M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 21 (1983)
MECHANIKA TEORETYCZNA — AKTUALNE KIERUNKI ROZWOJU0
B. R A D Z I S Z E W S K I Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN,
W arszawa
Podstawowymi obiektami rozważ anymi w mechanice teoretycznej są punkty materialne ciał a sztywne i wię zy. Stanowią one „cegieł ki", z których buduje się bardziej zł oż one obiekty w tej dyscyplinie nauki.
Wię kszość treś ci zawartych we współ czesnych podrę cznikach akademickich, traktu-ją cych o mechanice teoretycznej, był a znana jeszcze w ubiegł ym stuleciu. D otyczy to w szczególnoś ci statyki i kinematyki, a bardzo czę sto i dynamiki ukł adów z wię zami holonomicznymi. N ie oznacza to jednak stagnacji w mechanice teoretycznej, gdyż wiele podstawowych zagadnień został o rozwią zanych w ostatnich dziesią tkach lat. Dotyczy to w szczególnoś ci dynamiki ukł adów z wię zami nieholonomicznymi.
Podstawowe problemy zwią zane z wyprowadzeniem równań ruchu ukł adów z wię zami nieholonomicznymi, nawet z liniowymi wzglę dem prę dkoś ci uogólnionych równaniami,
wię zów, został y ostatecznie rozstrzygnię te w koń cu lat pię ć dziesią tych naszego wieku.
Kilkanaś cie lat temu został y rozstrzygnię te tak podstawowe problemy w badaniach ukł a
dów nieholonomicznych jak moż liwość linearyzacji równań ruchu i badania statecznoś ci
na podstawie równań zlinearyzowanych.
N ie wiele wcześ niej wyprowadzono na przykł ad równania Lagrange'a drugiego rodzaju
dla ukł adów elektromechanicznych ze stykami ś lizgowymi.
W ostatnich latach powstaje wielce obiecują ce uję cie mechaniki teoretycznej na gruncie poję ć analizy globalnej, a w szczególnoś ci rozmaitoś ci róż niczkowych. Są to nowe geomet-ryczne metody mechaniki teoretycznej. Kierunek ten posł uguje się współ
czesnymi me-todami globalnej geometrii róż niczkowej, topologii algebraicznej i jakoś ciowej teorii
ukł adów dynamicznych. Metody te, uż ywając globalnego ję zyka obiektów geometrycznych, a zwłaszcza struktur symplektyć znych, uwypuklają obiektywną treść wszystkich rezulta-tów, niezależ ną od wyboru lokalnych współ rzę dnych.
Uż ycie nowoczesnych metod matematycznych pozwolił o zarówno lepiej zrozumieć
strukturę mechaniki analitycznej i jej zwią zków z innymi dyscyplinami (klasyczna teoria 1 1
Niniejsze opracowanie jest rozwinię ciem jednego z fragmentów raportu opracowanego przez zespół : B. Radziszewski, P. Rafalski, K. Sobczyk, J. Stupnicki, K. Wilmań ski przy współ udziale J. Sł awianowskiego. Raport ten by} podstawą do dyskusji nad kierunkami rozwoju mechaniki w Polsce n a plenarnym zebraniu Komitetu Mechaniki P AN w 1981 r. F ragment dotyczą cy mechaniki teoretycznej może stanowić uzupeł -nienie pracy R. G utowskiego (Mechanika Teoretyczna — zarys stanu i perspektywy rozwoju w Polsce, N auka Polska, 10, 1979, str. 3 - 17), przedstawionej również na plenarnym zebraniu Kom itetu M echaniki PAN w 1978 r.
556 B. RADZISZEWSKI
pola, mechanika kwantowa, mechanika oś rodków cią głych) jak i uzyskać istotnie nowe wyniki dotyczą ce jakoś ciowej teorii ukł adów dynamicznych, teorii stabilnoś ci i teorii drgań nieliniowych. Wię kszość zastosowań tej teorii dotyczy bardzo wyspecyfikowanych zagadnień, a niektóre z nich są stymulowane potrzebami kosmonautyki.
Rozwijany jest również intensywnie nurt zastosowań metod mechaniki analitycznej w teorii oś rodków cią gł ych.
Wielce obiecują ce są próby z ostatnich lat stworzenia podstaw mechaniki chaotycz-nej, teorii katastrof i wykorzystania analizy niestandardowej.
Poza omówionymi wyż e
j koncepcjami o charakterze podstawowym, potrzeby prak-tyczne doprowadził y do rozwoju autonomicznych dział ów mechaniki teoretycznej takich jak m.in,: teorii drgań, teorii statecznoś ci i stabilizacji ruchu oraz sterowania ruchem,
teorii giroskopów, teorii uderzenia czy też mechaniki nieba. W zakresie każ dego z wyż ej
wymienionych dział ów ukazał o się wiele monografii, a liczba publikacji jest niemaleją ca.
We wszystkich tych dział ach moż na zauważ yć tendencje do doskonalenia sposobu
modelowania obiektów rzeczywistych przez odchodzenie od zał oż eń upraszczają cych,
idealizują cych zarówno rozważ ane obiekty jak i.przebiegi zjawisk. Tego rodzaju postę po-wanie ma na celu nie tylko próbę dokładniejszego opisu ruchu obiektów rzeczywistych, ale może być również wykorzystane do uzasadnienia posł ugiwania się
modelami wyideali-zowanymi, np. stykiem punktowym toczą cej się kuli po pł aszczyź nie, gdy pole powierzchni
styku jest dostatecznie mał e; ciał em sztywnym lub punktem materialnym, gdy odkształ -cenia tego ciał a są dostatecznie mał e w porównaniu z odkształ ceniami innych ciał
, wcho-dzą cych w skł ad rozważ anego obiektu; pomijaniu w obiekcie rzeczywistym ciał, których
bezwł adność jest dostatecznie mał a w" porównaniu z bezwł adnoś cią pozostał ych ciał ; zastę powanie rzeczywistej sił y tarcia tarciem coulombowskim itp.
Rozwijane są podstawy umoż liwiają ce badanie wł asnoś ci jakoś
ciowych ruchu ustalo-nego takich jak np. stateczność lub niestateczność na podstawie wł asnoś ci energii potencjal-nej, funkcji Lagrange'a czy też H amiltona.
W przypadku zachowawczych ukł adów mechanicznych z wię zami holonomicznymi
kwestię statecznoś ci izolowanego poł oż enia równowagi rozstrzyga już dawno znane
kryterium Lagrange'a- D irichletta tylko wtedy, gdy energia potencjalna osią ga w tym po-ł oż eniu ekstremum wga w tym po-ł aś ciwe.
Kryteria statecznoś ci wybranych poł oż eń równowagi, czy też ruchu ustalonego w bar-dziej skomplikowanych przypadkach moż na znaleźć również w pracach aktualnie publi-kowanych.
Rozwijane są w dalszym cią gu metody znajdywania cał ek pierwszych w zwią zku
mię dzy innymi z moż liwoś cią ich wykorzystania przy konstruowaniu funkcji Lapunowa.
Problemami tymi zajmuje się wiele oś rodków naukowych na ś wiecie. Wyniki badań
znajdują zastosowanie przy budowie róż nego rodzaju maszyn i obiektów poruszają cych się
po ziemi, wodzie i w powietrzu oraz przestrzeni kosmicznej. Dą ż enie do cią
głego dosko-nalenia tych obiektów jest i najprawdopodobniej bę dzie jednym z głównych czynników
powodują cych rozwój nie tylko wyż ej wymienionych dział ów mechaniki teoretycznej, ale
i jej koncepcji o charakterze podstawowym.
