I Pracownia Fizyczna - Instrukcja wyznaczania niepewności pomiaru

Błąd gruby a)

b)

c)

Wyznaczanie niepewności pomiarowych

Krótkie wprowadzenie

W 1995 roku Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna opublikowała przewodnik wprowadzający terminologię i określający sposoby wyznaczania niepewności w pomiarach. Przetłumaczony na język polski przewodnik ukazał się w 1999 r. Wydany został przez Główny Urząd Miar pt. „Wyrażanie niepewności pomiaru: Przewodnik”.

1. Pojęcia podstawowe

Błąd pomiaru w znaczeniu ilościowym definiowany jest jako różnica pomiędzy wartością zmierzoną a wartością rzeczywistą (prawdziwą)

błąd pomiaru=x_i−x₀ , (1)

gdzie

x

i oznacza wynik pomiaru, a

x

0 wartość rzeczywistą (wartość wielkości fizycznej, jaką ma badany obiekt). Wartość rzeczywista nie może zostać wyznaczona poprzez pomiar.

Błąd pomiaru w znaczeniu jakościowym oznacza, że wyniki pomiaru odbiegają od wartości rzeczywistej. Na podstawie charakteru rozkładu wartości mierzonych wokół wartości rzeczywistej wyróżniamy następujące rodzaje błędów:

Błąd przypadkowy – obserwujemy rozrzut wyników wokół wartości rzeczywistej, mniej więcej tyle samo jest wyników większych i mniejszych od niej,

Błąd systematyczny – powtarzanie pomiarów daje wynik taki sam lub niewiele się różniący (rozrzut wyników pomiarów jest niewielki),

Błąd gruby – różnica pomiędzy wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą jest bardzo duża.

Rysunek 1 Graficzne przedstawienie rodzajów błędów; a) błąd przypadkowy, b) błąd systematyczny, c) błąd gruby.

Niepewność graniczna (niepewność maksymalna) Δ x – wyznacza przedział, w którym mieszczą się wszystkie wyniki pomiarów.

Rysunek 2 Graficzna reprezentacja niepewności granicznej

Niepewność standardowa – wielkość będąca oszacowaniem odchylenia standardowego (pojęcie zdefiniowane w statystyce jako miara rozrzutu wyników wokół wartości średniej).

2. Ocena niepewności w pomiarach bezpośrednich

2.1 Ocena niepewności typu A

Z niepewnością typu A mamy do czynienia wtedy, gdy w pomiarach ujawnia się błąd przypadkowy (inaczej mówiąc mamy do czynienia z rozrzutem wyników pomiarów). Niech w wyniku

n

pomiarów uzyskaliśmy wyniki

x

1

, x

2

, …, x

n . Za wynik pomiaru wielkości

x

przyjmujemy

wartość średniej arytmetycznej

x=´x=

1

n

∑

i=1

n

x

_i

.

(2a)

Niepewność standardową tego wyniku wyliczamy ze wzoru

u(x )=

√

∑

i=1 n

(

x

i

−´

x

)

2

n(n−1)

(2b)

gdzie

u(x )

nazywa się także odchyleniem standardowym średniej, często też oznaczanym jako s_x´ .

Przykład

Wykonano serię pomiarów drutu miedzianego i otrzymano następujące wyniki: nr xi [mm] 1 0,67 2 0,70 3 0,70 4 0,66 5 0,67 6 0,68 7 0,67 8 0,67 9 0,67 10 0,60

Obliczenia wykonano zgodnie ze wzorami (2) i (3), a wyniki zebrano w tabeli nr

x

i

(

x

i

−´

x

)

(

x

i

−´

x

)

2 1 0,67 0,001 0,000001 2 0,70 0,031 0,000961 3 0,70 0,031 0,000961 4 0,66 -0,009 0,000081 5 0,67 0,001 0,000001 6 0,68 0,011 0,000121 7 0,67 0,001 0,000001 8 0,67 0,001 0,000001 9 0,67 0,001 0,000001 10 0,60 -0,069 0,004761 suma 6,69 0,00689 ´ x 0,669

u(x )

0,00875 Wartość u

(

x

)

po zaokrągleniu 0,0088 mm Wartość

x

po zaokrągleniu 0,6690 mm

2.2 Ocena niepewności typu B

Niepewność pomiaru metodą B szacujemy wtedy, gdy dysponujemy tylko jednym pomiarem lub gdy uzyskane wyniki nie wykazują rozrzutu.

Wartość niepewności określa się na podstawie wiedzy o mierzonej wartości, sposobie pomiaru, użytym przyrządzie itd. Poniżej opisane zostanie kilka przypadków szacowania niepewności pomiaru w zależności od rodzaju przyrządu.

Niepewność pomiaru linijką

Zazwyczaj przyjmuje się, jeśli producent nie poda inaczej, że dokładność wskazań przyrządu jest równa najmniejszej działce skali (działce elementarnej). W tym podejściu dokładność (maksymalna niepewność ) linijki

Δ

d

x

wynosi 1mm. Niepewność standardowa w takiej sytuacji najczęściej

przyjmowana jest jako

u ( x )=

Δ

d

x

√

3

.

(3)

Niepewność pomiaru miernikiem analogowym

Niepewność maksymalna pomiaru w tym wypadku wynosi

Δ

d

x=klasa

zakres

100

,

(4)

gdzie „klasa” przyrządu jest określana przez producenta (czasami podawana w procentach – wtedy w mianowniku wzoru (4) występuje 100%), a „zakres” oznacza zakres pomiarowy na którym mierzymy. Niepewność standardowa jest wyznaczana zgodnie z wzorem (3)

u ( x )=

Δ

d

x

√

3

=

klasa

zakres

Przykład

Woltomierz o zakresie 100 V ma klasę 1%. Oblicz niepewność maksymalną i niepewność standardową.

niepewność maksymalna=1

%∗100V

100 %

=1 V

.

niepewność standardowa=1

%∗100 V

100 %

√

3

=

0.58V

Niepewność pomiaru miernikiem cyfrowym

Niepewność maksymalna jest sumą dwóch składników; odpowiednie wzory podawane są w instrukcji urządzenia. Przykładowy wzór poniżej podaje tę wielkość jako

Δ_dx=C₁⋅wartość mierzona+C₂⋅ zakres , (6)

gdzie

C

1 i

C

2 to stałe podane w instrukcji. Niepewność standardową wyznaczamy jak poprzednio

u ( x )=

Δ

d

x

√

3

.

(7)

Przykład

Przyrząd z wyświetlaczem czterocyfrowym o zakresie 60 V wskazuje 0,684 V. Niepewność maksymalna

Δ

d

x

przyrządu jest zadana jako ±

(

0,3+0,02

)

% .

Δ

d

x=

(

₁₀₀

0,3

∗0,684 +

0,02

₁₀₀

∗60

)

V =0,014 V

u ( x )=

Δ

d

x

√

3

=0,008 V

2.3 Całkowita niepewność standardowa pomiaru

Jeśli w pomiarach występuje obydwa typy niepewności i są porównywalne co do wartości to niepewność całkowita jest obliczana według wzoru

u ( x )=

_√

u

2_A

( x )+u

_B2

(

x ),

₍₇₎ gdzie indeksy

A

oraz

B

odnoszą się odpowiednio do niepewności typu A i B.

W przypadku, gdy jedna z rodzajów niepewności jest znacznie większa od drugiej, tylko ją uwzględniamy w obliczeniach.

2.4 Niepewność względna

Niepewność względna zdefiniowana jest jako

u (x)

x

.

(8)

Czasami wyrażamy ją w procentach, wtedy wzór (8) mnożymy przez 100%. Wielkość ta wskazuje „jak dokładnie” przeprowadziliśmy pomiar.

4. Niepewność rozszerzona

Niepewność rozszerzona

U (x )

to wartość niepewności, która pozwala określić przedział zawierający dużą, z góry określoną, liczbę wyników. Definiuje się ją wzorem

U ( x )=k

⋅u(x ),

(9)

gdzie

k

jest współczynnikiem rozszerzenia. W pomiarach na pracowni liczba ta wynosi zazwyczaj 2 lub 3.

3. Niepewności pomiarów pośrednich

Niektóre wielkości nie wyznacza się bezpośrednio, ale oblicza na podstawie funkcyjnej zależności

y=f (x

1

, x

2

,… , x

k

)

,

(10)

gdzie wielkości

x

1

, … , x

k wyznaczamy bezpośrednio. Jeśli znamy ich wartości średnie, to wartość

średnią wielkości y wyznaczamy ze wzoru ´

y=f

₍

x´₁, ´x₂, … , ´x_k

₎

. ₍₁₁₎ Niepewności tak wyznaczonej wielkości

y

obliczamy korzystając z prawa przenoszenia

niepewności. Należy rozróżnić dwa przypadki: pomiary skorelowane i pomiary nieskorelowane. Z tymi ostatnimi mamy do czynienia wtedy, gdy każdą wielkość xi mierzymy w innym niezależnym

doświadczeniu. Pomiary skorelowane nie spełniają tego warunku, a obliczenia niepewności w ich przypadku są dużo bardziej skomplikowane.

3.1 Pomiary nieskorelowane

Niepewność standardowa

u ( y )

wielkości y wyliczamy ze wzoru u

(

y

)

=

√

∑

i=1 k

(

∂ x∂ fk

)

2 u2(x_k), (12)

gdzie

∂ f /∂ x

k jest odpowiednią pochodną cząstkową funkcji

f

względem zmiennej

x

k , a

u(x

k

)

jest niepewnością standardową związaną z wielkością xk .

Przykład

Dokonano pomiaru średnicy kuli śrubą mikrometryczną o dokładności

Δ

d

d=

¿

0,01 mm. W

wyniku jednokrotnego pomiaru wartość średnicy wyniosła d=9,85 mm. Następne pomiary dawały taką samą wartość. Wyznaczono objętość kuli oraz niepewność rozszerzoną wyznaczenia objętości. Objętość kuli

V =

4

3

π r

3

=

4

3

π

d

3

8

=500,135 mm

3

niepewność standardowa pomiaru

u (d )=

Δ

d

d

√

3

=0,00577 mm

niepewności

u (V )=

√

(

∂ V

∂ d

)

2

u

2

(d )=

∂V

∂ d

u (d )=

4

3

π 3

d

2

8

u (d )=π

d

2

2

u (d )=0,879 mm

3

niepewność rozszerzona

U (V )=2∗u (V )=1,758 mm

3 niepewność rozszerzona zaokrąglona

U (V )=1,8 m m

3 objętość zaokrąglona

V =500,1 mm

3

zapis wyniku

V =(500,1 ±1,8 )m m

3 niepewność względna

w=

U (V )

V

∗100 %=

1,8

500,1

∗100 %=0,36 %

3.2 Pomiary skorelowane

W tym przypadku ze względu na skomplikowane obliczenia, w pracowniach studenckich zaleca się następujące postępowanie. Dla każdej serii pomiarowej

x

ki , gdzie

i=1 …n

oznacza numer

serii, w której wyznaczmy wszystkie wielkości

x

k , wyznaczamy wartości

y

i ze wzoru na

zależność funkcyjną

y

i

=

f (x

1i

, x

2i

, … , x

ki

)

. Za wartość wielkości y przyjmujemy

´

y=

1

n

∑

i =1 n

y

_i

,

(13)

a za niepewność standardową wielkość określoną następująco

u ( y )=

√

1

n(n−1)

∑

i =1 n

(

y

i

− ´

y

)

2

.

(14)

5. Zapis wyniku i niepewności

Przed zaokrąglaniem obie wielkości, tj. wynik i niepewność wyrażamy w tych samych jednostkach układu SI. Przy zaokrąglaniu stosujemy następujące reguły zaokrąglania:

1) gdy cyfra „odrzucana” jest mniejsza lub równa 4 nie zmieniamy cyfry poprzedzającej, 2) gdy cyfra „odrzucana” jest większa od 4 cyfrę poprzedzającą zwiększamy o 1.

Zaokrąglaniu poddajemy najpierw niepewność. Zazwyczaj stosujemy zaokrąglenie do dwóch cyfr „różnych od zera” (tj. licząc od lewej strony zapisu liczby pozostawiamy 2 cyfry różne od zera, gdy liczba jest większa od 1, a w przypadku liczby mniejszej od 1 pozostawiamy pierwsze zera oraz dwie pierwsze, licząc od lewej, cyfry różne od zera).

Przykład

Niepewność Zaokrąglenie niepewności

1249,23 1200

12,57 13

1,879 1,9

0,0345 0,034

0,0012376 0,0012

Wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętnego, co niepewność. Przykład

niepewność

U ( x )=1,65 6

m

niepewność zaokrąglona U

(

x

)

=1,7 m wynik

´

x=23,456

m

wynik zaokrąglony ´x=23,5 m

zapis wyniku końcowego

x=(23,5± 1,7)

m Przykład

niepewność zaokrąglona U

(

x

)

=14 m wynik

´

x=123,456

m

wynik zaokrąglony ´x=123 m

zapis wyniku końcowego

x=(123 ± 14)

m

6. Porównanie z wielkością tablicową

Jeśli otrzymany przedział

´

x ± 3 u(x)

zawiera wartość tablicową to możemy twierdzić, że nasz wynik jest zgodny z tablicowym.