentrum M v o o r de r e c h t e s t a i i d .
(j) - • • • • • — Er z i j n nu d r i e m o g e l i j k h e d e n :
a. M l i g t boven G; h e t s t a b i l i t e i t s k o p p e l yVGMdcJ) t r a c h t h e t s c h i p naar de e v e n w i c h t s s t a n d t e r u g t e brengen. Het e v e n w i c h t i s dan s t a b i e l .
b. M l i g t onder G; h e t k o p p e l yVGMdc}) z a l de h e l l i n g v e r g r o t e n . Hel e v e n w i c h t i s i n s t a b i e l .
c. M en G v a l l e n samen; het e v e n w i c h t i s i n d i f f e r e n t .
B i j h e l l i n g om een dwarsscheepse as ( t r i m ) i s h e t e v e n w i c h t v o o r norma-l e schepen s t a b i e norma-l . Het norma-langsscheeps s t a b i norma-l i s a t i e m o m e n t i s i n d a t g e v a norma-l steeds p o s i t i e f omdat M a l t i j d bóven G l i g t , d.w.z. h e t moment t r a c h t het s c h i p weer naar de u i t g a n g s t o e s t a n d t e r u g t e brengen.
-2.3-2.1. De m e t a c e n t r i s c h e s t r a a l .
U i t deze v o o r b e e l d e n b l i j k t d a t twee f a c t o r e n bepalend z i j n voor de aard v a n het e v e n w i c h t :
1- de vorm van h e t o n d e r w a t e r s c h i p , waardoor de p l a a t s van h e t d r u k k i n g s p u n t B, bepaald w o r d t ;
2. de h o o g t e l i g g i n g van h e t z w a a r t e p u n t G.
Men noemt GM de metacentrumhoogte. U i t h e t voorgaande b l i j k t d a t deze een b e l a n g r i j k e r o l s p e e l t b i j de a a n v a n g s s t a b i l i t e i t v a n een s c h i p . De metacentrumhoogte GM v o l g t u i t de b e t r e k k i n g : ( z i e F i g u u r ) , G M = K M - K G = K B + B M - K G 2.3 M
)
K 1KB i s de h o o g t e l i g g i n g v a n het d r u k k i n g s p u n t boven de b a s i s (carëne-d i a g r a m ) ,
KG i s de h o o g t e l i g g i n g van z w a a r t e p u n t ( g e w i c h t s b e r e k e n i n g ) , BM i s de m e t a c e n t r i s c h e s t r a a l voor c}) = 0.
De g r o o t t e van de m e t a c e n t r i s c h e s t r a a l v o l g t u i t de volgende r e d e n e r i n g . Het s c h i p k r i j g t door een u i t w e n d i g moment een k l e i n e s l a g z i j d<\,,
De v e r a n d e r i n g v a n de w a t e r v e r p l a a t s i n g dV I g n u l , omdat de som van de v e r t i c a l e k r a c h t e n n u l b l i j f t ( z i e F i g u u r ) ,
-2.4-We v i n d e n : dV = / y tgd(}.dA^ " i y '^'*"^^w " ^ """^w " dus w i ydA = 0, A w w ^^7
Het s t a t i s c h moment van de h e l l e n d e w a t e r l i j n t . o . v . de s n i j l i j n met de CWL i s n u l . D i t i s voor een k l e i n e di> h e t g e v a l a l s de s n i j l i j n samen-v a l t met de s y m m e t r i e l i j n samen-van de CWL ( z i e F i g u u r ) .
We b e p a l e n nu de p l a a t s van B^^ i n h o r i z o n t a l e r i c h t i n g t . o . v . B door de momenten s t e l l i n g t o e t e passen op de v o l u m i n a van de o o r s p r o n k e l i j k e carène en de b e i d e wiggen. T.o.v. O g e l d t :
o f : -b V = b, V-d(|)| y^dA -d(}./ 2 1 ^ . , w ^A w l m k s w r e c h t s bV = d(j)/ y dA . ^A w w 2 y dA Verder i s
b = d(|)BM, If. = ^ y dA^_^, dus: BM = -~.
w 2.4
Deze a f l e i d i n g g e l d t voor e l k e h o r i z o n t a l e as t e n o p z i c h t e waarvan h e t s c h i p een h o e k v e r d r a a i i n g o n d e r g a a t . Algemeen g e l d t : ( z i e F i g u u r ) I BM = — a V 2.5 I n h e t b i j z o n d e r g e l d t v o o r een dwarsscheepse as h ^ ^ 1 = - ' 2.6
•2.5-2.2. De a a r d van h e t e v e n w i c h t .
We z u l l e n de aard van h e t e v e n w i c h t meer f o r m e e l a n a l y s e r e n . Een g e s c h i k t e f o r m u l e r i n g i s de v o l g e n d e :
Voor een s t a b i e l e v e n w i c h t i s de potentiële e n e r g i e m i n i m a a l , voor een i n s t a b i e l e v e n w i c h t i s de potentiële e n e r g i e maximaal.
Het e v e n w i c h t i s i n d i f f e r e n t a l s de potentiële e n e r g i e i n de b u u r t van de beschouwde e v e n w i c h t s s t a n d c o n s t a n t i s .
De potentiële e n e r g i e i s g e l i j k aan een c o n s t a n t e vermeerderd met de a r b e i d d i e v e r r i c h t moet worden om h e t s c h i p een u i t w i j k i n g t e geven. Men d e n k t d a a r b i j d i e u i t w i j k i n g g e s p l i t s t i n een u i t w i j k i n g w a a r b i j a l -l e e n momenten i n een dwarsscheeps v -l a k a r b e i d v e r r i c h t e n , een u i t w i j k i n g w a a r b i j d a t alléén i n h e t langsscheeps syimnetrie v l a k g e b e u r t en een u i t -w i j k i n g -w a a r b i j alléén k r a c h t e n a r b e i d v e r r i c h t e n . Het momenten e v e n -w i c h t en h e t k r a c h t e n evenwicht worden dus a p a r t o n d e r z o c h t .
S t e l de v e r p l a a t s i n g van G u i t de e v e n w i c h t s s t a n d i s z, w a a r b i j a l l e e n de k r a c h t e n ( i = 1 n) a r b e i d v e r r i c h t e n . De potentiële e n e r g i e i s dan:
A ( z ) = A + Z P . ( z ) d z 2.7 o 0 , 1
A l s b i j een h o e k v e r d r a a i i n g a alléén de momenten M_j^ a r b e i d v e r r i c h t e n , dan i s de potentiële e n e r g i e : D(a) = D + Z M.(a)da 2.8 o o 1 1 De voorwaarde voor s t a b i e l e v e n w i c h t t . a . v . v e r p l a a t s i n g e n l u i d t : d A ( z l ^ d^A(z)^Q 2.9 d z ^ Voor i n s t a b i e l evenwicht g e l d t : ^ A M = O d!A(iO 2.10 dz , 2 dz Het e v e n w i c h t i s i n d i f f e r e n t a l s : 2 dA(z) ^ Q d A ( z ) ^ Q 2.11 dz ' , 2 dz Analoge u i t d r u k k i n g e n g e l d e n voor h e t e v e n w i c h t t . a . v . h o e k v e r d r a a i i n g e n .
-2.6-V o o r b e e l d e n . 1. Evenwicht i n v e r t i c a l e r i c h t i n g b i j een d r i j v e n d s c h i p . > p
J
^ 7 V I n d i t g e v a l i s : en: A ( z ) = A^+/ { Y V ( z ) - P } d z , = YV-P=0. dz Er i s e v e n w i c h t a l s Y V = P • De a a r d van h e t e v e n w i c h t v o l g t u i t : d . dz ^YV(z)-P} =A^, dz z=T z=T A i s steeds p o s i t i e f , dus h e t e v e n w i c h t i n v e r t i c a l e r i c h t i n g i s w s t e e d s s t a b i e l .2. Evenwicht van een geheel ondergedompelde onderzeeër. Nu g e l d t voor e l k e z: f d A ( z ) . dz y V- P , Er i s e v e n w i c h t a l s Y V = P . I n h e t algemeen z i j n y en V f u n c t i e s van z; i n d a t g e v a l b e s t a a t n i e t voor e l k e z een e v e n w i c h t s t o e s t a n d . De w a t e r v e r p l a a t s i n g V i s a f -h a n k e l i j k van z door de c o m p r e s s i b i l i t e i t van de romp c o n s t r u c t i e
Een g e c o m p l i c e e r d e r g e v a l i s de onderzeeër d i e een g e d e e l t e l i j k g e v u l d e b a l l a s t t a n k h e e f t waarvan de v u l l i n g a f h a n g t van z. B o v e n i n d i e t a n k b e v i n d t z i c h een l u c h t k u s s e n ( z i e F i g u u r ) . B i j d i e p e r i n z i n -ken komt er door samendrukking van h e t l u c h t k u s s e n méér b a l l a s t w a t e r i n de t a n k waardoor P toeneemt. B i j afnemende d u i k d i e p t e s t r o o m t w a t e r u i t de b a l l a s t t a n k naar b u i t e n . H i e r u i t v o l g t d a t 4^>0, want we rekenen
Q Z i n d i t g e v a l h e t b a l l a s t w a t e r t o t h e t scheepsgewicht.
Aangenomen w o r d t d a t voor de geheel ondergedompelde boot g e l d t d { Y V ( z ) } O voor z^A dz Dan I S d ^ { A ( z ) } ^ d{ Y V( z ) } _ d P ( z ) , 2 dz dz dz Het l a b i e l e e v e n w i c h t Q t r e e d t op b i j een d u i k d i e p t e z^ w a a r b i j Y V = P .
Het punt R, w a a r b i j deze r e l a t i e eveneens g e l d t , g e e f t een s t a b i e l e t o e s t a n d aan, want h i e r g e l d t :
d{ Y V( 2 ) } _ dP^Q
dz dz
-2.8-2.3. Het dwarsscheeps e v e n w i c h t .
Z o a l s w i j reeds a f l e i d d e n i s h e t dwarsscheeps s t a b i l i t e i t s m o m e n t ; M ^ = yVGN smcj).
s t (J)
De a r b e i d d i e n o d i g i s om h e t s c h i p t o t een h e l l i n g ({) t e doen h e l l e n i s de zogenaamde dynamische s t a b i l i t e i t . Deze u i t d r u k k i n g i s m i s l e i d e n d om-dat dynamische e f f e c t e n b i j deze beschouwing geen r o l s p e l e n . De toename van de potentiële e n e r g i e i s n u :
D((t)) = ƒ M d(j) =ƒ Y V G N s i n f d(}>
O s t o é f T
A l s <j)^0 dan n a d e r t N t o t h e t punt M zodat g e l d t ;
GN^sinc()3^GM^ .
Er i s e v e n w i c h t voor $=0 en de aard van h e t e v e n w i c h t v o l g t u i t : 2 dtp dus a l s : GM>0 s t a b i e l e v e n w i c h t GM<0 l a b i e l e v e n w i c h t GM=0 i n d i f f e r e n t e v e n w i c h t .
L a t e r v<7ordt h e t e v e n w i c h t behandeld a l s h e t s c h i p onderworpen i s aan u i t w e n d i g e momenten. D a a r b i j z u l l e n ook dynamische e f f e c t e n beschom-zd worden.
-3 . A a n v a n g s s t a b i l i t e i t .
Onder a a n v a n g s s t a b i l i t e i t v e r s t a a n w i j de s t a b i l i t e i t van het s c h i p b i j zeer k l e i n e h e l 1 i n g s h o e k e n .
3. 1 . De dwarsscheepse a a n v a n g s s t a b i l i t e i t .
Deze i s van b e l a n g v o o r het s c h a t t e n van de s l a g z i j b i j n i e t t e g r o t e u i t w e n d i g e momenten. " N i e t t e g r o o t " w i l i n d i t verband zeggen d a t de op-t r e d e n d e s l a g z i j zo k l e i n i s daop-t de b e n a d e r i n g :
voor h e t s p e c i f i e k e d o e l voldoende nauwkeurig i s .
Verder w o r d t de p e r i o d e van de s l i n g e r b e w e g i n g i n hoge mate bepaald door de metacentrum hoogte G M . Een s c h i p met een r e l a t i e f g r o t e G M s l i n -g e r t h e f t i -g : de bewe-gin-g w o r d t a l s "wreed" -g e k e n s c h e t s t ; een k l e i n e G M g e e f t een meer soepele beweging. De r e l a t i e v e g r o o t t e van G M w o r d t vaak
G H
u i t g e d r u k t m de v e r h o u d i n g — . Een k e n t e r e n d moment M d a t op h e t s c h i p
B k w e r k t , z a l een zodanige s l a g z i j <\> v e r o o r z a k e n d a t v o l d a a n i s aan de
be-t r e k k i n g : M = M ^ = Y V G M $ . k s t ' Dus: M ( i n r a d i a l e n ) 3. 1 Y V G M V o o r b e e l d e n ,
1. De s l a g z i j v e r o o r z a a k t door h e t moment van de s c h r o e f .
B i j een e n k e l s c h r o e f s c h i p l e v e r t de s c h r o e f een vermogen APK b i j n om-w e n t e l i n g e n per m i n u u t . Het k o p p e l M ^ dat de s c h r o e f h i e r v o o r n o d i g h e e f t , g e e f t een r e a c t i e k o p p e l M^^ op het s c h i p , w a a r b i j M ^ ^ = M . Er g e l d t : 2TTM n ^^^^ = 60775-We v i n d e n : ^, ^ 716APK ^ 716 APK ,. , M = M =
——
kgm, (J)=— — — =
r a d i a l e n . p lc n Y^ . n. G MB i j g r o t e schepen i s deze hoek zeer k l e i n (<1°) doch b i j k l e i n e schepen met een r e l a t i e f g r o o t vermogen kan d i t v e e l g r o t e r z i j n .
A l s een s c h i p een d r a a i c i r k e l v a a r t , dan t r e e d t een m i d d e l p u n t v l i e d e n -de k r a c h t op, a a n g r i j p e n d i n h e t systeem z w a a r t e p u n t G ( z i e F i g u u r ) .
De r e a c t i e k r a c h t van h e t w a t e r i s i n de s t a t i o n a i r e t o e s t a n d even g r o o t . Aangenomen w o r d t d a t h e t a a n g r i j p i n g s p u n t van deze r e a c t i e
-T k r a c h t opeen h o o g t e — a a n g r i j p t d.w.z. ongeveer i n h e t z w a a r t e p u n t van h e t l a t e r a a l p l a n . Nu i s : ,2 M, yV V_ g R.'^G zodat Y V V yV.GM V ^ z , gR^GM
3 . S l a g z i j door v e r s c h u i v i n g van een k l e i n g e w i c h t .
Door de h o r i z o n t a l e v e r s c h u i v i n g van een k l e i n g e w i c h t p over een
d • \ ^ 7 a r s s c h e e p s e a f s t a n d y^ v e r s c h u i f t h e t z w a a r t e p u n t G naar G^ ( z i e F i -g u u r ) .
-
^?—-w
u /
T ^
L 3 . 3De v e r t i c a l e v e r p l a a t s i n g van G i s GG|, de h o r i z o n t a l e v e r p l a a t -s i n g i -s G^G^. U i t de v e r -s c h u i v i n g -s w e t v o l g t :
P^p P % G,G„ = — f en GG, = - - f
1 2 yV 1 yV
I n de nieuwe evenv\7ichtsstand moet op de w e r k l i j n van o p d r i j v e n d e k r a c h t l i g g e n . B i j k l e i n e (J) gaat deze w e r k l i j n b i j b e n a d e r i n g door M. Nu i s : _ _ _ px GjG2 = G|Mtg<l)^'GjM<l)=(GM-GGj)(t,= (GM- , px py py (GM ^)4.= w a a r u i t : ((> = ^ — ^ yV ^ yV ' yVGM-px
B i j k l e i n e c|) o n t s t a a t door de v e r s c h u i v i n g van p een k e n t e r e n d moment dat b i j b e n a d e r i n g gegeven wordt d o o r : M =py . De r e d u c t i e van de meta¬
— - ^ P centrum hoogte b e d r a a g t : GG = — ^ f - .
1 yV Opmerking.
De v e r s c h u i v i n g s w e t w o r d t a l s v o l g t a f g e l e i d ( z i e F i g u u r ) :
Een homogeen v e r d e e l d e massa h e e f t een g e w i c h t P a a n g r i j p e n d i n E. Toevoeging v a n een homogene massa met g e w i c h t p a a n g r i j p e n d i n A h e e f t t o t g e v o l g d a t h e t t o t a l e g e w i c h t P+p a a n g r i j p t i n C w a a r b i j g e l d t : ËC:ËA=p:(p+P).
Wordt p v e r s c h o v e n naar de p o s i t i e 2 met z w a a r t e p u n t i n B dan g e l d t v o o r h e t g e m e e n s c h a p p e l i j k z w a a r t e p u n t D: ED:EB=p : ( p + P ) . U i t b e i d e b e t r e k k i n g e n v o l g t de v e r s c h u i v i n g s w e t :
CD//AB en CD = -E- AB
-3.4-Opmerking.
Voor een zwevend l i c h a a m i s 1=0, dus BM=0. I n e l k e stand van h e t l i c h a a m v a l l e n M en B samen. Een d e r g e l i j k e t o e s t a n d i s alléén s t a b i e l a l s G onder B l i g t ( z i e F i g u u r ) :
Het s t a b i l i t e i t s m o m e n t i s v o o r e l k e hoek
M ^ = yV-GBsincf). 3.2
-3.6-3.2. De i n v l o e d van v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k k e n op de a a n v a n g s s t a b i l i t e i t A l s een s c h i p s l a g z i j k r i j g t , dan v e r p l a a t s t h e t z w a a r t e p u n t van de v l o e i s t o f d i e i n t a n k s aanwezig i s ( b r a n d s t o f , b a l l a s t ) , Beschouw weer een k l e i n e s l a g z i j <(). Het z w a a r t e p u n t van de v l o e i s t o f , d a t z i c h a a n v a n k e l i j k i n h e t punt b b e v i n d t , v e r p l a a t s t z i c h naar h e t p u n t b^ ( z i e F i g u u r ) :
M,
Volgens de v e r s c h u i v i n g s w e t i s bb^ e v e n w i j d i g aan de v e r b i n d i n g s l i j n van de z w a a r t e p u n t e n van de i n - e n u i t t r e d e n d e wiggen. Voor de v e r s c h u i v i n g van het systeem z w a a r t e p u n t g e l d t : y'v GG =bb,. 2 (j) Y V w a a r i n y' h e t s. Nu i s : en: GG„//bb 2 (!
en V het volume van de v l o e i s t o f i n de t a n k v o o r s t e l l e n .
bb,=bm. dus GG. Ly
'2 yV"^'
w a a r i n i h e t dwarstraagheidsmoment van h e t v l o e i s t o f o p p e r v l a k i n de t a n k i s , Voor een k l e i n e hoek (f) g e l d t GG2=GGj.4'- De r e d u c t i e van de metacentrum-hoogte door h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k w o r d t dus:
GG,= yV
Voor een a a n t a l t a n k s kunnen de r e d u c t i e s van de metacentrum hoogten een-v o u d i g gesommeerd worden, dus:
GG,
yV 3.3
De arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t b i j k l e i n e hoeken w o r d t benaderd door:
(GM-GGj )(j), 3.4
-3.6-V o o r b e e l d .
Het l a d e n en l o s s e n van tankschepen.
Met h e t diagram van Hök kan de a a n v a n g s s t a b i l i t e i t van een t a n k -s c h i p , d a t g e l a d e n o f g e l o -s t w o r d t , b e o o r d e e l worden ( z i e F i g u u r ) :
M6ER OArt TA>riK TS66mv< VULLSH
Zodra een v l o e i s t o f s p i e g e l i n de t a n k aanwezig i s , t r e e d t er een r e d u c t i e op van de metacentrum hoogte t e r g r o o t t e :
GG = _ Y 1 P+P w a a r i n : P = scheepsgewicht p = l a d i n g g e w i c h t . Het d i a g r a m d a t o n t s t a a t door: KG, KM en GGj u i t t e z e t t e n a l s f u n c t i e van de d i e p g a n g s t a a t bekend a l s h e t d i a g r a m van Hök. De waarde van GG w o r d t d a a r b i j steeds u i t g e z e t op de b i j b e h o r e n d e KG-waarde. Het v e r l o o p van de krommen, u i t g a a n d e van de t o e s t a n d l e e g s c h i p , i s a l s v o l g t t e be-r e d e n e be-r e n .
B i j toenemende diepgang T v e r a n d e r t KM ( z i e carëne d i a g r a m ) . Vaak h e e f t de KM kromme een minimum. A a n v a n k e l i j k z a l G door de toegevoegde l a d i n g d a l e n , dus KG neemt a f . Naarmate de v l o e i s t o f s p i e g e l i n de t a n k s t i j g t , v e r m i n d e r t de d a l i n g en v e r a n d e r t t e n s l o t t e i n een s t i j g i n g . Voor een l e g e t a n k met v l a k t i l l i n g i s de c o r r e c t i e GGj=0. De KG en GGj krommen hebben een g e m e e n s c h a p p e l i j k b e g i n p u n t . A l s de t a n k een v l a k k e bodem h e e f t dan h e e f t GGj een e i n d i g e waarde a l s de v u l l i n g t o t n u l na-d e r t .
-3.7-I n h e t b e g i n i s p k l e i n en i g r o o t , dus GGj i s g r o o t , want:
^^1 " P+p
Na de b e g i n f a s e v e r a n d e r t i n i e t meer en neemt p t o e : ~GG^ neemt a f . B e r e i k t de l a d i n g h e t dek dan r e d u c e e r t i p l o t s e l i n g t o t een e i n d w a a r de behorend b i j h e t o p p e r v l a k van de e x p a n s i e r u i m t e . De k o f f i e b o o n a c h t i -ge f i g u u r mag KM n i e t s n i j d e n , want dan zou G~M<0 worden.
V u l t men meer dan een t a n k t e g e l i j k dan o n t s t a a t een g r o t e " k o f f i e b o o n " waardoor de kans d a t GjM<0 g r o t e r i s .
Voor 1900 z i j n er ongelukken gebeurd met h e t l a d e n en l o s s e n v a n t a n k e r s . De schepen waren t o e n r e l a t i e f smal ( g r o t e L / B) . De t a n k s c h e p e n z i j n t e g e n w o o r d i g v e e l b r e d e r . Het diagram van Hök i s thans o v e r b o d i g , v o o r o p g e s t e l d d a t h e t l a d e n en l o s s e n d e s k u n d i g g e b e u r t .
Z i e ook: Burgess, "Tanker D e s i g n f r o m a S t a b i l i t y P o i n t o f View", NECIES 1949.
-4. S t a b i l i t e i t b i j e i n d i g e h o e k v e r d r a a i i n g t . o . v . h e t e v e n w i c h t .
Tot dusver werden k l e i n e u i t w i j k i n g e n t . o . v . de e v e n w i c h t s s t a n d be-schouwd. I n h e t volgende w o r d t deze r e s t r i c t i e opgeheven zowel v o o r de dwarsscheepse a l s voor de langsscheepse s t a b i l i t e i t .
4.1. Dwarsscheepse s t a b i l i t e i t b i j e i n d i g e s l a g z i j .
Het s c h i p h e e f t een s l a g z i j (}) . De w e r k l i j n van de o p d r i j v e n d e k r a c h t gaat door B en s n i j d t h e t m i d d e l i a n g s v l a k i n h e t p u n t , h e t v a l s e
meta-(j) (f) centrum. De p r o j e c t i e van d i t punt op h e t v l a k van t e k e n i n g i s aangegeven.
I n h e t algemeen zullen b i j s l a g z i j , B^ en óók i n l e n g t e r i c h t i n g v e r p l a a t -sen. W i j beschouwen s t e e d s de p r o j e c t i e van deze punten op een dwarsscheeps v l a k door G. Het s t a b i l i t e i t s m o m e n t , o f de arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t kan op v e r s c h i l l e n d e m a n i e r e n i n componenten g e s p l i t s t worden. Nu i s :
M =Y V G N sin(f)=YV(GM+MN~) sind). 4.1
s t (j) 9 GMsin <(> i s de metacentrum s t a b i l i t e i t ;
MN sincj) heet de toegevoegde s t a b i l i t e i t ( r e s i d u a r y s t a b i l i t y , F o r m z u s a t z -4'
s t a b i l i t a t ) .
Een andere s p l i t s i n g i n componenten i s de v o l g e n d e :
M =YVGN"sind)=YV(1ïfr-KG)sind)=YV(KB+W"-KG) sind). 4.2
s t d) d) i>
BN sind) i s de v o r m s t a b i l i t e i t , welke a l l e e n van de vorm a f h a n g t .
<\>
Men noemt BGsinij) de g e w i c h t s s t a b i l i t e i t .
Het b e p a l e n van h(ct),V), de arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t a l s f u n c t i e van s l a g z i j en w a t e r v e r p l a a t s i n g i s een b e l a n g r i j k o n d e r d e e l van h e t o n d e r
-zoek naar de dwarsscheepse s t a b i l i t e i t van een s c h i p .
-4.2-Geometrie van de scheepsvorm.
4 . 2 . De kromme van d r u k k i n g s p u n t e n B (é).
- i>
G e e f t men h e t s c h i p een, v a n u i t de middenstand s t e e d s toenemende s l a g z i j (j) dan z a l h e t d r u k k i n g s p u n t B^ een ruimtekromme b e s c h r i j v e n . D i t i s een even f u n c t i e want door de scheepssymmetrie t . o . v . h e t m i d d e l l a n g s -v l a k g e l d t B^(<j,)=B (-((,) .
De p l a a t s van B^ kan gevonden worden door de momenten s t e l l i n g t o e t e passen op de i n - en u i t t r e d e n d e wiggen. De f o r m u l e s van Atwood v o o r de s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t en d i e van Moseley voor de dynamische s t a b i l i t e i t , z i j n h i e r o p gebaseerd z o a l s z a l b l i j k e n . Uitgaande van de h e l l i n g cf) geven we h e t s c h i p een e x t r a h e l l i n g def) ( z i e F i g u u r ) .
De v e r s c h u i v i n g van B^^ naar B^_^^^ i s e v e n w i j d i g aan de v e r b i n d i n g s l i j n van de z w a a r t e p u n t e n Uj en U^ van de i n - en u i t t r e d e n d e w i g . De l i j n e n van opd r i j v e n opd e k r a c h t opdoor B^ en B^^^^ s t a a n l o o opd r e c h t op opde b i j b e h o r e n opd e w a t e r -l i j n e n en s n i j d e n e -l k a a r i n h e t metacentrum M a -l s dé^O. M i s h e t
metacen-(j) ^ (f
t r u m behorend b i j de s l a g z i j é . A l s d é ^ U dan w o r d t B B ^ een r a a k l i i n (fl (j)+d())
aan de meetkundige p l a a t s van B Dan v a l t U,U„ samen met W L , zodat de r a a k l i j n aan de B^ kromme e v e n w i j d i g i s aan de b i j b e h o r e n d e w a t e r l i j n . De w e r k l i j n e n van de o p d r i j v e n d e k r a c h t e n s t a a n dus l o o d r e c h t op de B krom¬ me: h e t z i j n de normalen van de B kromme.
'f'
Omdat de w a t e r v e r p l a a t s i n g c o n s t a n t b l i j f t , z i j n de inhouden van i n -en u i t t r e d e n d e wigg-en g e l i j k . I n de l i m i e t , a l s d(f,^0, g e l d t d a t de s t a t i s c h e momenten van de d e l e n van de w a t e r l i j n , aan w e e r s z i j d e n van de gemeenschap-' p e l i j k e s n i j l i j n , g e l i j k z i j n . M.a.w. de s n i j l i j n gaat door h e t z w a a r t e p u n t
-van de gehelde l a s t l i j n . B i j een s l a g z i j (f) i s deze l a s t l i j n n i e t symme-t r i s c h , zodasymme-t i n hesymme-t algemeen de s n i j l i j n e n van opeenvolgende w a symme-t e r l i j n e n n i e t i n het m i d d e l l a n g s v l a k l i g g e n .
4.3. Het k e r n v l a k van de l a s t l i j n e n en de m e t a c e n t r i s c h e kromme.
De opeenvolgende w a t e r l i j n v l a k k e n hebben een gekromd v l a k a l s omhull e n d e , h e t zgn. k e r n v omhull a k . D i t k e r n v omhull a k r a a k t aan de opeenvoomhullgende w a t e r -l i j n v -l a k k e n en we-l aan de -l i j n e n door het z w a a r t e p u n t van de -l a s t -l i j n e n . D i t kan a l s v o l g t bewezen worden.
Beschouw twee opeenvolgende w a t e r l i j n e n W|L| en W^L^ d i e e l k a a r v o l -gens de r e c h t e ' S s n i j d e n ( z i e F i g u u r ) .
Z i j r a k e n aan h e t k e r n v l a k i n de l i j n e n Sj en S^. Laat nu W^L^ nade-ren t o t WjL|, dan z u l l e n S en nadenade-ren t o t en u i t e i n d e l i j k daarmee sa-m e n v a l l e n . S s n i j d t de g e l i j k v o r sa-m i g e i n - en u i t t r e d e n d e wiggen, isa-msa-mers h e t v e r s c h i l i n h e l l i n g t u s s e n W|Lj en ^2^2 k l e i n . I n de l i m i e t i s d a t S^: de l i j n door het z w a a r t e p u n t van W|L|.
De r a a k l i j n e n van h e t k e r n v l a k en de w a t e r l i j n v l a k k e n z i j n z w a a r t e p u n t s -assen, d i e tevens h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n z i j n . Het k e r n v l a k kan beschouwd worden a l s een c y l i n d e r waarover h e t s c h i p over h e t v l a k . W^L^ g e r o l d kan worden. De r a a k v l a k k e n aan h e t k e r n v l a k z i j n e v e n w i j d i g aan de l a a k l i j n e n aan de B^ kromme i n de o v e r e e n k o m s t i g e p u n t e n .
B i j een s c h i p met l o o d r e c h t e z i j w a n d e n i n h e t g e b i e d van de beschouw-de s l a g z i j (j) i s h e t k e r n v l a k o n t a a r d i n een r e c h t e l i j n , l i g g e n d i n h e t langsscheeps s y m m e t r i e v l a k ( z i e F i g u u r ) . Een s c h i p met u i t v a l l e n d e spanten h e e f t een k e r n v l a k d a t naar boven h o l i s ( c o n c a a f ) . B i j i n v a l l e n d e spanten i s het k e r n v l a k naar beneden h o l ( c o n v e x ) . U i t g e o m e t r i s c h onderzoek b l i j k t d a t i n het algemene g e v a l de h e l l i n g van de spanten t . p . v . de w a t e r l i j n maatgevend
De m e e t k u n d i g e p l a a t s van heet de m e t a c e n t r i s c h e kromme.
M i s de l i m i e t v a n h e t s n i j p u n t van twee opeenvolgende w e r k l i j n e n van o p d r i j v e n d e k r a c h t , a l s de hoek t u s s e n d i e twee l i j n e n t o t n u l n a d e r t . Omdat deze w e r k l i i n e n n o r m a l e n z i i n van de kromme i s een k r o m t e
-(}) -(}) m i d d e l p u n t . De kromme i s dus de m e e t k u n d i g e p l a a t s v a n de k r o m t e m i d -d e l p u n t e n v a n -de B^ kromme ( o o k w e l -de e v o l u t e genoem-d).
De p l a a t s en vorm v a n de B en M krommen b e p a l e n de g r o o t t e van de m e t a c e n t r i s c h e s t r a a l B,M,. Deze a f s t a n d i s van b e l a n g v o o r de g r o o t t e
i> *
van h e t s t a b i l i t e i t s m o m e n t . Wordt de B, kromme, u i t g a a n d e van de midden-<^
s t a n d , s t e e d s v l a k k e r , m.a.w. neemt de k r o m t e s t r a a l t o e , dan w o r d t ^ g r o t e r . Deze s i t u a t i e i s i n de o n d e r s t a a n d e f i g u u r g e s c h e t s t .
-4.5-Voor e n k e l e g e v a l l e n i s de samenhang van de m e t a c e n t r i s c h e kromme, de kromme van d r u k k i n g s p u n t e n en h e t k e r n v l a k i n de v o l g e n d e F i g u u r weer-gegeven.
\
M^:top aan o n d e r z i j d e W :ontaard i n r e c h t e B ,:toenemende k r o m t e s t r a a l M ,:idem M :idem W :concaaf W :convex B , : t o e n . k r o m t e s t r a a l . B , : t o e n . k r o m t e s t r a a l . l o o d r e c h t e z i j w a n d e n u i t v a l l e n d e r e c h t e z i j w a n d e n i n v a l l e n d e r e c h t e z i j w a n d e n . Voor gekromde z i j w a n d e n g e l d t h e t v o l g e n d e :A l s h e t krommingsmiddelpunt van de spanten aan w e e r s z i j d e n van h e t m i d d e l l a n g s v l a k l i g t , dan neemt de k r o m t e s t r a a l v a n B t o e a l s de h e l l i n g s -hoek toeneemt. Dan l i g t de t o p van aan de o n d e r z i j d e .
L i g t h e t krommingsmiddelpunt van de spanten aan d e z e l f d e k a n t van h e t m i d d e l l a n g s v l a k , dan neemt de k r o m t e s t r a a l van B, a f . De t o p van de M,
r kromme l i g t aan de b o v e n z i j d e .
-4.6-A l s h e t krommingsmiddelpui-it in h e t m i d d e l l a n g s v l a k l i g t , dan i s de B, kromme een c i r k e l met m i d d e l p u n t M. De M kromme i s o n t
-ij) (f)
aard t o t éen punt M.
Het k a r a k t e r van h e t k e r n v l a k w o r d t , z o a l s gezegd, b e p a a l d door de h e l l i n g van de spanten t . p . v . de w a t e r l i j n .
Voor een d r i j v e n d e c i r k e l c y l i n d e r , d i e h a l f ingedompeld i s , g e l d t : ( z i e F i g u u r ) Opm. K KB = R ( I - 4 ) ; KM = R; 3 TT 3 TT
-4.7-4 . -4.7-4 . De kromme van armen van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t ,
V]
De g r a f i s c h e v o o r s t e l l i n g GZ((}))=h((j)) noemen w i j de kromme van armen van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t . D i c h t b i j (|)=0 g e l d t :
GZ=GMd), dus -^^-^ =GM; dq)
4.3
m.a.w. de h e l l i n g i n de o o r s p r o n g w o r d t gegeven door de metacentrum hoog-t e . Evenzo w o r d hoog-t de h e l l i n g i n een w i l l e k e u r i g punhoog-t van de kromme gegeven door de v e r t i c a l e a f s t a n d t u s s e n M, en G, dus door ZM, Immers
d{GZ(4.) } d(j)
ZM, .dcj)
d(|) ZM 4.4
De kromme van armen w o r d t vaak g e k a r a k t e r i s e e r d door e n k e l e k a r a k t e r i s -t i e k e p u n -t e n , z o a l s :
de hoek w a a r b i j een h u i g p u n t o p t r e e d t : c))^, de hoek w a a r b i j de arm maximaal i s : cj) , de hoek w a a r b i j de arm n u l w o r d t ,
ook wel range o f s t a b i l i t e i t s o m v a n g genoemd: i})^ .
Een b e l a n g r i j k e r o l s p e e l t h e t o p p e r v l a k van de kromme, o f van een d e e l van de kromme: de dynamische s t a b i l i t e i t .
4.5. De dynamische s t a b i l i t e i t .
De dynamische s t a b i l i t e i t van een s c h i p i s de a r b e i d d i e v e r r i c h t moet worden om h e t s c h i p v a n u i t een gegeven b e g i n s t a n d , o n e i n d i g langzaam i n een andere s t a n d t e brengen (D ) . De a r b e i d d i e door een moment M v e r r i c h t
''.t s t w o r d t bi'i d r a a i i n g o v e r dij) i s : M^^d(j). Immers h e t moment kan vervangen gedacht
worden door een k r a c h t M op a f s t a n d 1 van de momentane d r a a i i n g s a s en
s t " een g e l i j k e doch t e g e n g e s t e l d g e r i c h t e k r a c h t M^^ a a n g r i j p e n d i n de d r a a i
-i n g s a s . De a f s t a n d d -i e de k r a c h t M^^ -i n e -i g e n r -i c h t -i n g a f l e g t -i s 1 . d(|) z o d a t de v e r r i c h t e a r b e i d g e l i j k i s aan M dcfi. We k r i j g e n dus b i j d r a a i i n g om een
s c hoek (f) :
D = ƒ M dé = Y V ƒ GN sint}) d(j) 4.5
s t O s t ^ ' O (j)
De dynamische weg e v i n d t men door de dynamische s t a b i l i t e i t t e d e l e n door h e t dépiacement:
D
De dynamische weg i s de i n t e g r a a l van de kromme van armen van s t a t i s c h e s t a -b i l i t e i t .
Evenals b i j de s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t kan men o n d e r s c h e i d maken t u s s e n de a a n v a n g s s t a b i l i t e i t en de s t a b i l i t e i t b i j g r o t e r e hoeken. Voor de aan-v a n g s s t a b i l i t e i t g e l d t :
h = GZ = GÏÏ.fj)
dus:
e =
f'^hd*
= GM d(|)* = |GM
(f)^
4.7
-4.9-Verband t u s s e n de dynamische weg, de arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t en de h o o g t e l i g g i n g van h e t metacentrum boven h e t g e w i c h t s z w a a r t e p u n t .
B l i j k b a a r g e l d t : dh , dc " = d i ' ^ = d ^ en: h = ƒ cdif, , c =
rhd<t>* .
4.9 O O-4.10-4.6. De dynamische s t a b i l i t e i t , r e c h t s t r e e k s b e r e k e n d .
De a r b e i d d i e n o d i g i s om h e t s c h i p een b e p a a l d e s l a g z i j t e geven kan ook op een meer d i r e c t e m a n i e r berekend worden. D a a r t o e w o r d t deze a r b e i d i n twee d e l e n g e s p l i t s t n . l . de a r b e i d d i e n o d i g i s om h e t s c h i p i n h e t l u c h t l e d i g e de s l a g z i j tf) t e geven en de a r b e i d d i e , b i j d e z e l f d e p o s i t i e v e r a n d e r i n g i n w a t e r , door de w a t e r d r u k k r a c h t e n op de h u i d w o r d t v e r r i c h t .
Ten a a n z i e n van de e e r s t e a r b e i d w o r d t opgemerkt d a t de e q u i p o t e n -t i a a l v l a k k e n van h e -t z w a a r -t e k r a c h -t s v e l d h o r i z o n -t a l e v l a k k e n z i j n . Er w o r d t dus geen a r b e i d v e r r i c h t a l s h e t z w a a r t e p u n t G z i c h o n e i n d i g l a n g -zaam h o r i z o n t a a l v e r p l a a t s t . Ook een h o e k v e r d r a a i i n g om G v e r g t geen a r -b e i d want dan v e r p l a a t s t G z i c h n i e t i n h e t z w a a r t e k r a c h t s v e l d . A l l e e n a l s G v e r t i c a a l v e r p l a a t s t , w o r d t e r a r b e i d v e r r i c h t . Neem nu a l s r e f e r e n t i e v l a k h e t w a t e r o p p e r v l a k . Door de v e r t i c a l e v e r p l a a t s i n g van G i s de v e r r i c h t e a r b e i d : D J = Y V ( G Ö - G T ) 4.10 De a r b e i d v e r r i c h t door de w a t e r d r u k k r a c h t e n v i n d e n we a l s v o l g t : De h o r i z o n t a l e w a t e r d r u k k r a c h t e n op h e t s c h e e p s o p p e r v l a k v e r r i c h t e n geen a r b e i d : aan b a k b o o r d en s t u u r b o o r d z i j n de e l e m e n t a i r e w a t e r d r u k -k r a c h t e n i n h e t z e l f d e h o r i z o n t a l e v l a -k s t e e d s g e l i j -k , doch t e g e n g e s t e l d g e r i c h t . 4 . 1 1
-Door de v e r t i c a l e v e r p l a a t s i n g dz van h e t o p p e r v l a k t e element dA van de s c h e e p s h u i d , z a l de v e r t i c a l e component van de w a t e r d r u k k r a c h t a r b e i d v e r r i c h t e n .
De v e r t i c a l e component van de w a t e r d r u k k r a c h t op dA i s dP =YzdA z ' z en de a r b e i d , v e r r i c h t over de weg dz i s y z d A dz. B i j een e i n d i g e v e r
-z
t i c a l e v e r p l a a t s i n g a i s de v e r r i c h t e a r b e i d : ( z i e F i g u u r )
Z
Nu i s yadA^ h e t g e w i c h t van h e t g e a r c e e r d e v l o e i s t o f k o l o m m e t j e en (Z]"-|) i s de o r d i n a a t van h e t z w a a r t e p u n t van d a t v l o e i s t o f k o l o m m e t j e . Het p r o d u c t i s g e l i j k aan h e t s t a t i s c h moment van h e t g e w i c h t van h e t g e a r c e e r -de d e e l . Het i s g e m a k k e l i j k t e verifiëren d a t dD2=-Ya(z -•|)dA^ g e l i j k i s aan h e t v e r s c h i l van h e t s t a t i s c h moment van de z u i l t j e s met h o o g t e n r e s -p e c t i e v e l i j k ( Z j - a ) en z^ •
Een analoge r e d e n e r i n g g e l d t v o o r a l l e o p p e r v l a k t e elementen zodat de t o t a l e a r b e i d , v e r r i c h t door de w a t e r d r u k k r a c h t e n , g e l i j k i s aan h e t v e r s c h i l van h e t s t a t i s c h moment van h e t dépiacement i n e i n d en b e g i n -t o e s -t a n d . He-t s -t a -t i s c h momen-t w o r d -t i n b e i d e g e v a l l e n gevonden door de a f s t a n d van h e t d r u k k i n g s p u n t t o t h e t w a t e r o p p e r v l a k t e v e r m e n i g v u l d i g e n met h e t dépiacement, dus ( z i e F i g u u r ) :
I n t o t a a i i s de v e r r i c h t e a r b e i d , dus de dynamische s t a b i l i t e i t . D = D + D = Y V { ( G O - G T ) + ( B ^ U - B O ) } sc I z é o f : De dynamische weg i s : e = B ^ ^ - B G 4. 1 3 M.a.w.:
De dynamische weg i s g e l i j k aan de v e r g r o t i n g v a n de v e r t i c a l e a f -stand t u s s e n h e t g e w i c h t s z w a a r t e p u n t en h e t d r u k k i n g s p u n t .
Opm.
Men v e r b i n d e h i e r a a n n i e t de c o n c l u s i e d a t de o p d r i j v e n d e k r a c h t a a n g r i j p t i n h e t d r u k k i n g s p u n t .
-5, De aard van h e t e v e n w i c h t b i j u i t w e n d i g e b e l a s t i n g .
V e r o n d e r s t e l d wordt d a t een k e n t e r e n d moment M, (ej)) p l o t s e l i n g op h e t s c h i p w e r k t . De d i f f e r e n t i a a l b e w e g i n g van de s l i n g e r b e w e g i n g l u i d t : I (})• =^M=-M ^((f>)-N,<^-m (i)'+M, (cj)) 5.1 w a a r i n : I - h e t massatraagheidsmoment t . o . v . de langsas X X - de dempingscoëfficiënt m^ - de s c h i j n b a r e v e r g r o t i n g van h e t massatraagheidsmoment.
B i j de b e r e k e n i n g van h e t s t a t i s c h en dynamisch e v e n w i c h t kan h e t dempings-moment v e r w a a r l o o s d worden. De d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g w o r d t dan a l s v o l g t g e s c h r e v e n :
l ^ f = M j ^ ( ^ ) - M ^ ^ ( ^ ) 5,2 w a a r i n :
I =1 +m . (|) X X (()
I n t e g r a t i e van deze v e r g e l i j k i n g over h e t b e r e i k (j) ^ t o t <f) l e v e r t
/
IJd^=
/ M(i>)d^-
/ M ^ ( < f) ) d( t ) . cj) c|)j k s t Nu i s : r d(f) • d(j) = _ en: cj, = — en: '1' dd, * . , 1 ƒ I $d(j)= ƒ I - | d(t,= .[ ijd^ = 4zi, 2 2 ^ = - I r<^ -<j) ) 5.3 9 . 2 (f) 1A i s randvoorwaarde w o r d t nu genomen: ( f > = ( j ) | , f(> j =0, zodat de e v e n w i c h t s v e r -g e l i j k i n -g w o r d t :
E = { i ^ ^ = / n^^Wd^ - / n^^Wd^. 5.4
De toename van de k i n e t i s c h e e n e r g i e van h e t s c h i p i s g e l i j k aan de a r -b e i d d i e v e r r i c h t w o r d t door h e t t o t a l e moment d a t op h e t s c h i p w e r k t .
5.2-De maximale h e l l i n g s h o e k cj), a l s g e v o l g van h e t p l o t s e l i n g o p t r e d e n d k e n t e r e n d moment M w o r d t b e r e i k t a l s de h o e k s n e l h e i d ^ n u l i s . Dan i s
k
de k i n e t i s c h e e n e r g i e E=0 en de potentiële e n e r g i e i s maximaal. De hoek ' t > = 4 ' 2 w a a r b i j dynamisch e v e n w i c h t b e s t a a t , v i n d t men u i t :
*2 (t>^
E=r Mj^(c^)df - ƒ ^ M^^((Md(|> =0 5.5
De a a r d van h e t e v e n w i c h t w o r d t gegeven door h e t t e k e n van;
^ = —{Mj^((j))-M^^(c})) }, voor ({>=<{>,
A l s $ 2 ' ^ ' ^ ' ^ ^ ' " ^ '^2 maximum: h e t e v e n w i c h t i s s t a b i e l . De v o o r w a a r d e l u i d t :
\('i>) < Mgj,((()) , v o o r (t)=(j>2 5.6
A l s $ 2 ^ * ^ '
'^^^
M^^(<t>) ((f)) , dan i s h e t e v e n w i c h t i n s t a b i e l . 5.7 A l s $„=0, dus a l s M ((f))=M (<i>) , dan i s h e t e v e n w i c h t i n d i f f e r e n t . 5.8z. lc S t I n de h i e r o n d e r v o l g e n d e F i g u u r z i j n d r i e g e v a l l e n beschouwd w a a r b i j e e n v o u d i g h e i d s h a l v e i s aangenomen d a t cf) =0. 1 = 31 1 =11 I > H ^2 ƒ M, dé=f M c 0 k O s t ^2 ^2 ƒ M, d<t>=r M dó. O k 0 s t ^2 ^9 ƒ M, d(h>f d(f) O k 0 s t M, <M ^ v o o r d) = d)„ k s t ^2 M, =M v o o r é=i> ^ k s t T Y 2
dyn. s t a b i e l dyn. i n d i f f e r e n t geen d y n . e v e n w i c h t b i j (f)=(f) 2"
Het komt vaak voor d a t c|)=(})j, b i j v . b i j de t o e p a s s i n g van b u i t e n -l a n d s e s t a b i -l i t e i t s c r i t e r i a . D i t g e v a -l wordt i n de F i g u u r v e r d u i d e -l i j k t . i ''//////// i '2 Men v e r i f i e e r t g e m a k k e l i j k d a t u i t de voorwaarde; ^2 ^2 ƒ M d(})=/ M d(j) v o l g t : Opp.l = O p p . I I , C) K (' . S L
V e r o n d e r s t e l d wordt d a t h e t k e n t e r e n d moment z6 l a n g aanwezig i s geweest dat i n s c h a k e l v e r s c h i j n s e l e n n i e t meer van b e l a n g z i j n . Het r e s u l t e r e n d e ' s t a t i s c h e e v e n w i c h t w o r d t nu g e a n a l y s e e r d . Het s t a t i s c h e e v e n w i c h t be-v i n d t z i c h b i j <j)=(})2 w a a r b i j de h o e k s n e l h e i d maximaal i s . Daar i s dus E maximaal en de potentiële e n e r g i e i s m i n i m a a l , z o a l s w i j reeds zagen u i t : E = s'^W.d^ - /'^M d(j) v o l g e n nu de e v e n w i c h t svoorwaarden. cf, k ^ (f, s t ^ A l s : ' ' = M, -M =0 o f : M, =M 5.9 d(j) k s t k s t en: d^E ^ ^ s t '^^st % TZ = — 3 — ~ — T . — < O o f : , , > — — . d a n i s h e t e v e n w i c h t s t a b i e l . 5.10
^^2 def) def) def) def) A l s : d^E > O, dan i s h e t e v e n w i c h t i n s t a b i e l . 5.11 def) Het i s i n d i f f e r e n t a l s : = 0 5.12 2 de()
-5.4-Deze g e v a l l e n worden i n de v o l g e n d e F i g u u r geïllustreerd. V o o r b e e l d e n van s t a t i s c h e e v e n w i c h t . I I i s s t a b i e l i s i n s t a b i e l ' ^ I I I i n d i f f e r e n t <j)j^ i s i n s t a b i e l V i s s t a b i e l , Het s t a t i s c h e v e n w i c h t kan óók geabakyseerd worden door de s l a g z i j t e vermeerderen o f t e v e r m i n d e r e n met A<p. A l s h e t o p t r e d e n d moment de even-w i c h t s t o e s t a n d t r a c h t t e h e r s t e l l e n , nadat de o o r z a a k van Atj) i s even-weggenomen, dan i s h e t e v e n w i c h t s t a b i e l .
Opm. 1. I . p . v . h e t k e n t e r e n d e moment M, kan ook gewerkt worden met de arm van h e t k e n t e r e n d moment:
2. Het b e r e i k e n van h e t dynamisch e v e n w i c h t kan a l s v o l g t g r a f i s c h v e r k l a a r d worden ( z i e F i g u u r ) .
. . z •
B i j 'i>2^-[ (Mj^~M^^)d(f) i s ^ g e l i j k aan n u l geworden.
A l s d i t door de o n d e r l i n g e v e r h o u d i n g van Mj^ en M^^ n i e t m o g e l i j k i s , dan b e s t a a t e r geen hoek w a a r b i j dynamisch e v e n w i c h t h e e r s t .
-6.1. De f o r m u l e van S c r i b a n t i .
GZ=BN sin<}'-BGsin(j)=y coscb + z siné-BGsinó. Nu i s : dy = B B , . , cosc|)=B M cosédé tp (p+d(() <J) (j) ^ ^ dz = B,B, ,, sin(j>=B ^ I sinédé . <j) (()+d(f) (j) (|) ^ ^ H i e r u i t v o l g t : y = /^B M cos(})d(l,*; z = ƒ^B M sin<j,d^'^. A l s h e t s c h i p o v e r h e t beschouwde g e b i e d van h e i l i n g s h o e k e n , l o o d r e c h t e wanden h e e f t dan g e l d t : 1 = 1 /cos ó, dus:
ó X ^ ' B, M^=BM/cos cf, .
cf, cf. Dan i s :
r'^ BM é BM
f ö- def, en: z = — gincf ^ ° cos cf) * O cos •
H i e r u i t v o l g t
T e n s l o t t e wordt de arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t : ] — 2 GZ=BMtgc|)cos(j)+ BMtg (|)sin(f)-BGsin(j), o f ; 2 GZ=GMsin(j)+BM -^^-^ 5 ^ ]
Deze f o r m u l e g e l d t e x a c t a l s de spanten l o o d r e c h t op het w a t e r o p p e r v l a k s t a a n b i j h e l l i n g (j)=0. Immers het verband I =1 /cos'^cj) g e l d t dan e x a c t .
Voor normale k o o p v a a r d i j s c h e p e n g e l d t de f o r m u l e v r i j a a r d i g m i t s het dek o f de kim n i e t u i t het water komen. I n v e e l g e v a l l e n i s de f o r m u -l e van S c r i b a n t i b r u i k b a a r t o t (|)=10° a 15°. V o o r z i c h t i g h e i d i s geboden b i j scherpe schepen en s t e r k u i t v a l l e n d e spanten v l a k boven de c o n s t r u c -t i e w a -t e r l i j n . Opgemerk-t word-t d a -t v o l g e n s S c r i b a n -t i de -tweede -t e r m s-teeds p o s i t i e f i s , d.w.z. de arm van s t a t i s c h e s t a b i l i t e i t neemt meer t o e dan a l l e e n u i t de a a n v a n g s s t a b i l i t e i t zou v o l g e n ( z i e F i g u u r ) . Deze t e r m i s de toegevoegde s t a b i l i t e i t , dus:
2
MN sin(f;=BM - ^ f - ^ . sincf,.
De B^ kromme w o r d t gegeven door de parameter v e r g e l i j k i n g e n : y=BMtgtj)
z=|BMtg^(j).
Door e l i m i n a t i e van tgcj) v o l g t h i e r u i t de m e e t k u n d i g e p l a a t s van B : 2
2BM
D i t i s een p a r a b o o l waarvan de t o p samenvalt met het punt B.
-6.3-dus; 2 3/2 3 M . Nu I S dz R = dy _ dz _ y _ d z z 2 d^z ^'^ BM dy^ BM dy 2 'Ml B M R = B M ( l + t g ( j , ) ^ = • = B M cos ó *
Voor een r e c h t h o e k i g e bak ( h a l f i n g e d o m p e l d ) z i j n de b e r e k e n i n g e n van B M GZ, en e verzameld i n w i t d r u k 6.1. Voor een w i l l e k e u r i g e diepgang z i j n door K r a p p i n g e r (Handbuch der W e r f t e n , 1960) de armen berekend a l s f u n c t i e van ^ B / D, en B / T. Het g e w i c h t s z w a a r t e p u n t i s d a a r b i j aangenomen i n B . W i t d r u k 6.2 g e e f t de r e s u l t a t e n voor d r i e h e l l i n g s h o e k e n .
6.2. W i l l e k e u r i g e scheepsvormen.
6.2.1. De f o r m u l e s van Atwoord en Moseley.
De r e s t r i c t i e van l o o d r e c h t e spanten b e t e k e n t een t e g r o t e v e r e e n v o u d i -g i n -g voor -g r o t e h e l l i n -g s h o e k e n . Er z i j n daarom b e r e k e n i n -g s m e t h o d e n v o o r h e t b e p a l e n van de kromme van armen o n t w i k k e l d w a a r b i j geen b e p e r k i n g e n aan de vorm van het s c h i p n o d i g z i j n . Van h i s t o r i s c h e waarde i s de f o r m u l e van A t -wood (Phüosophical T r a n s a c t i o n s 1798).
Ook g e l d t : vJJ BN sind) = BQ = V Dus: M St M s t y V C - y ^ = BGsin(j)) o f : M s t Y ( v J J -V .BGsinc})) 6.2
De f o r m u l e van Moseley g e e f t een u i t d r u k k i n g voor de dynamische s t a b i -t e i -t . G e z i e n de me-thode word-t deze f o r m u l e h i e r 55k a f g e l e i d . We vonden r e e d s :
D = Y V ( B 7 Z - BG)
Nu i s :
B 'Z = B 'o + BGcosd)
Volgens de v e r s c h u i v i n g s w e t i s :
Deze f o r m u l e werd door de B r i t s e v l o o t p r e d i k a n t Moseley g e p u b l i c e e r d i n de P h i l i s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h e Royal S o c i e t y 1850.
A l s B en G s a m e n v a l l e n dan z i j n de u i t d r u k k i n g e n voor M en D a l l e e n S L
a f h a n k e l i j k van de vorm en de g r o o t t e van de i n - en u i t t r e d e n d e w i g g e n , d.w.z. van de vorm van h e t s c h i p t u s s e n wind en w a t e r .
v ( N l + N.J , )
V
dus:
D = Y { V (N J + N J )-VBG(l-cos())) } 6.3
-6.5-6.2,2. De methode van Barnes.
De h i e r b o v e n a f g e l e i d e f o r m u l e s van Atwood en Moseley z i j n de g r o n d -s l a g e n van de rekenmethode van Barne-s (TINA 1861, 1871) d i e h i e r a l l e e n i n p r i n c i p e w o r d t b e s p r o k e n .
Men b e p a a l t h e t moment van de wiggen i n b r e e d t e en h o o g t e : v J J j en v(NJ+N|J|) met b e h u l p van w a t e r l i j n e n d i e door de as O gaan. Daarna w o r d t de zogenaamde c o r r e c t i e s c h i j f i n r e k e n i n g g e b r a c h t . Deze c o r r e c t i e s c h i j f i s n o d i g omdat de opeenvolgende w a t e r l i j n e n b i j c o n s t a n t e V i n het algemeen n i e t door O b l i j v e n gaan. Voor de h u l p w a t e r l i j n W L d i e door O g a a t , g e l d t
( z i e f i g u u r ) : V =V+v.-v =v+S 6.4 (j) 1 U (j) w a a r i n : S = v.-v , de inhoud van de c o r r e c t i e s c h i i f , (j, 1 u' -J ' v^ = de inhoud van de i n t r e d e n d e w i g , V = de i n h o u d van de u i t t r e d e n d e w i g . u ^ I n de e e r s t e p l a a t s moeten nu de inhouden v_j^ en v ^ b e p a a l d worden en hun menten t . o . v , een v e r t i c a a l v l a k door de as O en t . o . v . h e t v l a k W L . De
mo-(j) mo-(j) menten moeten g e c o r r i g e e r d worden met d i e w e l k e de c o r r e c t i e s c h i j f o p b r e n g t . D i t l a a t s t e i s eenvoudig a l s de inhoud en h e t z w a a r t e p u n t van de s c h i j f kend z i j n . I n h e t algemeen i s de s c h i j f dun, zodat deze a l s een c y l i n d e r be-schouwd mag worden met l o o d r e c h t e doorsnede t . p . v . de w a t e r l i j n W,L ,
De z w a a r t e p u n t s l i g g i n g i n b r e e d t e komt dan overeen met d i e van de w a t e r l i j n W L . I n hoogte l i g t h e t z w a a r t e p u n t i d onder W L a l s " d " de d i k t e van de
(f) (j) (J) ()) s c h i j f v o o r s t e l t . Er g e l d t
-6.6-V . -V
d = ^ = . ^ ^ 6.5
d kan >0 en <0 z i j n . Ten a a n z i e n van h e t " b r e e d t e moment" kunnen z i c h twee s i t u a t i e s voordoen ( z i e f i g u u r ) . v .> V ; 1 u • a l s V S h e e f t d e z e l f d e r i c h t i n g V .< V : 1 u' a l s V . . 1 S h e e f t d e z e l f d e r i c h t i n g
S c h i j f i n h . moet a f g e t r o k k e n worden. S c h i j f i n h , moet e r b i j g e t e l d worden. Het s c h i j f m o m e n t moet a f g e t r o k k e n worden van h e t b r e e d t e moment a l s h e t z w a a r t e p u n t van W aan de k a n t van de g r o o t s t e w i g l i g t . Het moet e r b i j ge¬ t e l d X T O r d e n a l s h e t z w a a r t e p u n t aan de k a n t van de k l e i n s t e w i g l i g t .
Het moment i n h o o g t e van de s c h i j f moet steeds a f g e t r o k k e n worden, o n a f -h a n k e l i j k van de z w a a r t e p u n t s l i g g i n g i n b r e e d t e o f van -h e t f e i t d a t de s c -h i j f e r b i j g e t e l d moet worden o f er a f g e t r o k k e n .
Het o p p e r v l a k van een d r i e h o e k i g o p p e r v l a k t e e l e m e n t j e van een spant dat l i g t t u s s e n de w a t e r l i j n e n W^L^ en W^_,_^^L^_^^^ i s g e l i j k aan d(J). Het o p p e r v l a k f v a n de d r i e h o e k i n g e s l o t e n door LOL, i s ;
f ( x ) = |/ y^dip* , w a a r i n y^=y^(<\>)
De inhoud v a n de i n t r e d e n d e w i g i s dan:
v . = / ^ f (x)dx=i/V'*'y^d(},dx. 1 0 0 0 - 1 ^
We kunnen ook e e r s t naar x i n t e g r e r e n en dan naar 4>, w a a r b i j t e bedenken i s d a t h e t s t a t i s c h moment v a n een h a l v e w a t e r l i j n t . o . v . O g e l i j k i s aan:
L 2
if y£dx=m^. Deze i n t e g r a l e n z i j n met de r e g e l v a n Simpson t e berekenen.
We v i n d e n t e n s l o t t e : ' ' i = '2fjf^yldxd<^ = ^(m^+4m|+2m2+ ) Evenzo;
^ u = ^ n ' y ^ x d , =f(m;Mm;+2m' + ,
en; o f : 5^ = ^ 1 (m^-m;)+4(m,-m;)+ 2(m2-m^) + , = -^(M^+4Mj+2M2+.. ) . 6.6 r w a a r i n : m-m =M h e t moment v a n de h e l e w a t e r l i j n t . o . v . de as door 0. We hebben dus gevonden d a t :a. De inhoud v a n e l k d e r wiggen i s g e l i j k aan de i n t e g r a a l over c|) v a n de s t a t i s c h e momenten t . o . v . O v a n de w a t e r l i j n h e l f t e n w e l k e b i j e l k v a n d i e wiggen h o r e n .
b. Het v e r s c h i l v a n de w i g inhouden i s g e l i j k aan de i n t e g r a a l over ()) v a n de t o t a l e s t a t i s c h e momenten van de w a t e r l i j n t . o . v . de as 0.
Het moment van de wiggen.
Het z w a a r t e p u n t van de d r i e h o e k t u s s e n de w a t e r l i j n e n W^^ en W, ,L, , l i g t op een a f s t a n d 4 V- van 0. T.o.v. h e t l o o d r e c h t e v l a k door O i s d i t : . cos (())-<}) ) . Het moment van h e t e l e m e n t a i r e d r i e h o e k i e L, OL,
3^1 n^ (j)n (f)n+l
i s nu:
2 2 1 3
-y.cos((t)-(|)^) . ^ y .d(}) = ^y^cos((|)-(j)^)d(}). Het moment van de i n t r e d e n d e w i g i s nu:
^ ƒ / y'^cos (<!)-(}) )dcf)dx = ƒ * i cos((j)-d) )dè .
3 0 0 1 n O n n
Evenzo i s h e t moment van de u i t t r e d e n d e w i g :
f'^i ' cos ( d )
-o n
Het t o t a l e moment van i n - en u i t t r e d e n d e wiggen w o r d t met Simpson b e r e k e n d , w a a r b i j J = i + i ' , h e t traagheidsmoment van een w a t e r l i j n t . o . v . de as O v o o r
-s t e l t . Du-s:
moment wiggen = ] J^cos +4J ^ cos ((()-(() | )+2 J^cos ((}>-(}) 2)+ ... | 6.7 Op g e h e e l analoge w i j z e v i n d t men v o o r h e t moment i n h o o g t e :
moment wiggen = J sin((t)-(() )+4 J , s i n (tb-è , ) + 2 J„ s i n (d)-d, „ ) ^ • • • 6.8 3 O O 1 1 z 2
