Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

(1)

Kryteria zbieżności całek

niewłaściwych

Autorzy:

Witold Majdak

(2)

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

Autor: Witold Majdak

Przedstawimy kryteria zbieżności całek niewłaściwych.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Kryterium porównawcze I

Kryterium porównawcze I

Niech oraz będą funkcjami ciągłymi. Załóżmy, że dla każdego . Wówczas:

1) jeżeli całka jest zbieżna, to całka jest również zbieżna,

2) jeżeli całka jest rozbieżna, to całka jest również rozbieżna.

Przyjrzyjmy się przykładowym zastosowaniom tego kryterium, w którym dopuszczamy również możliwość, że .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadajmy zbieżność całki . Zauważmy, że

Ponieważ dla każdego to

Stąd na mocy kryterium porównawczego I wnioskujemy rozbieżność wyjściowej całki.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zbadajmy zbieżność całki . Ponieważ funkcja arcus tangens jest ograniczona od góry przez , to dla każdego zachodzi szacowanie

Na mocy powyższego twierdzenia i zbieżności całki niewłaściwej wnioskujemy, że wyjściowa całka jest zbieżna.

f : [a, b) → R

g : [a, b) → R

0 ≤ f(x) ≤ g(x)

x ∈ [a, b)

g(x)dx

∫

a b

f(x)dx

∫

a b

f(x)dx

∫

a b

g(x)dx

∫

a b

b = +∞

dx

∫

+∞ e2 _{x ln(ln x)}1

dx =

dx.

∫

e2 +∞ 1 x ln(ln x)

∫

₂ +∞ 1 ln x

0 ≤ ln x ≤ x − 1

x ≥ 1,

dx ≥

dx =

ln(x − 1) = +∞.

∫

2 +∞ ₁ ln x

∫

₂ +∞ ₁ x−1 _β→+∞

lim

∫

2 β 1 x−1 _β→+∞

lim

∣∣

β2

dx

∫

₁+∞ arctg x_x3₊₁ π₂

x ∈ [1, +∞)

0 ≤

arctg x_x3₊₁

≤

_2xπ3

.

dx

π 2

∫

1+∞x13

(3)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: Kryterium porównawcze II

Kryterium porównawcze II

Niech oraz będą funkcjami ciągłymi. Załóżmy, że oraz dla każdego oraz istnieje granica

Wówczas:

1. ze zbieżności całki dla wynika zbieżność całki ,

1. z rozbieżności całki dla wynika rozbieżność całki .

Zauważmy, że dla całki oraz są jednocześnie zbieżne bądź rozbieżne.

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Zbadać zbieżność całki Niech oraz Wówczas

Ponieważ

to kryterium porównawcze II implikuje zbieżność wyjściowej całki.

W kryterium porównawczym II, podobnie jak w kryterium porównawczym I, dopuszczamy możliwość, że .

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Zbadać zbieżność całki Niech Wtedy

Całka jest rozbieżna, więc na mocy kryterium porównawczego II rozbieżna jest też wyjściowa całka.

f : [a, b) → R

g : [a, b) → R

f(x) ≥ 0

g(x) > 0

x ∈ [a, b)

= K (0 ≤ K ≤ +∞).

lim

x→b− f(x) g(x)

g(x)dx

∫

a b

K < +∞

∫

f(x)dx

a b

g(x)dx

∫

a b

K > 0

∫

f(x)dx

a b

K ∈ (0, +∞)

∫

b

f(x)dx

a

∫

ab

g(x)dx

.

∫

₀1 dx 1−x4 √4

f(x) =

_√4_1−x1 4

g(x) =

_√4_1−x1

.

=

∈ (0, +∞).

lim

x→1− 1 1−x4 √4 1 1−x √ 4 x→1

lim

− 1 (1−x)(1+x+ + )x2 x3 √ 4 1 1−x √ 4 x→1

lim

− 1 1+x+ +x2 _x3 √4 _√41₄

=

(− (1 − x ) = ,

∫

0 1 dx 1−x √4 _β→1

lim

−

∫

0 β dx 1−x √4 _β→1

lim

− 43

)

3 4

∣

∣∣

β 0 4 3

b = +∞

dx.

∫

₀+∞ _1+xx x√2

f(x) =

,

x x√ 1+x2

g(x) =

_√_1+x1

.

=

= 1 ∈ (0, +∞).

lim

x→+∞ x x√ 1+x2 1 1+x √

lim

x→+∞ +1 1 x √ +1 1 x2

dx

∫

₀+∞ 1 1+x √

f : (a, b] → R

(4)

Powyższe kryteria zbieżności całek niewłaściwych można analogicznie sformułować dla funkcji ciągłych oraz , które są nieograniczone w prawostronnym sąsiedztwie punktu . Warto dodać, że dopuszczamy tu możliwość, że .

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Zbadajmy zbieżność całki . Powołajmy się na następującą nierówność dla . Stąd dla każdego zachodzi szacowanie

Całka niewłaściwa jest zbieżna. Wobec tego kryterium porównawcze I implikuje zbieżność wyjściowej całki.

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Zbadajmy zbieżność całki . W tym celu zauważmy, że

a ponieważ jest całką zbieżną, to na mocy kryterium porównawczego II zbieżna jest również wyjściowa całka.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:53:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f4eea15dcd9a3e31cae358c2bb5a43e9