Zur theorie des senkrecht zur wasseroberfläche gerichteten tragflügels unter berücksichtigung der oberflächenspannung des wassers

(1)

XXXIII. fand 1963 W. If. IsIy: Zur Theorie des senkrecht zur Wasscroberllüdie gerichteten Tragllügels 51

Zur Thorie des senkrecht zur Wasseroberfläche gerichteten Tragflügels

(Propellerfihigels)

unter Berücksichtigung der Oberflächenspannung des Wassers

Von W. H. Isay

1. Einleitung. Tragflügcl mit Spannweitenrichtung senkrecht zur Wasseroberfläche wurden . biIicr nur von Nishiya,na1 untersucht, und zwar gewann dieser das Gcscliwindigkeitspotential cilles solchen Flügels als Grenzfall für verschwindenden Offnungswinkcl aus dein Potential eines V-fürinigcn Unterwasscrtragflügcls, wie er bei Tragflügelbootcn verwendet wird.

Die geringe Beaclit uiig die senkrechle Unterwassertragflü gel bisher in der internationalen Literatur fanden, mag durch (lie Tatsache zu erklären sein, daß diese Flügel für Tragflügelboote kaum Bedeutung haben. Dic Behandlung solcher Flügel ist jedoch wichtig für die Propcllcrtheorie, wenn man den Einfluß der Wasseroberfläche auf die Strömung un einen Propellerfliigel unter-suchen will.

Denn deiikt man entweder an den Flügel eines Schraubenpropellers, der gerade unterhalb der Wasseroberfl iichc vorbeirotiert, od er auch an einen nahe der Wasseroberfläche rotierenden Flügel eines Voith-Schneider-Propellers, so ist es klar, daß beide Probleme schon dtireh ihren instationären Charakter zwar weseiitlich komplizierter sjIl(l als dasjenige cines einfachen Flügels senkrecht zur Wasseroberfläche. Jedoch ist es plausibel, daß für die beideji ersteren Probleme näherungsweise

¡ jedenfalls für Cifleli kurzen Zeitraum eine gewisse Analogie zu dciii letzteren l'roblcm bcteht.

Es erscheint daher zweckmäßig, die einfachere Theorie ei,ies senkrecht zur Wasseroberfläche fahrenden genauer zu diskutieren, bevor ein nial au eine Vii Lersuehung (1er igeiitliclìen

Propellerstrüiìiung gedacht %%'ird. Dieses letztere Problem erscheint iii strenger Foriii nach wie vor einer Behaiidlung unzugänglich. Lediglich cule Nälieruiigst beone zur Uiitcrstichung (les Einflusses der \Vasserolwrfläche auf die \Virhelverteiluiig bei eijieln Scliraubenpropeller s'urde vorn Ver-fasser vor einiger Zeit angegeben. Dabei wurde eine vereinfachte Handliedingung an der \Vasser-oberfläche unter Vcriiaclilässigung der Schwerkraft zugrunde gelegt; für die in der Arbeit behandelte Aufgabe erwies sich dieses als ausreichend.

Die vorliegenden Untersuchungen habeii jedoch eine andere Zielsetzung. Es sollen Grundlagen für die Behandlung des theoretisch noch ganz unerforschten Problemes der Lultansaugung bei Propellerflügeln entwickelt werden. Bevor jedoch überhaup t der eigentliche Lu ftansau gungsvor. gang behandelt werden kann, ist es notwendig, dic Theorie eines senkrecht zur Wasseroberfläche gerichteten Tragflügels zu entwickeln. Für eine mögliche spätere Anwendung dieser Theorie auf die Luftansaugung ist es vor allem wichtig, die Form der freien Wasseroberfläche sowie auch das Druckfeld (Ausbildung von Kavitationsblasen) in der Umgebung des Flügels möglichst vollständig zu berechnen.

Deshalb soll in der vorliegenden Arbeit die normale Randbedingung an der freien Wasserober-fläche noch durch die Berücksichtigung des Druckanteils der OberWasserober-flächenspannung des Wassers erweitert werden, da dieser für das Luftansaugungsproblem sicher von Bedeutung ist. Es zeigt sich, daß (lie durch den Einfluß der Oberflächenspannung bedingten zusätzlichen Anteile des Geschwin-digkeitspotentials durchaus nicht immer vernachlässigbar klein sind. Insbesondere sind (liese Anteile von Bedeutung bei kleineren Fahrtgeschwindigkeiten und Abmessungen der Flügel, wie sie bei Mudeilversuchen vorkommen dürften. Und gerade die Frage, in wie weit Modellversuchsergeb-nisse über die Luftansaugung cines Propellers auf die Großausfiihrung übertragen werden können, ist ja ein bisher noch nicht befriedigend gelöstes Problem der industriellen Praxis.

Dic systeniatisclie numerische Auswertung der hier entwickelten Theorie auf einem leistungs-fähigen Rechenautomaten soll einer späteren Arbeit vorbehalten bleiben.

T. Nishiyama, J. American Soc. Nay. Engin. 71(1959) S. 693. 2 W. II. Isay, Ing.-Arch. 31(1962) S. 194.

4*

(2)

-2. Das Geschwindigkeitspotentia I bei Vernachlässigung der Oherfliicbenspannung. Wir beginnen zunächst mit der Berechnung des Gcschwindigkcitspotentials eines Flügels senkrecht zur Wasser-ob'rfhichc ohne Berücksichtigung der Obcrflächcnspannung. Zwar wurde dieses bereits von Nishi yema durch Spezialisierung ans dem Potential eines V-FIügcls gewonnen. Jedoch erweist es sich als zweckmäßig und notwendig, dieses Potential auch direkt (ohne den Umweg über den V-Flügel) abzuleiten und in einer anderen Forni als Nislilyarna darzustellen, damit später ein über-sichtlicher Vergleich inh dein allgemeineren Potential bei Berücksichtigung der Oberflächen-spannung möglich ist.

folgt aus (3)

mit -

_x

=

-u0 â

u+gJ=o

(fürz=;0).

(4)

Dabei liegt die mittlere Höhe der freien Wasseroberfläche bei z

=

z0, und Z(x, y) gibt die genaue Verformung der Wasseroberfläche unter dem Einfluß des Flügels an.

Abb.

Der betrachtete Tragf1iigeIerstreckc sich in Span nwcitenrichtung (z-Richtung) über den Bereich

( b

z/ b) (z die Aufpunktkoordinate,

dic Integrationsvariable) und werde in bekannter Weise durch einen tragenden Stabwirbel der Zirkulation 1'(C) dargestellt. Wir legen den Stabwirbel ohne Einschränkung der Allgemeinheit in dic z-Aclise (x

=

O, y

=

O) des Koordinatensystems (Abb. 1). Der Wirbel befinde siels iii einer homogenen Anströmung mit der Geschwindigkeit u0 in

Riclituimg der positiven x-Achsc.

-Für (las vorliegende Problem ist es zweckniüßig, das Potcimlial cines Stabwirbcls im unbegrenztcii

Raummi in der Form darzustellen

(I)

=

1) dC

fsintiy(e_i

zCI +

si?

XCITÀ /Jr

v±2)

d1t b

=

¿J I'() dC[2+

(_

)2(1 +

j/x2

_±y2±(z-

(1)

Formel (1) weicht ab von der bekannten Karmanschcn1 Darstellung des Geschwindigkeitspoteiitials, die sich besonders für die Behandlung des üblichen parallel zur 'Wasseroberfläche gerichteten Flügcls eignet. Die Richtigkeit von Gleichung (1) erkennt man aus der in Zif f. 8 a) bewiesenen

Integral-form el

ft dAdfl _y X

f f

e_l_CIsinysin2x._iV

=

(z

+y2

Die übliche linearisierte Randbedingung an der freien 'Wasseroberfläche lautet (vgl. auch Ziff.5) âcl

u0 - g Z = gz

1 _{TIm. y. Karman, Z. angew. Math. Mech. 15 (1935) S. 56.}

(für z

=

z0)

(2)

(3)

XXXIII. Band 196:1 _{W. Ji. Isay: Zur Theorie des senkrecht zur 'Wasseroberfläche gerichteten Tragfiügeis} ₅₃

Für alle _{citcreii Betrachtungen in der vorliegendeit Arbeit setzen wir voraus, daß der Flügel} die Wasseroberfläche nicht berühre, (laß also 'tets

Im Sonderfall g = O ist die Randbedingung (4) sofort zu erfüllen, indem zu das Potential i2 eines an der Wasseroberfläche gespiegelten Wirbels hinzugefügt wird:

b

i

f()d f siny(e_e1(2no_r_c+.._

f

VA2 + i2/

= -

r

_{P() d}

₍₁₊

X (6)

L

y2+(2z0z)2

Yx2+y2+(2zo_z_2)

In diesem Fall (Vernachlässigung des Einflusses der Schwerkraft, d. h. g = O) ist

=

+ q

bereits das gesuchte Gcschwincligkeitspotential, das allen Bedingungen genügt.

Betrachtet man umgekehrt cien Fall sehr kleiner Anströmgeschwindigkeiten (setzt also _{u0 = O),} so stellt J) =

-

dic gesuchte Lüsung dar, wie man leicht nachrechnet.

Für die Erfüllung der vollständigen Randhedingiing (4) wird zunächst der Ansatz

i

₌

+

2 + 'a gemacht mit

b

6

=

F()d f sin ¡iy

(e_/(2

:,:C) +

el'(

0C) F(A,)

siflA X dA)

'wbei die noch unbekannte Funktion F(), t) aus der Randbedingung (4) bestimmt wird. Man erhält

b C')

=

--

f F()

f siniy

(

(2r,__C) + ¡ nA xgp e_ (2na__C)

b

O r A _{g VA2 ± ,L2 - u A2} d2 d/L. (7)

Für die weiteren Rechnungen hat es sich als zweckmäßig erwiesen, dic Abkürzung einzuführen

k0=_Ç

und

z=2z0z

(z

>0).

(8)

Wir untersuchen nunmehr den von der Schwerkraft abhängigen Anteil des Potentials q, den wir mit i _{bezeichnen wollen. Mit der Einführung von Polarkoordinaten für die Integration,}_{d. h.}

b

- O O S1fl92

=

_{2 f}

P() df

f :;

Die Integration über r kann mit Hilfe der bekannten Integralformel'

f

(x.>0)

(10)

o

(eiTYc0s9 - e_iTYc059) (e1'"c'_ e'7-"P) dr dep

Für den Beweis dieser Integralformel und die verschiedenen Darstellungen der E1-Funktion _verweisen

wir z. B. auf Formel (10) in der Arbeit des Verfassers, Ing..Arch. 29 (1960) S. 163, sowie auf das Buch;

Lüsch-Schoblik, Die Fakultiit und verwandte Funktionen, S. 118 121, Leipzig 1951.

¿=rsin,

1u=rcos,

dAdu=rdrdp

(9)

ergibt sich

zo > b.

(5)

(4)

sofort ausgeführt werden, und man erhält

=

-

I'g)d

{e_

iycos ixsin97)) +riJ

Für manche Untersuchungen erweist es sich als vorteilhaft, mit (1er Transformation

k0 . ¡k0

X2'

s1n92=1I'

das Potential 1 in der Form darzustellen

b

çJi =

-

_{j_fr() df {e_7±iVx(z_ko)Y+iV}

_{[E (z}

- i l(x -

_k0)y

_iVz

_{kox) +rij}

+

[y..*

+ i Vx(z -

k0)v -1- i_Vx

kox) +ri]

-

ez"+ ¿Vz (r_ko) Y VTox[E. (y

-

/y ( - Iço)y + i « kx) H- y i]

-

ez'_iVx(x_ko}Y±iV[E(7 z +

Vx(x -

k0)v - iI'yk0xH-

i]} dZ. (13)

Unter Benutzung der asymptotischcn Entwickhing der Ei-Funktion

Ô>O, t9komPlcx)

(14)

weist man leicht nach, daß der Integrand in Formel (11) für q, = O stetig bleibt. Ebenso zeigt man, daß das Integral in (13) existiert, (la für große 7-Werte der Integrande 2 ist.

Weit vor dem Flügel muß natürlich das Potential verschwinden, d. h. es muß Hm = O sein. Aus Formel (1) und (6) entnimmt man sofort

hm Ç/iJ = O

und hm

2 =

O

Weiter ergibt sich aus (7) und (13) unter Verwendung von (14)

b b

+

um

f P()df ex'

_{sin ((y_k0)y) cos (Vjx)dx}

lin çl=- JT()d2+..

_{2rx_ J}

b

k b I

-- Jim

4x2

f

r()df

I

X12 +(Vx k0Y +j1x)2

x2 +(Vx

_Vx)2]

d. (15)

b

k,

Nun ist der dritte Anteil in Formel (15) gerade entgegengesetzt gleich dem ersten; für den Beweis verweisen wir auf Ziff. 8a). Also bleibt in Gleichung (15) nur der mittlere Anteil übrig. Mit der Substitution x2 = 'D_{erkennt man leicht, daß dieser Anteil für x-}

-

_{verschwindet. Somit hat}

man das Ergebnis Jim (1 = O, wie es sein muß.

cos q = (12)

+

₍

₊

i ix sin

+

i]

e_

C0S

_{+ ix}

_{sin)) +}

_i]

Ly

-

cos

-

e_q,(r+iYcO_iXSiflr) E.

V + iy cos - ix sin

+

ill d.

(5)

XNXIII. Ilirnd 1963 W. lt. Isay: ZurTheorie(les senkrecht zur\Vasseroberfhiche gerichteten Tragfliigels 55

Es bestände wegen des Verhaliens für xy - 00 also keine Notwendigkeit ein Zusaizpotential cJ4 einzuführen, das eiitgegengesclzt gleich deni mittleren Glied in Formel (15) ist1. Jedoch ist (lie Einführung dieses weiteren Potent ¡alanteils

Ç!)4 = -

P() dJ :; eE sin (k0

S

4 cos

(x)

_dq

b co

f limÇ!i

f F() dC f e' sin

(Vx (z -k0)y) cos

_{(V7x) d}

= O) (16)

b

aus einem anderenGrundeerforderlich: Das gesuchte Gcsamtpotential muß ja für k0-- O wieder

in dic einfache Form Ç[)

₌

+ Ç!)2 übergehen, es muß also Jim ( + /4) = O sein.

k0 O

Nun ist

Jim O.

k0-. O

Diese Tatsache folgt zunächst einfach aus Formel (13), indem man dort k0 = O setzt, da der Integrand dann verschwindet. Will man in Anbetracht des unendlichen Integrationsbereiches einen genauen Beweis führen, so geht man folgendermaßen _{vor: Man teilt den Integrationsbereich in einen} end-lichen vorderen Teil, in dem der Integrand und somit auch das Integral verschwindet, unti in einen unendlichen Bestteil auf. In diesem letzteren können dic Ei-Funktionen durch das erste Glied ihrer asymptotischen Entwicklungen ersetzt werden, und cias dann exakt auswertbare Integral [vgl. Formel (54) in Ziff. 8a)] ergibt in der Grenze k0- O exakt den Wert Null. Damit wird also

b OD

li ÇJi3

₌

'_

f J) d4 f e" sin ¡ y d/1.

Andererseits folgt aus (16)

Jim ÇJi = - Jim (1)3,

k0-0

und somit hat das Gcsamtpotential

(i

genau die verlangte Eigenschaft. Außerdem müssen noch clic weiteren Bedingungen erfüllt werden

limP=Ç!)1.

(18)

'oco

Man überzeugt sich ohne Schwierigkeiten, daß (1-o den Relationen (18) _{genügt; für den} Potential-anteil cl' gemäß Formel (13) wird der Beweis wieder unter Heranziehung des ersten Gliedes der asymptotischen Entwicklung der E1-Funktion und mit Hilfe des sich dabei ergebenden exakt aus-weribaren Integrals (54) geführt. Damit ist das gesuchte Geschwindigkeitspotential durch (17)

endgültig bestimmt.

3. _{Die Integraigleichung für die Flügelzirkulation. Für die Berechnung der Zirkulation aus der}

Randbedingung am Flügelprofil ziehen wir die bewährte '/4-3/4-Punkt-Methode heran, indem wir den Flügel durch cincis in 1/4 der Flügeltiefe angeordneten tragendeos Wirbel f ersetzen und die Randbedingung in dem Punkt 3/4 der Flügeltiefe erfüllen.

Ist 2 a die Flügeltiefe, und liegt der tragende Wirbel wie in Ziff. 2 in der z-Achse, so benötigen wir die Geschwindigkeitskomponenten für die Randbedingung auf der Linie

_{x = a, y = O. Nun ist}

für y = O, wie mau leicht erkennt, gerade _{= O, und damit lautet die Randbedingung am} Flügel

Uo ô =

y=O.

x=

Unrichtigerweise wird zuweilen in der gewöhnlichen Theorie des Flügels parallel zur Wasseroberflãche die Einführung des ¿Ii4 entsprechenden Potentialantejis _{aus dem Verhalten für x - -} _begründet.

(17)

(6)

mit dem stetigen Zusatzkern

k/V

-

{e_z(2o_:_)iioV

[E (

(2z0 -

z -) -

in

k) +i]

oe

kf

V

-eX

(2 ,:--)

_{cos(Vx k0 a)d} _. ₍₂₁₎ Das Integral mit den Ei-Funktionen in Formel (21) existiert, da der Integrand sich für große z verhält wie _V(ko/x)_{a (y z52 + a2 k0)'. Dadurch ergibt sich auch, daß dieses Integral für k0* O} verschwindet und der Kern H die Fornì annimmt, (lic man für k0 = O aus

₊

auch direkt erhalten würde.

Für k0-- oc verschwindet das letzte Integral in (21) ebenso wie die v i-Anteile des davor stehen-den Integrals; mit Hilfe der asymptotischen Darstellung der Ei-Funktionen ergibt dieses Integral in der Grenze k0* oc:

' J. Weissinger, Math. Nachrichten 2 (1949) S. 45.

Hier ist òa ist dic Neigung der Skelcitlinie des Flügels im 3/4-Punkt. Die Geschwiiidigkeitskomponcnte

1VYIy=o wird beini Einsetzen in dic Jlandbedingungcn (19) noch ganau wie in der gewöhnlichen

Tragfliigclthcorie nach der von JVeissinger angegebenen Methode1 durch partielle Integration

um-geformt, indem man die Tatsache ausnutzt, daß ja I'( b) = ['(b)

= O ist. Zum Beispiel wird

(hann

b

hof ¶df

_{:; je}

iainq) {E(_

(*

_{- i a sin)) + r}

_i]

b

-

{E(.0

(z + i

asinq2))

+ r

_dq+

2z In dieser Weise und unter Verwendung der Transformation (12) ergibt sich _{aus (19) dic folgende} Integralgleichung für die Flügelzirkulation:

Jim

f

l/

k ajTi dx i

f 9 1ad

J/

/*\21

n _V

X X:52+a2ko }/-j 2*2+a2

_l

Für den Beweis von (22) vergleiche man Ziff. 8 b). Wie es sein muß, nimmt also der Kern H für oc dic Form an, die man aus

-

2auch direkt erhalten würde. Dabei ist zu beachten, daß

wegen

b

jede additive Konstante für den Kern Ii ohne Bedeutung ist. Schließlich nimmt H für z0-- oo

die Form des bei einem Flügel in unbegrenztem Medium auftretenden Kernes an.

(22) 56 W. Il. Isay: Zur Theorie des senkrecht zur Wasseroberfläche gerichteten Tragfliigels 1ngcnier-Archw

2 UOôa

b

(7)

XXUI.Iknd 1963 \V. 11. bay: Zur Theorie des senkrechtzur \Vasscrohcrflüclic gcriclltetcn Tragflügcls 57

Dic Auflöting (ter Inicgralgtcichung (20) erfolgt mit (lcr vom Verfasser bereits1 viclfach ange-wendeten Met houe. Mit der Siibstii iiLion

z=bcoss,

=bcoso

(o°)

wird zu trigotiotuetrischen Variablen übergegangen, und der stetige Zusatzkern wird durch eine harnionische Analyse mit der Schrittweite /6 (Für (tie meisten praktischen Fälle ausreichend genau) in Form cines Fourierpolynoms dargestellt:

5 6

b sin s H(z, ) =

c1, sin 4u s cos vo.

p=i v=0

Filt die zuvor mit sin s multiplizierte Integraigleichung wird der Lösungsansatz

f()=uobE--A,sinvo

(23)

gemacht. Durch einen Koeffizientenvergleich in sin z s erhält man damit aus (20) das folgende System von fünf linearen Gleichungen für die Fourierkocffizienten A,4 der Lösung (23):

A,, +_4-

E c,,,, A =

2

Dabei ist das Kroneckersymhol.

Mit der auf diese Weise berechneten Flügelzirkularion ['() können die resultierenden Flügel. kräfte2 in y- und x-Bichtung K und IÇ nach dem Kutta-Joukowskischen Satz leicht angegeben werden; man erhält

K =

110 P(:) b b K_X

F(z) f dF() d

I'(:) f F() d .1 d4 4,r _J

(2z_z_)'

b

(25)

+

_Lbf()d

ez(o'/y(y

- k0)

J

-4. Die Form der Wasseroberfläche. Die Form z uler freien Wasseroberfläche 1)erechnet sichaus

der Gleichung [vgl. (4)J

i

(a'i

Zz0= i dx=---

_Ib)

_{g Cx}

(z=z0).

(26)

Wie man leicht nachreehnet, sind beide in (26) angegebenen Darstellungen für Z gleichwertig. Mit den in Ziff. 2 entwickelten Formeln bereitet die Berechnungvon /x keine Schwierig-keiten; zum Beispiel wird

b

-

f P() J0

f

cos I ycos q' + x sin q' y cos q' - x sin q' i

- 2

_b

_J.

sin2q'{z2 +(ycosq'+ xsinq')2 + :*2+(ycosq'_xsjnq')2]

O

b

r

-

_{2.[r df?}

k {e

(:o_sinc)

lE1 I k (z*

-

iy cosy -

ixsinq))+vi}

I \sin2q'

b

O

k, - _____

+ e sin' yeosr+xoinr)

[E( k0

(_*

-

₊

_{Sfl)) +i}}

\Sifl2q'

(_!_.

- e

im

i

(z + jy coo + ix

sin))

+iJ

(z+iycosrjxsinr) [E,

(

(z + iy coo - ix sin)) +]} d.

e

Slflq'

Vgl. W. H. Isay, Z. angew. Math. Mech. 33 (1953) S. 404;Z. angew. Math. Mccli. 37 (1957) S. 322; Ing.. Arch. 27 (1959) S. 299.

2 (jo Längencinheit in z-Richtung).

(8)

58 W. li. Isay: Zur Theorie des senkrecht zur Wasscrobcrlliiohie gcriclilctcn Tragilügels Ingenieur-Archiv

Der Integrand ist bei = O stetig. Mit der Transformation (12) ergibt sich schließlich für dic Form (1er WflSSCrOl)erfläChe mit z = z

-d

r

i

yVo±xVi

₊

yxkaxVIr

ld

)/I[z*2z+(yVx_ko+xV1)2

:*2X+(yVZ_ko_xVi)2]X

b

li

+ 82j P()

df

/{e_z:+iVx(x_ko)Y+iYx[Ei (z*

_{- i 7X (z -}

k0)y - i

yix)+vi]

b

k0

+e_0±iVz_k0)Y_i[Ei(Xz*_iVX(X_ko)Y+iVXkox)+zIi]

- ex

"

Vz(z_ko) y_i

_{x[E(XZ* + Vx(x - 1o)y + iVxkox) +r}

_]

- eZc*i

Vz(x_ku)y+ix [E (y z + i Vx (z

- k0)Y -

Vxkox) +

fP()

k/Tko

sin (Vz x - k0)y) sin (I/ox) dy + zo.

(27)

Dabei ist um Z =

5. Das Geschwindigkeitspotential unter Berücksichtigung der Oberfiachenspannung. Wir werden nunmehr in der Randbedingung der freien Wasseroberfläche dic Obcrfläclienspannung des Wassers mit l)erücksichtigen. An der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft bewirken wegen der geringen Luftdichte (im Verhältnis zur Wasserdichte ) kleine Geschwindigkeitsschwankungen in (her Luft praktisch keine Liiftdruckschwankungcn. Die Randbedingung Luftdruck PL = konst. blcil)t also bestehen. Unter J3erü(ksichtigung der Olmrfläcliensparinun o ist dann der

Wasser-druck P- ali der Oberfläche Z(x, y) bei hinearisierter Krümmung gegeben durch

OS2Z b2Z

P =

- G0

- a0

Berücksichtigt man, daß weit vor dem Flügel für x - 00 keine Störung der mittleren

Ober-flächenhöhe Z = z0 vorliegen kann, so ergibt die linearisierte Bernoullische Gleichung die Be-dingung (7j ci

uo-_+gZ__. ---i-=gz0

(fürz=z0).

(28) Mit az ¡ bx a0 z

und unter Berücksichtigung der Tatsache, daß cli der Laplaceschen Gleichung genügen muß, erhält man aus (28) die kinematische Oberflächenrandbedingung

u+g+.-Ç=o

(fürz=z0).

(29)

Für die Erfüllung der Bedingung (29) setzen wir das Potential cli analog zu Ziff. 2 in der Form

+ cl + ci3 an. Dabei sind

11 und ci2 die bekannten Potentialanteile (1) und (6), während sich für di3 durch die Erfüllung der Bandbedingung (29)

=

fb

, (g + (2 +/i2)

f() d

f

sin

y [e_it

+

I

) sinA d (30) I

+pz -

ui,%2

+g V +2

j

(9)

-XXXi!!. Hand 1963 \V. 11. Isay: Zur Theorie des senkrecht zur \Vasseroberlhiichie gerichteten Tragllügeis 59

ergibt. Wir vermerken, (laß P3 - 2 P2 wird für u0

=

0, während für a0 =O Formel (30) in (7) übergeht, wie es sein muß.

Für dic weitere Rechnung hat es sich als zweckmäßig erwiesen, die Abkürzungen einzuführen

Um uns einen Uberblick über die Größenordnung der neu eingeführten Kennzahl Q zu verschaffen, bedenken wir, daß unter normalen Wassertemperaturen von loo bis 200 Celsius o 75 . 1O kg cm

ist. Außerdem ist 106 kg cm4 sek2 und g

l0 cm sek2

Schon bei der sehr niedrigen Fahrtgeschwindigkeit u0

=

i rn/sek (etwa für Modellversuche) ergibt sich dann Q

=

10, und bei u0

=

10 m/sek hat man Q

=

lO. Man erkennt also, daß der Q-Wert ini allgemeinen sehr groß sein wird(a0 = O entspricht Q

=

), und dadurch wird es

unter Verwemiclung asymptotiscimer Entwicklungen möglich sein, vereinfachte, für große Q gültige Formeln zu gewinnen. Diese ermöglichen in praktisch vorkommenden Beispielen eine erleichterte Untersuchung des Einflusses (lcr Oberflachenspannung auf die Tragflügelströmung.

Wir untersuchen nunmehr den von (ter Schwerkraft und der Obcrflächenspannung abhängigen Anteil des Potentials _, den wir mit bezeichnen wollen. Mit (31) und der Transformation (9) ergibt sich

b

J5

= -

I'()

d1 J

(e ry rorrp -e_irYe0 ro(eirasinq,

_{r,in ) drdq'.}

Nun ist für sin4

>--r2 + k Q

1 +

f

rl

r2_rkoQsin2?,+kiQ

1/1 4

l,rr0

rr2

I Qsin4 mit

ri sifl229(1

₊

j/i

_Q54,)'

rz=0?sin2?2(l

_i2i

₍₃₂₎

Eine entsprechende Formel gilt für sin4q' <-t- mit r0 und ; dabei ist

ro=a+iß=?sin2q9(I+iI/4

i).

(33)

In kann die Integration über r mit Hilfe der eben angegebenen Zerlegungen, der Integralformel (10), sowie mit Hilfe der weiteren in Zif f. 8 e) bewiesenen Integrallormein

,r

(±i A)

dr=

r z o g o

ï'

_¡a Q L)Uo g

+ iß) (z

*

_{± iA))}

dr

= e(ß)(±)

_{[E ((} iß) (z

+ i A)) + 2

i]

j r+iß

o

unmittelbar ausgeführt werden.

Wir vermerken noch, daß in Anbetracht der großen Q-Werte der durch sin4_q

=

4/Q gegebene Grenzwinkel q so klein ist, daß für q'o in guter Näherung cos q' i und sin q' q'

(31)

(xO,ß>0)

(34)

(10)

60 W. II. Isay: Zur Theorie des senkrecht zur Wasseroberfliiche gerichteten Tragfhligels lng.'nieur-Archiv

ge&etzt werden kann. Damit ergibt sich

= -

2

f

f() d

-b

O

+ r0 e_r,(z'

+iy) E(r0(z* + i(px + iy))

- r0e_no('_1Px+iy) E(r0(z' icpx + iy))

-

r0e_ro(:'+x_iY)E(r0(z*

_{+ icpx - iy))}

-

e0( +iQ

_{iY)[E. (i:o(z*}

_{+ ipx + iy))+ 27ri]}

- F

e(") [E (i:0 (z' - 92 X

iy)) + 2 r i]

+ i:o [E, (i (z' + i 9) X

iy)) + 2 r i]

+ i:0e

i9x+i)[E(i:(z*

iq)X+ iy)) + 2i]}

992_{= 92 Sin t}

+

fr() d

2ctgd

fre_r'_ixifl_iYeos) [E1(ri(:*_ixsin92_iycos92))+iJ

b

q,

y Qsin4q

+ rl e_r(*+i

¡np+iycosq) {E (r1 (z' + ix sin + iy CoS 92)) + r i]

r1 e_nl(+ii_iYc01rc)[E1(r1 (z' + ix sin 97 iy cos 97)) + i i]

- r1 e"

(:' ix sn _{) {E (r1 (z' - i X sin 99 + i y cos} _{)) + 2T i]}

ix sin

-

iy

cos9))) +

r2 e_rl(zI n s'±Y" T)[E (r2 (z' + ix sin

iy

_cos92))+ _r_i]

+ r2 e ri(z+ixsins_i7con9){E. (r2 (z' + ix sin 92 iy cos

_{)) + ti]}

+ r2 e' (z'xnin+iyconT) {E (r2 (z' - ix sin

₊

_{)) +}

_uil

b

P() dJ ctg9)

_{+ (x sin}

+ycos

z' + (xsin;

COS)2 d92. (35)

Für die weiteren Untersuchungen erweist es sich als vorteilhaft, das Potential P' noch in eine andere Form zu bringen; dazu unterwerfen wir den ersten Integralanteil in (35) der Transformation

2 2

920-{roe_ro(_irn_iY)E(r0(z* ipx

=--dt

(0t,r/2),

_ro=ikoVe

; (36)

für den zweiten Integralanteil in (35) verwenden wir die Substitution

2 k0 r sin q' cos drp i dr (k0

>

Sifl

/

- 2 r r k0Q)' V

kQ

/ k0

\

r2

=

r,

r1 = (

r

k JÍ..Q ,

während der dritte Integralanteil mit Hilfe von (12) umgeformt wird. Damit erhalten wir in der folgenden Form [In Gleichung (38) sind natürlich für r0, r1, q, sin q, Cos 99 dié Ausdrücke gemäß

i y))

(11)

XXXIII. Ban4 1963 W. H. Tsay: Zur Theorie des senkrecht zur Wasserobcrfliiclic gerichteten_Trugflügcls ₆₁

Formel (36), (37) eingesetzt zu denken, dic wir nur aus Gründen der Abkürzung in der alten Form schreiben]:

b 7/2

= -

I(c)

df {r0e_ro(si1_LY) E1 (r0 (_*

_{- iq. x - iy))}

+ r0 0_r0('+ipr-fiy) E1 (r0 (z* + ip X + ¿y))'

- T0 Cro(_9x+iy) E1 (r0 (z* - i

x + iy))

- r0C_ro(+içx_iy) E1(ro(z* + i'px - iy))

- o e

( _{iqx+iy) [E1 (i:0 (z*}

_{+ i}

_{x + iy)) + 2r i]}

j;0 ( iqxy) [E1 (i:0 (_*

- up x - iy)) + 2

_i]

+ 'i:o

-

[EI (i:0(:* + i

q x - ¿y)) + 2 x

i]

+ Fo [E1 (i:0 (z* - i cv X -j- iy)) + 2 i]Jdt b

+ ¿ f f() d f

- LY=v') [E1 (r1 (* - ix sincv

-

_{iycos97)) +ri]}

b

+ _e_ri(i

yco)

_{[E1 (r1}_{(z* + ix siii}

+ iy cus cv)) + i]

- _e_ra(z'+ui_&ycosS) [E1(rj (z5 + ix sin cv - ¿y cus cv)) ± r i]

- -

._- 5ifl9+iYCO51)[E(r

( - ix sin cv-f-iycoscv)) +ri]

- e_TV_i

IncP_iYos)fE. (r (.5 _{- ix Sink7) - ¿y cos}

cv)) ± 'i]

- e_t(

¡+iyco) [E, (r (z5 + ix sin

çv + ¿y coscv)) + r i]

+ e( +ix5hI29_iYco)[E1(r (z5 + ixsincv - iy

coscv)) +

t

i]

ix Sin 97 + iy cos_{cv)) +} iJ}dr b

*

_ff()df

_{fzz*2+(xV±yVx_k)2}

x2+

(xjí_yyz_ko)2J

b

(38)

Wir koiiiinen nun zu einer genaueren Untersuchung des Potentials (PJ . Zunächst betrachten wir das Verhalten für Qs oo. In dem ersten Integral der Formel (38) kann für dic_{EL-Funktion bzw.} für (E1 + 2 z i) die asymptotischc Darstellung (14) verwendet werden1, deren erstes Glied sich in dem betrachteten Integranden weghebt; die höheren Glieder der asymptotisehen Entwicklung ver-schwinden wegen des Faktors 1/r0 für Qs , und somit wird das ganze betrachtete Itegral Null. Bei dem zweiten Integral in (38) betrachten wir zunächst die r1-AntciI des Integranden. Bc

diesen ergibt die asymptotische Entwicklung (14) der Ei-Funktion für Q.

00 folgendes: Das erste Glied von (14) liefert einen Integranden genau entgegengesetzt gleich demjenigen des dritten

Deanes istja - t/2 < arg(r0(z5 ± iqx ± iy))<r,

_{± itpx ± ¿y)) < i/2,wie man}

(12)

62 \V. l-E. Isay: Zur l'licorie cies senkrecht zur \Vasscrohjcrfläelte gerichtctcn Tragflügels 1ngnieur.Arhiv

Integrals in (38), hebt sich also gegen diesen weg. Das nächsthöherc Glied der asymptotischcn Entwicklung der r1-Anteile ergibt einen Integranden, der proportional 1/ri ist, und der sich für große t-Wertc verhält wie (1/r1)3/2 (i/k0VQ) (r)3I2,also ein für Q oc verschwindendes Inte-gral liefert1.

Damit ist gezeigt, daß für Q oem Formel (38) nur der zweite von r1 freie Anteil des mittleren Integrals übrig bleibt; dieser ist (wie mari mit 1-lilie der Transformation (37) leicht erkennt) für

oc mit Formel (13) identisch, wie es ja auch sein muß.

Wir untersuchen nunmehr cias Verhalten cies Potcntialantcils()3* für x>

- oc, d. h. weit vor

dem Flügel. Wir beginnen wieder mit dein crudi Integral iii Formel (38). Soweit dort die asympto-tische Entwicklung für die Ei-Funktionen verwendet werden kann, ist es sofort klar, daß das

be-trachtete Integral für x- - oo verschwindet. Dabei kann der Integrationsanfangspunkt

t =

O

ausgelassen werden; in diesem verschwindet der IntegrantE ohnehin. Es bleibt, dann noch das Ver-hallen derjenigen Exponentialfunktionen im Integrandeti zu überprüfen, die bei Anwendung von Formel (14) auf die Ei-Funktionen übrig bleiben; es sind dieses dic Anteile

2ir0e_To(+x_iY) - 2 r i r0 e_ro( +isx+iy) + 2t i i

e

- 2

o e

in denen sämtlich für x - oc eine reelle Exponentiallunktion mit negativem Exponenten ent-halten ist, so daß dic Ausdrücke Null werden. Also verschwindet das ganze ciste Integral in (38)

für x - oc. In deni zweiten Integral in (38) verschwinden für ebenfalls für x - oc alle

An-teile, auf die die asymnptotische Eniwicklung der E-Fiinktiomien angewendet verden kamin. Gemäß

Formel (54.) in Ziff. ßa) ist das dritte Integral in (38) elementar auswert bar. Damit haben wir

Jim

=

-f

d _.

₊

cos (x r1 Sill q) sin r1 cos

b

-b r

= -

L

_{J F() d}

+ liti'

j

e cos (x * sin p) sui (y x cos q)d x

b

k0JI

- 1ml

j

e_tcos(xrsin)sin(yTcos)dr1,

-(39)

dabei beruht die letzte Umforniung innerhalb der Gleichung (39) auf der Substitution r

= k Q 1/r*.

Man erkennt, daß der zweite und dritte Anteil in (39) für x-* - oc verschwindet (z. B. indem

r

=

bzw. X2 = 11 gesetzt wird), und somit haben wir das Ergebnis

ihn ÇJi3 = O,

wie es sein muß.

Auch hier zeigt sich wieder, daß wegen des Verhaltens des Potentials für x> - oc keine Not-wendigkeit bestände, ein weiteres Zusatzpotential )4 einzuführen. Genau wie in Ziff. 2 ist dieser

we itere Potentialanteil

-b

()dJ

ctgqd

(j4

Ir

[r1e'i cos (xr,sinq)sin(yr1 cosq)

b

q

Vi

+ r2 e'' r2 cos (x r2 sin p) sin (y r2 cos q)]

Selbstverständlich können dic Glieder (r i r1 e2+ im Integranden als von höherer Ordnung klein angesehen werden für S - .

(13)

XXXIII. Hand I9b3 \V. II. Isay: Zur 'Ilicorie des seiikreelit zur \Vasseroberfhiclie gericlitetcii Tragllügels 63

b

= -

j1'()d

j

e

rcos(xJ/rI.I 1)sin(YJ/x2

- rk0 -e,) dr

b

_-_

fr

_{f -}

cos(xJ/rko+

)siii(yj/t2

-

_{rk0 _,:)dr.}

b

k/(..)

erforderlich, um zu gewährleisten, daß sowohl

uni (Jim çJ) = ÇP1

₊

g-0 \i0-.0 _J

als auch

Ihn (lion (J5' = P1

₊

₂ ₍₄₂₎

,-.0\g_.0 J

Ist; oder mit anderen Worten, (laß man ini Grenzübergang wieder diejenige Lösung erhält, die siclo im Sonderfall o _{O und g = O auch direkt ergibt. Dabei ist} _{es interessant festzustellen, daß das} Vorzeichen des ersten Anteilsvon _{gerade anders ist, als man nach Formel (39) hätte}_vermuten

können.

Die Umformung innerhalb (1er Gleichung (4.0) _{beruht wieder auf (lcr Transformation (37) und} der weiteren Substitution

r//kQ/r

_{für den ersten Integralanteil. Natürlich ist Jim} _{= 0, und es}

genügt für sich der Oberflächenrandbedingung (29),

_{wie man leicht nachreclnet. Für Qs}

geht Formel (4.0) in den Ausdruck (16) über, wie_{es sein muß. Damit ist gezeigt, daß das nunmehr} vollständig berechne Le Gcsam Lpotential

(43)

für Q--

(d. h. o> 0) wieder in (lic in Ziff. 2 bestimmte _{Lösung (17) übergeht. Dic Bedingung}

(41) ist dadurch ebenfalls erfüllt.

Wir weisen nun noch nach, daß unser Potential (43) auch der Bedingung (42) genügt. Dazu nehmen wir zunächst an, daß

_{o # O ist und g O geht. Daraus folgt}

_{k0 O , k0}

_{/Q_ 0, aber}

es bleibt k0 Q _{O endlich. Weiter ergibt sich gemäß (32), (33) bzw.}

_{(36), (37), (laß r0> 0, r, O}

gehen. Damit verschwinden in Formel (38) das _{erste Integral und der von r unabhängige Teil d es} zweiten Integrals, wie man leicht erkennt. In dem _{von r1 abhängigen Anteil des zweiten Integrals} machen wir dic Substitution r1_{= k Q/-c = k0}_{Q i2 q' und erhalten so aus (38)}

b

=

f

F() d

f ctg

q'

b

O

x

r1

{e_('_ui_iYcosc

_{[E (r1}

(z' -

_{ix sin q' -}

_{iy cos q') + z i]}

+ e

(+

sinq+iycusv) [E (r1

(z' +

ix sin q + iy cos q)) +

i]

- eri (z+i x sin iy eos) {E (r1 (z' + i x sin q'

-

_{cos w)) + r i]}

-

e_(

_ixsin+iYcQsc)[E. (r1 (z'

- ix sin q'+ iy cos w)) +

ijj drp

b

-z'

tdq'.

(44)

-f

F()dj ctw[Ìl(.

)2 -

zS(xsin_ycos)2j

b

(i (40) (4.1)

(14)

64 \V. II. rsay: Zur Theorie des senkrecht zur Wasserol,ci-Iläclic gerichteten Tragilligels Ingcnkur.Archiv

Genau diese Formel ergibt sich für g = O und O auch direkt aus (30) für Weiter folgt aus

(40)

b

= -

J_f

_{f() d[ ctg}

. r1

e' '

cos (x r1 sin q') sin (y r1 cosq') dq

=

-

f()

dJ

eT Cos (

J/Q)Sifl

J/i

-

dr.

(45)

Da der Integrand des ersten Integral in Formel (44) beiq'

=

ø verschwindet, kann die Integration

auf den Bereich q' > ø beschränkt werden. Damit folgt aus (44) für

x-. - _: sogleich wieder das

richtige Ergebnis

iib=

_-

_(122.

Bei dem nun in Formel (44) und (45) zu vollziehenden Grenzübergang

o- O d. d. k0 Q-o.

crgibt sich zunächst aus (4.5)

(1)4

= -

f f() d ¡e_t' sin

ry dr.

b

O

lin ersten Integral der Formel (4.4) wird für k0 Q-o. 00 die asymptotische Entwicklung der E1-Funk. tionen verwendet, deren erstes Glied sich gerade gegen das zweite lntcgral in (44) wegbebt; die höheren Glieder verschwinden. (Dabei können wir q' > ø voraussetzen, wie oI)cn l)Cflicrkt wurde). Die bei der Anwendung der asyniptotischen Entwicklung übrig bleibenden 'r i-Anteile des Inte-graiiden ergeben das in der Grenze k0 Q-o. ebcnfalls den Wert Null anucliuiieiide Integral

k. !j

j

e_r o

Somit verscliwiiidet für k0 Q- 00 der ganzc Ausdruck (44), und es ist gezeigt, daß unser Potential (4.3) auch dic Bedingung (42) erfüllt.

6. Die hategralgicichung für die Fliigelzirkiilation. Für die Berechnung der Zirkulation F() des Fliigels verwenden wir die gleiche Methode wie in Ziff. 3. Die Randbcdingung (19) bleibt un-verändert und ist jetzt durch das Potential (43) zu erfüllen. _{Die Geschwindigkeitskomponentc}

wird wie in Ziff. 3 durch partielle Integration umgefort. Zum Beispiel wird dann

b q'0

__± fLdrL

_2'

'

J d

j

b

O /Qqj4

- r0 e'oV+") E (r0 (z* + i aq'))_

-(:

iac)[E (F0 (z*

_{- i aq')) + 2r}

_i]

+ o eo(z*±i0) [E1 (F0(z* + i a q')) + 2 i]}

-

fÇd

'

etgq'. cosqdq' _{_ri(0} _0q')

[E1 (r1 (z*

- i a sinq')) +

i]

b

V

Qsin4q'

- r1e_ri(0*+ia _{in 'P) [E (r1 (z* -j-- i} _{a sin q')) + z i]}

- r2

C_ro(0_i05) [E1 (r2 (z*

- i a sin q))+

i]

b 42

Ì i

(dl'

f

acos2qìdq'

+

r2e_raV+5ci){E1(r2(z*

₊

_{i a sin q')) + r}

-

_b

-_dj

_{z2+ a2sinlq'}

(15)

XXXIII. Bndl9t. W. 11. Isay: Zur Theorie des sciikrcclit zur Wasseroberflüchic gerichteten Tragilügels 65

Atti (bese \Vct5e Ufl(l luit den Traitsforiiiatioricn (36), (37) uud (12) ergibt sicit aus der flaiidbedin-gung (19) wi,dcr eine Iiitegralgieicliuiig volli 'L'yji (20); nur ist jetzt tier stetige Zusatzkern von der Form (mit z * = 2

z

-=

-:'m(1/' ±

(;

_()2

i)_

--(V' +

(1

-

i)

+'

f ITo e(" E, (r0

(z*

_{- a q))) r0}

_{_ro+Iag) E. (r0 (z* + i aq'))}

- o

[E (0(z*

- i aq')) +

_{2i] +}

[EL(i(z* + iaq')) + 2i]I dt

+

_J

/i

- -

{E (r1 (z* - i a sinq)) + r i]

r1

e_r1(+i0q) [En(ri (z* _f- i asinq'))-f-ii] - e_T( _oi) [E (r (z*

- i a sinq)) -J-- v

+ CT(+i) [E (r (z* + i a sin q')) +

jj}

dr +

-

f i/i

'

_,12e_Tcos(aVrkoF,)dr.

(46)

Dabei sind in (46) für r0, r1, sin q', q' die Ausdrücke geniiß Formel (36) und (37) einzusetzen. k0/(...)

=ko(O,5+O,5V1 _-).

Wir werden uns nun davon überzeugen, daß der durcit Foriiiel (46) gegebene Kern II für Q

-wieder in die frühere Form (21) übergeht; dabei wollen wir gleich noch eine bei großen uì-\Verten

für praktische Rechnungen geeignete Nlicrungsdarstellung für den Kern II ingebeii.

Dazu

approximieren wir (lie Ei-Funktionen durch die ersten beiden Glieder ihrer asymptotisclieit Ent-wicklung (14). (Hierbei vergi. Fußnote 1) von Seite 61. Es ergibt sich

4

r

az _V2sintcoszth 2

7i/i_ko_,;V'ko+i_*

d I k0(Q)3!4f 2a2 \2 2t I I

r\2

,2r r

J

f _*2 + _ti

i z + a2 (I +

o _\ 1/fl _I _\ ?fj k0Vi

-V('

'

kQ)(:

+ IJQ)

+

;

+ k:2)

+ fV

(1 ')X2Io

k0 k0n(...)

(z;)2

i)

(V'

(z*)2_

I

vi

kr

kQ

eCOs

(a 1/rk0 + 12) di

kji

_-

f

J/i

__i{eT

VT+{E.

(rz*_iaVkoT+k

- e

_r*aVkor+

iíEj(Tz*

+

iaj/icor

+

r j]

(16)

* (je Längeneinheit in z-Richtung).

Aus (47) iL für Q oo der Übergang_{zu Formel (21) sofort abzulesen. Dic Gültigkeit der} Darstel-lung (47) kann auch auf klcincre 12-Werte atigeilelini werden, indem man zuätzlich weitere (dritte und höhere) Glieder der asymptotischcn Entwicklung der Ei-Funktionen bcriicksichtigt.

Mit deni Ubergang von (47) in (21) für_{o O Ist auch sichergestellt, daß der Kern ¡1 beim} wei-tercii Grenzübergang g> O diejenige Form annimmt, (lic

_{mali für a = O und g = 0 auch direkt}

erhalten würde. Es bleibt nun noch _{zu zeigen, daß man dieses Ergebnis audi beim Grenzübergang} in unigekelirter Reihenfolge erhält (in Analogie _{zu der Formel (42) für das Potential} _{). Der} Be-weis wird genau wie in Ziff. 5 geführt:

Für g> O und a0 _{O verschwinden in Formel (46) das erste Integral und der} _{von r1} uiiab-hängige Anteil des zweiten Integrals. Mit den Transformationen r1 = k Q/r = k0 Q sin2 und k0/ = sin2 q ergibt sich dann

H(z,)Jg.00=

₊

(z 2

-

1)

_{t(V' +}

(z*)2

) L _{r le_ri (z'i sin7) [E, (r1 (_* - i a sin}

)) +

i]

7J

sin

o

2

r

acos2qdq

- es( +.osin,) [E (r1 (z* + i a sin

_{)) + vi]} dço +}

-J z2 + a2sin2q

ko J o

J/i _ercos(arJ/J()dr.

(48)

Da die Integration über q wieder auf den Bereich p > O beschränkt werden kann, folgt aus (48) das gewünschte Ergebnis, xiäinlich daß der Kern II beim_{weiteren Grenzübergang a0> O} _{, k0 Q> oo} die Forni anninhint, dic sich aus dem einfachen Potential J-) + P2 direkt ergeben würde. Aus Formel (46) erkennt illan ferner, daß II für

z0>

0°clic Forni des bei eineni Flügel in unbegrenzteiii Medium auftretenden Kernes hat. Für die Auflöuiig _{der Iiitegralgleichuiig (20) mit dem Kern (46)} kann die in Ziff. 3 aiigegebene Methode wörtlich iihernonimcn werden.

-Für dic resultiereiidcn Fhiiglkräftc* iny_ und x.Bichtung ergibt sich nach dem KuUa-Joukowski-schen Satz (das Potential _{liegert keineii Beitrag):}

K7

= U I'(z)

b b

K ¡'(z)

j dz

f d() d

Rz) I

1) d

4x J

=-)l

b

₆

+eÇ

J 1) d

f V,j2 - T iÇ0

_e_T(20_0_dT

-b

7. Die Form der Wasseroberfläche. _{Bei Berücksichtigung der Oberfiachenspannung kann die} Forni Z der freien Wasseroberfläche nur aus der allgemein gültigen Gleichung

X

i rae-k

Z = z +

-

j

--

dx

( = :)

(50)

-berechnet werden. Die zweite in Formel (26) angegebene Darstellung für Z basierte auf der Ober-flächenrandbedingung in der Form (4), die ja _{nur bei Vernachlässigung der Obcrfläehenspannung} gültig ist. Mit den in Ziff. 5 berechneten_{Potentialanteilemi ergibt sich zunächst tinter Weglassung} von

mit z = z0

-;

_os

f(123)

b oT/2csD 1P"- d

1f

koQrcosq,e_r0

- ;;ij () j J

_b

_koQrsin2q,+k1

O O

cos(x r sin ) sin(y r cos ) dr dq. (51)

I

66 W. II. Isay: Zur Theorie des sciikreclit zur Wasscrobcrlhiclje gerichleten _Tragiliigels _{ingcnieur-AriIiiv}

(17)

XXXIII. Bnl 1963 \V. II. Isay: Zur 'lIieorie des senkrecht zur Wasseroberfliiche gerichteten Tragflligels ₆₇

Man überzeugt sich leicht, daß der AuSdruCk (51) tatsächlich die Gleichung (28) für (lie Form (1er freicii Wasseroberfhiclie, also die Relation

i fz

a2Z\ _i ¿(Ji

(f nr z = z) (28')

erfüllt. Unter Bemiiziing der Integralformc)n (10), (34) _{und der Abkürzungen (32), (33) folgt aus} (51) weiter

!f(i+

2+;dX

= -

Jr() df

{r0C_ro(:*_iS'x_iY E(r0

(zt -

i92

X -

iy)) + roe_ro( i))E1(r0(z* + irpx

-- r0e_roV_irpx+iy) E(rn(z* -- içpx + iy))

- r0eo(:+ iS'x+iY)E (r0(z* + i 92 x _¿y))

- ro eo

'Y)[E. (r0

(z -

ix - ¿y)) + 2riJ

-

iS'x_iy)

_{E(

_{(z* +} _¿92

_{x - iy)) + 2v i]}

+ i e(

°_i9x+iy)_[E

(

(z - i92x + ¿y)) + 2riJ

+

eo(°±'s'f- ¡y) [E1(

(zt_{H- i9)x H- ¿y)) + 2} i]j

-

cosd

{r e_r(_sinS'_iYeoss){F(r (zt - ixsin92 - iycos9)))

+iJ

b

J/sin_-i-+ r1ero (:-1-¡X Rin9iy eo5q)_{[E (r1} _{(zt + i X Sifl}

92 - iy cos 99)) + ri]

- r1 e_rl(:ixoinqo+icosç,) [E1 (r1(zt

-

ix sin92 +jy CO-S 9)))

+ t i]

- r1 e'('+

ixoinc+iYcnsS')[E (r1(zt + i X sin

_{+ I}

_{cos 92)) -f-} i] r2 e_ro(z0_rhuh1r_iYcosS')[E1 (r2(zt

-

_{ix sin q - ¿y cos}

_{)) -f- x i]}

-

T2C_ro('8in9 _iYC0SS') [E (r2

(zt +

ix

_{Sifl 9) -}_{iy cos 92)) + v i]} + r2 iXSiflS'+IYCORS')[E (r2 (z*

-

i X _{Sin9) +} iy COS_{92)) +} i] H- r2 (r2 (zt + i X Sifl 9)_{+ ¿y cos 92)) +} iJ}

Berücksichtigt man nun auch noch den (für sich allein der Bedingung (28') genügenden) Anteil des Potentials _{so erhält man mit den Transformationen (36), (37) folgende Gleichung für die} Form der Wasseroberfläche:

(18)

Z

z0_

_Jr(r)

dJ

ro(:_i_Y)F.fr (*

_{- i}

x - ji))

b

(j

+ r0 eo(+ i'x

1Y) _{E1 (r0 (z1 + i} X - i y))

- r0

e_ro( rx-I iy) E1 (r0(z1

ipx + iy))

r05r0(:+ ¿q'x-I-iv)

E1 (r0 (: + i

X

+

iy))

-

oe_e('_1cx_1Y)[E1(Fo(z1

- ipx - iy))

₊

2ri]

-

oe_(:*+irx_iY){E(0(zl

_{+ içx -}

_iy))

₊

_2ri]

+ oe

( ±lY)[E;(o(z*

-

_I92X

+ iy)) + 2ij

+ i e°(±

ic'x+ )_[E1

(

(z + i p x + iy)) + 2 r

iJ}

b kj/7i

- ---

fr( d

f

ï e_(

.-ixrycor)

[E1 (r1 (z* i x sin

- iy cosq7)) +

i]

b

+ _e_(+i

Ycos5) [E. (r1 (z1 + ix sinp

iy cosq)) + r

.Le_rl(:_ixInr+iYcos)[E(r

(

ix sin + iy cosy)) + r i]

- -- e

(:+ixthr+iYcnss)[E1(r1

_{(z + ix sin}

_{+ iy cosq)) + r i]}

- e_T

_{('ixinriycn) [E. (r (z}

_ix

_sinq _{iy cus}_qfl))

₊

_r_i] e_T(*+iXifl_tYe )[E1(r

(z1 + ix

sin q, -

iy

cos (f,))

+

+ e_TV_iXSins+ iyeosq) [E (r (_l - ix sin q, + iy cos q,)) + r i]

j 1r dr

+ eT(+

Yen9)[EiT (:1 + ix sin p + iy cosq,)) + z

1/k

₊

I' ° k0Q dt q' b

IP(td?

f

_3TSfl(X1/k

_'Sifl(V1/T2_Tk..

frd'

-

J

°I0Z2/\-'Y

" k0LJJ1/ ,2

4 Vk0+i

(52)

In Formel (52) ist z1 = z0 - ç und k0 Q(....) = k0 Q

(o,

_{+ 0,51/1}

-

; außerdem sind für

r0, r1, q,, sin q,, cos q, die Ausdrücke gemäß Formel (36) und (37) einzusetzen.

Für x-s-

₊

00 verschwindet das zweite Integral in (52), und auch das dritte Integral wird Null, wie man mit der Substitution x2 r = O sogleich erkennt. Bei der Untersuchung des ersten Integrals in (52) kann die Integration auf dem Bereich t e > O beschränkt werden, (denn die Wurzel-singularität bei t = O ist integrabel, Ihn f = 0); für diesen Bereich ergibt sich mit der asympto-tischen Darstellung der E i-Funktionen, daß das erste Integral für x -s- ± 00 ebenfalls verschwindet. Also wird

tim Z=z0.

X ±

Aus der strengen Formel (52) erhält man eine für große Q-Werte gültige Näherungsformel für dic freie Wasseroberfläche, wenn die betreffenden E i-Funktionen durch die ersten beiden Glieder ihrer

(19)

XXXIII. Band 1963 W. lt. Isay: Zur Thcorio des senkrecht zur Wasscrobcrflüclic gerichteten Trnglliigcls 69

asymptotischen Ent.wickhuiig 14.) approxinliert wcrdcii (Hierzu vgl. die Fußnoten i und i von Seite 61/62). Es ergibt sich

b ,12 *

-J k0/

[*2

₊

₍

₊

Sn t)2J

y__x1/jfsint

dt

+

2 \212

1/2sint

[z*2+(YxVsInt)]

V

YVx_!oQ+XVko+j75

b (I

+--J

_b

*2 +

_{(yI/x_ko}

-

_{+ x}_1/t0₊

y/r_;o__x/1co+

+

_-

2 -

\2f/

-T

+

-

- ¡n -

xj/io +

kQ)J y

k0 + k0? kØ(

r() d

J

[rz*

₊

(J/

_{o_}

+xI/1+,)2j

b

+

'.o -* x 1/ko + dr 1

/ 1/

r2 /. x2

\1

1/ t2 b _k0V?i

+

_{::- ei}

f f() d

_{J. {e_T} frrk0r'rn0nY+iVT'oo -j- r'Jk0 Q X k01(...) dr

X [E(rz - iVx2 - t k0 - x3/k0 Qyi Vt ko+r/koQx)+ri]

e+i V

rho_ta/haQyi Vr °o +i/10 (lx

x [E,(rz*

jVT2_rk_T3/kQy + i Vik0 +tIkoQx) +iJ

- e_T0_jVT0o/ofly+jVTb0o+T0/b0o Q X

x [E((rz + iVT2 tk0t/k0Qy - iVrko+t3/koQx)+rri]

- eT

jVT0_rko_ra/koQy_iVr k0±r/k0 fIx

x [E(z + iVr2_ko_r3/koQy+ iVrko+x3/koQx)+ri]}

VdT

b

jr(e) d

_{J e'}

k0 +

_(yi/

-

i)

Vt dx (53)

b

k0/(...)

Für Q

verschwindet das erste Integral in Formel (53); auch das dritte Integral wird Null, da der Integrand für endliche r-Werte verschwindet und sich für große r-Werte (r k0 «Q) ver-hält wie r312. Der Rest der Formel (53) geIst für Q* in die Formel (27) iber, wie es sein muß.

(20)

Um diesen Grenzilbergang bei (leni lctztcn Integral in (53) genau durchzuführen, kann das Integral atifgeteilt. werden iii die beiden Anteile

I n(.) k4(j k0 D(...)

ff+ f;

h0/(...) k0/(...) _h0J

von diesen vershwindet der zweite Anteil für _Q-- _{von höherer Ordnung, während der erste} iii das letzte Integral der Formel (27) übergeht.

Die Gültigkeit der Darstellung (53) kann auch auf kleinere Q-Werte ausgedehnt werden, indem man zusätzlich weitere (dritte und höhere) Glieder der asymptotischcn Entwicklung der E i-Funktion berücksichtigt.

Wir vermerken noch, daß z.B. das erste Integral in Formel (53) für große Q-Werte _{nur wie}

(Q)-114 _{gegen Null geht; daraus ergibt sich, daß eine vollständige}

Vernachlässigung des Ein-flusses der Oberflachenspannung _{nur bei sehr hohen Fahrtgeschwindigkejten}

u0 gerechtfertigt er-scheint (vgl. (lie Bemerkungen in der Einleitung).

8. Beweis der Integralformein. Wir haben nun noch den Beweis für verschiedene in der Arbeit verwendete Integralformeln nachzutragen.

a) Beweis von (2). Wir führen den Beweis _{der Formel (2) durch die Mitteilung einer anderen} Integralformel, auf die wir im Verlauf der vorliegenden Arbeit mehrfach verwiesen_{haben. Es gilt} nämlich

fI(x

+

ko)z2

₊

_Vx)2

_(z

₊

_k0) _{*2 + (Vy}

-

_j/x)2}

I (y2 +z*2) H

-

2 xy ì/i-ii+

(x2

+

z*2)k0 y x Y2

+

11x2

+

_y2

+

(4)

Y- + ¡/x2 +_y2

+ z2

:* j/x2 +_y2

_{+ z2}

_11k0 _{Z* 1x + y2 + z*2}

_k

I

Dabei ist H O eine beliebige Zahl.

Die Richtigkeit (lcr Formel (54.) erkennt man nach (ICr Substitution_z

₌

t2 _{unmittelbar durch}

Anwendung elementarer Grundintegrale. Dic zu beweisendc Integralformel

_{(2) geht mit der}

Transformation (9) und der weiteren Transformation (12) in die Form über (mitz

=

-[ ¡

e

[cos r(xSin ycos)

_{- cos r (xsin}

_+ycos)]

=

kf

ctgf2

+

(xsin y

cos)2

_{:*2 + (xsin+y}

co8

i

rI

2nJ Ixz*2+ft/

!y_1/ix)2

zz*2+(yx_,0y+yix)2

X

k0

Unter Berücksichtigung der Formel (54) im Spezialfall H _{O ist damit die Integralformel (2)} veri-fiziert.

b) Beweis von (22). Mit der_{Transformation O}

_{¿2 + geht das}

Integral (22) über in

1

(

2at2dt ₂

ri '+.

1

-e) Beweis von (34). Wir

_{beschränken uns dabei auf}

die Wiedergabe des Beweises für das

Integral Ç

e''H

irA

dr.

j ra_ß

(t2+1)(,2z*2+fl2+z*2)

++

¿2fr)

70 _{W. 11. Isny: Zur Theorie des senkrecht. zur Wasseroberfläche gerichteten Tragflügcls}

(21)

XXXIII. nand I9(3 W. 11. Isay: Zur Theorie des _{senkrecht zur Wnsscrobcrfliidie geridiictcn}

Tragfliigels 71

Der Beweis für

o:,

Jraifl'

gestaltet sich ganz analog wiihrcnd die beiden anderen in Formel (34) enthaltenen_{Integrale sich} als die cntprechende konjugiert koriiplexen_{Ausdrücke ergeben. Dabei kann A} _{O vorausgesetzt} werden, wie ein Blick auf Formel (34)zeigt. Man hat

o:,

r

r A

_/

e'" A

p

ttifI

iß

Die Integration über den Vierteikreis des ersten Quadranten der (u + i1u')-Ebene liefert nach der Residuenmethode für unendlichen Kreisradius

oo

f1+ipA

- .

d1i =

i eßiß: + f

,

-= - eß4ß

[0,5772

-

_{i + -ln (A2 + z*2) +}

_{lnß2 + iarctg+.}

n!

(ßAi

ßz*)n]

Dabei beruht1 dic Auswertung des Integrals über u' auf Formel (10) mit₍₁_{> 0. Außerdem ist}

r + ir A

o _o

o

fd = eß1ß:'J (e(i

)(ifl)

-

₊

_{o_ßA_if2di}

= eß' {-

ln (2 + (12) ± In (12 + i arctg

₊

' (i

_

{( iß)

- (

Also wird unter Berücksichtigung der Belation arctg (z*/A)

_{= r/2}

_{arcig (A/z*)}

f_rFirA

r - - .

dr =

e(+'ß)(

U1) {o5772

-

I _{11 (} _{± (12) ±} i_J _(:

+ A2)

+ i arctg

-

iarctg4

_{[( + iß)(* -}

iAIIPI}

=

e±i/j) ('iA)E.(( + iß)(z*

-wie ein Vergleich mit der bekannten1 Darstellung (her E i-Fuiiktiori zeigt.

Wie man unschwer erkennt, bleiben die_{Formeln (34) auch für > O gültig. Sie gelten jedoch} nicht mehr ohne weiteres für_{(1 = 0; zum Beispiel bei der eben bewiesenen Integralformel liegt für}

fi > O die Singularitat bei r = ± i (1 innerhalb eines

_{über den Viertelkrcis der (r + i r')-Ebcne} zu erstreckenden Integrationsweges; fürß = O rückt (lie Siiigularitüt auf den Integrationsweg, d. h. auf die reelle Achse, so daß das halbe Residuum abzuziehen ist; man hat also in Ubcreinstimmung mit Formel (10)

C r+irA

Ç

r-j-jrA

lun e .

dr =

e

dr+rie_c+iA.

ßoJ rrifi

j

rr

o o

9. Schlußbemerkungen. In der vorliegenden Arbeit wurde die Theorie des senkrecht zur Wasser-oberfläche gerichteten Unterwassertragfijigels auf der Grundlage der erweiterten Traglimiien_theorie entwickelt und dabei in der Randbedingung an der Wasseroberfläche auch der Druckanteil der Oberilachenspannung berücksichtigt. Besondere Aufmerksamkeit wurde dabei einer iii riegung der Grenzübergänge von der allgemeinen Lösung zu den verschiedenen möglichen Sonderfällen gewidmet, die sieh bei vereinîachter Oberflächenrandbedingung ergeben.

Im Hinblick auf eine unter Umständen

_{mögliche Verwendung der Theorie bei der} Unter-suchung des Luftansaugungsvorgaimgcs (vgl. die Einleitung) wollen wir hier noch kurz andeuten, wie man näherungsweise die Berechnung der Druckverteilung am Flügel mit Hilfe der hier entwickelten Theorie vornehmen kann.

Vgl. auch W. H. Isay, Ing.-Arch. 29 (1960) S. 163; _{sowie Lôsch-Schobl jig, Die Fakultät und verwandte} Funktionen, Leipzig 1951.

(22)

72 W. H. hay: Zur Theorie cies senkrecht zur Wasseroberflüchic gcrichtctcn Tragflügels Ingenicur.Ardiv

Für cine Druckvcrteilungsrechiiung ist bckniintlich der Einfluß der endlichen Profildecke durch Anbringung einer Qiidllen-Senkenvcrteilung auf der Profilsehiic (x-Achsc) zu bcrücksichtigen. Nun gibt es selbst für gewöhnliche rrragflugel ejidliclier Spannweite mit vois Null verschiedenem Auftrieb ( ganz abgesehen von der bei unserem Problem zusätzlich auftretenden Randbedingung an der Wasser-oberfläche) noch keine exakte dreidimensionale Theorie zur Erfassung des Dickeneinflusses'. Immerhin gilt jedenfalls bei symmetrischen Flügelprofilen mäßiger Dicke auch bei dreidiniensionaler Behandlung die der ebenen Profiitheorie analoge Beziehung

_q(x,z)

_=--

Y0(x, z) (55)

zwischen der Profilforni Y0(x, z) und der Qucilensenkenverteilung q(x, z). Die hier vorgeschlagene Nähcrungsmcthode besteht nun darin, in verschiedenen Schnitteis z

=

koust. cies Flügels die Druck-vcrtcilungsrechnung nach dcn bekannten Formeln der ebenen Theorie durchzuführen; dabei wird vorausgesetzt, daß entsprechend der Konzeption der linearen Theorie in der Bernoullischen Gleichuii g das Quadrat der z-Komponente der Geschwindigkeit vernachlässigt werden kann. Die Zunahme des statischen Druckes infolge des Einflusses der Schwerkraft (mit zunehmender Entfernung von der Wasseroberfläche) kann in den Ebenen z

=

koust. bei der Festlegung des Absolutdruckes weit vor dein Flügel berücksichtigt werden.

Aus Gleichung (55) erhält man dann in jeder Ebene z

=

konst. dic gesuchte Quellensenkenver-teilung des Flügeiprofils, da die Profilform ja als vorgegeben angesehen werden kann.

Für eine Druckverteilungsrechnung nach der ebenen Theorie benötigt riman ferner nicht nur die

gcniäß Ziff.3unl 6 der vorliegenden Arbeit berechenbare Gesamtzirkulaiion L'(z), sondern auch dic

gebundene Wirbeldichte y(x, z). Letztere läßt sich zwar prinzipiell durch Superposition nach dcui Modell einer tragenden Fläche unter Benutzung der in Ziff. 3 und 6 angegebenen Formeln bestim-fien; jedoch wird cher Aufwand so groß, daß dieser \\Teg nicht mehr vertretbar erscheint. In diese in bei komplizierten Strömnungsproblemnemi häufiger auftretenden Fall (daß nämlich clic

Strömungs-randbedingung am Flügel mit vertretbarem Rechenaufwand nur den P_\\Tert, nicht aber die y-Verteilung liefert) ist es möglich, diese letztere mit eitler Näheruugsrmmcthode zu berechnen. Dabei nehmen wir an, daß die Wölbung der Skcletthimiien Y(x, z) der einzelnen l'rofilscliziittc z

=

konst.

nicht so schwach ist, daß man sich von vorne hiercimi luit der ersten BirnLmumschen Normalverteilusig

y(x,z)=TV

(-i)

(56)

begnügen kann.

Die vorgeschlagene Näherungsmnethode gebt davomì aus, daß in den betrachteten Schnitten am Profil (für y

=

0) die Fahrtgcschwindigkeit u0 in x-l{ichtung und die y-Komponentc des ,,Stür-geschwindigkeitsfeldcs" b V0(x, z) (P(x,y,z) i ¡ xF() d y=O

+

J + (z (57)

¡a

3\..

wirksam smd. V0(x, z) kann z. B. imber Profiltiefe - -- x -- aj naherungsweise durch ein l'olynom approximiert werden. In V1 sind gemäß (57) alle in Ziff. 2 bzw. 5 berechneten Geschwin-digkeitsanteile enthalten, wobei lediglich clic vom gebundenen Wirbel des betrachteten Flügels selbst induzierte Geschwindigkeit abzuziehen ist. Daitmi ergibt sich die gesuchte Wirbeidichte y(x, z) aus der einfachen Integraigleichung der ebenen Profilthcorie

30/2

âY(x, z) _i _-)

äx

+Vo()f

'de,

die zweckmäßig in der bekannten Weise an einigcil Aufpunkten x, erfüllt wird2. Dabei erhält man eine Genauigkeitskontrolle des Näherungsverfahreiss durch die Tatsache, daß ja der aus (58) sich ergebende ['-Wert mit dein früher gemäß Ziff. 3und 6 berechneten ['(z) übereinstimmen muß.

(Eingegangen am 6. Februar 1963.)

Anschrift des Verfassers: Professor Dr.-Ing. W. 1-f. Isay, Hamburg 22, Hamburger Str. 200.

Vgl. z. B. Schlichting-Truckcnbrodz, Aerodynamik des Flugzeuges Bd. 2, Berlin 1960, S. 109. 2 Vgl. z. B. H. Schlichting, VDI-Forschungsheft 447 (1955).