Badanie operacyjnych charakterystyk procedur kontrolnych

Pełen tekst

(1), 2003 AkademII. Janusz Niezgoda Katedra Infor.atykl. Badanie operacyjnych charakterystyk procedur kontrolnych l. Wprowadzenie Procedury kontrolne Shcwharta i procedury sum skumulowanych slużą do monitorowania procesów produkcyjnych i sterowania tymi procesami w cyklu Shewharla \31,141.181 Procedury Shcwharta są sekwencyjnie wykonywanymi parametrycznymi testami iSlotności, natomiasl procedury sum skumulowanych s'l teslami sekwencyjnymi realizowanymi wstecznie. Obydwa rodzaje testów obciążone są dwoma rodzajami blędÓw. Błąd pierwszego rodzaju - polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa - w statystycznej kontroli jakości interpretowany jest jako wyemitowanie fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu lub dokonaniu zbędnej regulacji . Prawdopodobieństwo jego powstania oznacza się przez (1.. Bląd drugiego rodzaju - polegający na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy jest ona falszywa - jest interpretowany jako brak sygnalu o rozregulowaniu procesu, gdy w rzeczywistośc i jest on rozregulowany, lub niepodjęcie koniecznej regulacji . Prawdopodobieństwo jego wygenerowania owacza się przez Il W dalszych rozważaniach prawdopodobieristwa a i p będą traktowane jako parametry wywierające bezpośredni wplyw na podstawową charakterystykę procedur kontrolnych, jaką jest średnia dlugość przebiegu (ARL) 131, 18 J, przy czym wyrói.nia się dwajej rodzaje: - średnią dl ugość przebiegu przy uregulowanym procesie produkcyjnym (ARLo)' Jest lO przeciętna liczba próbek, jakie są pobierane od momentu rozpoczęcia obserwacji do chwili wyemitowania fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu. Ponieważ długość przebiegu przy uregulowanym procesie jest.

(2) JOl/liS:. zmienną losową średnia dlugość. o geometrycznym rozkladzie prawdopodobień s twa. natomiast przebiegu - jego wartością oczekiwaną. możemy zapisać. że: ARL" =. -. .. t;. (I). średnią dlugość. przebiegu prz.y rozregulowanym procesie produkcyjnym (ARL,) . Jest to przeciętna liczba próbek. jakie zostaly pobrane od momentu rzeczywistego rozregulowania procesu do chwili wykrycia rozregulowania . Analogicznie jak poprzednio dl ugość przebiegu przy rozregulowanym procesie ma rozklad geometryczny, którego wartość oczekiwaną oznaczymy ARL,. Wobec tego możemy zapisać. że:. (2) Obydwa wzory zachowują ważność jedynie w przypadku rejestracji punktowych sygnalów o rozregulowaniu procesu . Projektując procedury kontrolne. dąży się do maksymalizacji ARL" przy jednoczesnej minimalizacji ARL,. Nie istnieje ogólna analityczna metoda wyznaczania średnich dlugOści przebiegów. Wymagania dotyczące charakterystyk procedur kontrolnych można pogodzić jedynie analizując koszty za pomocą symulacji komputerowej . W niniejszej pracy podjęto próbę analizy średnich dlugości przebiegów dla procedur kontrolnych Shewharta i sum skumulowanych dla zmiennych losowych o rozkladach normalnym, dwumianowym i Poissona. Do badań ARLo i ARL, wykorzystano algorytmy numeryczne, które poslużyly do weryfikacji hipotez postaci:. H,,: Q,; Q",. (3). li,: Q, ; Q". (4). gdzie:. Q, - rzeczywista wartość parametru opisującego badaną wielkość . Q() - maksymalna dopuszczalna wartość parametru, jeżeli Q,.::; Q". to proces uznaje. się. za uregulowany, Q, - minimalna dyskwalifikująca wartość parametru, jeżeli Q,:<: Q" to proces uznaje się za rozregulowany; przyjmuje się również, że Q" < Q,. W celu weryfikacji hipotez (3) i (4) zbudowano procedury funkcjonujące wylącznie z górnymi liniami kontrolnymi wedlug schematów przedstawionych narys.li2..

(3) Badan;e. START Parametry. n wk-. i := O. -'. x1:: = charakt erystyka 'I. próhy. j: = j + I. J:K <= wk. Tak. Nic. 01' := j. I Return DP I. Rys . I. Algorytm wyznaczania ARL dla kart y kontrolnej Shcwharta Źródło: opracowanie wła sne .. 2. Numeryczny algorytm wyznaczania średnlel długości przebiegu dla procedury kontrolnel Shewharta Klasyczne procedury Shewharta zostaly zmodyfikowane w sposób dający możliwość przyjęcia explicite wartości prawdopodobieństwa Bjako parametru. Osiągnięte zostalo to poprzez u zależnienie liczebności próby n od wartości a i p. Strumień danych sy mulowany byl przez generator liczb pseudolosowych o zadanym rozk lad zie prawdopodobieństwa i parametrach wlaściwych dla analizowanej karty kontrolnej. Na s tępnie wyznaczano cha rakterystykę z próby Xli odpowiedni ą dla danej karty kontrolnej . W dalszej kolejności xli porównywa no z wartością krytycZntl wk. Jeżeli xg < wk, 10 przyjmowana byla hipoteza postaci (3),jeżeli xg > IVk, to przyjmowana byla hipoteza pOSlaci (4). Stan kOlkowy licznika) wskazywal długość przebiegu DP w pojedynczym do świadczeniu. które powtarzano zadaną il ość razy celem uzyskania średniej dlugości przebiegu..

(4) jonu.\': Nie:goda. START ParamcLry. hg ' "W. L. j ::= O. VI. :00 (). j :-=-j+ l. rp := G,."UO. Tak rp < c Nic Ol. := zn. -I. (rp - t-g). '". Nic. zn < lig. Tak Nic. '". zn S () 'y. DP 'o i. Tak.. Relurn OP. Rys . 2. Algorytm wyznaczania ARt dla karty kontrolnej sum skumulowanych Żródło: opracowanie własne na podstawie (4)-. 3. Numeryczny algorytm wyznaczania średnlel długości przebiegu dla procedury kontrolnel sum skumulowanych Strumień. danych symulowany. był. przez generator liczb pseudolosowych o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa i parametrach właściwych dla analizowanej karty kontrolnej. Na podstawie wartości uzyskanych z generatora wyznaczano charakterystykę z próby rp. która była porównywana z wartością.

(5) Bac/finie. rp < cg.to generowana była następna wartość U. Jeżeli ni e równość rp ~ cg. 1O rozpoczynano naliczanie sumy postaci: Złl = L: (rp - cg).. cg.. Jeżeli. spełni ona była. (5). i= l. tak. dopóki ZII < "I!. Gdy ZII ~ hg. wówczas przerywano na liczanie ZII i przyjmowano H,. zaś liczba wygenerowanych charakterystyk z próby .\'.\ byla pojedyncz'l dlugością przebiegu OP. Obliczanie sumy m przerywa no rów nież. gdy ZII < O. Celem wyznaczenia średniej dlugośc i przebiegu o pi sane doświadczenie pow tarzano zadaną ilość ra zy - w prezentowanym przypad ku 1000 razy. Po stępowano. 4. Wyznaczanie średnie I długości przebiegu dla zmlennel losowej o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa Celem wyznaczenia średniej dl ugości przebiegu dla zmiennej losowej o normalnym rozkład z ie prawdopodobieństwa zastosowano następujące p,x!stawienia: Q, = ~, - rzeczyw ista wartość średniej procesu. Q" = (l" - maksymalna dopuszczalna wartość średniej procesu, Q, = ~, - minimalna dyskwalifikująca wartość średniej procesu . w rezultacie. OQ = 81' =1', - I'U' Q, = ~, = 1', - (.lO' W przypadku karty kontrolnej. x: (J. wk = I'tJ + 1'" -,-.. "fi. (6). (7). tz ;:. gdzie: kwantyle rozkladu normalnego, stale odchylenie standardowe (J = I.. " "' li p (J -. W przypadku karty sum skumulowanych : cw. = c = !l, ; 2 (J. hg = -. 1. I'tJ,. (8). ,a "'-.,~. n (T-. II). (!l, - I'tl) .. (9).

(6) .Ial/us: Nit~: g(Jda. 5. Wyznaczanie średnlel długeścl przebiegu dla zmlennel losowel o dwumianowym rozkładzie prawdopodobieństwa Celem wyznaczenia ś redniej dlugości przebiegu w przypadku zmiennej losowej o dwumianowym rozkladzie prawdopodobieństwa zastosowano następujące p()d ~tawienia :. Q, = P, - rzeczywista wadliwość , Q" = P" - maksymalna dopuszczalna wadliwość, Q, = P, - minimalna dyskwalifikuj;}ca wadliwość, w rezultacie. 8Q = ol' =P, -p", Q,= Sp, = p, - l'w. Dla karty kontrolnej Shewharta: wk =. 1lf1(1. +. Hu. /"Po ( ł - Po).. ( 10). , 11 =. u,,/Po(1 --- Po) + ul, /p,(1 - p,) 1'1 - Po. Dla karty kontrolnej sum skumulowanych: l - po n I I - p, C IV. = _ _~.LL.. p, (I - Po)' In 1'0(1 - 1',). (I I). (1 2). In I ~ ~. hl: =. -. In. P, (I - Po). -. (13). - -----Po (J - p,). 6. Wyznaczanie średnlel długości przebiegu dla zmlennel losowel posiadalącel rozkład Polssona Celem wyznaczenia średniej dlugości przebiegu w przypadku zmiennej losowej o rozkladzie Poissona zastosowano następujące podstawienia: Q, = A, - rzeczywista przeciętna liczba wad w jednostce produktu , Qo = 1..,, - maksymalna dopuszczalna przeciętna liczba wad w jednostce produktu , Q, = A, - minimalna dyskwalifikująca przeciętna liczba wad w jednostce produktu,.

(7) Badanie. w rezultacie 8Q=&=\-\" Q, = OA, = A, - \,. Dla karty kontrolnej Shewharta: ,,2 uu"Ao + ul\yA 1 f'l. n=. A,-A(). wk = Ao +. U{l. (14). ,. j~l .. (15). Dla karty kontrolnej sum skumulowanych: cw =. A, - A(). X,. (16 ). In ,_L I\(). hg = -. In _.'\" l - f'. InA, - InA(). .. (17). Badaniami objęto średnie długości przebiegu zarówno dla procesu uregulowanego jak i rozregulowanego. Dla procesu uregulowanego ARL() wyznaczano jako funkcję oQ = Q, - Q() dla wybranych wartości a i [l. Dla procesu rozregulowanego ARL, wyznaczano jako funkcję oQ, = Q, - Qo dla wybranych wartości a i p. Na potrzeby badań przyjęto następujące wartości parametrów a i [l: a. 11. 0,10. 0,10. 7. Wyniki symulacll Wyniki symulacji Przyjęto następujące. ARLO_I_I. -. 0,01. 0,05. średnlel długości. średniej długości. przebiegu. przebiegu przedstawiono na rys. 3-14,. oznaczenia:. średnia długość. przebiegu dla procesu uregulowanego a = 0,1;. P= 0,1 ARLO_I_05 -. średnia dlugość. przebiegu dla procesu. uregułowanego. a = 0,1;. P= 0,05 ARLO_I_OI -. średnia długość. [3=0,01. przebiegu dla procesu uregulowanego a = 0,1;.

(8) jal/It.\':.. -. o o o• o. ~,. -- - - - ~- -. o o o o ~ 'C ~ • o• o o. ~,. o. "\. o. ~.. o. N. o o o 'O 'r: • ~. •. O,. N. N. ~. N. o. •. "~o. o. ".•. cor. b" •. ". ".. ... ARLO - I - I -ARUI- I - OS --0 - ARLO I - ()I. -. Rys. 3. Wyniki symu lacji ARL" dla karty konlrolnej Shewharta .t Źródło: opracowanie własne .. ARLO (51' ,: n,. ZO.O. Pl. I H.O 16.0 14,0. I Z,O. :5. '"..:. IO,n. H,O 6,0 4,0 Z,{). 0,0. -o. ą. ~. ą. o. ~. ą. o. ~. ą. o. ~. o. -o-. •. '" -o o- - o- o ~,. •. ... ARLO I I -. or, ,. ~. ,. '". N. ,. ARUI_ I - OS. ~. or,. ~. '"o o. Ol <'! "! "!. o. o. - -0 - -. o. ~,. ~ ~,. ~ ~,. o. o. ,. ,. Ó{',. A RLn - I - Ol. Rys. 4, Wyniki symulacji ARL" dla karly kontrolnej Shewharta dla zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym Źródło: opracowanie własne ..

(9) Badanie operacyjnych. kOllt ro/"ych. ARLO (Ii),; a , ll) 16,0. 14,11 12,0 IU,!I. "-I. et 8,0. ..:. 6 ,0 4,0. "" ... 2,0. .. "". -. •. V). •. '". o-•. OOO. '. .... ,.. ,., ,._.,-, .._- - ---- ---- ._ .- ----. ... ,,, ,,,,. ....•. ,- ". .. " .. r--•. -_. .............. .......... _ ........... ... _•. lJl •. ~. .... ... _"~ , -,,-. --_ - -_ ... --._---. _........ ... ,."...... _.,-."...... a-.•. NNN. .....•. 10 • .......... ą. ... ", .",. ._ -- .. - .. ....... -.... ... ~. ~. ~. t"!-. ~~vV"). 9. or,\D. bA I. Rys. 5. Wyniki symulacji ARL" dla karty kontrolnej Shewharta dla zm ien nej losowej o rozkładzie Poissona Źród ło : opracowanie własne .. SDP (1iJ! ; II. P). I6IXI,1I 141Ml,O 121KI,II. "...J et. ..:. ((MKI,II I«KI,II 6lKI,O 4łX) ,O. 21KI,O 0,0 00 0 00 r<) VI ,... 0'1 0 _ • • • • • • 0 0 0 0 0 ...... ~. ~~g~~ . - ........ . - N. ~s;:g~S~ • • • • • • N. N. N. N. f'"J. f'",. ,.,.,. Rys . 6. Wyniki symulacji ARL" dla karty kontrolnej sum sk umulowanych dla zmien nej losowej o rozkładzie normalnym Żródlo; opracowanie własne ..

(10) Janus: Nie:goda. ARLO (81'1: a,ll) 141KXI,O 121XKI,O HUKI,O. o. !«XXI,O. '". «KXI,O. -'. .:. 41UI,O 2IXXI,O 0,0. -. q O. '" q O. ~. O, O. - - - -'" o. ~. ,. O. 'CO. ,. O. ,. O. ,. O. N. ~,. O. O. Ol. "I. Rys, 7, Wyniki symulacji ARL" dla karty kontrolnej sum skumulowanych dla zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym Źródło: opracowanie własne.. tl«XI,O T - - - - - - - - - - - - - - - - - - - t600,O. t4lXI,O t21XI,O. 5. 11100,0. '". I«XI,O. .:. 6IXI,O 4lIO,O. 200,0 0,0. o. ,. "', o. ~.. O. "',. ... ARLltU . . ARLO I 05. "', N. o. ARLlUJII. Rys, 8, Wyniki symulacji ARLo dla karty kontrolnej sum skumulowanych dla zmiennej. losowej o rozkładzie Poissona Źródło: npracowanie wlasne..

(11) Badanie. ARLI. (o~:. u.I\). [(Ul. KJl. J. 6,0. '". 4.0. .:. 2.0. -+- ARLUjl1 --- ARLUJI50' ARl.l .. U Rys. 9. Wyniki symulacji ARL, dla () rozkładzie normalnym. karły. kontrolnej. Shewharła. dla zmiennej losowej. Źródło: opracowanie własne.. ARLI (OP,: a.~) 12.0 - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , lII.O. 2-. 6.0. .: 4.0. 2.0 11.11 +n-TTTTTT-rn-TTTTTT-rrrTTTT-rn-TTTT-rn-, o N '1" '" DCl 00000. ci ci ci ci. o....... "f. N. o o. \O. N. 00. N. of'). N. "f. f'). f'). o • o• o• o• o • o•. -+- ARLU.I --- ARLU.050 ARLl.Ull Rys. lO. Wyniki symulacji ARL, dla () rozkładzie dwumianowym Źródło: opracowanic własnc.. karły. kontrolnej Shewharta dla zmiennej losowej.

(12) Jallus::,. ARLI (0).,;. Nie;:goda. a.~). 12,n - , - - - - - - - - - ' - - " ' - - - ' - - ' - - - - - - 10,0 H,O. -. ~. 6.n. ..: 4,0. 2,n. ą. ~. ~. ~. oOOO. .... ARLI~U. ~. ~. .......... ~. ~. ~. ~. -NI"II"I. o•. ~,. •. 1iA,. . . ARLI I 05 -o' ARLUj)1. Rys. II. Wyniki symulacji ARL, dla karl y kontrolnej Shewharta dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona Zródło: opracowanie własne.. 50,n 40.0. ... .... .. -. .....l 30,0 IX. ..:. 20,n 10,0. o o o o o o 000000000000 "1; ą \".l. "'<t• \O• 00• o • ~ "'<t. '.q oq o. \".l "'<t. ~. 00. ą ~ o o o o o .... .... ..... - ..... N N N N N ~ ~ ~. \:11. Ul""' r. Rys. 12. Wyniki symulacji ARL, dla karty kontrolnej sum skumulowanych dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym Zródło: opracowanie własne..

(13) Bada nie opuacxinych c:hara ktaystyk procedur kOlll rolflyC I!. A RLI (op,; U . ItlJ) .1(111." .,-- --. -. - - -- - - - - ''-'----'----'- - --. ----. 250.0 21l1l .0. -. ...J. et:: 150.0. ,. ,". -. ..:. 1011 .0. ................... , ................. ........ ....................................... ",. "",. ". . ,,, .. ~(l,(1. (I.!). o oo. N. oo. ". ~. 00. o. o • o o o o. +. - - -" - -. N ~ 00 o o N ~ 00 o N Ol' , N N N. N N • • • • • • • • • • • • o o o o o o o o o o o o o. A HU - I - I . . AHLI - I - 05. Rys. 13. Wynik i symulacji A RLI dla. karły. " '". " 0 '. '". ~,. ~,. AH L U _1lI. kontrolnej sum skumulowanyc h dla zmiennej. losowej o rozk lł,d z i e dwumianowym Żroo lo : opr<.lcnwanic wł a sne .. AHLI (Ok, ; u , Pl. - 40 .0 "" ..J. 20.0. 10.11 0 .0. -. -. -. •. co. N. Rys. 14. Wyniki symulacji ARLI dla karty konirolnej sum sk umulowanych dla zmiennej losowej o rozk ł adzie Poissona Źródł o: opracowa nie wł asne..

(14) .!W/IIS: Nie::.~()d(J. 8. Wainlelsze konkluzle Na rys . 9 - 11 przedslawiono wyniki symulacji procedur konIrolnych Shewharla dla procesów o rosnącym slopniu rozregulowania. Zgod nie z przewidywaniami ARL, szybko maleje do jedności . Szybszy spadek obserwujemy dla mniejszych warlości tJ. Spowodowane jesllo uzalci.nicnie.m liczeb nośc i próby od warlości paramelru Il w sposób wywoluj'ICY WzrOSlll, a «) powoduje, że szybciej wykrywane jesl rozregulowanie. Warlości ARL" procedury konIrolnej sum skumulowanych dla badanych rozkladów (rys. 6- 8) w badanym zakresie zmienności przedzialu 8Q, najpierw gwallownie opadają osiągając minimum, aby naslępnie powoli wzraslać. Spowodowane jesllo algorylmem funkcjonowania karl kOili rolnych sum skumulowanych. Warlość charakleryslyki z próby je sI w pierwszej kolejności porównywana z paramelrem CK. Prawdopodobieńslwo jego przekroczenia (p) jesl paramelrem rozkladu geomelrycznego 15], 16]. Numer wygenerowanej charakleryslyki z próby. klóra jako pierwsza przekracza cK. może być lraklOwany jako warlość oczekiwana rozkladu geomelrycznego z parametrem p. POCZ'llkowo cg jest znacznie mniejsze od hg. rezullalem czego jest częsle przekraczanie warlości cg. ale rzadkie osiąganie przez sumę skumulowaną SIVS warlości hg decyduj"cej o warlościach ARL". Po przekroczeniu warlości cg = "I! o ARL" decyduje liniowo rosnąca warlość hg. W przypadku procesu rozregulowanego monilOrowanego przez procedury kOni rolne sum skumulowanych dla zmiennych losowyc h o rozkladach normalnym (rys. 12). dwumianowym (rys. 13) i Poissona (rys. 14) obserwuje się asymptolyczną zbieżność do ARL, do jedności . Zauważyć można. że spadek len jesl wolniejszy niż w przypadku procedur Shewharla. Podobnie jak w przypadku procedur dla zmiennej losowej o rozkladzie normalnym wplyw prawdopodobieńslwa ~ jesl minimalny.. LIteratura 111 Coli ani E. von. Eamomically Optima l ('. {Ind "p - COllfrol Chart,,", Mełric<I. Physica-Verlag. Heidelberg 1989. 121 Dragalin v.. Op/im,,1 CUSUM ElIvel0l'e Jor MOllilOrillg lite Mmll ol Norm,,1 Distribution, Economic Qualily Control, Journal ano Ncwslcucr for QUi.llily and ReJiability. Wurzburg 1994. [3J Iwasicwicz A. Zarządzanie jakO/idą_ Pod.,'wwmv(! problemy i metody, \Vydawnict. Iwo Naukowe PWN, Warszawa- Kraków 1990. 141 Iwasicwicz A" Paszek Z .. Steczkowski J., Sekwencyjne metody kOfltro/ijllko.\'ci. AE w Krakowie. Kraków 1988. [51 Niezgoda 1.. Badania nad charakterystykami OfJl!rtlcyjnym; procedur mOllilOrov.'ania procesów. Iw:', Statystyczne metody monitorowania proce,whv, ('z. II. pod red..

(15) 8m/a"il' operacyjll ych dlllrakleryslyk proca/lir komroln)'dl A. Iwasiewicza, raport z bada ,; statutowych (umowa nr 69/ KS/4/200l/S), AE w Krakowie, Kraków 2001. 161 Nicl.god;l 1., POrth"lIllU'C:,(1wlllli:a ,,;ret/nich d/HRO.vci przebiegó w karl kOlltrolnych She~'r'har,(l i kart kOllfmlnydl S lml ,d.llmłllowallych Iw:1Statystyczlle metody monirnr(/\WlI1;a procesóu-' . pod red . A , lwasiew ieza, raport z badań statutowyt.:h (u mowa nr 67fKS/5/2000/S), A E w Krakowie, Kraków 2000. [71 Jardine A .K.S., Macfarlan c J.o., Greensted C.S., Statisti ..al Methods for Quality COl/ troi, Hcinema n, Londo n 1975 . 181 Montgomer y D.C.. ",trodl/ctio/l to Statistical QI/ality Control, John Wilcy & Sons, New York 200 1. 191 ?N · ISO 7966: 1998. Karty akceptacji procesu.. Research on Operatlonal Characlerisllcs of Control Procedures Avcr<lgc run Icnglhs are basic Ihe opc raliOl\al charactcrislics of slatislical proccdurcs for process control. They are especially imporlant in dcsign of thcse procedures, during which designers slrive to maximise (he avcrage Icngth in an ordcrcd pnH:css (AR Lu) and simultaneous ly to minimi se thc avera gc run length in a non-ordered proccss (ARLI) ' Thcsc two characleri stics arc linkcd abovc .111 through the co -dependent probabilities of unnccessary prm:ess regulation (u) and (he probabililies not introducing rcgulatjon when neccssar y un. Thc work prescnt s thc results of the ARLtJ and ARLI analysis in the case of Iwo basic typcs of eontroI procedures. namely Shewhart contro i chart s and Cusum control charts. Random variabies with normaJ. binomial i.lnd Poisson distributions wcrc researched. The amllysis was conduclcd using a (".'o mputer simulatioll..

(16)