W rozprawie zajmujemy się problemem aproksymacji stochastycznych równań różniczkowych następującej postaci
dX(t) = a(t, X(t))dt + b(t, X(t))dW(t) + c(t, X(t-))dN(t), t ∈ [0, T], X(0) = x0,
gdzie T > 0, N = {N(t) }t∈ [0,T] jest jednowymiarowym niejednorodnym procesem Poissona z intensywnością λ, W = {W (t)} t ∈ [0, T] jest mw- wymiarowym procesem
Wienera. Rozprawa składa się z trzech głównych części.
W pierwszej części rozważamy problem skalarny z jednowymiarowym procesem Wienera. Analizujemy w niej algorytm oparty na adaptacyjnej kontroli długości kroku całkowania. Bazując na kawałkami liniowej interpolacji wartości schematu Milsteina obliczonego w punktach wyznaczonej siatki, otrzymujemy aproksymację rozwiązania. W tej części rozprawy analizujemy również błąd metody nie używającej wartości pochodnych cząstkowych współczynnika dyfuzji. Dla obu metod wyznaczamy dokładne tempo zbieżności wraz z postacią stałych asymptotycznych. Ponadto uzyskane wyniki implikują optymalność zdefiniowanych algorytmów w rozważanych klasach metod. W kolejnej części rozprawy rozważane są układy stochastycznych równań różniczkowych ze skokami w przypadku wielowymiarowego procesu Wienera. Jak w poprzedniej części rozprawy do aproksymacji rozwiązania wykorzystujemy interpolację kawałkami liniową wartości schematu Milsteina obliczonego w punktach siatki jednostajnej. Ponownie pokazujemy dokładne tempo zbieżności zdefiniowanego algorytmu wraz z postacią stałej asymptotycznej. Udowadniamy ponadto odpowiednio oszacowania z dołu na błąd, z których wynika optymalność skonstruowanej metody. W trzeciej części pracy prezentujemy krótkie wprowadzenie do języka programowania CUDA C wraz z efektywną implementacją algorytmu optymalnego z drugiej części rozprawy. Przedstawiamy również wyniki przeprowadzonych eksperymentów numerycznych.
Optimal algorithms for solving stochastic initial-value problems with jumps
In the thesis we study the problem of approximation of solutions of stochastic differential equations of the form
dX(t) = a(t, X(t))dt + b(t, X(t))dW(t) + c(t, X(t-))dN(t), t ∈ [0, T], X(0) = x0,
where T > 0, N = {N(t) }t∈ [0,T] is a one-dimensional non-homogeneous Poisson process, with intensity function λ, and W = {W (t)} t ∈ [0, T] is a mw- dimensional Wiener
process. The thesis consists of three main parts.
In the first part of thesis we investigate the scalar problem with mw = 1. We analyze algorithm based on path-independent adaptive step-size control. The method computes the adaptive discretization and next it uses a piecewise linear interpolation of the classical Milstein steps performed at the computed sampling points. We also analyze derivative-free version of this method. For the both methods we investigate the exact rate of convergence of the nth errors together with the asymptotic constants. Moreover, it turns out that the both methods are asymptotically optimal in certain class of algorithms. In the second part of the thesis we investigate the systems of SDEs with mw ≥ 1. We provide a construction of a suitable algorithm that is based on equidistant discretization. At the sampling points the method uses a piecewise linear interpolation of the classical Milstein steps. Again we show the exact rate of convergence of the defined method together with the asymptotic constants. We also provide corresponding sharp lower bounds which imply that the constructed method is asymptotically optimal.
In the third part of thesis we present introduction to CUDA C programming language together with efficient implementation of the optimal algorithm from the part two of the thesis. We also show numerical results that confirm our theoretical findings.
