Wykad 10

MECHANIKA 2

Wykład Nr 10

MOMENT BEZWŁADNOŚCI

Definicja momentu bezwładno

ś

ci

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny, osi lub bieguna:

[ ]

2

m

kg

⋅

=

I

Jednostką jest

Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych względem tej płaszczyzny, osi lub bieguna.

Moment bezwładno

ś

ci układu punktów

2 1 i n i ir m I

∑

= =

Moment bezwładno

ś

ci układu ci

ą

głego

Momentem bezwładności układu ciągłego

(linii, powierzchni lub bryły materialnej)

względem przyjętej płaszczyzny, osi lub

bieguna nazywamy całkę

Promie

ń

bezwładno

ś

ci

Po przekształceniu wzoru

Masa zredukowana na odległo

ść

r

Masę m

_red

, którą należy skupić w odległości r od

danej płaszczyzny, osi lub bieguna, aby jej

moment bezwładności był równy I, nazywamy

masą zredukowaną na daną odległość r.

Geometryczny moment bezwładno

ś

ci

Geometryczny moment bezwładności I (dla ciał

jednorodnych)

jest

ilorazem

masowego

Moment bezwładno

ś

ci linii materialnej

Po podstawieniu do równania

Otrzymamy wzór na moment bezwładności linii materialnej

Masy elementarnej w postaci:

Geometryczny moment bezwładno

ś

ci

linii materialnej

Przykład

Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cx_c.

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0)

otrzymujemy

Moment bezwładności względem osi centralnej Cx_c.

l

m

l

=

ρ

Moment powierzchni materialnej

Po podstawieniu do wzoru

Masy elementarnej w postaci:

Otrzymamy wzór na moment bezwładności powierzchni materialnej

Geometryczny moment powierzchni materialnej

Moment bryły materialnej

Po podstawieniu do wzoru

Masy elementarnej w postaci:

Otrzymamy wzór na moment bezwładności bryły materialnej

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem płaszczyzny

W układzie współrzędnych dany jest układ

punktów materialnych o masach . Współrzędne masy oznaczymy .

Momenty bezwładności względem płaszczyzn układu współrzędnych określają wzory:

z y x, , n m m m₁, ₂,Κ , i m xi, yi, zi

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem płaszczyzny

W układzie współrzędnych dane jest continuum materialne o masie m rozłożonej w sposób ciągły.

Wtedy momenty bezwładności względem płaszczyzn układu współrzędnych w sposób analogiczny określają wzory:

z y x, ,

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

Zwi

ą

zki pomi

ę

dzy momentami

Suma momentów bezwładności względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych jest równa momentowi bezwładności względem osi pokrywającej się z krawędzią przecięcia się tych płaszczyzn.

Momenty bezwładności

względem płaszczyzn

można wyrazić przez

Biegunowy moment bezwładności można wyrazić przez momenty osiowe

Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy osiowych momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

Zwi

ą

zki pomi

ę

dzy momentami

Biegunowy moment bezwładności możemy również wyrazić przez momenty względem płaszczyzn

Moment biegunowy jest sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez dany biegun.

Zwi

ą

zki pomi

ę

dzy momentami

Na płaszczyźnie Oxy momenty bezwładności tego samego ciała wyrażają się wzorami:

Względem osi:

Zwi

ą

zki pomi

ę

dzy momentami

Zatem:

Moment biegunowy bezwładności jest sumą

momentów bezwładności względem dwóch

prostopadłych osi przechodzących przez dany

biegun.

PRZYKŁAD 1

Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego.

r dr

R

Po pominięciu π(dρ)2 _{- wielkości małej wyższego rzędu}

Po podstawieniu otrzymamy:

Aby objąć całkowaniem cały obszar A, zmienna r powinna przybierać wartości od 0 do R:

Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego względem jego

środka wynosi:

PRZYKŁAD 2

Obliczyć geometryczny moment bezwładności prostokąta o wym. b i h względem osi x.

Lp. _Przekrój Moment bezwładności

Wskaźnik wytrzymałości

Względem środka (osiowy)

1.

2.

Względem osi zaznaczonej na rysunku

3. 4. 5. 32 2 4 4 0 D R J = π = π

(

4 4

)

0 32 D d J = π − 16 2 3 3 0 D R W = π = π       − = D d D W 4 4 0 16 π 64 4 4 4 D R J = π = π

(

4 4

)

64 D d J = π − 12 3 bh J = 6 2 bh W =       ₋ = D d D W 4 4 32 π 32 4 3 3 D R W = π = π

MOMENTY DEWIACJI

Momentem dewiacji punktu materialnego względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych nazywamy iloczyn masy punktu przez odległości od danych płaszczyzn:

Momenty zboczenia mogą być dodatnie, ujemne i, w szczególności, równe zeru.

MOMENTY DEWIACJI

Momentem dewiacji układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy sumę momentów dewiacji poszczególnych punktów materialnych względem tych płaszczyzn.

Dla układu ciągłego

MOMENTY DEWIACJI

W przestrzennym układzie współrzędnych układ punktów materialnych ma trzy momenty dewiacji:

W płaskim układzie współrzędnych układ materialny ma jeden moment dewiacji

Geometryczny

moment

dewiacji

jest

równy

ilorazowi masowego momentu dewiacji przez

gęstość bryły.

Transformacja równoległa momentów bezwładności

Weźmy pod uwagę układ punktów materialnych i dwie równoległe osie l, s.

Moment bezwładności względem osi l

a względem osi s

Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność ri′ ri

Po podstawieniu otrzymujemy

czyli

Założymy, że oś s przechodzi przez środek ciężkości układu materialnego, wtedy moment statyczny , jest

równy zero i wzór przybiera postać:

0

=

∑mixi

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi.

Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek, że moment bezwładności względem prostej przechodzącej przez środek ciężkości układu jest najmniejszym ze wszystkich momentów względem prostych do niej równoległych.

2

ma

PRZYKŁAD

Geometryczny moment

bezwładności prostokąta względem

poziomej osi x wynosi

Obliczyć moment bezwładności względem podstawy.

Przykład 1

Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola

względem osi centralnej. R o z w i ą z a n i e:

Moment bezwładności

półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła

Wyznaczymy moment dewiacji względem układu współrzędnych z początkiem umieszczony w środku ciężkości S.

z y

x ′, ′, ′

Transformacja równoległa momentów dewiacji

Współrzędne dowolnej masy w układzie będą równe i m z y x, , s i i

x

x

x

=

′

+

s i i

y

y

y

=

′

+

s i i

z

z

z

=

′

+

Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn i ) będzie równy

zy xz

Transformacja równoległa momentów dewiacji

Ale

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności 2 1 i n i i l

m

r

I

∑

=

=

Dane: m1, m2, Κ , mn oraz I x, Iy , Iz i Dxy Dyz Dzx

Należy wyznaczyć

moment bezwładności

względem osi l .

Odległość r_i masy m_i od osi l określona jest równaniem

ρ_i(x_i,y_i,z_i)

i

i

i

lub

Rzut promienia na oś l jest równy

ρ

i

Uwzględniając, że gdzie

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

1

cos

cos

cos

2

α

+

2

β

+

2

γ

=

γ

β

α

ϕ

ρ

_i

cos

_i

=

x

_i

cos

+

y

_i

cos

+

z

_i

cos

2 2 2 2 i i i i

=

x

+

y

+

z

ρ

i i i i i i

r

2

=

ρ

2

sin

2

ϕ

=

ρ

2

−

ρ

2

cos

2

ϕ

dochodzimy do równania

Grupując względem cosinusów otrzymamy

Po podstawieniu do

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

(

) (

) (

)

α γ γ β β α β α α γ γ β α γ γ β β α γ β α cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos cos cos cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x z z y y x z y x x z z y y x z y x z y x r − − − − + + + + + = = − − − − − − − + + =

(

)

(

)

(

)

. cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

α

γ

γ

β

β

α

γ

β

α

i i i i i i i i i i i i i x z z y y x y x x z z y r − − − − + + + + + = 2 1 i n i i l

m

r

I

∑

=

=

Mnożymy powyższe równanie przez m_i, a otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając, że

oraz

otrzymujemy ostatecznie

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

(

+

)

= Ix

∑

2 2 i i i y z m

∑

m_i

(

z_i2 + x_i2

)

= I_y

∑

m_i

(

x_i2 + y_i2

)

= I_z xy i i i x y D m =

∑

∑

m_i y_iz_i = D_yz

∑

_m

_i

_z

_i

_x

_i

=

_D

_zx

.

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2 2 2

γ

β

α

γ

β

α

γ

β

α

yz zx xy z y x l

D

D

D

I

I

I

I

−

−

−

−

+

+

=

W szczególności dla układu płaskiego uwzględniając, że

(

_{β = 90° − α}

)

powyższe równanie przyjmuje postać:

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

α

α

α

sin

sin

2

cos

2 _y 2 _xy x l

I

I

D

I

=

+

−

PRZYKŁAD 1

Dane są dwie pełne kule A i B wykonane z tego

samego materiału. Masa kuli A jest 8 razy

większa od masy kuli B. Ile razy moment

bezwładności kuli A jest większy od momentu

bezwładności kuli B? Moment bezwładności kuli

PRZYKŁAD 1

Ponieważ obie kule są wykonane z tego samego materiału, ich gęstość jest taka sama:

PRZYKŁAD 2

I

_x

= ?

I

_y

= ?

1

2

PRZYKŁAD 2

PRZYKŁAD 2

2

PRZYKŁAD 2

Przedział całkowania:

PRZYKŁAD 3

I

_z

= ?

I

_xx

= ?

I

_yy

= ?

I

_zz

= ?

I

₀

= ?

I

_x

= ?

PRZYKŁAD 3

W celu obliczenia I_z rozpatrzmy przekrój walca z

PRZYKŁAD 3

PRZYKŁAD 4

I_z = ? I_xx = ? I_yy = ? I_zz = ? I₀ = ? I_x = ? I_y = ?

W celu wyznaczenia I_z

wycinamy dwiema płasz-czyznami prostopadłymi do osi 0z elementarny walec o grubości dz i promieniu r:

PRZYKŁAD 4

Z podobieństwa trójkątów mamy:

h

R

z

h

r

=

−

Zatem:

(

h

z

)

h

R

r

=

−

PRZYKŁAD 4