Stateczność pojazdów jednośladowych na kołach pneumatycznych

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 12 (1974) :  • : .  ,  • • .'• • !'• ••  • ••  ' '  „ ' , • • :• ' •  :. ' •  O . l i . i f l i . , , • < • •   ' . " i : ' • .. • •  > q '  • • . . •! • •. ! •   • - .  r;(1,u, , n STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH NA KOŁ ACH PNEUMATYCZNYCH*

JER Z Y M A R Y N  I A K, ZDOBYSŁ AW G  O R A J (WARSZAWA)

1. Wstęp V\ .

N a przykł adzie roweru przeprowadzono badanie statecznoś ci bocznej pojazdów jed-noś ladowych, z uwzglę dnieniem podatn oś ci poprzecznej pneumatyków. Rower pod wzglę-dem kinematycznym jest jedn ym z bardziej skomplikowanych pojazdów. Jest pojazdem niestatecznym, wymagają cym cią gł ego sterowania ze strony rowerzysty.

Ł OJCJAŃ SKI i Ł U IU E [19], przy daleko idą cych uproszczeniach, wyprowadzili równania ruchu i sformuł owali prawo jazdy n a rowerze. Traktowali koł a roweru jako idealnie sztywne dyski, pomijając równocześ nie kąt pochylenia kolumny kierowniczej i momenty dewiacyjne pojazdu.

N ajpeł niejszą analizę statecznoś ci roweru przeprowadzili NEJMARK S,;FUFAJEW [23] i [24], uwzglę dniając wpł yw podatn oś ci pneum atyków wedł ug teorii KIEŁ DYSZA [18]. W pracach swych N EJM ARK i F U F AJEW, przy wyprowadzeniu peł nych równań ruchu, przeprowadzili rozwią zania i analizy przy daleko idą cych uproszczeniach, pomijając kolejno poszczególne ruchy roweru. Takie postę powanie rzutuje nie tylko n a wyniki iloś ciowe, ale m a decydują cy wpł yw n a wyniki jakoś ciowe. Autorzy ci przyję li rower jako ukł ad mechaniczny o dwóch masach, traktując ł ą czni

e jako wspólne masy: kierow-nicę z kolumną i koł em przedn im oraz jako drugą masę ramę, rowerzystę i tylne koł o. N iewydzielenie wirują cych m as kół  przedniego i tylnego powoduje pominię cie efektów ż yroskopowych, co m a wpł yw n a statecznoś ć.

W przedstawionej pracy rower z rowerzystą i bagaż em traktowano jako ukł ad mecha-niczny o, wię zach nieholonomicznych, zł oż ony z czterech mas. U wzglę dniono cztery stop-nie swobody roweru w postaci: przechylania x> odchylania 6, obrotów ukł adu kierownicy y> i przemieszczeń poprzecznych x. D odatkowo przyję to cztery stopnie swobody, wynika-ją ce z podatnoś ci poprzecznej i skrę tnej pn eum atyków: tylnego koł a £x> <Pi } przedniego

|2, c >2. Obliczenia numeryczne wykon an o przykł adowo dla>polskiego roweru turystycz-nego «Am basador». Z badan o jaki wpł yw n a stateczność roweru mają parametry konstruk-cyjne, kinematyczne i podatn ość pneumatyków.

.

* F ragment pracy był  przedstawiony na VI International Conference on N onlinear Oscillations* Poznań 1972.  ' . ' , , U .*#  _e1 i

514 J. MARYNIAK, Z. G ORAJ 2. Dynamika koł a z pneumatykiem

Zagadnieniami dynamiki toczą cego się  pn eum atyka zajmowali się : D OH RIN G  [2], ROCARD [25], KIEŁD YSZ [18]. Obecnie zajmuje się  tym zagadnieniem szereg badaczy i oś-rodków doś wiadczalnych. D otychczas najogólniejsza jest teoria KIEŁD YSZA [18], mimo pewnych zastrzeż eń omówionych w dalszej czę ś ci pracy.

Rozważ ono zachowanie toczą cego się  pn eum atyka pod dział aniem stał ego, pionowe-go obcią ż enia JV. P neumatyk toczy się  bez poś lizgu z mał ymi deformacjami, które charak-teryzują  się  trzema parametrami (rys. 1). P aram etr f okreś la boczne znoszenie centrum

Rys. 1. Przemieszczenia, siły i momenty opisują ce odkształ cenie pneumatyka toczą cego się  koł a w teorii

Kieł dysza

pola kontaktu wzglę dem ś ladu ś rednicowej pł aszczyzny koł a n a pł aszczyź nie drogi, ką t % przechylenie pł aszczyzny ś rednicowej koł a wzglę dem pł aszczyzny pionowej a, ką t skrę ce-nia pneumatyka q>. Sił y i momenty, które powodują  odkształ cenia pn eum atyka są  funk-cjami stanu odkształ cenia w postaci:

STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH  515

D la mał ych odkształ ceń f, <p, % moż

na funkcje (1) rozwinąć w szereg Maclaurena i og-raniczyć się tylko do czł onów liniowych:

F = a

lt

i+a

12

%+a

13

<p,

(2) M

_x

 i

Korzystając z (2) zgodnie z teorią

 KIEŁ D YSZA

 [18], ukł ad sił  i momentów dział ają cych

na toczą cy się pneumatyk (rys. 1) przedstawiono w postaci:

— sił a bocznego znoszenia F

(3)

— moment przechylają cy M

x

(4) My, =  -

oNC-— moment skrę cają c

y M

_e

(5) M

o

 =  bcp,

gdzie a,b,Q

_t

,a — odpowiednie współ czynniki wyznaczone doś

wiadczalnie, N — nor-malna sił a reakcji podł oż a.

Sił y i momenty (3), (4) i (5) moż na przedstawić jako pochodne czą stkow

e funkcji U

2

wzglę dem odpowiednich odkształ ceń:

„

 du

₂

 „

 eu

₂

 8U

₂

gdzie funkcja t/

2

 jest energią potencjalną pneumatyka i ma postać:

1

(6) U

2

(£, x, <p) = - ^- (a£ +bw

2

 + QiNx +2<rN£x)>

2

tak okreś lona energia pneumatyka może być wykorzystana przy obliczaniu cał kowitej

energii pojazdu.

•  •

3. Wię zy kinematyczne toczą cego się pneumatyka

Z analizy zjawisk toczenia się bez poś lizgu

 KJEŁ D YSZ

 sformuł ował  dwa twierdzenia:

1. Styczna do linii toczenia F (rys. 1) pokrywa się z osią powierzchni kontaktu.

2. Krzywizna K linii toczenia F jest jednoznacznie okreś lona funkcją KQ, ę , x).

Linia toczenia jest miejscem geometrycznym punktów 0 (rys. 1), bę dą cyc

h ś rodkiem linii

ś rednicowej leż ą ce

j n a powierzchni kontaktu z nawierzchnią. D la mał ych odkształ ceń I ,

516 J. MARYNIAK, Z . G ORAJ

gdzie «,/ 5,y są  to odpowiednio wyznaczone parametry kinematyczne. W konsekwencji

twierdzeń

 KIEŁDYSZA

 odnoś nie zjawiska toczenia się  bez poś lizgu pneumatyka (rys. 2),

otrzymano równania wię zów w postaci:

(8)

(9)

,+• - - • 3- .

d

2 Xl

ds

2 Rys. 2. Parametry geometryczne okre-ś lają ce ruch pneumatyka toczą cego

się  koł a

gdzie zgodnie z rys. 2

(10)

 Xl

 =  X+S.

Po wprowadzeniu (10) do (8) oraz uwzglę

dnieniu (8) w (9) i przyrównaniu do (7) otrzy-mano

(U ) c ,

+

0

 +

  . ^ .

 +

  - ^ . =  O

5

ds ds

(12)  ^ . +   ^

-STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH 517

P o zróż niczkowaniu wzglę dem czasu (11) i (12) oraz uwzglę dnieniu, że prę dkość toczenia się  pn eum atyka V — dsjdt, otrzymano ostatecznie równania wię zów nieholo-nomicznych dla pneum atyków, w postaci: (13) (14)

= 0,

= 0.

r-  promień krzywizny linii toczenia R-  promień pneumatyka Rys. 3. G eometria toczenia się odkształ

conego pneumatyka, zgod-nie z teorią  Kieł dysza

N EJM ARK i F U F AJEW [23] zgodnie z KIEŁDYSZEM [18] wyznaczyli z zależ noś ci wył ą cznie

geometrycznych (rys. 3) param etry kinematyczne a, /? i y. Zał oż ono, że odkształ cenie poprzeczne pn eum atyka | stanowi wysokość odcinka koł owego o promieniu krzywizny r i cię ciwie równej ś rednicy 2R

F ot. 1. Odkształ cenie pneumatyka koł a rowerowego pod wpływem momentu przechylają cego M_x i sił yF bocznego znoszenia

F ot. 2. Lokalne odkształ cenie pneumatyka koł a rowerowego pod wpł ywem siły F bocznego znoszenia

STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH 519

n

ponieważ — < O z (15) otrzym an o w przybliż eniu

S

""2  7 '

ską d p o porównaniu z równaniem (7), przy zał oż eniu, że q> =  % =  0 otrzymano (16)  « = ^ .

Analogicznie przy zał oż eniach podan ych w [23] wyznaczono pozostał e współ czynniki kinematyczne: (17) (18)

"i-1 7  R'

Tak okreś lone przez N EJMARKA i FUFAJEWA zgodnie z KIEŁDYSZEM i GREJDANUSEM [23] param etry kinematyczne a, /S i y m oż na traktować jako pierwsze przybliż enie.

Na podstawie fotografią fj'QBI

fJ=Q88

Na podstawie

przybliż onej oceny

Kieł dysza

Rys. 4. G eometria odkształ ceń lokalnych pneumatyka wyznaczona

520 J. MARYNIAK, Z. G ORAJ

Wykonano pomiary koł a z pneumatykiem przy róż nych ciś nieniach w pneumatykach. Pneumatyk był  obcią ż ony momentem przechylają cym i sił ą boczną F (fot. 1 i 2). Jak wy-nika z fotografii odkształ cenie pneumatyka jest odkształ ceniem lokalnym (rys. 4), i nie obejmuje koł a aż do ś rednicy jak przyję to w [23]. Odkształ cenie lokalne i jego obszar zależy od sztywnoś ci pneumatyka i ma wpł yw na param etry kinematyczne a, fi i y.

D okł adne badania przeprowadzone n a koł ach rowerowych, z uwzglę dnieniem zmiany ciś nienia, wykazał y znaczne róż nice w wartoś ciach współ czynników (tablica 1).

Tablica 1 0,74 0,81 0,88

LmJ

2060 2354 2720 P N I b

 —1

LmJ 383 363 245 a 2,15 2,48 2,45 0,042 0,042 0,042

'£ ]

2,8 2,8 2,8 16 164 16 125 16 74

LmJ

5,6 18 5,6 15 5,6 12,2 K E K E K E K — zgodnie z terią Kieł dysza, E — wyznaczone doś wiadczalnie.

W powyż szej tablicy / j, jest stosunkiem ś rednicy pn eum atyka ugię tego do ś rednicy pneumatyka swobodnego; w przypadku idealnie sztywnych pn eum atyków / u =  1.

Wartoś ci współ czynników ot. i 8 mają znaczny wpł yw n a otrzym ane wyniki, okreś la-ją ce wł asnoś ci dynamiczne pojazdów. Współ czynniki te w duż y

m stopniu zależą od sztyw-noś ci pneumatyka, a nie są wył ą cznie zależ ne od prom ienia koł a sztywnego (16), (17) i (18) jak wyznaczono w [23].

4. Dynamiczne równania ruchu

Poł oż enie roweru z rowerzystą okreś lono oś mioma współ rzę dnymi uogólnionymi (rys. 5):

x — przemieszczenie poprzeczne, współ rzę dna pun ktu przecię cia pł aszczyzny ś

red-nicowej tylnego koł a z pł aszczyzną drogi;

6 — kąt odchylenia roweru, kąt zawarty mię dzy osią y przyję tego ukł adu współ -rzę dnych, a ś ladem pł aszczyzny ś rednicowej tylnego koł a;

X~ kąt przechylenia roweru, kąt zawarty mię dzy pł aszczyzną ś rednicową tylnego

koł a a pł aszczyzną pionową yz;

y> — kąt obrotu osi kierownicy;

l i J ii — przemieszczenie poprzeczne ś rodków pola kon taktów, odpowiednio tylnego i przedniego koł a;

STATE C Z N OŚĆ P O JAZ D Ó W JED N OŚ LAD OWYCH 521

<pt><p2 — skrę canie osi powierzchni kon taktów wzglę dem ś ladu pł aszczyzny ś rednicowej koł a tylnego i przedniego.

R ówn an ia ruchu roweru toczą cego się  bez poś lizgu n a sprę ż ystych pneumatykach, z uwzglę dnieniem wię zów nieholonomicznych, wyprowadzono stosują c równania M AG -GIEGO [4, 9, 15], w postaci

(19)

Rys. 5. Przyję ty ukł ad odniesienia oraz przemieszczenia ką towe i liniowe roweru na kołach z odkształeal-nymi pneumatykami

i równ an ia wię zów w postaci

(20)

gdzie

r

 3L

_

522 J. MARYN IAK, Z. G OBAJ

przy czym

q

a

 —współ rzę dne uogólnione,

bt —kinematyczne charakterystyki ukł adu,

T —kinetyczna energia ukł adu,

Q„ — sił y uogólnione potencjalne i niepotencjalne,

Ui — potencjalna energia pojazdu bez pneumatyków,

U

2

 — potencjalna energia pneumatyków,

F

_R

 — dysypacyjna funkcja Rayleigha.

Jeż eli liczbę przyję tych współ rzę dnych uogólnionych, opisują cych jednoznacznie

zmiany poł oż enia pojazdu, oznaczymy przez k i jeż eli mamy b równań wię

zów nieholo-nomicznych, to liczba niezależ nych prę dkoś c

i uogólnionych równa jest róż nicy I = k—b

okreś lają ce

j liczbę niezależ nych charakterystyk kinematycznych ukł adu e,.

Po obliczeniu energii kinetycznej i potencjalnej ukł adu, wyznaczeniu odpowiednich

zwią zków kinematycznych i linearyzacji równań ruchu (19) i wię

zów (20) z wykorzysta-niem (13) i (14), otrzymano ukł ad oś miu równań róż niczkowych zwyczajnych rzę du

drugiego ze stał ymi współ czynnikami.

(21) mx -  S

y

d + S

x

'x - oNx- Si,y>+aN

2

 sin Xy> -  ag

x

 -  a£

2

 =  0;

(22) -  S

y

x+J

y

0 -  J

xy

'ż + V(G

t

 + G

3

)x + coN

2

%+J

4

y> -  VG

3

 sin kip -  caN

2

 si

+ ca£

₂

—b(p

₁

—bcp

₂

 =  0;

(23) S

x

x- J

xy

d-  V{G

1

 + G

3

) &+J*x- (gSx- QiN)x- Jjp ~ VG

3

 cos Xy +

+ (gS* -  QiN

2

 sin X)f + oN

x

  | j +  oN

2

 C

2

 =  0;

(24) -  S$+Ą 6+VG

3

 sin X6 -  /

3

 % +  VG

3

 cos X% + (gS+ -  Q

X

  N

2

 sin X -  c

x

 aN

2

) % +

+ Ą y

> + dip + (gS

0

 sin X+Q

X

 N

2

 sin

2

 X + c

x

 aN

2

 sin X)tp —

— (oN

2

sinX+ac

1

)l;

2

 — bcosX<p

2

 =  0;

(25) !

(26)

(27) x -  cd + c

1

y) + Ż

2

 + V8 + Vip'cos X+Vcp

2

 =  0,

(28) 6 + y)cosX + j)

₂

- aVC

₂

+pV(p

₂

 + yVx- yVsmXip =  0.

Równania (21)- (24) są równaniami ruchu roweru, natomiast pozostał

e cztery równa-nia (25)- (28) są równaniami wię zów nieholonomicznych toczą ceg

o się roweru na pneuma-tykach.

Wielkoś ci geometryczne i rozkł ady mas podano na rys. 6, natomiast:

m — masa cał ego ukł adu,

S

x

,Sy,S^,,S

0

 — momenty statyczne,

J

X

iJ

y

,J3,JA,>G

1

,G

3

 — momenty bezwł adnoś ci,

STATE C Z N OŚĆ P O JAZ D Ó W JED N OŚ LAD OWYCH

U kł ad równań (21)- (28) m oż na przedstawić w zapisie macierzowym w postaci: (29) Ax+ Bx +  Cx =  0,

gdzie x m c o l[x, 0, %, ip, Si, h* ?>i> 9>2j>

A —m a c ier z kwadratowa współ czynników bezwł adnoś ci, B —m a c ier z kwadratowa współ czynników tł umienia, C —m a c ier z kwadratowa współ czynników sztywnoś ci. P o wprowadzeniu dodatkowych funkcji:

523

Rys. 6. G eometria roweru oraz przyję ty rozkł ad mas rowerzysty i roweru ukł ad równ ań (29) sprowadzon o do nastę pują cej postaci:

(30)  P y + Q y =  0, gdzie y i y są  to nastę pują ce macierze kolum nowe:

y =  colly

₁

,y

_2t

y

₃

,y

_Ą

,x,d,x,W ,ii,(2,Vi>V2lf

y -P o przekształ ceniu i pom n oż en iu lewostronnie przez macierz odwrotną   y -P "1 otrzym an o: (31) y =  Ry,

524 J-  MARVNIAK, Z . G ORAJ

gdzie macierz stanu R ma postać:

(32) R =  P -

1

( Q )

-Rozwią zani

e ukł adu (31) przewiduje się w postaci:

(33) y =  y

o

e xp ^ ,

gdzie y

0

 jest macierzą kolumnową wartoś ci począ tkowych.

Podstawiając (33) do ukł adu (31) otrzymano:

(34)  [ R - ^ y

o

= 0 ,

gdzie I jest macierzą jednostkową.

Aby ukł ad równań miał  rozwią zani

e niezerowe, wartoś ci wł asne macierzy R są tymi

wartoś ciami parametru A, dla których

(35) detfR- AI] =  0.

Rozwią zani

e zagadnienia sprowadza się do wyznaczenia wartoś ci wł

asnych i wekto-rów wł asnych macierzy stanu R.

Wyznaczenie wektorów wł asnych, odpowiadają cyc

h ś ciś l

e okreś lony

m wartoś ciom

wł asnym, pozwala na identyfikację odpowiednich ruchów roweru.

Rozwią zani

e ogólne ukł adu równań jest liniową kombinacją wszystkich rozwią za

ń

szczególnych i ma postać:

' •

(36) y ~

gdzie

yj—jest wektorem wł asnym, odpowiadają cy

m wartoś ci wł asnej,

Cj — stał e wyznaczone z warunków począ tkowych, bę dą cyc

h wartoś ciami zakł

ó-ceń od ruchu ustalonego dla chwili t =  0, .

i—wartoś ci wł asne macierzy stanu R, \ ~

2n •

rjjj+i —czę stoś

ć oscylacji o okresie Tj — —• ,

£j,j+i —współ czynnik tł umienia, jeż el

i wszystkie gj <0, wahania są tł umione, tzn.

ruch pojazdu jest stateczny, czas stł umienia amplitudy do poł owy Tip =

1D2

ii '

przy czym liczba wł asnoś ci wł asnych Xj i odpowiadają cyc

h im wektorów wł asnych y^

jest równa n =  2a—b, tzn. liczbie równań róż niczkowyc

h (30) rzę

du pierwszego, otrzyma-nych z przekształ cenia ukł adu równań (29). :

5. Równania ruchu uproszczonej statecznoś ci bocznej roweru

W celu wyjaś nienia wpł ywu liczby przyję tyc

h stopni swobody i uproszczeń wynika-ją cyc

h z pominię ci

a podatnoś

STATE C Z N OŚĆ P OJAZ D ÓW JED N OŚ LAD OWYCH  525

Koł a roweru traktowan o jako cienkie tarcze, idealnie sztywne [9, 23]. Kon takt kół

z powierzchnią drogi sprowadza się do styku punktowego. N a koł a dział ają wył ą cznie

reakcje n orm aln e TV, n atom iast nie mogą wystą pić sił y styczne F, momenty przechylają ce

Mx i momenty odchylają ce Mo.

R ówn an ia ruchu wyprowadzono z równań Lagrange'a I rodzaju [4] w postaci

d I dT\  8T

 v-b

 Q+

dla a =   1 , 2 , 3 , 4 ; /S =  1, 2; gdzie

T — energia kinetyczna ukł adu, wyraż ona we współ rzę dnych uogólnionych ąa, Q„ — sił y odpowiadają ce współ rzę dnym uogólnionym,

jup — mnoż niki Lagrange'a,

apa — współ czynniki wię zów nieholonomicznych,

przy czym . k

(38) £"t^ .+afo =

 0. -Równania wię zów nieholonomicznych dla roweru o idealnie sztywnych koł ach otrzymano,

po przekształ ceniu równ ań zgodnie z [23], w postaci

x+V8 = 0,

(39) • ' .

cQ —cLf — Vf cos % =  0.

N a podstawie (38) z równ ań (39) otrzymano macierz współ czynników wię zó

w nie-holonomicznych w postaci: •  '

."1 0 0 0 (40)

P o obliczeniu energii kinetycznej i sił  uogólnionych, jak w rozdziale 4, i wprowadzeniu do równań (37) m noż ników ft'i,'fi2 i współ czynników (40), otrzymano nastę pują cy ukł ad róż niczkowych równ ań ru ch u : •

(41) i •  v•  • '.' ;• •' mx- Syd + Sxx- S^yii= fix, r>;  . ( . • / • . -  -  • ;

(42) -(43) Sxx- Jxy6- V(Gl + G3)6+Jxx- Jay>- VG3

yicos). -(44) -  St'x+J4e + VG3

 6 sin X-Powyż sze równ an ia ruchu wraz z równaniami wię zów nieholonomicznych (39) opisują

ruch roweru n a sztywnych koł ach.

5.1. Równania ruchu uproszczonej statecznoś ci bocznej z uwzglę dnienie m przechylania i obrotów kie-rownicy. Eliminując z równ ań ruchu (41)- (44) mnoż

niki Lagrange'a i wyznaczając z rów-526 J. MARYNIAK, Z . G ORAJ

n ań wię zów x i 6 otrzymano równania uproszczonej statecznoś ci bocznej, sprzę gają ce ruchy przechylają ce roweru % z obrotam i kierownicy y>,

(45)  A x + B i + C x =  0, gdzie

x =  c o lfo . y] ,

przy czym wyrazy macierzy współ czynników  A, B i C są  nastę pują ce: flu =  cJx, a12 =  a2i — —cJ3~ a22 m

b

_xl

 =  o,

b12  = -b2l =

b

₂₂

 = V iciSf+AcosA+CtSy— + J

_y

— cosA

Cn =  ~cgSx, c12 =

\ +cd,

c22 =  »

5.2. Równania ruchu uproszczonej statecznoś ci bocznej z uwzglę dnieniem odchylania i obrotów kierow-nicy. Zał oż ono, że zmiany przemieszczeń bocznych x i przechylania % są  mał e i po-mijalne w stosunku do ruchów odchylania roweru 6 i towarzyszą cych im obrotów kierow-nicy yj. Eliminują c z równań ruchu (41)- (44) i równań wię zów (39) skł

adniki odpowiada-ją ce pomijanym zmianom otrzymano róż niczkowe równania ruchu roweru, opisują ce

wę ż ykowanie.

M acierz kolumnowa skł adowych wektora x równania (45) m a postać x =  co l[0, y],

przy czym wyrazy macierzy współ czynników bezwł adnoś ci A, tł umienia B i sztywnoś ci C mają  postać: l i ^ i y y bi2 = cd—ct FG b21 =  c, b22 =  —clt c12 =  cgSo sin A, c22 =  — KcosA.

STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH  527

5.3. Równania ruchu uproszczonej statecznoś ci bocznej z uwzglę dnieniem odchylania, przechylania i obrotów kierownicy. P om inię to przemieszczenia boczne x przy zał oż eniu, że pozostał e trzy ruchy, t j.: odchylanie 6, przechylanie % i obroty kierownicy ę , są  ruchami decydują cymi i wza-jemnie sprzę ż onymi. Z równ ań ruchu (41)- (44) i równań wię zów (39) otrzymano równania opisują ce tak zmodelowany rower w postaci (45), którego wektor x posiada nastę pują ce skł adowe:

x = co\ [Q,%,f],

a wyrazy współ czynników A, B i C mają  nastę pują cą  postać:

#12 — #31 = #32 — #33 — b_2Z ~ ^32 = C 21 = C_{3 1} = C₃₂ = 0, #11 — <^4+"')i~^~» ^ 1 3 - AA l # 2 1 =  "xy> O- 22  = =  «*J #23 = _{""/ if}

—

c

b

23

 =  —

C C l  T C22 =  —gSx, c3 3 = cos X. c Wykonanie obliczeń numerycznych dla uproszczonych modeli roweru i dla modelu przyję tego w rozdziale 4 pozwala n a porównanie wyników i ich analizę . Pozwala t o wy-cią gną ć wnioski odnoś nie sł usznoś ci stosowanych modeli roweru przez szereg badaczy, jak ŁOJCJAŃ SKI, ŁU RIE, N EJMARK i F U F AJEW, jak również umoż liwia okreś lenie wpł ywu

zał oż eń upraszczają cych n a poprawnoś ci wyników. 8 M echanika Teoretyczna

528 J. MARYN IAK, Z . G ORAJ

6. Wyniki obliczeń numerycznych i wnioski

Obliczenia przykł adowe wykonano dla roweru turystycznego «Ambasador». Rozwią-zano peł ny ukł ad równań (21)- (28), ja k również równania statecznoś ci uproszczonej wyprowadzone w pun ktach 5.1, 5.2 i 5.3.

Wszystkie obliczenia wykonano wedł ug wł asnych program ów n a E M C G I E R w Za-kł adzie Obliczeń N umerycznych U niwersytetu Warszawskiego.

Jako parametry zmienne traktowan o:

d —tł um ien ie w kolumnie kierowniczej,

k — odsą dzenie przedniego koł a wzglę dem osi obrotu,

R —p ro m ień kół  roweru, Ls — dł ugość roweru,

A  —k ą t pochylenia osi kierownicy,

V — prę dkość jazdy roweru,

(i • — współ czynnik okreś lają cy ciś nienie w pn eum atykach.

Wyniki przedstawiono w postaci wykresów, n a których linią cią głą naniesiono zmiany współ czynników tł umienia £,- , a przerywaną czę stoś c i oscylacji rjj. Jednakowymi indek-sami oznaczono n a wszystkich wykresach odpowiadają ce sobie wartoś ci wł asne, charak-teryzują ce te same ruchy roweru:

h,2 ™ £ i, a± wh, 2 —oscylacje lub ruchy aperiodyczne odpowiadają

ce obrotom kie-rownicy %p, lub

A2 =  f 2

A3 =  f3 — aperiodyczne ruchy kierownicy y,

A- 4. = £4. — aperiodyczne ruchy przechylają ce roweru %,

As,6 =  £5,6± »?5,6 —szybkie oscylacje odpowiadają ce ruchom odchylają cym roweru, wywoł anym skrę caniem <px pn eum atyka tylnego koł a,

A?,8 — ^7,8 +  ^7,8 —szybkie oscylacje odpowiadają ce ruchom odchylają cym roweru, wywoł anym skrę caniem q>2 pn eum atyka przedniego koł a,

A9 =  f 9 . — aperiodyczne ruchy odchylają ce roweru 0 lub ruchy harmonicz-lub n e, odpowiadają ce obrotom kierownicy yi, sprzę ż ony m z odchy-• ^3,9 =  £3,9± »?3,9 laniem roweru 6,

ho =  fio —aperiodyczn e ruchy odchylają

ce roweru 6 lub oscylacji, odpo-lub wiadają ce ruchom przechylają cym roweru % sprzę ż ony m z odchy-l i o =  £t,io +  "74,10 m z odchy-laniem 6.

Ruch roweru niekierowanego jest ruchem niestatecznym ze wzglę du n a przechylanie %, Wartość wł asna A4 i A4,10 charakteryzują ca przechylanie posiada czę ść rzeczywistą — współ czynnik tł umienia zawsze dodatni  |4 > 0 i  £4 j l 0 > 0 (rys. 7- 13 i rys. 15).

6.1. Wpł yw parametrów konstrukcyjnych na statecznoś ć. Jako zmienne param etry konstruk-cyjne zgodnie z rys. 6 przyję to: promień koł a R, dł ugość roweru Ls

530 J. MARYN IAK, Z. G ORAJ 'IB - 6 - 1Z • 18 - 24 \ \ 91,2 \  10 / / / A m b a sa d or / / / —A- . _—^——' ' / <?n »^= ;  ": it A[deg] 20 30 ti,i V"8m/ s przypadek 51 R.Q3SSm » 5.3 k- 0,Q87m 6- 0

Rys. 9. Współ czynniki tł umienia I i czę stoś ci oscylacji J? W funkcji ką ta pochylenia A kolumny kierownicy

Wzrost promieni kół  roweru i? wpł ywa równocześ nie n a zwię kszenie jego wysokoś ci,

powoduje ustatecznienie ruchów roweru (rys. 7). Powoduje przejś cie z nietł umionych aperiodycznych ruchów kierownicy f x > 0 i  |2 < 0 do tł um ionych oscylacji  |1 > 2 < 0 o wzrastają cej czę stoś ci (rjll2 roś nie). Równocześ nie nastę puj e ustatecznienie przechyla-nia  ( |4 maleje) i zmniejszenie tł umiee ustatecznienie przechyla-nia aperiodycznych obrotów kierownicy ( £3 roś nie). Koł a o mał ych promieniach powodują niestateczność roweru, co potwierdzają również doś wiadczenia.

Wzrost dł ugoś ci roweru Ls wpł ywa n a zmniejszenie czę stoś ci oscylacji r\li2 ruchów obrotowych kierownicy przy niewielkim spadku tł umienia  |1 > 2 (rys. 8). N a pozostał e ruchy nie ma istotnego wpł ywu.

STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH 531 - 15 _{- 5} 60 30 0 5 - 3 - 6

7

- 9 - 12 - 15

I

V- 8m/ s P- O,355rn

°

6- 0 Ls- 0,975m •  przypadek 5,1

Rys: 10. Współ czynniki tł umienia I i czę stoś ci oscylacji t] w funkcji odsą dzenia k przedniego koł a wzglę-dem osi kierownicy

Kąt pochylenia kolum n y kierowniczej k (rys. 6) m a decydują cy wpł yw na stateczność

roweru. Wzrost ką ta A powoduje ustatecznienie roweru. Aperiodyczne ruchy kierownicy z rozbież nych przechodzą w tł um ion e  |3  (rys. 9), a aperiodyczne obroty kierownicy ro-weru £! < 0 i  |2 < 0 n a tł um ione oscylacje  f u < 0 o ustalają cej się Czę stoś ci wahań »?1> 2. Wzrost ką ta I wpł ywa silnie ustateczniają co na ruchy przechylają ce roweru, współ

-czynnik tł umienia £₄ maleje. Widać wyraź nie rysują cy się zakres optymalnych ką tów

pochyleń, stosowany wł aś nie przy współ czesnych rowerach, okreś lony n a drodze ekspe-rym entu. .

Wyprzedzenie ko ł a przedniego k (rys. 6) jest stosowane w celu zmniejszenia statecz-noś ci aby polepszyć sterowa przedniego k (rys. 6) jest stosowane w celu zmniejszenia statecz-ność pojazdów koł owych. Jak wynika z rys. 10 cel ten został

532 J . M AR YN I AK Z . G O R AJ - a - 16 - 24 - 4 0 24 16 3 V- 2m/ s R=0355m 2=19,83° L5- 0,075 m k- 0,087m przypadek 5.1 9 \ 12 \ 15 - * / - 8 <S[Nms/ rd] V- R- 2-3 0,355 m 19,83° - 0,975 m 0,087m s ~ - — ~——• —i 9 — ^ .

Zi

—£u-ć [Nms/ rd] - us

Rys.  l i . Współ czyn n iki tł um ien ia $ i czę stoś ci oscylacji TJ W funkcji tł um ien ia wiskotyczn ego 5 w kolum n ie kierownicy

osią gnię ty, bowiem dodatnie wyprzedzenie, tzn. do przodu, zmniejsza tł umienie oscylacji kierownicy (współ czynnik tł umienia  |1 ( 2) przy równoczesnym spadku czę stoś ci ( J ?1 J 2) -Wielkoś ci odsadzeń stosowane przy rowerach są w zakresie odsadzeń optymalnych.

Wpł yw tarcia wiskotycznego w kolumnie kierownicy n a stateczność przedstawiono

na rys. 11. Wzrost tarcia wyraź ni

e ustatecznia ruchy obrotowe kierownicy i zależy rów-nież od prę dkoś ci jazdy. N ie ma n atom iast wpł ywu n a ruchy przechylają ce £4  i aperio-dyczne ruchy kierownicy f3. Przy mał ych prę dkoś ciach jazdy tł um ion e  ( |l i 2  < 0) oscy-lacje rj1)2 przechodzą w ruchy aperiodyczne  |Ł < 0 i f2 < 0 bardzo silnie tł um ione. N a-tomiast przy prę dkoś ciach wię kszych wystę pują wył ą cznie oscylacje ukł adu kierowniczego rjU2 charakteryzują ce się wzrostem tł umienia ĘU2. - q jH onfrOtsJi 3$»q$io<j\ Ą>

STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH ₅₃₃

6.2. Wpł yw parametrów kinematycznych na statecznoś ć. Rozpatrywano wpł yw prę dkoś c i jaz-dy V n a stateczność roweru, dokonując obliczeń trzech przypadków statecznoś ci uprosz-czonej (rys. 12) i peł nej z uwzglę dnieniem podatnoś ci pneumatyków (rys. 13).

Wzrost prę dkoś ci jazdy wpł ywa ustateczniają co na ruchy roweru jako ukł adu idealnie sztywnego (rys. 12), jak również z uwzglę dnieniem podatnoś ci pneumatyków (rys. 13). Szczególnie zaznacza się silny wpł yw n a szybkie oscylacje roweru, odpowiadają ce ruchom odchylają cym n a przednim pn eum atyku £7 > g, ??7>8 i tylnym pneumatyku  |5 l 6 i 7]5>6. Wzrost prę dkoś ci powoduje 'zwię kszenie tł umienia  ( £5 | 6 i  £7 | 8 silnie maleją) przy równoczesnym wzroś cie czę stoś ci oscylacji (r)St6 i ??7ja rosną ). Szybka jazda jest korzystniejsza.

O""

**•

is.

Rys. 12. Współ czynniki tł umienia I i czę stoś ci oscylacji r\  w funkcji prę dkoś ci jazdy V i ich porównanie przy róż nych uproszczeniach modelu fizycznego sztywnego roweru

120 r 90 00- 15 60 - 3 0 30 - 30 - 15

- o

- 15 - SO ~30 - 90  - t ó - 120 R"0,355m k- ą OB7m 6=0 a.,p, 2f obliczone wedł ug Fotografii 2

Rys. 13. Współ czynniki tł umienia f i czę stoś ci oscylacji r) w funkcji prę dkoś ci jazdy V dla roweru na od-kształ calnych pneumatykach

STATECZNOŚĆ POJAZDÓW JEDNOŚ LADOWYCH 535

6.3. Wpł yw podatnoś ci pneumatyków na statecznoś ć. U wzglę dnienie podatnoś ci poprzecznej pneumatyków daje w rozwią zaniu peł nym oprócz wartoś ci wł asnych charakteryzują cych ukł ad sztywny Al i 2, / l3 i Ź U, dwie nowe pary wartoś ci wł asnych zespolonych sprzę ż onych Xs6 i 17 > 8 (rys. 13, 16, 17) charakteryzują ce szybkie oscylacje rjSi6 i TJ7I8 zawsze silnie tł u-mione  |5 6 < 0 i £7,8 < 0> odpowiadają ce ruchom wywoł anym skrę caniem pneumaty-ków tylnego q>i i przedniego q>2. £,? 12 36 30 18 12 - 6 - 12

y

/

b

X 1 1 / / . - — — • " "

A

x

_ x XW./T

* -

>

- IJ- 0J4 —(J- Q81

U V

- jj'0,88

Rys. 14. Porównanie tł umienia £  1 ) 2 i czę stoś ci oscylacji %,2 w funkcji prę dkoś ci K, odpowiadają cych/ uchom obrotowym kierownicy y>

536 J. MARYN IAK, Z . G ORAJ

~?3,S £3,9

- 14

- 30

Rys. 15. Porównanie tł umienia f i czę stoś ci oscylacji i\  w funkcji prę dkoś ci jazdy V, odpowiadają cych ruchom harmonicznym kierownicy y> sprzę ż ony

m z odchylaniem roweru 0 (773,3, £3,3) oraz ruchom prze-chylają cym roweru % sprzę ż onym z odchylaniem 6 (xittls, £  4 i l 0)

Stopnie swobody, wynikają ce z podatnoś ci pneum atyków, wprowadzają dodatkowe sprzę ż enia mię dzy kinematycznymi stopniami swobody X3,9 i A4> 10 (rys. 12, 13, i 15), co nie tylko m a wpł yw na wyniki iloś ciowe ale również wpł ywa n a charakter obliczonego ruchu.

Wyniki rozwią zań, uwzglę dniają ce wpł yw deformacji pn eum atyka, przedstawiono n a rys. 14- 15 dla współ czynników kinematycznych a, fi i y, obliczonych wedł ug teorii KIEŁ D YSZA i zgodnie z NEJMAKKIEM i FUFAJEWEM «K - N - F » oraz porówn an o z wynikami otrzymanymi po zmodyfikowaniu obliczeń przez autorów «A» w oparciu o doś wiadczenia, ja k również podan o wyniki statecznoś ci uproszczonej «U ».

£ * !§ C &  f j p

i

_x

ii! * I i m i In

\  \  \  \  /   / / / : = ,  8 f t

\ \  \  \   / / / / ? ! !

•  \ \ \  / / /  III

\ ^ \  /  / /  -gRB

//  /  «*  f < H fc £

If/  A i ri| |

^§ a s

 R

 « s s s $*°"^

R 5 3 S 8 S "o ^ »  S W I S S ' S

kv Ł\! Ł f *" 1  L

 4

 A/ I Ig

W \  ^ /   / / /  il

v \ x  S r  / / /   - - S ^

\  \  \  \  /  /   / /  r§s

W \  i /   / / /  ill

IN 1 w &•: IP

i

^\ i i/  ; 

?••  if!

[537]

538 J. MARYN IAK, Z . G ORAJ

: 7. Wnioski ogólne

Jak wynika z przedstawionej pracy, stosowane przez wielu autorów (ŁOJCJAŃ SKI,

ŁTJRIE, KIEŁDYSZ, N EJMARK, FU FAJEW) uproszczenia modeli fizycznych lub równ ań ruchu w celu uł atwienia obliczeń przez obniż enie stopnia równ an ia charakterystycznego nie zawsze mogą  być stosowane. U proszczenia takie mogą  prowadzić do bł ę dnych rozwią zań i bł ę dnej interpretacji wyników, charakteryzują cych przyję ty model fizyczny, a niejedno-krotnie utoż samiany z rzeczywistym pojazdem. ,

Współ czynniki kinematyczne a, i /5 wyznaczone zgodnie z «K~ N - F » zależą  wył ą cznie od promienia nieodkształ calnego koł a

i nie uwzglę dniają  podatnoś ci pneum atyka — teoria pół sztywnego koł a (okreś lenie auto-rów). N atomiast uwzglę dnienie podatnoś ci pn eum atyka poprzez przyję ty współ czynnik fi i wyznaczenie doś wiadczalne lokalnej deformacji pn eum atyka m a wpł yw n a współ czynni-ki kinematyczne (tablica I ), a tym samym n a tł umienie i czę stoś ci oscylacji drgań pojazdu (rys. 14- 17).

Z powyż szego wynika, ż e: przy wyznaczaniu współ czynników kinematycznych, należ y

okreś lić lokalny obszar deformacji pneumatyka.

Z obliczeń wynika, że dla przykł adowo obranego roweru «Am basador» przyję te para-metry konstrukcyjne są  wielkoś ciami optymalnymi, n p . : prom ień kół  R (rys. 7), ką t pochylenia osi kierownicy X (rys. 9), odsą dzenie przedniego koł a wzglę dem osi kierownicy k (rys. 10).

Przeprowadzone badania i opracowane programy n a E M C mogą  mieć praktyczne zastosowanie dla oś rodków konstrukcyjnych, bowiem już w fazie konstruowania moż na obliczyć efekty nowych rozwią zań lub zmian.

Literatura cytowana w tekś cie

1. R. E. D . BISH OP, G . M. L. G LADWELL, S. MICHAELSON, Macierzowa analiza drgań , WN T, Warszawa

1972.

2. E. DOHRING, Die Stabilitat von Einspurfahrzeugen, Forsch. G eb. Ingenieurwesens, B. 24. N 2, 50—62, 1955. :

3. J. R. ELLIS, Vehicle dynamics, Businers Books Limited, London 1969. 4. R. GUTOWSKI, Mechanika analityczna, PWN, Warszawa 1971.

5. R. GUTOWSKI, Równania róż niczkowe zwyczajne, WN T, Warszawa 1971.

6. A. VAN LUNTEREN, H . G . STASSEN, Annual Report 1969 of the Man- Machine Systems Group, Labo-ratorium Voor Meet —E n Regeltechnik, Delft 21, April 1970.

7. J. MARYNIAK, Statecznoś ć dynamiczna podł uż na szybowca w zespole holowanym, Mech. Teoret. i Stos., 3, 5 (1967).

8. J. MARYNIAK, M . LECH , A. N AŁĘ CZ, Identyfikacja dynamiczna pojazdów na pneumatykach, Proceedings

STATECZN OŚĆ POJAZD ÓW JED N OŚ LAD OWYCH  539

9, J . MARYN IAK, Analiza dynamiczna modeli pojazdów na pneumatykach, Zeszyty N aukowe Przemysł o-wego Instytutu M otoryzacji, N r 1,1974.

10. A. M ORECKI, J. E K I E L, K. F I D ELU S, Bionika ruchu, P WN , Warszawa 1971.

11. N owoczesne metody numeryczne, opracowane przez N ation al Physical Laboratory Teddingtan Mid-dlessex, P WN , Warszawa 1965.

12. H . B. PACEJKA, T he wheel shimmy phenomenon, R otterdam 1966. 13. L. A. P ARS, A treatis on analytical dynamics, H einemann, London 1964.

14. Z . G ORAJ, Statecznoś ć boczna roweru z uwzglę dnieniem odksztalcalnoici poprzecznej pneumatyków,

praca magisterska. Z aM ad M echaniki I M S P W, 1972 (nie publikowana).

15. J . MARYN IAK, Z . G ORAJ, Bonpocu ycmounueocmu eenocuneda, Zagadnienia D rgań N ieliniowych, N r 15/ 1973.

16. <&. P . FAHTMAXEPJ T eopun Mampuif, H 3fl. H ayKa, MocKBa 1966.

17.  H .  H . KAJIKEPJ A. R. pp TIATEP, OSsop meopuu jiOKajibuoio awAhoicenuB e oSjiacmuynpysoso KotimaKma

c cyxuM mpenueM, IIpHKJiaflHaH  MexanHKa.,  T .  VI I ,  B . 5, 1971.

18.  M . B. KEJTOBIU I, IHuMMU nepedneso Koneca mpexKOjiecnoio tuaccu, T p . LVUTH, 1945. 19. A.  F . JIOH IJH H CKH H J A.  H . JlypBE, Kypc meopemuuecKou AtexauuKU, FocTexH3flaT 1955.

20.  J I .  F . JIOBAC, AHOMU3 pa,3eumuH u coepeMemioio cocmommn dimamaai KOMCHUX Mauim, npuKJiaftH as MexaHHKa,  T .  VI I I5  B . 5, 1972.

21. J I .  F . JIOBACJ ffo meopn UUMMI nimaKa, flonoBifli AirafleMii H ayi< YKpaiHCKoi  P C P , 3 cepia A 1973. 22. J I .  F . JIOBACJ ninnxoea cmiumcnib pienoMipmio npnMOJiiniuHoio Konenun Koneca, JJpnoBifli AH  YP C P ,

4 c e p ia  A, KwiB 1973.

23. K ) .  H . H E H M AP K,  H . A. Oy^AE Bj JJuHOMUKa ueiojioHOMHux cucmeM, H 3fl. H ayKa, MocKBa 1967. 24. I O .  H . H E H M AP K,  H .  A.  ^ ysAE B , YanouHuaoanb npusommeimozo deusiceuujt 3Kunaoica HO Sanomibix

KO/ iecax, IIpH KJiaflH aH  iwaTeiwaTHKa H  MexamiKa.,  T .  3 5 , 19 7 1.

25.  H . POKAPJ Heycmounueocmb e AtexanuKe,  H .  J I . M ocKBa 1959.

26.  H . B . CTPA>KEBAJ  B . C . M E H KVM OBJ Beicmopno- Mampunnue jueinodu e MexanuKe nojiema, ManmH O-e, MocKBa 1973.

P e 3 io M e

BE JI OC H n E flA H A nH EBM ATH ^IECKH X UIHHAX

B paSoTe paccMaTpH BaeTCH , H a npnivsepe Ben ocn n efla, ycToft^HBOcTB flByxKOJiecm.rx TpaH cnopTH tix cpeflCTB c jnieTOM noflaTJiHBOCTH  rmeBMaTiraecKHX I I I H U . I I on epetiH aH  H  KpyTHJiBHan noflawniBOCTH  n im i

3KcnepHMeHTajn>HbiM nyTeM .

paccMaTpHBaeTCH  KaK MexaHH^iecKaJi cHCTeiwa c aHrojioHOMHtiMH  cBH3iłMH3 cocTomrtaH

H3 JKeCTKItX SJieiVieHTOB. ypaBH eH H H  flBID KeH H H  BBIBOAHJIHCŁ Ha OCHOBaHHH  ypaBHeHHH  MaflJKH  flJIH aHTOJIOHOMHBIX CBH3e&, a ypaBH eH H H  ITBH>KeHHH  flJIH  HCCJieflOBaHHH  ynpOIHeHHOń yCTOftqHBOCTH  BŁI-BoflHJiHCt H3 ypaBH eH H ii JlarpaH H ca n e p Bo r o pofla c coMHOJKHTejMMH  u c KOStbtbffljiieHTaMH  aHTOJiOHOM-HblX CBH3eft.

ripiuwep ^H cjieH H oro p a c q e i a n p o fle n a n fljia TypacTH ^ecKoro Bejiocnnefla , jAM 6acaflop".H ccJieH O-BanocB  n p a STOM BUHHHJie H a ycToitqH BocTB xaKHX n apaiweipoB KOHCTpyKiraHj  I O K p a n n yc Kon eca, yr o n HaKJioHa pyjiH3 onepeH <eH H e n ep efliiero K on eca3 H Jnma BeJiocanefla H  TpeHHe B pyn eBoii KOJI OH KC

H ccjiesoBan ocB TaKHce BjniHHHe  n a ycroOTHBocTB KHHeMaTH^ecKoro napaivseTpa  T . e . C Kopocrn H noflawraBocTH   i m m .

H aH ajiH 3H poBajjncB pe3yjiBTaTbi3 n o n yqeH H iie  n p n yn pom eH H ax pa3H oro

a T aK «e paccM aTpH BanocB B n a m n i e npeanojioMKeH H H , co,n;ep>KanrjHxcH  B Mop;ejm nHeBMaTH^iecKoft Ha npaBHjn>HocTB n on yqeH H Lrx pe3yjn>TaT0B.

540 J. M ARYN IAK, Z. G ORAJ

S u m m a r y

STABILITY PROBLEMS OF A BICYCLE EQU IPPED WITH  PN EU M ATIC WH EELS

The pioblem under consideration concerns the side stability of a bicycle equipped with pneumatic wheels. The bicycle and the cyclist constitute a mechanical system with nonholonomic constraints with eight degrees of freedom. Experiments are performed to determine the moments of inertia and side devia-tion of racing an „Ambasador" bicycle with the cyclist riding on. Calculations are accomplished for the complete set of equations as well as for a simplified model with reduced degrees of freedom. The simpli- fication of the set of equations which reduces the degree of the characteristic equation is not always appli-cable since it may cause false solutions and their erroneous interpretation. POLITECHNIKA WARSZAWSKA