Monika Wojnowska
Pojęcia matematyczne w klasach
początkowych : wprowadzenie
Nauczyciel i Szkoła 1 (6), 99-103
1999
Pojęcia matematyczne w klasach początkowych —
wprowadzenie
1. Problem swoistości pojęć matematycznych
Podstaw ow ym składnikiem naszej wiedzy i budulcem naszego m yślenia są pojęcia. N asze sądy i sposoby postępowania składają się z pojęć. Pojęcia um ożli w iają człowiekowi klasyfikow anie bytów i idei, w yprow adzanie reguł, stanow ią podstaw ę logiczną dla naszego myślenia. To dzięki pojęciom człow iek nie musi reagow ać na każde zdarzenie, na każdą rzecz ja k na coś jedynego w swoim rodzaju — potrafi dostrzec i zbudować naturalne i logiczne związki pomiędzy rozmaitymi zdarzeniam i i przedmiotami składającymi się na jego doświadczenie.
1.1. W literaturze pedagogicznej nie mamy wielu opracowań dotyczących uczenia się pojęć, a te, które są, w większości dotyczą pojęć przyrodniczych, zasadniczo różnych od pojęć matematycznych.
N a czym polega swoistość matematyki? Jaka jest istota i geneza jej pojęć? Jaką rzeczywistość ujm ują pojęcia m atem atycaie?
Problem, co jest przedmiotem matematyki, czym są obiekty, o których mów i, jest szeroko rozważany przez filozofię matematyki. Poglądy tam reprezentowane nie są jednolite. Ich zróżnicowanie wynika w szczególności z leżących u ich podłoża założeń filozoficznych dotyczących:
1) stosunku matematyki do doświadczenia i materialnego świata. Tutaj jedni w idzą w m atem atyce odzw ierciedlenie w postaci bardzo abstrakcyjnej rzeczyw istości stosunków. Inni uw ażają, że dotyczy to tylko niektórych fragm entów matem atyki, pozostałe są natom iast czystymi i sw obodnymi tw oram i myśli. Jeszcze inni widzą w matematycznych pojęciach wrodzone kategorie umysłu, idee (względnie formy), które światu służyły za wzór. 2) roli up raw iająceg o m atem atykę podm iotu. O pozycją po d staw o w ą je s t
tu przeciw staw ienie poglądu, zgodnie z którym obiekty m atem atyczne są wytw orem samych m atem atyków (człowiek jak o tw órca), poglądow i, że obiekty te są niezależne od poznającego podm iotu odkryw ającego je w trakcie badań (człowiek jako odkrywca).
100 Nauczyciel i Szkoła 1 (6) 1 999
N ie w nikając głębiej w różnorodne stanow iska filozoficzne, przedstaw m y krótko tylko przykłady poglądów ważnych dla naszych dalszych rozważań. Takim klasycznym przykładem, dobrze ilustrującym omawiany problem, który wywarł naj większy wpływ na nasze współczesne przekonania, są poglądy Platona i Arystotelesa.1
U podstaw systemu filozoficznego Platona leży teoria idei. W edług niej istnieją dw a rodzaje bytu, tw orzące dwa odrębne światy — niezmienne idee istniejące poza czasem i przestrzenią oraz zmienne rzeczy postrzegane za pom ocą zmysłów, mniej realne niż idee. Idee istnieją prawdziwie, rzeczy zaś co najwyżej stają się. Rzeczy są odbiciam i, cieniami idei, idee są wzorami rzeczy. Porządek św iata realnego jest odwzorowaniem porządku panującego w świecie idei.
Stosując tę ontologię do matematyki, przedmioty matematyki zaliczył Platon do św iata idei. Jego zdaniem istnieją określone obiekty niezależne od czasu, przes trzeni i um ysłu ludzkiego, które nazywamy J e d e n ”, „dw a”, „trzy”, itd. — a więc idee arytmetyczne; istnieją także takie jak „prosta”, „punkt”, „okrąg” — a więc idee geometryczne. M atem atyka opisująca je i w ykrywająca związki między nimi je s t n auką o ideach. W konsekw encji w m atem atyce m am y do czynienia nie z tw o rzeniem, a z odkrywaniem: matem atyk nie tworzy przedmiotów, tylko odkryw a je i opisuje. To decyduje, że podstaw ą poznania matematycznego jest rozum, a w ła ściw ą m etodą m atem atyki — metoda aksjomatyczna. M atem atyka m a charakter pojęciow y i choć czasem naw iązuje do obserw acji i posługuje się m yśleniem obrazow ym , jest to jednak tylko okazją do uświadomienia sobie pojęć, a nie pod staw ą do ich wytwOrzenia. M atematyk, zdaniem Platona, przypom ina sobie tylko w ten sposób pojęcia odwołując się do wrodzonej wiedzy o ideach; „dusza ponownie uprzytom nia sobie to, co ju ż kiedyś widziała, a mianowicie w swej preegzystencji przed wypędzeniem do ciała, kiedy to m ogła «okiem ducha» bezpośrednio oglądać idee” (H. Schnädelbach, 1995).
T akie ujęcie m atem atyki pozw ala też Platonow i w yjaśnić zw iązek między m atem atyką czystą a matem atyką stosowaną. Otóż twierdzenia matematyki stosują się do rzeczy św iata realnego, gdyż te ostatnie są podobne do idei jak o do swych wzorców. „M atem atyka jest więc opisem pewnych faktów, które nie zależą ani od czasu, ani od przestrzeni, ani od poznającego umysłu. N aw et gdyby nie było na świecie żadnego człowieka, to i wtedy istniałby świat liczb, figur geometrycznych i innych tworów' matematycznych oraz wzajemne ich zależności — choć nie byłyby one opisane w' żadnym języku i nie istniałaby m atem atyka jak o zbiór definicji i twierdzeń. Matematyk staje zatem wobec danej, wiecznej, niezależnej i niezmiennej rzeczywistości (przedmiotów matematycznych) i jego zadaniem jest rzeczywistość tę opisać (R. M urawski, 1995).
1 Platon (4 2 7 -3 4 7 p .n.e.) uczeń Sokratesa; A rystoteles (3 8 4 -3 2 2 p .n .e.) tw órca logiki, uczeń Platona.
A rystoteles, akceptując pewne zasady Platona, w ychodząc od tych sam ych problemów, nie akceptował platońskiej nauki o ideach. W edług niego m atem atyka nie jest nauką o niezależnych bytach idealnych, w stosunku do których św iat rzeczy jest wtórny, ale jest nauką o obiektach (nazywanych przez niego obiektami m atem a tycznym i) wydobywanych z rzeczy na drodze abstrakcji.
Będąc rezultatem abstrakcji obiekty matematyczne istniejąjako szczególnego Todzaju form y (pojęciowe). Wydzielone stanow ią one rzeczywistość myślową, są zakorzenionymi w przedmiotach konkretnych w ytworami twórczej pracy umysłu. Twierdzenia matematyczne, zdaniem Arystotelesa, m ów ią o formach i stosunkach form alnych w yabstrahow anych z konkretnych obiektów. „M atem atyk rozpatruje swoje obiekty ogołociwszy je z takich własności jak lekkość, twardość... i zatrzymuje się tylko nad tym, co jest wielkością i rozciągłością... badając raz położenie jednych względem drugich i fakty, które stąd wynikają, innym razem ich w spółm ierności i niew spólm ierności, jeszcze kiedy indziej ich sto su n k i” (A rystoteles, cyt. za R. M urawski, 1995).
W yodrębniona z rzecz)' form a była dla Arystotelesa najważniejsza. Pojmował ją ja k o realny odpowiednik pojęcia. Form a zajęła w jego filozofii to miejsce, które u P latona zajm ow ała idea. Jak pisze W. T atarkiew icz — „...P lato n od razu od absolutu zaczął; Arystoteles zaczął od badania fizycznego świata, by przezeń dojść do absolutu” (W. Tatarkiewicz, 1981).
Dalszy rozwój filozofii matematyki przyniósł dużą różnorodność poglądów, w omawianej kwestii zbliżonych do jednego z przedstawionych stanowisk, nie doko nując żadnych w' tej mierze rozstrzygnięć.2
W nauczaniu matematyki oba te podejścia — pozostawiając otw arte kwestie m etafizyczne — są w ażne i użyteczne. Z najdujem y je obecne w w ielu naszych poglądach do dziś. Przekonanie, że tego, co praw dziw e, należy poszukiw ać nie w zm ysłow ym świecie zewnętrznym , ale tylko w sam ym m yśleniu, je s t platoni- zmem. D la arystotclizmu natom iast aiam ienna jest pewaiość, że w doświadczeniu zmysłowym m ożna znaleźć przynajmniej punkty zaczepienia dla poznania tego, co prawdziwe.
Musimy tutaj stwierdzić, że niezależnie od założeń filozoficznych, scharaktery zowanie przedmiotu matematyki nie jest łatwe. Szybko rozwijająca się i przekształ cająca matem atyka umyka wszelkim próbom jej zadowalającego zdefiniowania.
Rozwijając się coraz bardziej w kierunku ogólnej nauki o strukturach, staje się coraz bardziej wielowątkową nauką abstrakcyjną.
Przy tym uważa się, że jeżeli podstawowe struktury' m atem atycaie są formami rzeczywistości „opróżnionymi” z ich zawartości konkretnej, to struktury tworzone
: U w aża się, że platonizm je s t zwykłym poglądem pracującego m atem atyka (M a la en cy k lo
pedia lo g ik i, 1981). „M iędzy duchem a m aterią pośredniczy m atem atyka” — m ów ił H. S teinhaus,
102 Nauczyciel i Szkoła 1 (6) 1 999
przez współczesnych matematyków w postaci teorii aksjomatycznych są potencjal nymi form am i rzeczywistości, w tym znaczeniu, że w zastosow aniach m ogą być w ypełniane różnymi treściami (mówimy również: zinterpretowane).
1.2. W nauczaniu początkowym m atem atyki uczym y pojęć elem entarnych. Za
elem entarne u znajem y każde p o jęcie m atem atyczne, które m oże być w yabstra how ane w drodze bezpośredniej, naturalnej m atem atyzacji znanych j u ż uczniowi dobrze stosunków rzeczywistych, bądź zilustrow ane w p ro sty sposób w dziedzinie elem en ta rn ej naiw nej m atem atyki i propedeutycznej g eo m etrii (Z. Krygow'ska,
1977).
1.3. Pojęcia m atem atyczne należą do pojęć abstrakcyjnych. Podział na pojęcia konkretne i pojęcia abstrakcyjne je st najw ażniejszym podziałem dla nauczania matem atyki. Logika mówi, że pojęcia konkretne to takie, których nazwy w skazują na rzeczy (np. „krzesło”, „piłka”, „pudełko”) albo osoby (np. „nauczyciel”, „uczeń”) albo na coś, co w yobrażam y sobie jako osobę fizyczną lub rzecz. Ogólnie m ożna powiedzieć, że pojęcia konkretne to takie, których przykłady można wskazać; ja k mówi G agné (1970): „ich znaczenie m ożna w yjaśnić w skazując je palcem: są to pojęcia ukształtowane w drodze obserwacji”. Należy uściślić: bezpośredniej obser w acji. Pojęcia abstrakcyjne natom iast to takie, których przykładów nie m ożna w skazać lub dośw iadczyć w prost. Zazw yczaj w ym agają one definicji słownej. W skazują najczęściej na pew ną cechę (np. „białość”, „prostokątność”), na pewne zdarzenie czy stan rzeczy (np. „płacz”, „cisza”, „sprawiedliwość”) albo na pewien stosunek między przedmiotami (np. „większość”, „odległość”, „bliskość”). Objaśnie nie b ądź zilustrow anie sensu takich pojęć w ym aga użycia słów lub czynności. „P odczas gdy param etram i pojęć konkretnych są zazw yczaj fizyczne atry b u ty przedmiotów, których uczniowie mogą doświadczać wprost, pojęcia abstrakcyjne na ogół nie są bezpośrednio dostępne naszym zmysłom”. Ich sens „trudno opisać inaczej niż za pom ocą określeń słownych, ilustracji bądź pokazu” (C. Galloway, 1988).3
1.4. W prow adzanie now'ego pojęcia i w łączanie go w zespól innych, znanych ju ż uczniowi, może odbywać się w oparciu o dwie zasadnicze drogi:
— wprowadzenie nowego pojęcia dzięki definicji podanej przez nauczyciela lub podręcznik, zilustrowanej odpowiednimi przykładami,
1 To, że p o ję c ia m atem atyczne m ogą być (i w nauczaniu początkow ym są) in terp reto w an e w bezpośredniej rzeczyw istości konkretnej, n ie czyni z nich pojęć konkretnych. Przedm iot m oże być „okrągły” , „kw adratow y” , „trójkątny” , ale nie czyni to z niego „kola”, „k w ad ratu ”, „ tró jk ą ta ” . P o d ejście p lato ń sk ie (rzeczy s ą cieniam i idei) 'znacznie u łatw ia rozum ienie sw oistości stosunku m ięd zy ab strak cy jn y m i przedm iotam i m atem atyki a ich k onkretnym i m o d elam i w m a te ria ln e j rzeczyw istości (chociaż sam a zasada abstrakcji pochodzi od A rystotelesa).
— wprowadzenie nowego pojęcia przez taką organizację aktywności ucznia, że on sam to pojęcie przy pewnej pomocy nauczyciela konstruuje i następnie definiuje.
Obie te drogi są równie ważne dla rozwoju matematycznego myślenia uczniów. Pierw szą z nich, w ykorzystującą tok dedukcyjny — częściej stosujem y w klasach starszych. D ruga droga, dydaktycznie znacznie trudniejsza, w ykorzystująca tok indukcyjny — je st charakterystyczna dla klas początkowych. D roga ta, w której k onstruow anie p o jęcia a ia c z n ie w yprzedza jeg o definicję, ja k o p u n k t w y jścia przyjmuje intuicyjne ujęcie przez ucznia stosunków w materialnej rzeczywistości. D roga ta byw a najczęściej ukierunkowana na określoną definicję m atem atyczną, jednak nie musi być taką definicją zamknięta. W nauczaniu szkolnym często po przestajemy na tym , co można by nazwać opisem lub wyjaśnieniem definicyjnym. W nauczaniu początkowym uczeń przebywa jedynie początkowy etap tej drogi, na stawiony na tworzenie dla pojęć matematycznych bardzo szerokiej bazy intuicyjnej.
O pracowanie toku postępowania dydaktycznego, którego celem byłoby kształ towanie pojęć matematycznych w ten naturalny, oparty na doświadczeniach i intuicji sposób, w ym aga pogłębionej refleksji psychologicznej i dydaktycznej.
Temu problemowi poświęcona będzie druga, osobna część artykułu.
Literatura
Gagné R .M ., The Conditions o f Learning, N ew York 1970. Galloway C ., Psychologia uczenia się i nauczania, W arszawa 1988. Krygowska Z., Zarys dydaktyki m atem atyki, cz. 1., W arszawa 1977.
M ata encyklopedia logiki, W rocław 1988.
M urawski R., Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych. Poznań 1986. M urawski R ., Filozofia matematyki. Zarys dziejów. W arszawa 1995.
Tatarkiewicz W., H istoria filo z o fii, tom 1, W arszawa 1990.
Schnädelbach H ., F ilozofia, [w:] E. M artens, H. Schnädelbach (red.), Filozofia.
