Wzór na długość odcinka ( odległość między punktami)
A
AB
=
(
x
B−
x
A) (
2+
y
B−
y
A)
2 , gdzieA
=
(
x
A,
y
A)
;
B
=
(
x
B,
y
B)
Przykład 10.3.1. Oblicz długość odcinka AB , gdzie
A
=
(
3
,
−
2
)
;
B
=
(
−
1
,
4
)
Rozwiązanie
Komentarz
(
) (
2)
2 A B A Bx
y
y
x
AB
=
−
+
−
(
−
1
−
3
) (
2+
4
+
2
)
2=
( )
−
4
2+
6
2=
16
+
36
=
AB
=13
2
13
4
52
=
⋅
=
=
Obliczamy długość odcinka AB korzystając ze wzoru
(
) (
2)
2 A B A Bx
y
y
x
AB
=
−
+
−
. Wykonujemy podstawienie4
,
1
,
2
,
3
=
−
=
−
=
=
A B B Ay
x
y
x
Przykład 10.3.2.
Dany jest punkt P=(0; 7). Wyznacz na osi OX taki punkt R, aby jego
odległość od punktu P wynosiła 74 .
Rozwiązanie
Komentarz
(
x
R,
0
)
R
=
PunktR
leŜy na osi OX, zatem(
x
R,
0
)
R
=
(
) (
2)
2 P R P Rx
y
y
x
PR
=
−
+
−
(
) (
2)
27
0
0
74
=
x
R−
+
−
49
74
=
x
R2+
49
74
=
x
R2+
25
49
74
2 2=
−
=
R Rx
x
5
=
Rx
lubx
R=
−
5
Układamy równanie z niewiadomą
x
R , wykorzystując wzór(
) (
2)
2 A B A Bx
y
y
x
AB
=
−
+
−
( )
5
,
0
=
R
lubR
=
(
−
5
,
0
)
Zapisujemy współrzędne punktu R.B
Środek odcinka
A
Współrzędne środka odcinka
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
gdzieA
=
(
x
A,
y
A)
;
B
=
(
x
B,
y
B)
•S BPrzykład 10.3.3. Wyznacz współrzędne środka odcinka AB , gdzie
A
=
(
3
,
−
2
)
;
B
=
(
−
1
,
4
)
Rozwiązanie
Komentarz
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
( )
1
,
1
2
2
,
2
2
2
4
2
,
2
1
3
=
=
−
−
+
=
S
Wyznaczamy środek odcinka
AB ,
korzystając ze wzoru
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
. Wykonujemy podstawienie4
,
1
,
2
,
3
=
−
=
−
=
=
A B B Ay
x
y
x
Przykład 10.3.4.
Dane są punkty A = (51; – 18) i B = (– 14; 24). Znajdź taki punkt C, aby
punkt B był środkiem odcinka AC.
Rozwiązanie
Komentarz
+
+
=
2
,
2
C A C Ax
y
y
x
B
(
)
+
−
+
=
−
2
18
,
2
51
24
,
14
x
Cy
C2
/
2
51
14
=
+
⋅
−
x
C/
2
2
18
24
=
−
+
y
C⋅
Cx
+
=
−
28
51
48
=
−
18
+
y
C51
28
−
−
=
Cx
y
C=
48
+
18
79
−
=
Cx
y
C=
66
Do wyznaczenia współrzędnych punktu
C,
korzystamy ze wzoru
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
.Dostosowujemy ten wzór do naszego zadania i układamy równania z niewiadomymi
x ,
Cy
C(
−
79
,
66
)
=
Odległość punktu od prostej
Wzór na odległość punktu od prostej
( )
2 2
,
B
A
C
By
Ax
l
P
d
P P+
+
+
=
lgdzie
P
=
(
x
P,
y
P)
il
:
Ax
+
By
+
C
=
0
·
d·
PPrzykład 10.3.5. Oblicz odległość punktu
P
=
(
−
3
,
2
)
od prostej
l
:
y
=
2
x
−
4
Rozwiązanie
Komentarz
4
2
:
y
=
x
−
l
−
2
x
+
y
+
4
=
0
A
=
−
2
,
B
=
1
,
C
=
4
Zamieniamy równanie kierunkowe prostej l na postać ogólną.
( )
2 2,
B
A
C
By
Ax
l
P
d
P P+
+
+
=
( )
( )
( )
2 21
2
4
2
1
3
2
,
+
−
+
⋅
+
−
⋅
−
=
l
P
d
( )
1
4
4
2
6
,
+
+
+
=
l
P
d
( )
5
12
,
l
=
P
d
( )
5
5
12
5
5
5
12
,
l
=
⋅
=
P
d
Obliczamy odległość punktu P od prostej l, korzystając ze wzoru
( )
2 2,
B
A
C
By
Ax
l
P
d
P P+
+
+
=
. Wykonujemy podstawienie4
,
1
,
2
=
=
−
=
B
C
A
oraz2
,
3
=
−
=
P Py
x
Usuwamy niewymierność z mianownika.
Przykład 10.3.6. Oblicz odległość między prostymi :
l
:
2
x
−
y
+
3
=
0
i
k
:
2
x
−
y
=
0
Rozwiązanie
Komentarz
Proste
:
l
:
2
x
−
y
+
3
=
0
i
k
:
2
x
−
y
=
0
sąrównoległe. Odległość między prostymi równoległymi jest to odległość dowolnego punktu z jednej prostej do drugiej prostej.
Niech
x
P=
0
0
3
2
:
x
−
y
+
=
l
=
+
−
⋅
Obieramy dowolny punkt P z prostej l.
0
2
:
x
−
y
=
k
A
=
2
,
B
=
−
1
,
C
=
0
( )
( )
2 21
2
0
3
1
0
2
,
−
+
+
⋅
−
⋅
=
k
P
d
( )
1
4
3
,
+
−
=
k
P
d
( )
5
3
,
k
=
P
d
( )
5
5
3
5
5
5
3
,
k
=
⋅
=
P
d
Odp. Odległość między
prostymi :
l
:
2
x
−
y
+
3
=
0
i
0
2
:
x
−
y
=
k
jest równa
5
5
3
Obliczamy odległość punktu P od prostej k, Korzystając ze
wzoru
( )
2 2,
B
A
C
By
Ax
l
P
d
P P+
+
+
=
Usuwamy niewymierność z mianownika
Symetralna odcinka
k – symetralna odcinka AB kSymetralna odcinka – prosta prostopadła do odcinka i przechodząca
• X przez jego środek S
• Symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny, których A S B odległości od końców tego odcinka są równe.
Przykład 10.3.7. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB , gdzie
A
=
(
−
3
,
2
)
;
B
=
( )
1
,
−
4
Rozwiązanie
Komentarz
(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
(
y
−
2
)( ) (
1
+
3
=
x
+
3
)(
−
4
−
2
)
(
y
−
2
)
⋅
4
=
(
x
+
3
) ( )
⋅
−
6
2
5
2
3
:
/
10
6
4
18
6
8
4
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
x
y
x
y
x
y
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B, korzystając ze wzoru
(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
Wykonujemy podstawienia4
,
1
,
2
,
3
=
=
=
−
−
=
A B B Ay
x
y
x
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
(
1
,
1
)
2
2
,
2
2
2
4
2
,
2
1
3
−
−
=
−
−
=
−
+
−
=
S
Wyznaczamy środek odcinka
AB , korzystając
ze wzoru
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
b
ax
y
=
+
3
2
=
a
Wyznaczamy równanie symetralnej – prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt S.
Z warunku prostopadłości prostych
współczynnik kierunkowy a symetralnej jest odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej AB.
(
−
1
,
−
1
)
=
S
b
ax
y
=
+
( )
−
+
b
⋅
=
−
1
3
2
1
b
+
−
=
−
3
2
1
3
1
−
=
b
Obliczamy współczynnik b podstawiając współrzędne punktu S do równania
b
ax
y
=
+
Odp.
3
1
3
2
−
=
x
ĆWICZENIA
Ć
wiczenie 10.3.1. (1pkt.).Oblicz odległość punktu
A
=
(
−
3
,
4
)
od początku układu
współrzędnych.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie odległości punktu A od (0,0)
1
Ć
wiczenie 10.3.2. (2pkt.)
Dane są punkty A = (15; – 81) i B = (– 41; 42).
Znajdź taki punkt C, aby punkt A był środkiem odcinka BC
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie równań z niewiadomymi
x ,
Cy
C1
2 Podanie współrzędnych punktu C.
1
Ć
wiczenie 10.3.3. (3pkt.)
Oblicz odległość punktu
A
=
(
−
3
,
4
)
od osi układu współrzędnych.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie odległości punktu A od osi OX
1
2 Podanie odległości punktu A od osi OY1
Ć
wiczenie 10.3.4. (2pkt.) Oblicz odległość między prostymi
l
:
y
=
3
x
+
4
i
k
:
y
=
3
x
−
2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie współrzędnych dowolnego punktu z prostej l
