Marek Kaniewski
Instytut Kolejnictwa
MODEL MATEMATYCZNY ODBIERAKA PRDU
I SIECI JEZDNEJ
Rkopis dostarczono, maj 2013
Streszczenie: W artykule opisano sposoby modelowania, przy pomocy funkcji matematycznych, podsystemu drgajcego: odbierak prdu i sie jezdna oraz systemu drgajcego odbierak prdu - sie jezdna. Podano modele pantografów i sieci jezdnej o jednym stopniu swobody i dwóch stopniach swobody. Omówiono metod symulacji uniesienia przewodu jezdnego na skutek przejazdu wielu odbieraków prdu w oparciu o pomiary uzyskane z przejazdu jednego odbieraka prdu. Przedstawiono te wyniki symulacji dla urzdze uywanych na zelektryfikowanych liniach kolejowych PKP, to jest dla odbieraka prdu typu 5ZL-SP i sieci trakcyjnej 2C120-2C.
Sowa kluczowe: model matematyczny, modelowanie odbieraka prdu i sieci trakcyjnej, odbierak prdu, sie trakcyjna
1. WSTP
Odbierak prdu i sie jezdn moemy rozpatrywa jako dwa podsystemy jednego systemu drgajcego.
W procesach optymalizacji parametrów podsystemów (nowych odbieraków i nowych konstrukcji sieci jezdnych lub starych konstrukcji, ale pracujcych w nowych warunkach przy wikszych obcieniach) jak i w przypadkach potrzeby analizy wzajemnego oddziaywania zachodzcego midzy tymi podsystemami, nieocenione usugi daje model matematyczny tych podsystemów.
Oprócz zastosowa poznawczych, model odbierak prdu – sie jezdna jest równie uytecznym narzdziem do wykonywania prac komercyjnych, polegajcych na dokonaniu oceny jakoci wspópracy odbieraka prdu z sieci trakcyjn, wymaganej przez Dyrektyw 2008/57/WE obowizujc w Unii Europejskiej (w Polsce od 24 sierpnia 2012 r.) [3] a szczególnie do analiz zgodnoci wykonywanych wedug postanowie Decyzji Komisji Europejskiej nr 2011/274/UE, dotyczcej technicznej specyfikacji interoperacyjnoci (TSI) podsystemu „Energia" transeuropejskiego systemu kolei konwencjonalnych [4].
TSI podsystemu „Energia” wymagaj, by jednostka notyfikowana w procesie certyfikacji dokonaa oceny parametrów sieci jezdnej na etapie projektowania. Czynnoci tej mona dokona tylko przez symulacj (sie jezdna jeszcze nie zostaa wybudowana,
TRAKCYJNEJ
Model to pojcie wieloznaczne. Dla celów niniejszego artykuu przyjmiemy definicje, e model to system zaoe, poj i zalenoci midzy nimi, pozwalajcy opisa (modelowa ) w przybliony sposób jaki aspekt rzeczywistoci [1].
Natomiast model matematyczny, to „zalenoci opisujce wyidealizowane zjawisko fizyczne lub ekonomiczne; przyrzdy matematyczne suce do rozwizywania albo ilustracji tych zalenoci” [2].
Zalenoci mog nalee do rónych zbiorów: na przykad cigów znakowych, logicznych, liczb zespolonych. Zatem model matematyczny, to grupa funkcji wicych ze sob róne zmienne i w ten sposób opisujcych powizania midzy wielkociami opisujcymi zjawiska fizyczne.
Modele odbieraków prdu zale od:
1. Budowy odbieraka - sposobu mocowania lizgacza w górnym w le pantografu, 2. Konstrukcji ramion odbieraka - ukad symetryczny lub niesymetryczny,
3. Celu, jaki chcemy osign ,
4. Sposobu uproszczenia - jakie dane wyjciowe interesuj nas do dalszej analizy. Model sieci jezdnej zaley od: jej konstrukcji, sposobu uproszczenia i celu, jaki chcemy osign .
W zalenoci od stopnia skomplikowania, modele matematyczne odbieraka prdu moemy podzieli na:
x ze skupionymi parametrami (dyskretny), x o jednym stopniu swobody (jednomasowy), x o dwóch stopniach swobody (dwumasowy), x o trzech stopniach swobody (trójmasowy), x o n stopniach swobody (n masowy), Rodzaje modeli sieci jezdnej:
x ze skupionymi parametrami (dyskretny), x o jednym stopniu swobody (jednomasowy), x o dwóch stopniach swobody (dwumasowy), x z rozoonymi parametrami (cigy).
Rodzaje modeli systemu drgajcego odbierak prdu - sie jezdna: x ze skupionymi parametrami,
x mieszany (dyskretno-cigy), ze skupionymi parametrami reprezentujcymi odbierak prdu i z rozoonymi parametrami reprezentujcymi sie jezdn.
3. MODEL ODBIERAKA PRDU I SYSTEMU
DRGAJCEGO ODBIERAK PRDU – SIE
TRAKCYJNA O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
Model odbieraka prdu o jednym stopniu swobody pokazano na rysunku 1. Skada si on z masy zwanej mas zastpcz lub zredukowan odbieraka prdu mo, na któr
oddziauje ukad si. Masa zastpcza to suma mas czci ruchomych odbieraka prdu, odniesiona do punktu styku z przewodem jezdnym. W przypadku ogólnym jest to masa, która umieszczona w punkcie styku ma tak sam energi kinetyczn jak masa czci ruchomej caego odbieraka prdu przy zaoeniu, e prdko pionowa masy ramion odbieraka jest taka sama jak lizgacza [5]. Mas zastpcz mona obliczy (zalenoci podaje [5]), lub zmierzy wedug procedur podanych w normach [6] lub [7].
Analiz si dziaajcych na odbierak prdu i sie trakcyjn przeprowadza si tylko dla skadowej pionowej, pomijajc inne skadowe si.
Na punkt styku lizgacza odbieraka prdu, od strony sieci trakcyjnej oddziauje zmienna w czasie i zalena od przebytej drogi przez pojazd sia stykowa Fs(t,x), spowodowana przez zmienn elastyczno sieci trakcyjnej. Od strony dachu lokomotywy i ukadu napdowego odbieraka (sprynowy lub mieszkowy) dziaaj siy:
x statyczna Fo teoretycznie staa, niezalena od wysokoci uniesienia lizgacza odbieraka
prdu, zawsze dodatnia, x tarcia suchego W,
x tarcia lepkiego (wiskotyczne) wynikajce ze wspóczynnika tarcia lepkiego r i prdkoci ruchu pionowego odbieraka,
x aerodynamiczna Fae dziaajca podczas ruchu na ca konstrukcj odbieraka, zalena od kwadratu prdkoci ruchu odbieraka.
Wspóczynnik tarcia lepkiego, te powinien by zredukowany od punktu stycznoci. Eksperymentalny sposób okrelenia si tarcia zosta podany w normach [7 i 9]. Aktualne wymagane wartoci redniej siy stykowej funkcji prdkoci jazdy Fs(v), okrela norma [10]. Z zamieszczonego w niej wykresu mona odczyta skadow siy aerodynamiczn Fae. Wartoci jej s mniejsze ni podaje norma [7].
W modelu pokazanym na rysunku 1. istnieje moliwo uproszczenia jego czci. Siy tarcia suchego i wiskotycznego mona zastpi ekwiwalentnym wspóczynnikiem tarcia wiskotycznego [6].
Oddziaywanie zestawu koowego pojazdu szynowego zostao przedstawione jako sinusoidalne wymuszenie masy m przez element sprysty o sztywnoci k (oznaczony przerywan lini na rysunku 1.) [6].
Model sytemu drgajcego odbierak prdu-sie jezdna pokazano na rysunku 2. W ukadzie z jednym stopniem swobody równanie ruchu opisujce model przyjmuje posta równania róniczkowego (1) lub (2) [5,6,15].
Rys. 1. Model odbieraka o jednym stopniu swobody
gdzie: y - przemieszczenie masy mo,
k - wspóczynnik sztywnoci elementu reprezentujcego oddziaywanie wózka pojazdu szynowego ) , ( sgn sgn ) ( ) ( ) (moms yrsyr yyo ks yyo Ws yrykyW y FoFaerFs t x x x x x x x x x (1) (2) gdzie: y - warto przemieszczenia pocztkowego masy mo o.
W opracowaniu [11] dla tego samego modelu przedstawiono inne równanie róniczkowe (3) opisujce model o jednym stopniu swobody z uproszonym ekwiwalentnym tarciem lepkim.
(3) gdzie: ko – rednia sztywno sieci trakcyjnej na dugoci przsa,
k1 – amplituda zmian sztywnoci sieci trakcyjnej na dugoci przsa.
), , ( sgn ) )( (t y y W y F t x k y r y ms s s s o s s x x x x ), , ( ) 2 cos ( 1 t y F F t x L v k k y r y mo o o s x x x S
Rys. 2. Model sytemu drgajcego odbierak prdu-sie jezdna
4. MODEL ODBIERAKA PRDU I SYSTEMU
DRGAJCEGO ODBIERAK PRDU – SIE
TRAKCYJNA O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
Model odbieraka prdu o dwóch stopniach swobody pokazano na rysunku 3. Skada si on z dwóch mas zastpczych msl imr, na które oddziauje ukad si.
Na rysunku 4. pokazano model sytemu drgajcego odbierak prdu-sie jezdna w ukadzie z dwoma stopniami swobody, a równanie ruchu opisujce ten model przyjmuje posta ukadu równa róniczkowych (4) [13].
Rys. 3. Model odbieraka o dwóch stopniach swobody
gdzie: msl – masa lizgacza, mr – masa ramion lizgacza,
y1, y2 – przemieszczenia lizgacza i ramy odbieraka,
pozostae okrelenia jak w p. 4 z tym, e indeks 1 oznacza odpowiednie odniesienia parametrów do lizgacza, a indeks 2 odniesienia parametrów do ramion odbieraka.
(4) (5) . ) 2 ( ) ( ) ( 2 f t k t m s s S x x (6) gdzie: f- czstotliwo drga swobodnych sieci.
W artykule [14] przyjto do oblicze, e masa zastpcza sieci trakcyjnej i jej pochodna zaley od sztywnoci sieci trakcyjnej ks(t) i czstotliwoci drga swobodnych sieci jezdnej wedug zalenoci (5) i (6).
, ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( (ms t msl y1ms t y1c1 y1y2 ks y1y2 ks t y1h0 Faer1 x x x x x x , ) ( ) ( 2 1 2 2 1 2 0 1 0 2 1 2 aer ry c y y c y k y h y F F m xx x x x , ) 2 ( ) ( ) ( 2 f t k t m s s S
Rys. 4. Model sytemu drgajcego odbierak prdu-sie jezdna
gdzie: ho - maksymalne pooenie lizgacza bez kontaktu z przewodem jezdnym,
inne okrelenia jak na rysunku 1 i 3 z tym, e indeks: s oznacza odniesienie parametrów do sieci trakcyjnej, - 1 do lizgacza, - 2 do ramion odbieraka. Natomiast autor artykuu [13] sugeruje, e lepsze przyblienie do rzeczywistych przebiegów siy stykowej uzyskuje si w przypadku gdy do symulacji uywa si rzeczywistych danych z pomiarów sztywnoci sieci trakcyjnej w postaci tablic, ni przyblienia funkcyjnego.
5. MODEL DYSKRETNO-CIGY SIECI TRAKCYJNEJ
W artykule [17] zosta opisany model sytemu drgajcego sie trakcyjna-odbierak prdu, gdzie sie trakcyjna jest podsystemem cigym a odbierak prdu podsystemem dyskretnym. Model tego systemu drgajcego przedstawiono na rysunku 5.
Rys. 5. Model cigy sieci trakcyjnej z oddziaywaniem odbieraka prdu przez si F(t) W modelu tym przewód jezdny i lina nona to ukad dwóch nieskoczenie dugich strun, które wprowadzane s w stan drgajcy przez odbierak prdu reprezentowany przez si stykow Fst(t). Model taki opisuje ukad równa ruchu róniczkowych, czstkowych maych drga poprzecznych w postaci (7):
), ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 2 1 2 vt x t F x t x y N t t x y mp st G G G G G (7) , 0 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 2 x t x y T t t x y ml G G G G
gdzie: N, T – nacig liny nonej i przewodu jezdnego, ml . m p – masa struny na jednostk dugoci,
y1, y2 – przemieszczenia poprzeczne przewodu jezdnego (indeks 1) i liny nonej
(indeks 2),
v- prdko , x – droga (dugo sieci jezdnej), t – czas.
Rozwizanie ukad równa róniczkowych, po przyjciu odpowiednich wartoci parametrów dla rzeczywistej sieci trakcyjnej, pozwali na okrelenie zalenoci wartoci przemieszcze dla dowolnego punktu sieci trakcyjnej od czstotliwoci systemu drgajcego. Badania tych zalenoci doprowadziy do wniosku, e odbierak prdu wspópracujcy z sieci jezdn jest ródem dwóch fal poprzecznych biegncych, o rónych czstotliwociach. Jedna porusza si w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu odbieraka i ma czstotliwo wiksz od 2 Hz, a druga w kierunku przeciwnym i ma czstotliwo mniejsz od 2 Hz.
6. HISTORIA ROZWOJU MODELU WSPÓPRACY
SYSTEMU DRGAJCEGO ODBIERAKA PRDU-SIE
TRAKCYJNA
W opracowaniu [12] podano rozwój modelowania systemu drgajcego odbierak prdu-sie jezdna w drugiej poowie XX wieku. W latach 1944-1950 H. Nibler zaproponowa równanie ruchu (8) w postaci:
(8)
gdzie: e(t) – emax cos(Z t);
l v S
Z 2 - funkcja elastycznoci sieci trakcyjnej.
W 1997 roku Japoczycy Fudin i Shibata zaproponowali równanie (9), w którym zosta dodany skadnik tumienia systemu drgajcego.
(9) gdzie: Fo – rednia warto statycznej siy odbieraka prdu,
(1 cos(2 ) ) ) ( 1 x l k x e sr k S H , x - zmienne w przedziale od 0 do l.
W 1962 r. Japoczyk I. Kumesawa zaproponowa równanie (10), w którym masa sieci jezdnej jest funkcj drogi .
(10) gdzie : k(x) = , ms(x) = mr(1 cos2 x) L m S H m
H - nierównomierno masy, mr – rednia warto masy zastpczej sieci trakcyjnej.
Obecnie powszechnie [4,5,6,11,16] uznaje si, e sia stykowa jest sum wektorow si: statycznej odbieraka prdu Fo, bezwadnoci Fa, tarcia FT i oddziaywania powietrza Fae jak podano w (11).
(11)
7. SYMULACJA UNIESIENIA PRZEWODU JEZDNEGO
SIECI TRAKCYJNEJ POD WPYWEM WIELU
PANTOGRAFÓW
W opracowaniu [15] opisano metod superpozycji symulacji uniesienia przewodu jezdnego sieci trakcyjnej pod wpywem wielu pantografów. Polega na tym, e przebieg
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
x
t
F
y
F
x
t
F
x
y
F
v
F
s or
ar
T ae ) ( ) ( 1 2 t e y F y m m ms o x x o F x e y ry y m m x x x ) ( ) ( 1 2 o s k x y F dx dy rv dx y d v m m x m( )( )) ( ) ( 2 2 2 2 1 ) ( 1 x eW procesie symulacji postpowano wic zgodnie z formu matematyczn:
y12 (t) = y1 (t) + y2 (t) (11)
ogólnie y1n (t) = y1 (t) + y2 (t) + ... +yn(t) (12)
gdzie: y12 (t) - uniesienie przewodów jezdnych pod wpywem dwóch pantografów,
y1 (t) - uniesienie przewodów jezdnych pod wpywem pierwszego pantografu,
y2 (t) - uniesienie przewodów jezdnych pod wpywem drugiego pantografu, przesunitego
w czasie o warto dan odlegoci midzy nimi,
yn (t) - uniesienie przewodów jezdnych pod wpywem n-tego pantografu, przesunitego
w czasie o warto dan odlegoci midzy nimi a pierwszym pantografem. Dokonano walidacji symulacji porównujc symulowany przebieg uniesienia przewodu jezdnego opisan metod z wartociami zmierzonymi przy przeje dzie dwóch pantografów o znanej odlegoci midzy nimi. Wynik porównania pokazano na rysunku 6. Obliczony wynik korelacji przebiegów wyniós 0,9 .
Rys. 6. Porównanie uniesienia przewodów jezdnych sieci jezdnej obliczanych metod symulacji i otrzymanego z pomiaru - 3 0 - 2 5 - 2 0 - 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 p o m ia r s y m u la c ja t , s u n ie s iw n ie , m m
8. APLIKACJE MODELI SYSTEMU DRGAJCEGO
ODBIERAK PRDU – SIE TRAKCYJNA
Dla zaprezentowania moliwoci zastosowania metody modelu matematycznego wykonano symulacj wartoci siy stykowej odbieraka prdu typu 5ZL-SP i sieci trakcyjnej 2C120-2C. Do symulacji przyjto model pokazany na rysunku 2. Obliczenia wykonano przyjmujc nastpujce dane: ms = 32 kg, mo = 34,7 kg, ksmax = 3817 N/m, ksmin = 3125 N/m, r = 15 Ns/m, rs = 0 Ns/m, Fo = 110 N, Ws = 0 N. Nie uwzgldniono siy aerodynamicznej i siy oddziaywania puda lokomotywy. Do symulacji uyto zalenoci (3). Przebieg siy stykowej pokazano na rysunku 7.
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0 200,0 0 0,86 1,72 2,58 3,44 4,3 5,16 6,02 6,88 7,74 8,6 9,46 Sia stykowa [N] t, [s]
Rys. 7. Przebieg siy stykowej przy v=160 km/h dla odbieraka 5ZL-SP i sieci typu 2C120-2C
9. WNIOSKI
Wraz ze wzrostem prdkoci jazdy pocigów ekspresowych trakcji elektrycznej (v=200, 250, 300 km/h) znaczcym problemem staje si jako odbioru prdu przy pomocy odbieraków prdu. Przydatnym narzdziem pozwalajcym na wnioskowanie o jakoci odbioru prdu jest model matematyczny odbieraka prdu-sie jezdna.
Po okreleniu modelu sytemu drgajcego odbierak prdu- sie trakcyjna, napisaniu równa ruch i wprowadzeniu do nich wymaganych parametrów z reguy okrelonych w sposób eksperymentalny, pozwala on na szacowanie przemieszcze punktu styku odbieraka prdu i sieci trakcyjnej, okrelenie wystpujcych w tym punkcie si, okrelenie uniesienia przewodu jezdnego. Prace na ten temat prowadzone s w wielu orodkach kolejowych i uniwersyteckich we Francji, Niemczech, Woszech, Rosji, Japonii i Chinach. W Polsce zagadnieniami tymi interesuj si midzy innymi pracownicy Politechniki Warszawskiej, Politechniki Krakowskiej i Instytutu Kolejnictwa.
1989 r.
6. A !#$@: , \^`~,
$ 2006 r.
7. PN-K-91001:1997 Elektryczne pojazdy trakcyjne - Odbieraki prdu - Wymagania i metody bada 8. PN-EN 50318:2003 Zastosowania kolejowe - Systemy odbioru prdu - Walidacja symulacji
oddziaywania dynamicznego pomidzy pantografem a sieci jezdn górn (oryg.)
9. PN-EN 50206-1:2010 Zastosowania kolejowe - Tabor - Pantografy: Charakterystyki i badania -- Cz
1: Pantografy pojazdów linii gównych (oryg.)
10. PN-EN 50367:2012 Zastosowania kolejowe - Systemy odbioru prdu - Kryteria techniczne dotyczce
wzajemnego oddziaywania midzy pantografem a sieci jezdn górn (w celu uzyskania wolnego dostpu) (oryg.)
11. Grajnert Jacek, Wpyw niektórych parametrów odbieraka prdu na si stykow, Pojazdy szynowe nr 4 1978
12. Fidrych Zbigniew, Konieczny Roman, Modelowanie dynamiki wspópracy odbieraka prdu z sieci
trakcyjn przy uyciu maszyn matematycznych, 20 lat trakcji elektrycznej na lsku, 1977 r.
13. Kobielski Andrzej, Wpyw aproksymacji sztywnoci sieci trakcyjnej na si stykow, Trakcja i wagony nr 1/85
14. Grajnert J. Drgania ruchomego ukadu dyskretnego wspópracujcego z ukadem cigym na przykadzie
wspópracy odbieraka prdu z sieci trakcyjn Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki
Wrocawskiej, Raport Rreprint 124(574) 1979 r.
15. Kaniewski M. Symulacja uniesienia przewodu jezdnego sieci trakcyjnej pod wpywem wielu pantografów Czasopismo techniczne, Elektrotechnika, zeszyt 13, Politechnika Krakowska
16. # A. ., #$ . , #$ ^. ^.,
!#$ & #$ ', ~ !, $ 1972 r.
17. Komaniecka A. Modelowanie struktur dyskretno-cigych przy wymuszeniu impulsowym, Politechnika Krakowska, Symulacje w Badaniach i Rozwoju, wydanie 2, vol. No 1/2011
MATHEMATICAL MODEL OF PANTOGRAPH AND OVERHEAD CONTACT WIRE Summary: The purpose of this paper is to show the methods of modeling vibrating subsystems i.e.: pantograph and the overhead contact wire and of a vibrating system: pantograph- overhead contact wire using mathematical functions. Presented pantograph and overhead contact wire models with one and with two degrees of freedom. The method of creating a simulation of a uplift contact wire through many pantographs on the basis of measurements taken from one pantograph is discussed. Results of a simulator for electrified railways equipment i.e. 5ZL-SP pantograph and 2C120-2C overhead contact wire are also presented.
Keywords: mathematical model, pantograph and overhead contact wire modeling, pantograph, overhead contact wire.
