Hydraulica deel 1 en 2

HYDRAULICA

DEEL

I

Bewerkt naar de colleges van Prof. ir. J. Th. Thijssc.

ntHOUD DEEL I

-Roofdstuk por.

Hoofdstuk

per.

~ .

,

.

.

· l

V : !Ydrosta.tié>a blz. 41 : PotentiB2l ... : .. ::.: ... · ... ... 39 42 ... .Eigo nschappen ... . ... 40 43 ... Voorbeelden ... ... 41 44 ...... Wat~rdruk ...... .... • ... ... ... 43

44a ... Druk tegon VGrticalo wand .. , ...... : ............ 4 3 45 ... St&biliteit- van drijvonde l-1óh'Elmen. · ... 46

45a . .. Vfot· vah ArohimBdes . : ....... .... .' ....... .. : ....... ... 46

45b .... Evonwicht van drijvebd liohr-a11, Metaosntrwn .. 46

Voorbeelden 46 ... Slingeren van een schip .... ... .. 49

a. Zondor golven .... ... ... 49

b. Onder invloed van gol

v-en

...

...

..

.

.

:·

···•··

·

····

....

..

..

50

v :

Eenpari§1 bEIWÇ gin~

5la ·.

Inleiding... .. ... 53

51

b .... ·.Inwondieo wrijving en 1iu.J?rul-on1i1a ... 54

5lc ... Gre~laag van Prandtl ... , ... ... .-... · ... 55

51~ .. ,..l_fydrauli,ch glad en hy~raulisoh rulf ... 56

5le . .,.Uitwendige w.rij'ving ... ::..• ... : ... 57

52 ... Stroomtype:i, getal van Reynolds ... _.:; ... : : ... 59

52a ... Lam1na.iro .bowa~ng ·;: ... ::: ... ...-: ... 60 ·

lo Evanwi;oh1.sverg~l1~king bi;t· .. <>l)Gn ·leiding ..... 60

2 · • 1 r · lfi..:,l ... 11 61 0,- . · · . · • c,vS O 11,0tl .... •

_{· ..,o}

.... ··_-net •

_{van ...}

-0 _{oisauUl.e ··-·----}. _{···: ....... .-........ l} 6 .. .4o Overgang la~i'nair - 1JurbQlént ...... _ ... 62

52b;•:i~t1=~~-:~~n

..

K~~~~

·

nd1á°.-.;(·;,~·)·

::

::

:

~

:·

~~

. . "' ~.L. ,... • "

2o ))~ ~c#'Jmlle

.va~

.

.

d.a 0.qaZY. (

vl·· .. : ... ·:··--·~

--

·· ...

63

,d: &t'·.,..,bruik ·•v.en ~o. ~,erstanclsformules ... 65

Diagr:amme•n voo2' O .. :

.

. _. ...

.

...

.

...

.

.

.

. :., ..

.

....

.

...

.

...

.

...

.

....

..

67

53.,. ... .G-il'oc;>t~e ·~~n C en À .... _. \ ... 69

$3~;~)1J~.aul.1s(J.h,gladdtl- w~~rst:pdsformules ... 70

~b ... Jfyaraulisch ruwe . · . . ... 70

5'5<> ....

,O.gangs gebiec'Ä , ~bhn1sch ruwp " ... 71

54

....

...

.. G.r-ootte

van k ... :-.: ... :.; ... : .... -... 72

55 .. : .

..,:J.,l)dió.t-e •wrij-vings1'orinulos : ... · ... ... 72

56 ... 13:ljzondore profielen ... : .... :.: ... : ... 74

57 ..

.

....

Voor·doligst. profiel ... : ..... .... : ............ ....... : ... 74

58 .... ~ .... Veorbooldon ... : .. '. ... 75

59 ....

.

.

Snelheidsverd.eling over het profiel ... 77

1.

H Y D R A U L I. C A I.IBLEIDING ,

ll. Definitie.

.

liydraul.ioa -is ·:dat

onderdeel vah

de (technische)

mecha-nica, dat

handelt o~r

evenwicht en beweging

van

onsamendrukbare,

dru.ppel1rorm1ge, ttekeuze vloeistoffen.

1

12-.

Plaats in

de

mechanica.

i

_Evenwicht

.

_Beweging

Vaste

stoffen

Toegepaste meo~nioa

Theoretische mechanica·

₁ 1

Vloeistoffen

1

Hidrostatioa

Hydraulica

(oxt>çr.!(n,).

!

. Bydrod;ynam1oa ~

Gass~n

Aerostatica

Aerodynamica

eventueel ook ~ermodynamioa

~eling niet scherp.

13.

Doel.

Reke~~chap geven van:

l.

aan-

en afvoeren van water ( olie enz. )

,

(polders, irrigat:J..e, drinkwatervoorziening, enz.)

2.

b~nutten van en beschermen tegen energie van het

water. (soms is deze energie voprdeligt

ftter-krachtccntrol.es, soms nadelig, golfslag}

3.

·

echeepvaar~.

4.

waterkering.

Zoeken naar regels (formules), die; uitgaande van theoretisobe

grondslagen,

de

verschijnselen enigermate beschrijven.,

doch

door

onze

gebrekkige

kennis onvolkomen zijn. He~ is nodig

coëffioien--ten in te voeren, die bepaald worden met behulp van waarnemingen

in de

natuur, of aan modellen.

14. L'.!.

terat-11ur.

-··--Algemeen:

.

;

t.

H. Lamb. Hydrodynamics. (6e druk, Camör1dge

1932). Zeer thee---·---··- retischc A11

een voor

:voort~ezot.te studie.

2. W"

Kaufmann. Angewandte

.:i_y·dro::-ecbar..ik.

Bd I - Berlin

1931

·-·-·--·· ·· . Bd II- Berlin

1934

Grotendeel9 theorie, ook prectis,::ihe

toepassingen;

deza zijn e~hter niet volledig.

)~ P. Forch.'1-ieimer. llydraulik,

3e druk

(Leipzi&'Berlin

1930),.

---

- - - -·-···--•····

· ·

_--

4. A.

:n.amant.

Hydrauliqµe, 3e druk·

{Paria

1923

-

.

J_.

~

.•

P.~--

0' Brien -

G~·H.

Hiokox_ Applied fluid mechan1os. New York

1937.

6. A .H~ Gi bsorü

2.

Hydraulics and its,applications, 4e druk (London

1930)_

d, c ene

zijn

weer mineer theoretisch dan

ben f. Flamant en ForchhP-in:~r worden veel

ge-.bruikt.

7_ ... '. ... ~-~----~-~-t~-~-~-... Fl(,'l(Tnidymek/chLanidcs f?r

93h3yaravul1i~ e~gikneer::;. lde druk .

. ~ew or on on~ ). ee neG.rilL op mo erne

ziens-wijzerio Tevens vermelden wij nog latere uitgaven van

_Rouee: El ementary mechanics, J~ fluid s. 1945-194-6,

New :orY:./London. ·

Enrj•_:r.iee~ing IIy<iraulics. 1950, New York.

8 • R" ïieyrauch~ Hyd.raulicl1es HechJ1en, 6e druk, bewe.:.kt door

A·. Stro bel (S-tuttgar~ 1930).

Formule- en tabellex:iboek. Aanwijzingen 0m de

:for-rr.nles met oordeel te gebruiken en kritieke

Enigs-zins vs.rouderd.

Grondwaterbe'!mging ;_

·---·---

..

----

·

1 . M. _{. ,_ ..}Muskc.t, _{............. _ 1937 •} The fll")·n of h~mogeneous fluids through porous media

.

2. P. Forchhe:iJ:ner·; Hyoraulik. Hoofdstuk III._,1930

• • M -•-••- - -••• ... ••••c•--•-• •• •-•-•' H•---r•· .. ••••-••-••

3. G.J. ö.e Glee o

ovér

grondwaterst::-oming bij vr.ateront_trekking

-·---·-·--·"·--- door ciddel van p-atten. Del±'t. 1930( pbte't1tiaal

4. G-.H, v. Mourj.k Broekman en A.S. Buisman~ We't.ez-spmmingen ill. r

··- -·-.. ··-·---... ···-.... -... ···" ... ·-- -·-··-· -·-· dij ke 11 en d lhome n.

Ing. _1934. (modolmeting)

5.

J "J •. · Vo Deemter" Theoretische en numerielce behandolj_r.g ven

:---·- ... ·---- ... ... ontwaterings-- e.a :!.nfil tra~ie-s"vromj_ngspro

ble-r.men ~ · Staatsd.ruY-~erij 19500

~

..

.

!Y.•

D ~-~ .. GrundwasserströmunB• 1936 ~

7. Dz-o J. Versluys. De capillaire we.rkingen :t:n de °!Jode!l'l~ Amster-:-.. ·---·-·----····--- ... · ··· ... ·--·- ---... d am ~ 1916 • · · ·· · · .. · ·

~~~~delman •.. Over de bere):ening v-:1n Gt'~ndwaterstromin~ .. Diss,.

• ! Del:rt, 1947 (gestenc:;.ld} .... (rr.ethodo Croes) · ·

•

•

9 , 3.app?_:.:..~-~-:..:1_!~~-?.-.~~::-~~?rzee1,ve:. ..

l::~?. ..

~??.

·

~

5:

Geo-hydrologtsche

ge-stelàheid van àe

Wie-15"

_---·--

iS;vmbolért; ... , ...

---

--~-.. X: y. torizont.?le coÖrdinë."!;en. ~ '1cr-ticalc ccöra~naat. B 0 R D tijd.

')e.::1oJe. v.an · e.en ha.r~ónü=~~ne

beweging;· sJ_ j:nger·ti

jd.

·.-,,~1tsrä iop;te o ·

: lwc-~;-te van' het

e:nargio-::;pi1.~5el"D-::-e~éh~e o (ni"'!El8Uo

natte omtrek"

: d-;Yc•-:'.'[:}0:-rsne.è'B ( ::iat opp.) va!: ncn le:l..ch 11₅ ~ ·

·,, ..• ;;i..,.,,.,17 _{lp.J ... : . ..r. •1.. .• -.L} -ïsc,,.,~ _{· .... ~} .,,~ra"'l _{.i \J . W - - . , C •} _,:;i. r, _{V e}

: dj_ar:l~t~r vari ee:1 1

::nüslGi-cï.:i.c•5 tiet e;:..-ck.t;;~ v.. d oor;:mE'èe ..

.i.· : lent:te. 7&:'. ,Jè ... 1 li..:i".'::Lncç.

t:. : c;.: •. :c :itt;.;: va:: d.3

oneï'l'0nhe-<ler.. · 3ar1··ae lciding\'7~na ~

-v (..,,_;v:v,v~) ~ ~nelhe:d. van een ..

_,,. • .;J --.J_.oeistofry_eel-1::

:13 ..

ringe.rmear 1 Bijlage ~O, J "P. ?fazure, ~and sdruk~ceri j • 19 3'6 • ~bcnaa~rdnJe_berekening) 6 oppervlnkte~pannir..g •

0.

del.iet =h,,eveelheid

vloei-stof ~or tijdse6nh~YJrplaatst.

g_ : debiet per eenh~vn.11 breedte.

.1 -verhang ,:,,an I

n

leid

ins

of van

't ;iäzofil8t~jsch niveau.

c(

,i:

oorrectiecoëff ~ v\10.r

~ngelijk-r.1c.tigc: verdolir.t: .Jar .snelheid.

~e : geta:.. vo.n :1.o;~n,:J d '3 = v R c :

v ..

-f' •• ;:-~ . .. . . . .

rn,µ~

:-:-.~voercoei...: ... l.c:'.orn:.,

c : voortpl~ntinr::,~·sr,elhe::.a.

C: i, i coët-:_· • voor ,~,~ wri. jving o

g : versnell:.r.g -ran de

z,w:u-te-i:racht.

o : diahthrJüi·07soortel::..jke _:nassa=

I _{·· ~ssa ·00.r ei;.nh. v~.n Yolume.}

p : norma:è drul: :tn cl.e vloeistof.

~ : sc~uifspannins t.d.vloeistof.

n

~ viscositeitscoÖfflciênt.

Il 1 1 · ··--······-·····1 n lJJ..rr..A.U.li .L VA 1-= ... _ ... -r·---···--- i 1•

-

.

·

--:-~----

·

t

1 . . . i !! I. Inleiding.

II. Eigenscheppen van vloeistoffen.

III. ~athematisch~ •physische grondslage~.

Permanente (stntionnsiro) beweging:

ov_

O

n-

·

._... ____ .,,.... ___

.::::::===--

--=;;,,---=-=

--

=-1v

verandert

niet

i

van plàats tot 1

plaats: , l èv _ 0 l

os-·

i

Eenparige be

j

BûV'Te giri[ ~

-

Il

, : .

Rust: V =

0:

IV. &dros~atica ~ -Beweging: v

J

0

v.

Eenparig Bew. v verenèert wel

van plants tot plaats: Q:Y.. ~ 0 ès

r

Niei;

Eenparige

:seweging

. .

... ~~n

.

,

...

-

~

'--:'~•

==

u

Geleidelijk ver-,anderende v: 1 Quo.si cenparigo toc:3tand aoor de wrijving beheerst bv '-='-O·

Os

i"",, VI.Niet Eenp,Bg.w in opon leiding"'. VIII. Grondwaté'r

N:te't pormanente (golf-) beweging:

t /

0 IX. zec:•r geleidelijk veranderende v. tbasi permanent: ·bv,.._ ₀

At:-In korte tijd veranderende ·v. chtc ₉olven-:

..

-~;10-Op korte cfstand sterk vo~onderende Vo \?rij'ting is Q!'ld€rgeschikt •.

Q.! /.

o

Doorlaten.

··rrr.

bs

lvr~jc ~~t~rspie-igel loopt door.

l

Vrije watcr~pie·-·

gel loopt .niet

do.or.

Overlaten. Oponing&n.

':Ç_p~lichti!.l:g! .

De bowegjng is altijd ooh.tinu. D.w.zft dai: er geen sprongen in äe enol-haid ( v) voorkoma.n. St8-::.onnr-1ir wil zeggen, dnt wat op oe~ bepaald ogenblik geldt ook op oen l·ater tijdstip nog geldig isc · ·

~

= O wil dus zeggen àat de snelheid biet met de ~ijd (t) verar.d~t.

~:- =

O wil dus zeggen ~at de snelheid niet met èo. plaats {s) verandert.

s-is in de stroomrichting genomen. Dit geval komt exact genomen all6en maar voor in een rechte buis mGt overal dezelfde diameter.

Bij

~

~

0 is de W!'ijvjn_g zeer belnngrj jk:

t ((

iR-Ti.jving. Dit gl?va.1 èJoe-t zich voor als W?ter doOlt' Gen grondmcssiof stroomt" Oo1: bij ko:ialon waer do wrijving iangs bod.om en r,,,•:Grt, de tcgenwerkondo·· kracht i~, Z,,) kan in oen

kanattl ovor een afstana van l km zich, t.g,v~. wrijy_ing een energ1.c·vorli.es

voordoe.n ove;-,.enkomend mot 1 dm ëlaling van de vrijl:J wc.tu.rspi::;ol. De wrij• ving is o~ •eor bolang.r.ijk b1j stroming tus'3cn b:r~J.gpi~ers .. Bij O;i -korte

~fstana verandG.rende _{b(..w-s 6}ing is de va-ijvint> o.l'làcrgesöhikt; soms Z(;lf's

_gehe-e.i.~e. ve.rw=3.arloz~, -:~.) wrlj-vinl1·

Wc bcschot~1vc.m om ots àoGl °ti..: ·beruj_.kcn de 10·1;gevaJ.J.::3n van Gan willckou•-· rig watcrCco2.tjc o Dit W8tcrfü;rel tja kim een snelheid hebben, oen vor;;;melling

hebben en onac.r d.r.Q.k st:::ai.1. '

16b. Historisohq ao.nt_olcGrtingen.

---·

.

Enkele namci1 van onclûJ?ZO°okors :· In da Napolnontiech'3 ti~d br:st11d~0.rèon

Lnplace

(174q-1s27}

en Lagrnnge {173ó-181}) 1_{t golfvereohiJnsel. Do} theore-tische knnt wordt wel hy'1ronnmicn on èo :prnctischu ke.nt wal. t,..y-àraulic,:1 ga-!'loemd. Vooral Eiffol (1895) bracht de nero- en hydrodynamioa ver vooruit. In ë~,; jaren 1915-25 hcbbcp vooral J?.ranèltl f v. Kai1nt1.n- on lb.rgo.r.s do

-In de 18e Gn 19~ eeuw zijn er belangrijke onderzoekers geweest

op het terrein van de experimentele hydraulica: Chézy (1775), DArcy

(l-845) , Bazin (-1870.). Reynolds ontwikke).de ·Vo.oral .het. modelonderzoek.

Ee.n van de eersten, die zioh met de hyd.raul.1oa _bezighield was

Archimedes (.s72 -:- . 8l:2 v Chr. ) • Van hem i's bekend de wet o:ver

stil-staand water. P.l.iniua (

+

87 n· Chr. ) gaf· ·ons· de- eer5te formule

voor stromend wate.1:. (voor aquaduot'Qn).

Wil

he~ .water stroMen dan

moet het mi:nirmim verhang I = H : L

=

··1/5000 zijn. H

=

het verval. L De hydraulica ging pas ·goed vooruit doordat

:::;: Newton zijn w~t K = m.a had geformuleerd. Slechts

H · . · · ,.. enkole :formules in de hydraulica zijn afgeleid.

neq.uaduot Het merendeel is echter emp~sch, .d~w.z. op de

· · • · ervaring gegrondvest.. .

Het theoretische gedeelte van hydraulica ontstond pas in de- 19e

eeuw: de hydrodynamca. Eif~l was .hier·de grote ~an van. De

hydro-dynamica bentrijkt echter een bepGrkt gebied, zodat beoefening .· der hydraulica noodzakelijk bleof. Sinds 1880 heeft men het

expe-rimentele onderzoek sterk uitgebr~id en gesystemat~seerd.

17.

Dimensies en.eenheden.

De ir. eon forrr.ûle voorkomende te~men moeten allen een

gelij-ke dimensie hebbGn~ dus in eenzelfde eenheid kunnen worden

uitge-druld~ ~··· .

Elke grootheid kan vmrden ui:tgedrul:t in drie fundamentc'1e groot-h0den·.

·uier

Worden daartoe gekozen mass-a, lengte en tijd. . De c1:..h1~hsic Yan afgeleide gi.4ootheden

wordt aangegeven door hun

di!nensicfcrmules •

Uit mas~a m

lengte 1

tijd ~ leiden we af:

·1 oppervlak ; 1 2 1 inhoud . . . : 1 3 ·"·!

.

• (he+, per (het pe,r. f · 3 ... , weerstandsmoment ! 1 4. •-i traagheidsmornent ; 1ml. 2 . ~ .; · massa-traagheidsmomont i · sne).heid ;.~·1 1

tt:1 ··:

.

;

versnelling kracht ·

i

mlt-

2' "i druk₁· ·spanning.

!

·

'm1

-lt-2·--l a·e't>'iet

·

v

·x F _{1 ,t-1}

·!

.. : debiet ·p_or eenheid van ₂ _

1 ···1

. . . broodte . 1 t . .

!

~nntal ttassaoonh'ó>-dicht!leid of soortelij- : · Inl.

-3

,

:volumooenhcid). 1 ka massa i ..

aar:,t~ ·_ re.q~al;enr, hoe.lrnne_ll}~id

i

t·-~ _ ··!

tiJd..,cenheJ.d) • , soortelij~. gewicht I ml 2t 2.1

Voo= de eünheden van·de fundamontole grootheden kiezen we: massa ·~ de massa i.rnn 1 kilogralll (kg)

lengte :·1 meter (m) tijd : 1 seconde (sec)

H0t }1~_,:;1.~doo:c bGpaalde stel~el is het :iretor-ki} ogram--scconde-stcJ.sGl ~ nfgckort mks-stolscl of st0J.sGl van_Giorgi. Dit stelsel veràrini,; ~ l:et cgs-stelscl. V!annec~ nie:·G.9 2.nders is ·nr;ncld

wor-den alla ~oothocit::n · in d~ hyd::-aulica. ui tgcdrukt in de eonheden

van het ~Jes-stelsel.. · ·

Onze c,;cnhcdcn 1-ro.ràèn r.u:

~tr-acht

arbeid ml 2t-2

rrJ. 2t-3

-·., -3

- - - • - •·••····--····- - - - --·· ... ,, ...

-

... ,

, n~rs-stelscl I cgs-stol sol

·

..

.

.

.

.. ke;" ....

.

··

~ j··j 200.

··-i---·,··

·

··

gr

-

· ·

···-··

....

·-··· ..

:n 100 i .- cm ll.

(=On)=).

-

i~~ :

·

:;:c

Joule 10 7 erg Ylatt 10 7 , erg/sec

, __ /_3

..

,..-3: _/_ 7

s.

De eenheid van

kracht n het stelsel heet Nawton

bool N).

is de

kracht

die

aan

eid

.va

g

va

~ae

hetzelfde is, geelimineard.

O~k ku.."lnen we de NevrtoD ·definiëren

als de kracht waarmee de aarde een

massa

van

1/g kilogram, dus

ongeveer 0,102

kg aantrekt.

·

arbei

· een

e

on

verric

n

w6r

ver

e ee e

van wrmog~n

l kg m2 sec-3J.

m

seconde

(=

Door

.

~e

JouJ.e en de Watt wordt een nauwe aansluiting gevormd

tussen

de mechanische en do eleotrische grootheden.

De in de techniek nog gebruikte

z.g. technische (statische)

eenhedenatelsels

hebben een andere combinatie van fundamentele

grootheden

nl i

kracht., . lengte en

~1 jd. Als

eenheid van

kracht

wordt dan genomen het (veranderlijke) gewicht van

1

kilogram,

resp.

l gram, d.w~z. de kracht waarmed~ de

aarde

een

voo1-werp

met een

massa

van

1

kg,

resp. "l g.

aantrekt.

Deze stelsels zijn

voor

ae

hydraulica ongeschikt.

Men

moet stetJds met

machten

van 10

werken.

Men noemt:

tera (T)

16

3

_kilo

_{(K) 106 mega (I\1) 10}9 _{giga (G) 1012}

10-3

mill1

(m) 10-6 micro ( µ) · 10-9 nano ( n) 10-12 _{pici) (p'}

II. Eigenschapyen van vloeistoffe.p.

21. Druk

-L = O

io_.

~~½t~~:~:Hi~lli~~1~::1:

p

mend weter, waar·de

.

schuifspanning erg

klein.is.

De

druk

p

wordt beheerst.door

de

dièhtheid

p

en de zwaartek,i-aoltt

g. .

Iri .fig._ 211 ïs de waterkolom in

rust.

·

·ne

luo~td.ruk Lis

o,

indien

deze de

atmos-Ph

z

pherisohe

is. Bij luohtverdunningen wordt

L negatief, A ontetaat door de

zwaarte-kracht. Na.

·

1s

g =

kracht per eenheid van màssà

p

=

massa per eenheid van volume

pg. kraoht

per' eenheid ;

.

van volume

A

=

p.g.z.dF~ ·., .

fig.

₂₁₁

pg=

soortelijk g_ew.

·r.

Men schrijft dit

echter liever niet.

Er

is evenwicht, dus geldt:

A

=

p

.g~z

.c:IF--= p.dF ·,

1

i

P:;:

f•g.z.

-··

p is_

ae

normale

dr'l.lk

en z

noemt men de dru-Jth-00.gte_,_

Oot: 36.h.ri

j:rt-i

:men wel:

_P. --.. ·-- .. .. .

2o. Groott,; van

9

en~

-

1

J'

=pg·]

['_

n.ooh g zijn- constant.

g

verand~rt

van

piaa S

tot

plaats

en vru:iëor~ op één

-

plaats

bo-vendit}n

al~

men

·

.zlch van

de

aàJ."ilC a.f' bevreeet

of

ar·

dieper

ingaat.

aequator:

g =

9,7B·nvsec 2 pool: g

=

9,83 n/eeo 2 (Ned.: g·= 9;813)

/J :;; voor :;edistilleerd

water

van

4

°

C.

1000

kg/m3.

JJ var-J.ëert

met

·

7,

b. Voor zuiver water is:

De dichtheid neemt toe met de hoé'treelheid opgelostè stoffe·n { zou.ten) In''normaal"water van de oceanen zijn o.a. opgelost:

it•

-r-

-

t~

-

.;-

r

~I:~i

}~~=F=~:~~·-1=~¾t:~

!

};~t-~i=➔

_

De di~hth~id van dit water ·bij O tot 8--u- C is. ongeveër

1027

kg/m~. Het water van de randzeeën, dus ook ve.n de Noordzee bevat min-d~r zouten en hee~ dus ook een gering~re dichtheid.

In de hydraulica heeft men altijd ong~distilleerd water, waarin gassen en zouten zijn opgel9st. De gassen verkleinen de

p,

maar hun invloed is ~iterst gering.

Men zou verwachten, dat de dichtheid van oceaanwater 1033 ,.9 is. Ze is ech4~r 1027. De oorzaak is te vinden in het verder uit elkaar staan der watermoleculen.

p

Dode Zes 1200 neemt nog steeds toe

p

Noordiee l024

.P

Wadd~nzee 1008-1023

JJ IJmuiëlen· bui ten de sluizen 1015. rloek van Holland 1016 kg/m3 In de Nieuwe Waterweg heeft men op verschillende diepten verschillende dichtheden. De Rotterdamse drinkwaterv~orziening heeft hier soms last van. De kwestie van de dichtheid is zeer belangrijk.Opmcrkingz water waarin zouten zijn opgelost l~vert

vriespuntdaling op van -ong. 2

à

3o

c.

2) een

~o. Wet van Pascal.

$

De

d.rÛk in een punt is onafhankelijk van de ri~hting ~n

het 'Vlalè, waarop- de druk (als no:tmale druk) wordt uitgeoefend. Is vloeistofdeeltje OXYZ(fig. 213) in rust, dan zijn de er-op werkenae krachten 1n·even-wicht. In de X-richting: p p.6XYZ. cos et = °Px•60YZ

Daar

is·

l\OYX = 6XYZ.cos <I.

r

p =

Gewicht van· het deeltje moet voor oneindig kleine afmetin-. gen worden verwaarloosd ( ·ooklein de derde orde). Eveneens de

versnelling indien het deeltje

van

0 beweegt. Evënzo is: '

fig.2I3.

1

P

=

Py = Pz

=·

Px (wet vnn Pascal) ( Eventuele schuifspanningen, die

alleen aanV':ezig zijn al~ de vloeistof stroomt, zijn klein tep opzicht~ v&n·de normale drukken (1 : 1000). De wot van Pas-cal eldt diente evol e met zeer nauwxe · e be a e

voor v oeistoffen in beweging. In een stilstaanae vloeistof is de druk op een diepte h:

p =

pgb.

De druk is gekenmerkt door de zg. drukhoogto:

t

h =

p/pg

l

..

/1

/.

Het niveau op drlàlhöogte boven het bes·ohouwde punt gelegen heet drukniveau~

Het

vlak dat op elk punt

de

hoogte bezit van het

· druk-niveau

is

Eet <Ü'ukvlak. Evenzo kan boven een reeks

punten

in de vloeistofmBssa (~,v. boven een kanaal of een buis) een druk-lijn (drukkingsdruk-lijnJ piëzometrische druk-lijn)

worden

gedefiniëerd.

Een eventuele helling van deze lijn, het drukverhang {piözometrieeh verhang) wordt in da regel aangegeven door

I

{inclination). In

Amerika heeft de Oom. of Hydraulice sinds 1942 de letter S <-slop&) ·

ingevoerd.

21a .Dichtheid.

Reeds werd hierboven i.v.m. de Wet.van

Pascal

ingegaan op de dichtheid. p bleek afhankeli "k van de tem • dà hoeveelheid o e-loste stoffen en gassen. p J oo nog· a a e e z Jn van

de hoeveelheid bijmengsel zoals klei, zand, enz. Hier is dus geen

sprake van een oplossing maar van een twee phasen-systoem. Zo'n

suspensie gedraagt zich in bepaalde opzichten toch

ais

een vloeistof, o.a. wat betreft de dichtheid p.

Als voorbeeld diene een s:puitleiding. BOpaalde hoeveelheden wa-ter en zand worden_ door een buis geperst. b.v.:

.. - _/ 3 1000 kg wator ••.••.• p - 1000 k5"m ••••..• inh. 400" zand ••••••• p

=

2650 " ••••••• inh. 1400 kg totaal . . . . inh. n

~

1400

=

l 22 x 10'3- k-1m3 r mengsel·

r,,:;

'

·

19 '

=

1,00 m

3

=

0,15 it

=

1,15 m

3

(400:2650)

Om

ván dit mengsel een lm hoge kolom.met lm2 doorsnede te clregen

is nodig: 1,22 x 103 x 9,81 x l

=

112 x 104 Nm-2

Men moet de vloeistof echter in beweging houden anders bezinkt het zand.

Om

tot een beter bogrip van de dichtheid te komen gaan we hier in op de rol, die de intermoleculaire krachten spelen __ in een vloei-stofmassa. Dat vaste· .. stoffen een grotere dicfrEheid bezitten dnn vloeistoffen en doze weer een grotere dichtheid dan gassen is zon-der meer a1s·een gevolg van bovenvermelde krachten te begrijpen.

Deze aantr~kkendo krochton·worden Gohter tagengeworkt door: a. hot "eifen volume" der vloeistof on ·

D. de warm obeweging·dor colcoulon~ In rar.23,over de inwendige

wrij-? - · ving of viscositeit ₁ komen we

· · hier op torug.

Deze tegenstrijdige factoren bereiken een zeker evenwicht. Dit evën-wicht is evenwel afhnnkelijk van nog andaro -uitwendige- factoren: c. van de te~crntuur ... Voor de .invloed van do temp. op IJ zie

par

.

..,2·1.

d •. van de ui endigo

druk.

Hiervan is de waarde van hot evenwièht

· · slochta weinig afh~nkel1jk •. V9-qr de

oom-. pressibilitoit verwijzen we naar paT.2~.

We mootan·de dichtheid van een vloeistof dus zien als e€n toe-~~and van evenwicht. We spreken den ook van een dichtheid ~ls van een Bvemvichtsdichtheid.

22. Oppervlaktespanning.

De boven besproken interrr.aleculaire krflohten spelen niet alleen een rol bij het bereiken van een bepallde evenwiclrt;sdichtheid, maar zijn ook nog oorzaak van een tweede verschijnsel: de oppervlakte-spanning <1.

lo. Definitie: f1 al~ P-~~rgie ~er oppervlakte-eenh~id.

De interm. krachten nemen snel met toenemende afstand af. Men stelt het daarom wel eens zo voor dat zij binnen een bolletje met straal reen vaste wa~rde bezitten en direot daarbuiten nul zijn.

. vin

ï;

eon

mQlecu'll'l· z . ·met ·zi·jn

wlf1!§Tlçings;rpheer"·

•binna·n ...

a-e

..;vloei-S•tof dan verkeert :ae;; --me➔.-l:-eOUl,13:--:i:n •evenw=l-eh'v-.--Wo~d t •in:Pl'i vmE1teeMUl'- ·

naar het ~,loeistofoppervlak gebracht dan ::tre'&d,'if-·een-kepje-van-de-·

1_{twcrkingsbol" bui ten de vloeistof}

in·

_{'dê··1.uëht'.·}

_,

_~aar

_{heerst een}

anae-re interm. werking, zodat er een anae-resteanae-re·nde kra~ht ~ op het be- -G schouwd·e molecuul o,rerbliJft. Uit de ver-:

'

houdin6 tussen de:: oppórvloktcspenning on·~

-~..fill;;;;;;_~ch...,t _ _ ....,....,,._-::_,,;:i,,i,.1,1;;;·.·.;_-_,_"""::_:''-:-+ .. - - - de vcrë:empingswnrmte !bij h~t koQlcpunt

~~

t;8

µ.9_

· :;- · 2r

volgt

een t;;rootte voor r =1 + 1 Ä. Da aan- '

, trekker.de ~achten tussen de moleculen

be-• 1

\ ' perken zich aus t0t-·ae directe buren. ·'

'

R

-;!

0 Uit he.t bovenstaande is duidelijk dat ·.:-:\;::~- er rirbeid 'verricht ;wordt als eon molecuul·

R ~ · O uit het inwendif;G van een vlóeistof naar . de cppervlaktc wordt gebrncht. In llet

op-pervlak viijde~_we_oc _door_hct molecuul verricht-tG arbeid ten.g- als een vermeerdering van het nrb9:Ld svGrmogen von P,leRts. Doord nt aan

de· o:!:)per:vl2kte de moleculen een hogerl:3 po·tentielc anergie bezitten /

dan j_n he·G inwGndigG knnnen WG hot vlociqtofopporylalr beschouwGn

nls de zetel der potentiÖlo cncr

₂

i9.

!noen

toestond vDn evenwicht

is

deze::

GÇp

ILiniu;um;

imrpGr:3 wordt cloor een of f'ndere oorzaak

f

.

~

-

t

oppcr~,1~k e..rotcr aan is hiervoor oen hoeveelheid enorgio nodi5

ovon-rcdig met de vcrgrotin3 van he·G oppervlr,k Voorbeelden:

v-rinà.--601 ven; zwarirtokrnc:i.t en Ju chtwri jving-v.:ülendc regenè.ruppels'; Ddhfü'sic. (aar. v~etc i:toffr3n), die àikvrijls groter is dan

~-ccspil::toi-r-.: wer:tcinc r_par. 22a) ·-,

por d' kunnen wc dus dcfini.Ö.rErn els: DG energio

m 1 2 t -2

·-,z-

"-

~

..

1 - ; ~ - t;" -lu:

eA·•

t-.

AA

2o. Dcfinitié: C1 eis tan5ontiÖle kracht por len5te-eonbgid ,.:·:. "In ào hydraulica wêrken wo

het

liefst

rnt t C1 els·· tansenti.6).e:

kracht per eenheid

van·1en'gl;e-·vän~nët-sêhêidingsvlak

tusson ·twee

marl.ia. Mocst~l water-lucht.

Dat cr als zodanig mag worden opgevat moge blijKen uit hot

volgen-de. We beschouwen een vloeistofvlics i:1 ee_l)_ dra_adJ:aarupje met

d~n

ver-schui::.'b~ar stijf' S1i~afj~.(zie_fig.) c--:s:ti-3if ataaff&·.

De ,.,looistof è~zit ~n d'..L.t gcvnl een _ _ .... !_l!r.'.~T"'l"'l'~T'?"'r-r-r.,....~ relatiCl..f. zeer groot oppervlak: ~ · · 1 , 1

gro~c ":liozon a~~-:vec~szijdc van 'n 2P '·1111 klein volume. Di 1, ;-corr.·li door de groto

adha•::si.e aan l:ct è.11aaära2mpjo on het

staafje. Gcz~_-en dc:.e adhceeic

geven

2 vlakke vliezen hGt kleinste.

oppor-~aJc (m0t i:iP.tchtner-:in;; der. !Jegrcn-zingcn). 1) ~~

a

Versehuive~ we het sta.afjo, lan3

a

·

m, naa~ lirJcs

over GOn

nf-st:frnd b rn, den vii.--:erote~1 we :iet oppsrvl~k -:,nn·- 0._én Ylics n~t nJ:> ;rr.,2 •

:JG e~.?::::· ietoename is d\.1.s er x ~b ~m.,10. Dé e~err.;iotoename worclt

vor-cor.zaa 1i 01r \ va.ti.gen ·ie c ::r.ree:ht op één vlie~), <7J~.-- een srbei_g__

y

.

~E;'l.~~\i.it~}

.

pi_J~

eo~1 ___

?

x ....

P.

.

c

.

i!:9.~~~·

Yolgenc clG wet v·n~ net

enorgiobe-noud S•?:l-u·:;; :x: b ::: Cf .x a.u n.1.··

1.Ü.tr.~nsi0:

~l"'

1

it

2

Î :::

f

m t-~

·

;·l

7-- ~ J

r;.a. w.: Jn iGdcre rrenslnog tus~:;!: tv,01~ ~iddcnstoti'en w.:irkt con

tli!'."=·:enc:Le ... g ~::.:--lcln; .P _gcl3. ,~t P.8!°J cie o t)or .. ,la.~tas nnn:i.ni:r d mnal

ao

· e: E>G- eiä1.!'lgf1 .. 1 Jn vmcrop _ w:;rkt - ··- - - - ---·"--·---' 1) Een opp, dot vol.c:!..:iet a2!1 éle voorwenrrJe:

J..1î<

₁ + l/R2

=

0 heet een

-,0

0 a en ae .no:r.ir.a.1.e aru.1t op een vioeis"to:fmassa._

9

.

Denken ïl e ons in eèn vlak· vio eistofopt;,enJ.nk een \·1illekèt1rig-gesloten - lijn getrokken, dan ·zal het dcel·bu.iten deze"11:jn óp het ingeslótën deél van het oppervlak .krachten uitoefenen en omgekee1:d~ Fen vloeistofoppervlak geàraagt ·z~éh d~s a;~ een~ •

gespannen vlies. Is dit vlak dan houden de ·op he~

ingesloten deel ~\'erkend e ·kracht""én elkti4r "in· ·· evenwioht. Is -eo1'1ter het oppervlak gebr gen-·aan ·· :-·wordt er op de ondei'gelegèn vloeiêtofmasi:i"a ëen· no'f'nlaie aru.k N u.itgeoefen~, die aoor ~e vloei~ stofmassa worat·opgeheven;

··nenkèn we ons eên vJ:oeistofmassn met een cy7.ir.:.driscn gebogen

bovenvlak., ·we beschouwen één rechthoekig gcd eel

te-

·vàn ... è. i t · öpper-vlnku Het ·wordt begrens~ door twee ·beschrijvena~·1ij~en lang è~

( doo::- de naburige pnnten A én B) -er twëe bog~n lang ab ( gelegen . in tw ee vlakken loodrecht op d è n~ 11 ä.ll è! e oylin<l er). Op déze bé.:.. ·

grenzingen werkt de· oppervlakt ·_ spanning. Per lengte-eenhe:1.d

groot:cr-A

Uit· gelijkv.À volgt:

AB:

N ~

R : P

als

In. de 1ëngtel:'ichting he:ffen de" krachten elkaar

op"

De kraëhten

!.1• P op ae-·:-:eohte ~ijdén _geven de~ . • resul.ta.nte ·N~· .:\.~s do - . ds x db;

I !iët opi5~1·flak"van 1Je-t ·:rech"!ihöC,,:..

idg c:r11.nderelemenc is., dan 1s:

dus

· noor äe invoering ~:an de

1)

Kromtestraal

ars

algeb~ai~cce .

grootheid kunnen wé in een bepäa1ó punt van. een ·wille·):ou..rig

g0'bogër1

oppervlak àe normale druk per oppervlakte-eenheid (n; o~palên.

"l)aar-toe gaan we op dezel:fe!e wijze

te

-werk als bij het cylinderopp. wê·.

gaan dus uit van een"door krómtëlijnen begrensd gedeelte van het op-· pervlak. Via een limietbeschouwing vinden we~

• ( l . l

.

.

=

~

i

₁

+

i

₂

l

waarin R₁ en R, · rle hcofdkrötirtestralen

zi.

n

iu het öèsohouwde

punt.

-· Bij een ·aruppsl

van

vloeistof á

r~sp~

lüchtbel,

zwev~dd

tn

vloeistof b is de normale· d:ru.k per ··opp" eenh.;. n op vloeistof a resp. d-e.luohtoverdruk gelijk aan 2<r!

a.

Immers R₁ a .R

2 ~ R. 4o. 6en kleine golfjes.

Het ontstaan ~ah kleine g~lfjes in een-·vlakke vloeistofspiegel a gaat ·

gëpaard ·met sterke

oppervläkteye:rgro-t -tr-: _{- •.l..t_;} 00 ''r,:,. -_{\ u} ~) De o=,p· c,y,an""-1 ng za.·1

C.... ... _, t:' ~ ~ ,:1 ".1... ....

~iëh di.H.3 met j e -·!!:w~art-ski·ao ~!"t hierte--·

gen ve'!.•zctten 'cn··-tracnten

·

ae

vloc:f ..• ·· stofspiegoI zc·gläà moge1~jk

to

trek-kèn. 1_{roö~al: bï~ 7clt.'ine}

J olf es J Zç;a.l

t- · v äo kleiné k:r.::>mtestraal ee~t ste:c:,:u· norma .... e ;..1:'~1. . o 0J.v0ndé .,, ·ei1tc:"f.jassa ,.·,o±d(-m u.it· '.:CLof~nd" n·t!'ác. 't- q.s opp ... , ··vlaK: c

rllk-ken "tCJt a" Im?!'e:rs n =··_d" ,·1/Jf

·

+

I/R ) ·/-·H0ë··1creinef· -..

r

en R -·ho~

gro-ter n., · De opp~· spa~1~'ing-·zh1 bij· ~ulke kle:tii'e·-golfjes

eGn

f'Vén-grote rol spelen als de zwna:ctckraoht -~ In het al,eiieen is de krêm

-test:taa.l ·ciu.3 eeri cafd; voor d

cf

weerstähd te en

h

e ·

o

tred

en van

k!'ëi-ne

6olveri,.,

~ L"'t is-·6 ~;s een b epaé.ld e -wiridsh0J.hciä nc:d _g , ~f-överwin= ning

v.do

opp.spanoJ voor he~ ontstaan van deze zgn~ capLllaire gol-ven.

5o. Grootte vnn O'.

he eedte van het dus in newtons er

m. De

wordt

altijd opgegeven tussen wee

me

e:

· :S·

=

0.073 kg sec-2

=

Nm-1 water-lucht <J water-olie <J water-kwik <J lucht-oiie 6 lucht:-kwik <J olie-kwik

=

0,021

=

0,4

C 0,033

·=

o,s

=

0,3

een-Onder werking van de oppervlaktespanning willen de

vloeistof-q,ruppels

een bolvorm aannemen. Door de wrijving krijgen ze echter

een stroomlijnvorm.

De oppervlaktespanning veroorzaakt: 1. druppels

2. samenvoeging van druppels

3.

bolvormige luchtbellen

. 4. zeepvliezen

Ook luchtbellen in de vloeistof'~emen de bolvorm aan. De druk

in de luchtbël en de oppervlaktesparining moeten dan evenwicht rtet elkaar maken:

p.nr

2

=

e1.2Tir p

=

,?_c! N m-2

... _:.... ~ \' r r ~

Hoe kleiner dus de straal hoe groter de druk. Door de hoge spanningen zijn de kleine luchtbelletjes keihard en kunnen

stuk-jes uit een stalen wand slaan (cavitatie).

; - l ···r··· ... ;-.. ··. ··· ... ··· ... : ... ... . ... ···-...

3··

··:'··· .. ··· ·

-

··· ... . . ··· ... ·

-··· ... '

i.!_

j

i:i,6

j

14,6

I

~~E!~~~:o3

1:

~.~~~

..

~.:.?.

...

J .... Îi ...

:.4.~

..

~.~~

·

~·

·

··~

·

..

o~~

.. •

~~

j

1

r·

i105 µ 1104

P.!

10- µ \1~0 µ 10 µ , 1 µ . ·•1 - - - • - - · - - · · · - • · · - · · · .. -···...._---J...__ --·-····-····-·-··· ... ,_ , .. ···-··-·· ... ·-··· -· .... ---·· ... ···"

Bij een zéepbel (bellenblazen)

hebben we: · -·2 p. 1tr c: 20' • 2'1Q:' p

=

.1E,

N m-2

r

20' - 20"

'

'

Men kan ook

3

media bij elkaar hebben, bv. lucht-olie-water. De

'3

krachten trachten evenwicht te rr.aken. Dj_t is echter in dit

voor-geelê

onmogelijk,

want·

0,073,

o.o,~

+ 0,021

De olie zal dus uitvloeien. Is echter geen van de

3

krachten groter dan de som van de 2 anderen, dan kan men de hoeken

waar-bij evenwicht is, berek0nen uit: o-ab 0"

80 . en O'ao

sin<pb

<pa + q>b O' ab

=

S1ncp C + cp

=

21t C

Van de eigenschap dat de olie zal uit-vloeien maakt men gebruik orr. golven

"04 ,to ... :vJ..akken. ~ie onderstaande fi5.)

cr ---O"cr

cpb··-~-1e Capillaire werking.

Langs een vaste

11..

"••

fig. 22.1 C r5 ab ...,be kv11ik ll. 2 ~w-i.cht als: ~ac ~ 6_bc~cos

«

Is O' a'1 g.rote.r unn d' ac dan gaat de

vloei-r;to:t· hol tet;en de Y,~:cJ staan. Is u ao r;ro·~e.r dan O"ab dan een bolle rr.aniscus. De ~:ro~J:ü ng wcrd-i.; 1:leir::).!' naarn:ate de

afstaril ~;an dJ wanden groter is. De hoek

C( tL1sse11 do ras.kl i n aan è.e r.1eniscus en

à.e wanö kan men

l.J

nauwe nu.:i.-zen 0 steJ.lP.n.

water.- _{~.w:::w.rtokrac:--rt en 6pp"sparm1ng}

n:e-t e:i.~•:aa.r .in ..:)VS~micht ;

cos rÁ -··

+t

(water) cos~ - - 1· (kwik)

h ia d0 wnniclae:i..ae hoogte., ?-.:en noemt rh de cnpillait'e constante: '

20' ,.,

rh

-=

+ ·

·

-

=

+

a'· ( .. .,oor n':l.U'.iC

- p.g

-

buizen) watcr--lucht is r\2 -:: 15 ir.m2(8

l i ~ )

=

-

l u-:- l mm C _ lnn · O,OliT.m )

=

1 _1

:5

mm 1 , 5 er.; 15 . cm l 1

5

m ) f~ormu..i.~-i:--... __ e-::-i~~---~~-~~;;..;..-....;;..;;.;;,,...;;..;_...i..::~.;,,.;.---r~~;.;.;;.~~;...;+~~~.;.;,;;:~;;..;..:;;., c nea"'t'-.:~i.··

1)

- ;;.,;..-~---'~=..;;;.i..~~,_.;.;;.;;.;;....;..;;;;.;;;...;..;;..;;;.,,.~..;;;.:;..;;._.;;;...;;;.~..;:;.;;;;..;.-:;~...;.;;;;;;..;;....,;.:;;,;.;;.;~.::.;;,;;.;;._..;;.,;.~--e m;;.,;..-~---'~=..;;;.i..~~,_.;.;;.;;.;;....;..;;;;.;;;...;..;;..;;;.,,.~..;;;.:;..;;._.;;;...;;;.~..;:;.;;;;..;.-:;~...;.;;;;;;..;;....,;.:;;,;.;;.;~.::.;;,;;.;;._..;;.,;.~--en~~

-

-__

,,_

__

.lie capillaire 01;s ti jging iH . van beln11g voor de m6e.tteoruti:ek

• van Ymterhoogten,. ~îog telane;rijker i:J hij voor· de beweging van

he-t ~oncJwater ·

<1 C'" net vrnter in àe peilbuis ~al slechts to't

he·t O••vlnk korr.eri ( phreatisch n1 veau).

6

·· ;_'lpë Men kan dus t101:. heël eind onder de werke-lijke wa:terspicge:_ terecht

komen

.sls rr..en

d:;: stijghoogte :Ln de peilbuis aar..houdt~

De capj_llau-o opst~ .• lging kan zelfs in

0. i " -'oor ,er ~,-_ ,.·-,,

fi

➔ nvsrdee:.L<Je .:rond enii:;e :"':Oters be.d.ra-en.

·,-r1 v.,.,.,. o>"\z-ich .... o·-- i·"'" ·e,,. .+,,,,.se:• ... c .... ""illa· ·

..i,,,l,., W.,L.'llliJ .J:' ..._ · "-.J ~.L!. ..; 1. '-V~~ V.a..a. :;.._'-;'

~~~~~~~/.,A~,, en gro~"ld,-watr,r t3<.le:n ve:r::ch:Ll.; ze stroomt

., __ • bv. c2pi11,.:.1r ,,.•ai,:':lr .mat tie·L t7otdl\'!")-J;ur· 1;:iee.

!1e t C!J~1:i.ll<tir!1:i. ~T()[:"U ~v·arlno-r;t niG ~ ror.;el-..

-~t.1.' I' ,-i nr.~- ,-::.. ,:,·1.-l~.•· .. •,i' ,.·h.:.,-i r-; '-1an ... ~,r•o o-elmatig-,, • ..:, CJ """~,.,.,..._ ,_\'-\ ' ... , ~- , • - - _...,"" • V - l ·1

-neder_-.i - _-• •) _{·" v} .. s,., _. .J r - .. -:•·•~·J\,;1d· .L~ o I·I'·'"t ... ., w•.,t """ ..., ·r -u-,Jo ~+--: "'O't

tot-ö.nt <lE- ~Q:-orr;te::-it.:caa~. zo ,/.i."'oct is ast e.r.

evenwici:·:: :Ls, Cui_ülla:u: WTtC..!' 3a us il:::nJ_t u~_tt.t'<:;:Jeno J·:Tcn i19,:;f·c é!.r'...L'Glletcrs

gu-12.

'

Be

en

zwAar-e r-ac o"Op.s-Panning on er en oven,\fig. n 4 .

. .

ft

e

tklei)

?'ifi~tî'fiittg~ ~äf"st~.~ïd i,ar ·,~oMdt!eli,je s is.-afb~.r..:~eli jk van·

hu1'f~ë,t'oBtttr:·~a-d:fäftiête~ -v-&n-·~e-..,gronddeol tjea is d::ln t:iclf bij

bcné'.è.er:..ng eirenrecïig r:1et r, aus: ·· •

2 ? -e ~ - ? · · 6 2 h = ~ :::

T

we.ar::..n a, · == 50.10- .JIJ , . Ht-À:

,~-·-·--···a·--=·--··

,~~ct.~~!~.,.~~i~~µ····-r

10µ •, lµ

~~

' ! ···-·--··-·-"···· ···-···-···· ... ···-~·-·-·;:..···--- ·-··· ·t··-··· ... -...

--t

~

...

.

....

.. ·•

•-···

.: ···- . ...

...

. :

; • 1 ï h :.:: 0 5 r-.,... ' ..., C'"" ' O ~ T"' ' 5 m 1 50 -.J"' -r•,rrt'tlJJ= , --··"' i .,,, •• , ~ ,.,,,, ... , : , = " - ' . ! ~

i

! - - - ' ' --·-···.L·-·· ... _ ... _. ··-·· ... ··--- . .:

In duinzanCÄ is de op~tj_jging ong. 30 cr.1. In een dijk van

, 2 ·,. · ·-6 2 ~!l

a

==· 15

.J..~ç-~m

+ {;

3:

d I • · - _____ tlla,.._ - - • -·

-; i

6 · IJ. - 2 µ : sloef

!

····-···-···-· ··-··· ... ···-···-···i

: ·-···

··

···~? ..

l.l·~··~·~:.~:~ _

__j

..

klei i::: d.o sti~igho·ogte enige n~etors. 3en c.9pillaire qpotijgint; '· -. .., ... .

van

::o

.r:-. krur:t tCh't·3!' nooit vcor, "'doordat in grondsoo!'-'lien met :poriën• yan c,î =

1~

do sti.jg~1Q,ogt;3 door scheuren worrJt~ l:>eprü\l·d. ·

~ J •

23.

Viseo:siteit. 'f in3)lamse stoffen Yer:fstoffen • i . -_ _ _ _ _ _

iv

---

•

· iJec.le t~itseotificiint V~

•

• ~•-:huivc

J.!.::n 1_·,J·3T, echtclr uok _{7.'e1~·)11i113}

.ocl.:ë.sr: "et r.](, ;:.wa:::.J:1.ekraohi;, dia

c0n

ve=~ndering

-an

an dicht~cid

·ïe:r;)or:.:;9ak-'.:; ~ D2a::o::1 h8cf·t, ~1~Gn

in-G0"1os:rd tlL kinema tische visc:.osi~

.. • • -i•kiJ\fH,1:J.t:i,.s<-h want in de

chmensj.ef-o'.Nlu.le kom.t ,de

~D~e:._v1.:.:;:s~c~o~s~1~t~e~1~t;...:::.;:;:::;:..:._:=::....;::;.:::....::.=-v.~l~o~e~i=-=-st~o~f=-w~0_{~,~=~~-;:,-:.:.-=-•t.w· • zo}

vi en we voor

zoe

~

, T0

c

=

-0

6

Tio

0,

l

20° 30° 100°<, . . . -...

J

j_~

__

v_1_~-=~~-~+~!~~-J_1.~1

1

1,01

o,a1

o,:;

_Jx

10-

m-

-~~-Dor o lossi or vero · · do

vis

e

.

e: • J o ie spe_ en ·soor en emp·.

-ke

rollen. Voor

lucht is, door de klej_ne àiohtheid, v groter- dan

bij watèr. Olie hee.ft een "reel grotere viscositeit. Gassen

heb-ben

een 1eer hoge visoosi tei t •..

Voor een

t~m~.

van 10°0 1~:

v olis

=

(0,04 tot 20) x 10-3 m2

seo-

1 (afh. v.d.

soort)

Vlucht= 1,3

x

10-S

m

2 se~-l

l{orma&l

geldt ·-1oor lucht v = + 10-

5

m2 scc-1 • H1erui

i · ·

blijkt, .dat bi temn.verho

in

de 'vvän luoh·~ sti'

t. In

tcgeü--stelling tot luoh nee.rot v b!j water .. af met de :,tijging de~·

-temp. l:hjolie.in nog ~terkerG mate.

_.

Normaal geldt voor -olie:

v

_e;:·:!

·0,01 m2 seo-1 c: : , 100 ~tokes.

Men kan

de

viscositeit :proefondervindelijk

bepalen

door

de

vloeistof te brengen tussen twee oylinders, 'waarvan er een met

de snelheid v

ronddraait en de

ander stilstaat •.

De snelheid

van de vloei.stof variëer-i.; dan .van Ç) tot v, zodat:

en de viscositeit gemakkelijk te benalen

is.

- In èe hyd.rnulicn speelt è:e viscositeit

(imvcndige

Vn:'ijvihg of

taaiheid van vloeistoffen) ee_n _b~langrijke rol~ Bij è·e eon;parige bewe 1 is zi zelfs het·hoofdverschi ·osel.

ot beter grip van e viscosi ei geven we hier de heersende kinetische verklaring. ~et

zijn

ae reeds in

par. 21a

vermelde

warmte-bewe in en der moleculen waé'.rdocr dez_e tussen elkaar ber enzende ·

v1 oeistofla en worden ui tr•ewisseld. Hierbij omen moleculen met een

k

sinere longi ina e impu s mv) in een laag met grotere longitu-.

ciintllé imP'.11~ {mv2) G:'.1 omgek-aerd •1 Danrdoor vertraging₁ resp.

ver-sne1lins. De viscositeit wordt aldus beschouwd een ttrEmsversP.l~

d1ffasie van een longi tudine.le impuls".

Dij vloeistoffen geschiedt de overdracht van impuls door li-chamelijke overdracht der moleculen en vooral d.m.v. intermoleculai-re krachten en bo~singen tussen naburige moleculen. Bij gassen

al-leen a.~.v. lichcmelijke overdracht. Hieruit volgt dat bi~

s~ijgen-de temperatuur de viscositeit bij gasser. toG- en bij vioe~stof en afnee,:nt. Immers bi 4 sti ·7snc:.c ter,, erotuu Wt1rèen in -.,J.oc_:ï_::;tcif:tc!" de

~ st~nden tussen de moleculen r• oter r:r- otere ,,ri ·e i.

de afst~na ê!io dool' .s0n molscuul ·1wrat af"•·cle '.""d -l, s

vo t3enë:e o· s1.ngen • 24. Samendruk·oai::'..rheiè.

In dG hydrnu.lice. be.pe.rl<t men __ zi~h• tot 't cvenwj_cht en de b~Ha.ging von ons8mendrul~Oere vlc~ istu:t'i'cn. De

a

ichlïhciè p i.s dus constont. Slechts in twee ··evc.llcn moet men .,..ekenin"•' houden met c1e oom

:ressi-bili tei t nl. bi i lor.r·•i tudin,'.ÜG ,:-·ol von wctersla/'7 en voort lont

oo

van geluid en è!j_erye ocennen. .

Trien ken niet zo.:ils

bij

vaste stoflE.n eon elasticiteitsmodulus

E

en een ccntr~ctic:-vcrli·-:)1..lding µ aefiniëren. Alleen, komt in aanmerking 'n c-onsercesit!;loaulus K. Deze heeft c"!ezelfde d-:..m~-:nsi.c F.!ls E.

--- . --- --

.,,

1

14.

Bij alzijdige samendrultking van een ·volumeëenheia van een vaste

stof wordt het nieuwe volume (met verwafil'lozing van de hogere mach-ten van c):

V'

= ~l - e; + 2µc~3 = ~l - c (1 2µ)~3 fig. 241.

l

B

Bij fig. 2"41 t.g.v. (J z AB: e korter

t.g.v.

(J _{AB: µ.e:} langer

X

t.g.v. (J _AB: µe langer

y

Als <Jx =_<Jy =

crz

=

cr

dan wordt V' (nieuwe volume) als uitgedrukt in neven-staande afleiding. V' = 1 - 3c (1 2µ) = 1 3 (1 _ O'

rrv

V' - 1 -

[L

w3nt

X:

-av-- V -av--

~v

,J.,J:: !:

f

..c "'

~ - • -v, M.

-r-" '".:

• K = B

. •

3 ( 1 - 2µ)

(J 2µ) E'

Voorµ~

1/3

wordt

K =

E.

Voor vaste

stof-fen wijkt dus K niet veel af van

E.

Men k~n vloeistoffen slechts

samen-drukken door, zonls in

ht

voorbeeld met

vaste stoffen door een alzijdige dru:ic uit te oefenen. Voor w8ter is:

K = 2.109 N m- 2

De~~ voor staal K van de orde van erootte

is '\"an: '

200.109 N

m-

2

is water plm. 100 x me~r samendrukbaar dan staal. Vergeleken met gassen is water plm. 10-4 x zoveel samendrukbaar.

Opmerking: longitudinnle golven plnnten zich in ·water voort met een snelheid:

150 III. · Iviathema·t;isch - physische srondslagen.

}l

Doel.

We gaan na de verandering van drulc

op,

en plaats (snelheid, versnelling) vàn een elementair vloeistofdeeltje.

Hiervoor: a. continuïteit-voorwaarde: er ontstaat of verdwijnt geen vioeisto±. Hiermede in verband: ranàvocrwaarden.

b. bewegingsvergelijkingen, die het verband geven tussen

massa

en

versnelling

van

een vloeistofdeeltje en de erop werkende k.:--achten, dus K = lVI.a of a = K:.m

..,.,... Continuïteit en randvoorwaarden.

32a"Continuïteit in het.inwendige van een vloeisto:fmassa.

De continuïtei.tsvcox·waarden berusten op het feit, dat er geer, vloeistof ontstaa+. of verdwijnt,'zod~t de hoeveelheid vloeistof in

een bepaalde ruimte constant is. Wanneer er hol ten ontstaan i.n èe stromen (bv. doo."'.'.' w:~rvel::.ngen), mogen aeze voorwaarden dus niet worden toegepast.

In

nevenstaand deeltje, waarbij

het asse~s~elsel vast is t.o.v. de aard0 (Z-as verticaÊl naar boven) komt dus per eenheid van tijd even-veel bin~en als er uitgaat. In X-richting stroomt er in: v ~r dy dz

en er uit:

De

in winst is dus : X-richting: in -Y-richting:

ln

Z-richting: . ( V X A

àvx

+

ox

dx) dy dz

bvx

- èx d::: dy dz ~vy öy d~dy dz .övz - dx dy dz - öz . dz X dx .

De som hierv8n moet nuJ. zijn. We vinden dus de eerste 0on·l;1nuïtei

ts-voorwaarde:

Dezü vergelijking wordt in meer practische vormen geschreven voor de golfbeweging en de. permanente beweging.

'32~). Continuïtai t bij een ,.,~rij oppervlak.

We beschouwen ee~1 zuil T,je water van de bodem tot het w2.tcropp::.rvlak? De snelheid v · i.s klein t.o.v. v en v ; :D~ snelhe:td is niet ~elijkmatig over èe ficogteYverdeeld, we nemen dus de

gemid-delde srelheid ~

z

In aanmerking nemenà, dat bi~ een golfbewe-

h

gir..g h m:lt x verandert, is de waterwinst in

X-rich~i~g per ëenheid·va~ tijd:

&v

vx

h dy -

lvx

~

rx

dx) a1-._ (k

+R.

dx)

~

•

oh

èv

- dx dy (vx

ö-x'

+ h

èfi~),

daar we de oneindig kleine van hoge-re orde ffio~en weglaten.

In de tijd dt_is dus de waterwinst:

X-richting~ ( öh + bvx

in - -at

av

-'- dy _vx äx h

_Ex)

in·Y-richtin0 :

-

at

dx dy (vy ~h

_oy

+

èV_y

h Oy)

De som hiervan hoeft nu niet nul te zijn, want he-t bovenvlak is 6estecen met een bedrag ~-

at,

zoàat ae ruimte is verir.eerderd

rr.et

at

dx dy

* .

_Dit is nu gelijk· aan de waterwinst:

óh Öh öv_ èh dt

.a

x

a y

~ = -

at a

x

a y (

v -è. + h ,.. .A + v ~ + o~ X ~ uX y oy .à_n +

v

_

àh + èh

:v;& :vX.)

\ ff

__

!_[x

Vy Îy + h ( x + y : 0 èvY. h óy

Vaak gaat over een grote breedte de stroom in dezelfde rich-ting. We pl·aatsen.dan de X-as in die richting, zodat vy =Oen v.=

v

te stellen is. De formule wordt~

X

Öh + v èh + h ÖV =

o

è5ï

öi

ox

0

In de practijk blijkt v

g~

zeér klein t.o.v. de andere ter--men. Doze kan dus wordèn weggelaten:

1

_ n

ih + h

rx

av •

O

₁

Deze formule vormt de grondsl0g voor alle ~~~iJberekeningen. De formules kunnen ook anders geschrevcr. worden oór in te voeren de afvo~r per eenheid van breedte qx= vxh. en qy = vyh. Dan is

immers: _{v Qh +} ovx - >.e.xh) _ b qx

~-..a

~

l..\v ~ " • L .,,. ,l./41'• N'~n, ~

·

xox

hox-ox"-rx-De formule wordt dan:==:::;:=::=====::t àh

n

Of voor stroom in één richtine:

1~+*=

0

1

l-iierin is

~

niet verwaarloosd. Een nadeel is echter, dat in de practijk nooit q maar altijd v.gegeven is.

32c.Continuiteit bij perrr.ancnte beweging. (stroombuizen).

'

Eij d6 pcrmanGnte beweging lettGn we voor de continuïteits-vergelijl:ing op hl-t gebied tussen bepaalde stroomlijnen. Daar-toe zullen W€ eerst het begrip stroomlijn dGfiniê'ren •

_.

- - - -

- - - -,

-Een stroomlijn is een lijn, ,i

.

. waaraan

de

sneihei.d

in

ieder punt

van die lijn op een bepaald

ogen-blik raakt. ·

Eèn stroombaan is de weg van

een e aa v fdeel

t

je. "'44 .._..,,. ~

t

«,\ ..

~o

uur/

. ~ J

.. .

I

ij de permanente beweging vallen s-';;roornlijnen en stroom-banen samen. Stroomlijnen uit-gaande van een gesloten kromr.;.e en weer eindigend op ~en geslo-ten kromme vormen een stroombuis. Noemen we het debiet, de snelheid en het oppervlak van begin - en eindvlak reEpp Qb1 vb, Ab en Qe,

ve, A

6 , dan luidt de

continu.Ï-teitsvoorwaarde~ a_ a Q 7> e vb,Ab

--

_"e•Ae

1

.A.

1

=

0 ve vb À-e

Als de snelheid niet o'ver het hele oppervlak gelijk is, dan:

A

J

v

~

d A =

AJ

v e dA. b e 32d.Randvoorwaaroen. stroom buis B stroomlijn stroombaan

De vloeistof wordt besrensd door een vaste wand of door ee~ vrij oppe.!'v~ak.

De randvoorwaarden drukken uit, dat er door de ·wand 6Cèn

vloGistof stroomt. Hieruit volgt, dat de snelheid loodrec~-:; op

v .&.wandj/' de- wand gelijk is aan de snelheid van

ae

= v · ,,,,,,. · wand in die richting. Staat de wand ntil, den

wand

_.

_{.:·, ...} ,,,;,/ is de snelheid loodrecht op de wand , 1)

"'~-~-..

Bij een oppervlak is eveneens de snelheid loodrecht op Let oppervléèc gelijk aan de snelheid van het oppervlak in die

rich---...- ting. Bovendien is langs een ononderb~o-ken vrij oppervlak de druk overal

het---b zelfde. (meestal de atmospherisc~8 r~uk~

die we gelijk aai nul stellen)

2) Bij de overstortrand is do druk langs oppervlak "a" overal hetzelfde, ~i-:~ gelc~t ook voor oppervlak "b11

• Is de luch-L bij s

,,....,,_,,,_..,...~~-/..., . verbonden met de lucht bij b dé.-:in J.S oo~

d~ druk bij a ~elijk aan de druk

o:::..;1

o

a

of n ~ ~:~~·ais e versnel ing,· ?er

ee~-heid ~,an massl4, 1:i_e ook de dimensie vàn een versnelling :b.GGft o

//

- -··--- ---·---·--- - - ---··--··- --···

1-)

-In

Gen hoGlc waar twee stilstaand.e wanden bij elkaar lcomon ~-s

dus v :;:; 0.

2) Hierh~j is afr,ezi0n van oppervlaktespanningen, diG 1_gclijke-·

druk-:Ln-1.ük-punt11 _{kunnen storen. Bij lange gal von hoeven we}

z

18.

Een vloeistofdeeltje ondervindt drukt..rach-ten van de orrxingende vloeistof. In X-rich-ting is de kracht:

è . è

p db de - (p + .2.Pöx- aa) db de = - -~ da db de

ÓX

De massa van het deeltje is o da db de, dus

I •

de kracht per eenheid van massa is~

_ 1

b.

f

!x

Er werken echter nog andere krachten, bv.

de zwaartekracht. We stellen deze uitw. l:rnchtcn "lroor door k per rnassaeer (k heeft dus de dimensie van een versnelling). De ontbondene in

X-richting is kx, de totale Jcracht per massaeenheid in die richting · ..w

is dus:

!.

è

- . + kx

f X

.

De snelheid is een 1~nctie van de plaats en de tijd:

"x

-

-

f {x,

,,

11, t) ... dVX ovx bv ö-vx 6v

-

_{cft~ at}

+

_óx"

_ax

+

_{°6 .. /.}

X dy + èz· ..

a

z X dv · _àvx

~

+

ÓV X ~.Y.. ÓVX dz. X - ₊

al·· -

i)"f;'._ +

_°€y-··

_•

_at

_öz--

_•

_a·&"

Nu

is

_{ëft -}

dx _

Vx

.

2L ::;

az

'

at

Vy

ät

--

Vz Dus is de versnellin0 : ,,,,, .. ,11,-., -1.J·"· .,,~/.,.4..:,_,

,.

~ ~

d~x

~vx

avx

bvx

àvx

a-t°

7

+ ~X

rx·

+

Vy

'iy

+ V2,

U

Hierin is

~r

de plaatselijke versnelling en de andere termen zijn dG versnelling tengevolge van de verplaa~sing. De versnelling is nu

gelijk élo.n de kracht per n.assaeenh€id:

avx tv

tvx

bvx _ ₁

li

+

n-+

Vx X + _{Vy ~--♦} Vz

rz- -

--

kx

ox

y 1

p

In X-richting

:;x

+

:;x

♦

av

bv

.

l

_~

+ k Vx Vy

# •

Vz

'i;/-:

-

_f

-

y y In Y-rtchting ~v~

lv,.

avt. bv.z ₁

*+Je

'IT'"

+.vx

rx-

+

Vy

oy+

Vz

li"" .. =

-

-/'

& In z-richting

Dit ziJn de vergelijkingen va~ Eu,lcr in de algemene geaaante. B1. J. d 0 perrr.anen e t b eweging z:i.Jn . . .

F-r ,

ÓVv ~-t-.1·• ÖVv 1

gv.z

nu • l , ) .J..

~3b.Schrijfwijze volgens

Huybens.

De ve ... ~gelijkingen van· Euler kunnen warden vèreenvoudigd door een juiste keuze der .assèn. Een as wordt in àe ·richting van de stroom gelegd (de

S-

as); Gen andere as in de richting van de nor-maal van de stroorriijn (de N - ·as). De derde as volgt dan de bi-norrr.aal (de :B - as).

- -

-

. -- ·- - - ·--- ----·-- - ·- ·-·-·-·-···-·-·- ·•-···---·--···-·----··--- --- -- ..

--

- -

--

-1) Vloeistof in r u s t : ~ = ~ = O.

Voor dit: ass·;;l1?n:;elf'isl geldt~

vn

=.oen vb-_:. 0

d tvn

av

.

h ht .. t

in • o·orsp.t-ong.

n-

en

n-

oeven ec er me

nul 1e 2ijn1 ·.vant aJ.hoe·.,-;el v:'.1

=

0 en vb ::: 0 op

het bcschouvrde oe;enblik, l::unnen vn en Vb later

1."lel bepnalde waa.2.~aen :ic•ijBcn. D0 stroomlijn

heeft bi j de oorsprcnc; een zekere kromming

;va

'övn

in he·_; oscnl.Jt::..0~/l..2,~(, .:ïus

9

=

0 en ~,-

5

-heoft C::çn zekero waé'2.'0G. îei..'

-verduidelij-k:L.1g: vn :; 0 ₇ maä:- eE:.n rr.orr.e nt van to voren - y

had veen andere richt~1~, ~oen was vn

~s-gatie~~ Eon mo~Gnt ua hot basch~iwds

tijd-stip heeft v weer ~sn andere richting, dan

is vn positief. vn gaat dus van negatief ·

na~r pus::..tisf, m.c~w.:

övn

'N (pos)

1T

>

0 \

r

..

-.._:V

-~, __

JJ~---...,c:~~-:s

V

àvn _. v₈ :u de oorsp;:-on~;:

«

c: 0 en ds == .r

ctoe

Dus ~ _as - -_r

z

19"

.s

~ V S i ,:,... ;

-vn

We h.-unm::n 11u de: ge,~onden waarden substitueren in de vergelijki...15...;:1.

van Eul er. ,,.,, ... 11.-.. J 1., •• ,~ ~,, ... ,,.. ., .. ,,,.., ... --- ,

- .À.

-

~

*

~

ks

1

~

+ k p

rn

n 1

-

_p

--:iJocr- hGt assenkruis te plaatsen op de wijzo hebben we ve~l eanvoudiger formules

. ,

.

a~,

voor èu p2.rmanentu bewegine nog: ~ -

=

O;

I.n hGt l·in1::e.rL1.d va.i1 de 1orrules staat. de versnelling, 1·echts oe

krac:1-c p:::r r:.assaeenneid. We passen :pu toe het theorema van d 1_Alember,:;:

We km.Jnen ll°e t,,-:-i:: c.tan~ van Gen rr.ateriëcl punt, dat Gen versnelling onoergF.11:¾t, b6ftchri~ven uoor naast de echte krachten een si::hijnkracht

auYi te l16r::on: ·ct-~.e p~r eenheid van massa g0lijk en ·i.;egengesteld j s aan

do ,,..~rs:,ë:11 inr~ ..

~ v.:,r e · -·i.:in en ,•G:n 3u 1-tons voor de ermanente l>~we

nc

(waarin

al le.-:.•n vf) v0n.::1_{rr'.:\;, d:ï.G \·,c: t:us ce:nvoudighGidshal vc v noemen luiden dan!}

rr

₁

,.

_____

tt

"bv_

1

-

-

p

+

k ...

..,

rs

-

-

0 1

_l

"

...

}c -

v2

=

0

-

-

p

n

-

r 1

8

+ _k'o

₌

0

-

_p