Dla danej funkcji h : I × → , I=[0,1] odwzorowanie H : I→ I
określone przez
(Hϕ)(x) = h(x,ϕ (x)), ϕ∈ I
nazywa się operatorem złożenia (superpozycji lub Niemyckiego) generowanym przez h. W 1982 roku Janusz Matkowski wykazał, że operator złożenia odwzorowujący przestrzeń Lip(I) funkcji lipschitzowskich ϕ : I → w siebie jest lipschitzowski wtedy i tylko wtedy, gdy generator h tego operatora ma postać h(x,y) = a(x)y + b(x), x ∈ I, y ∈ , gdzie a, b∈ Lip(I). Rezultat ten został następnie rozszerzony na inne klasy funkcji przez J. Matkowskiego i jego uczniów. Operator złożenia generowany przez multifunkcje był badany m.in . przez A. Smajdora, W. Smajdor i G. Zawadzką w klasach funkcji i multifunkcji lipschitzowskich i o wahaniu skończonym.
Celem pracy doktorskiej jest badanie operatora superpozycji generowanego przez multifunkcje. W pracy doktorskiej wykazałem, że lipschitzowski operator Niemyckiego działający w przestrzeniach funkcyjnych spełniających warunek Höldera, klasy C1, bezwzględnie ciągłych i ciągłych o wahaniu skończonym, o wartościach w odpowiednich klasach multifunkcji musi być generowany przez multifunkcje G postaci
G(x,y)=A(x,y) + B(x),
gdzie A(x, ⋅) jest ciągłą i liniową funkcją wielowartościową, a multifunkcje A(⋅,y) i B są z odpowiednich wyżej wymienionych klas funkcji wielowartościowych. Rozprawa doktorska zawiera także twierdzenia odwrotne. Wzmocniłem również odpowiednie twierdzenia z prac A. Smajdora, W. Smajdor i G. Zawadzkiej.
W dowodach zastosowałem twierdzenie Rådströma o izometrycznym zanurzaniu stożka podzbiorów niepustych zwartych i wypukłych w przestrzeni unormowanej w inną przestrzeń unormowaną.
On superposition operators generated by set-valued functions.
For a given function h : I × → , I=[0,1] the mapping H : I→ I, defined by
(Hϕ)(x) = h(x,ϕ (x))
is called a composition operator of a generator h. In 1982 J. Matkowski proved that a composition operator mapping the Banach space Lip(I) of Lipschitzian functions ϕ : I → into itself is globally Lipschitzian if and only if there exist functions a, b ∈ Lip(I) such that h(x,y) = a(x)y + b(x), x ∈ I ,y ∈ . Then this result has been extended to some other function Banach spaces in papers by J. Matkowski and his students. Composition operators generated by multifunctions in the spaces of Lipschitzian and bounded variation functions and multifunctions have been studied by A. Smajdor, W. Smajdor, G. Zawadzka and others.
The main goal of the doctoral thesis is to examine composition operators generated by set-valued functions. In my paper I prove that Lipschitzian composition operators acting in the function spaces of: functions satisfying the Hölder condition, functions of C1, absolutely continuous and continuous functions of bounded variation with values in corresponding multifunction spaces have to be generated by a set-valued function of the form
H(x,y)=A(x,y) + B(x),
where A(x,⋅) is continuous linear multifunction, and B, A(⋅,y) belong to the corresponding multifunction spaces mentioned above. The doctoral thesis also contains opposite theorems. Two of them strengthen respective results in the papers of A. Smajdor, W. Smajdor and G. Zawadzka. The basic tool is Rådström's embedding theorem.
