Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18
Zadania do omówienia na konwersatorium w czwartek 14.06.2018.
Porównanie zbieżności całek niewłaściwych i szeregów.
Co możemy powiedzieć o zbieżności (zbieżne, rozbieżne, nie wiadomo) szeregu P∞
n=1
an lub całek R1
0
f (x)dx i ∞R
1
g(x)dx, gdzie f ∈ C(0, 1] i g ∈ C[1, ∞), jeśli wiadomo, że 473. lim
n→∞an= 0 474. lim
x→∞g(x) = 0 475. lim
x→0f (x) = 0 476. lim
n→∞an= 1 477. lim
x→∞g(x) = 1 478. lim
x→0f (x) = 1 479. lim
n→∞an= +∞ 480. lim
x→∞g(x) = +∞ 481. lim
x→0f (x) = +∞
482. Ciąg (an) nie jest zbieżny do 0.
483. g(x) nie dąży do 0 przy x → ∞.
484. f (x) nie dąży do 0 przy x → 0.
485. Ciąg (an) jest ograniczony.
486. Funkcja g jest ograniczona.
487. Funkcja f jest ograniczona.
488. Ciąg (an) nie jest ograniczony.
489. Funkcja g nie jest ograniczona.
490. Funkcja f nie jest ograniczona.
491. Szereg P∞
n=2018an jest (ro)zbieżny.
492. Całka ∞R
2018
g(x)dx jest (ro)zbieżna.
493. Całka
1/2018 R
0
f (x)dx jest (ro)zbieżna.
494. an= np - dać odpowiedź w zależności od p.
495. g(x) = xp - dać odpowiedź w zależności od p.
496. f (x) = xp - dać odpowiedź w zależności od p.
497. an= pn - dać odpowiedź w zależności od p.
498. g(x) = px - dać odpowiedź w zależności od p > 0.
499. f (x) = px - dać odpowiedź w zależności od p > 0.
500. Udowodnić różnymi sposobami zbieżność całki
∞ Z
1
sin x x dx:
a) sprowadzając problem do zbieżności pewnego szeregu, b) całkując przez części.
Przy jakich warunkach na funkcję f potrafimy w analogiczny sposób udowodnić zbież- ność całki
∞ Z
1
f (x) · sin x dx ?
Lista 12 - 69 - Strona 69
