okre±lamy dziaªania dodawania (x

Lista 3: Przestrzenie liniowe

(1) W zbiorze R

okre±lamy dziaªania dodawania (x

, x

) ⊕ (y

, y

) = (x

+ y

, x

+ y

), oraz mno»enia przez liczbe

α ∗ (x

, x

) = (αx

, αx

).

Sprawdzi¢, czy trójka (R

, ⊕, ∗) jest przestrzenia wek- torowa nad ciaªem R.

(2) Niech V = (0, ∞). Okre±lamy dziaªania ⊕ oraz ∗ w nastepujacy sposób

∀

a ⊕ b = ab,

∀

∀

α ∗ a = a

.

Zbada¢, czy (V, ⊕, ∗) jest przestrzenia wektorowa nad ciaªem R.

(3) W zbiorze R

okre±lono dziaªania

(x

, y

) ⊕ (x

, y

) = (x

+ x

, y

+ y

), α ∗ (x, y) = (αx, y).

Czy (R

, ⊕, ∗) jest przestrzenia wektorowa nad ciaªem R?

(4) W zbiorze R

okre±lono dziaªania

(x

, y

) ⊕ (x

, y

) = (x

+ x

, y

+ y

), α ∗ (x, y) = (αx, −αy).

Czy (R

, ⊕, ∗) jest przestrzenia wektorowa nad R?

(5) Niech + oraz · oznaczaja zwykªe dodawanie i mno»enie w ciele liczb zespolonych. Deniujemy dziaªanie ◦:

∗ : C × C 3 (α, z) → Re(α) · z ∈ C

Sprawdzi¢, czy (C, +, ∗) jest przestrzenia wektorowa nad ciaªem C.

1

2

(6) Wykaza¢, »e je»eli (K, +, ·) jest ciaªem, to (K, +, ·) speªnia warunki przestrzeni wektorowej nad K.

(7) Niech (V, +, ·) bedzie dowolna przestrzenia wektorowa nad ciaªem K, natomiast X zbiorem niepustym. W zbiorze

V

:= {f | f : X → V }

wprowadzamy dziaªanie wewnetrzne ⊕ oraz mno»enie przez skalar ∗ w nastepujacy sposób:

f ⊕ g : X 3 x → f (x) + g(x) ∈ V, f, g ∈ V

, α ∗ f : X 3 x → α · f (x) ∈ V, α ∈ K, f ∈ V

.

Wykaza¢, »e (V

, ⊕, ∗) jest przestrzenia wektorowa

nad K.