Toepassing van de elementenmethode op problemen uit de continua welke axiaalsymmetrisch zijn te formuleren

T f l

STEVIN - LABORATORIUM

Technische Hogeschool Delft

STEVIN - LABORATORIA van de afdeling der Weg- en VJaterbouwkunde der TECHNISCHE HOGESCHOOL Stevinweg i : Delft,

^•^z ^^^-.r

Rapport 8-68-3

Toepassing van de elementennethode op problenen uit de continua welke axiaalsyinmetrisch zijn te formuleren.

door Ir. A.W.M. Kok,

CPt

stevinweg h,

Delft

Biz.

1.2.1. Principes voor de afleiding van stijfheidsmatrices en

belastingsvectoren van axiaalsymmetrische elementen . . . . 1

1.2.2. De stijfheidsmatrix van een ring met willekeurig

drie-hoekige doorsnede . . . . U

1.2.3. De stijfheidsmatrix van een ring met rechthoekige

doorsnede 13

I.2.U. Belastingen • • «21

1.2.5. Randvoorwaarden 26

De doelstelling van de elementenmethode met verplaatsingen als fundamentele onbekenden is het bepalen van het verband tussen de belastingen die op een voorwerp werken en een stelsel discrete verplaatsingen. De keuze van de discrete verplaatsingen wordt bepaald door de verdeling in elementen. Bij een axiaalsymm-etrisch probleem uit de continua wordt hier uitgegaan van een verdeling in ringvormige elementen, van eenvoudige geometrie welke de ruimte die we willen beschrijven, geheel opvult. In het onderhavige rap-port zullen elementen worden beschouwd waarbij de ringen een willekeurig driehoekige of een rechthoekige doorsnede bezitten. Voor deze elementen worden dan de stijfheidsmatrices afgeleid, waarbij de verplaatsingen der hoekpunten van de doorsneden fungeren als fundamentele onbekenden. Evenals in voorgaande beschouwingen wordt ook hier de mogelijkheid opengelaten dat het materiaal waaruit de ringen bestaan, orthotroop zijn met de hoofd-richtingen van orthotropie langs de radiale, axiale en tangentiële rich-tingen.

De opbouw van de stijfheidsmatrix van het gehele systeem, v;elke het verband aangeeft tussen de belastingen en de discrete verplaatsingen, wordt bepaald door de stijfheidsmatrices van de afzonderlijke elementen (1«0.^)

Om het probleem volledig te kunnen beschrijven, wordt aangegeven hoe diverse soorten van belastingen en randvoorwaarden kunnen worden aangebracht.

1,2.1. Principes voor de afleiding van de stijfheidsmatrices en belastingsvectoren van axiaals:,Tnmetrische elementen.

Voor de afleiding van de stijfheidsmatrices en de belastingsvectoren van de afzonderlijke elementen wordt uitgegaan van het principe der minimum potentiële energie. Met behulp van de vormveranderingsenergie E wordt de stijfheidsmatrix S bepaald (1.0.3) en met de

potenti-V. V .

ele energie van de uitwendige belastingen E wordt de

belastings-pX9,3."GS

vector ^ bepaald (1.0.5)

r.u

FIG. 1

Alvorens verder te gaein worden de volgende notaties ingevoerd

r, z, t u. V r' z' t 'rz r* z' t

rz

= radiale, axiale en tangentiële coördinaten.

= radiale en axiale verplaatsingen

= rek in de verschillende richtingen

= hoekverdraaiing in het r-z-vlak.

= normaalspanningen in de respectievelijke richtingen

Vanwege de axiale symmetrie zijn de verplaatsingen in de tangentiële richting alsook de schuifspanningen x en T en de hoekverdraaiingen Y + 6n Y ^. allen nul. Als we dit inachtnemen, dan is de vormveranderings-e n vormveranderings-e r g i vormveranderings-e E : ° v . v v . v 2 { a e + a e + a ^ e ^ + Tr r z z t t r z r z Y } d V V F {a e + a e + a^e^ + x y } 2-rrrdF (1.1 ) r r z z t t rz'rz

De potentiële energie van de belastingen, E , is dan ten gevolge van de belastingen p (r,z) en p (r,z)

E

p l a a t s { p u + p v } dV •' r ^ z

{ p u + p v } 2iTr dF ( 1 . 2 ) r z

Het verband tussen de spanningen en de rekken voor een orthotroop materiaal met hoofdassen van orthotropie langs r-, z- en t-as, is als volgt aan te geven: o = c - , e + c . „ e + c . _ e . r 11 r 12 z 13 t °z = =12 ^ ^ "22 S •" "23 "t a = c.^ e + c^ . e + c^^ e t 13 r 23 z 33 t (1.3) ^rz = ".'tU ^rz

De substitutie hiervan in de vormveranderingsenergie levert de uitdrukking:

E

v . v 2 { c ^ ^ e / -H c ^ g e / + 0 3 3 6 ^ + 2 ( c ^ 2 ^ ^ ^ ^ "^ " l 3 V t "" ^ 2 3 ^ ^ ^ "^

De rekken moeten nu nog worden uitgedrtikt in de verplaatsingsfuncties u(r,z) en v(r,z).

Deze r e l a t i e s zijn dan:

3u ^r 3r 3v ^z 3z u

h =

r

- iü

^rz 3z + _3v 3r ( 1 . 5 )

Door middel van interpolatieformules worden binnen ieder element de ver-plaatsingsfuncties benaderd als functies van de discrete verplaatsingen die bij ieder element behoren. Het is nu mogelijk om aan deze interpolatie-formules zodanige eisen te stellen dat de consistentie van de oplossing van het te formuleren systeem vergelijkingen wordt gewaarborgd, (Consistentie van de oplossing wil zeggen dat we er zeker van kunnen zijn dat als het voorwerp in steeds kleinere elementen wordt verdeeld, de oplossing van het systeem vergelijkingen naar de exacte v/aarde toe convergeert),

Als we zeker willen zijn van de consistentie van de oplossing, dan moeten de interpolatieformules voldoen aan de drie volgende eisen:

e

1 Een starre verplaatsing langs de axiale as moet kunnen worden beschreven,

e

2 Een homogene rekverdeling van de rekken m het r-z-vlak moet exact kunnen worden beschreven,

e . . . . .

3 Volledige compatibiliteit van de verplaatsingen langs de randen van ieder element met de verplaatsingen van de aanliggende elementen moet gewaarborgd zijn,

Als aan deze eisen voldaan wordt, kan men zeker zijn van de consistentie van de oplossing. Op het bewijs hiervan zal verder niet worden ingegaan. Indien we nu de geschikte interpolatieformules hebben gekozen, dan kunnen ook de rekken in de discrete verplaatsingen worden uitgedrukt. De vormver-anderingsenergie E is zodoende geheel in de discrete verplaatsingen uit te drukken. Dit noteren we met behulp van de verplaatsingsvector v en de symmetrische stijfheidsmatrix S.

E = -i" v' S V (1.6) v.v 2 — —

Hiermee is de stijfheidsmatrix S van ieder element te bepalen.

De energie van plaats is uit te drukken in de discrete verplaatsingen. Dit is dan te schrijven als het inwendige produkt van de belastingsvector k en de verplaatsingsvector v.

E ^ . = - k'v

plaats — — (1.7)

Hiermee is de belastingsvector 1: te bepalen.

1,2.2. De stijfheidsmatrix van een ring met willekeurig driehoekige doorsnede.

'z

(r^.z^)

(r3,Z3)

De stijfheidsmatrix van een ring met willekeurig driehoekige doorsnede en orthotroop met hoofdassen van orthotropie langs r-, z- en t-as wordt in dit hoofdstuk afgeleid. Zoals reeds is aangetoond in hoofdstuk 1.0,3 is de vorm-veranderingsenergie E bepalend voor de stijfheidsmatrix S. De vornveran-deringsenergie van een axiaalsymmetrisch belast voorwerp is:

E = -^ { a e + a e + a . e. + X Y } 2TTr dF ( 2 . 1 ) v.v { a e + a e + a ^ e ^ + xr r z z t t rz rz y } 2TTr dF

Als fundamentele onbekenden fungeren de verplaatsingen van de hoekpunten, zodat we de beschikking hebben over zes vrijheidsgraden.

Kierdoor kunnen we de volgende interpolatiefonn.\iles opstellen voor de ver-plaatsingsfimcties u(r,z) en v(r,z):

u(r,z) = a. + a^r + a_z

(2.2) v(r,z) = b + b_r + b z

Deze constanten a. t/m a en b t/m b moeten nog op een geschikte manier worden gekozen. Verderop zal dit worden uitgewerkt. De rekken zijn dan ook te bepalen, waarvoor de volgende uitdrukkingen worden gevonden:

_ 3u _ ^r " 3r " ^2 e = -r— = h_ z dz 3 u ^1 z e, = — = — + a^ + a_ — t r r 2 3 r (2,3) rz 3u _3v 3z 3r = a„ + b„ 3 2

Alvorens nu verder te gaan, is het zinvol om ter verkorting van de schijf-wijze enkele vectoren en m.atrices te definiëren, We definiëren nu de vol-gende vectoren:

u, v^

o = e = u = u^ V =

rz 'rz

a = c =

Evenzo definiëren we de matrices B en C door:

_e = Cc_ (via de interpolatieformules)

a_ = B £ (de spannings-rek relaties (1,3))

Hierin zijn C en B: C = 0 0

2

r 0 1 0 1 0 0 0 z^ r 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

(2,M

B = '11 '12 '12 ^22 ^23 '13 '23 3 3 U1+ (2,5)

De constanten a, t/m a en b t/n b zijn net behulp van de interpolatie-formules in de discrete verplaatsingen u. t/m u en v. t/m v_ uit te drukken. ¥e kunnen dan stellen dat

df ,. X, df ,, a = I-Iu en b = Mv

waarbij matrix M bepaald is door:

M 2F ^2^3"^3^2

V^3

rg-r^

V r ^ i ^ 3

V^i

^lV^2"l

"r"2

^1-^3 ^2-^1

(2.6)

en F = -^ {(r2-r3)z^ + (r2-r^)z2 + (r^-r2)z2} Zodoende

£ ~

kunnen we M 0

1° "

dus stellen u v

rJ

(2.7

De vormveranderingsenergie E kunnen we met behulp van de spannings-rek V# V

relaties geheel uitdrukken in de rekken. Daarna substitueren we _£ = C_c_ waardoor de vormveranderingsenergie in de constanten van vector c_ zijn uit te drukken. Tenslotte is via relatie (2«7) de vormveranderingsenergie geheel uit te drukken in de discrete verplaatsingen waarmee de stijfheidsmatrix S is te bepalen.

Als we dit proces in formules volgen, dan gaat dit als volgt: E = TT a'e 2TTr dF

v.v 2 F

Substitueer £_ = Be_, waardoor E overgaat in:

E = —.2Tr e'Be r dF (immers B* = B) v.v 2 JJ — —

Substitueer nu e = Cc waardoor we vinden:

^.v = i-2- ^ ^

C'BC

r dF}

C (2.8) Definieer nu de matrix T:

Ti^

C BC r dF

Dus de vormveranderingsenergie E is bepaald door:

E = 7r.2Tr c' T c

v.v 2 — — (2.9)

Als we matrix T bepaald hebben, dan kunnen we via relatie (2.7) de vormver-anderingsenergie geheel in de discrete verplaatsingen uitsrukken. In eerste instantie zullen we dan ook onze aandacht wijden aan de uitwerking van matrix T.

De uitwerking van matrix C'BC levert; C^BC =

1

' 3 3

2 r =13*^33 r " 3 3 - ^ r 0 0 "23 r "13^^33 r "11^^=13^=33 ^"I3^=33^f 0 0 "l2-^"23 Z = 3 3 , 2 ^ = 1 3 - 3 3 ) f "33 , 2 -^ %h 0 "UU

z

" 2 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0

"uu

0

"uu

0

"23

1

r "l2-'"23 " 2 3 7 0 0 "22 (2.10) Fig. 3

De integratie van deze matrix wordt in drie fasen uitgevoerd, namelijk tussen de grenzen: 1 r = r,, r = r^ en z = O, z = a +B-r 1 • 2 ' 2 r = r^, r = r^ en z = O, z = ot.+B.r •3 3 r = r - , r = r e n z = 0 , z = a +6 r

De constanten a^ t/m a_ en B- t/m B^ zijn bepaald door: "2^3-"3^2 a, = 1 rj-rj I r —r ^3 2

V1-^1^3

°2 '~T^

—

1 3

V ! 3

^r^3

(2.11)

^1^2-Vl

a_ = 3 ^2-^1 ^2-^1

Voor het uitvoeren van integratie hebben hebben we de volgende integralen nodig:

h

=

1 . r dr dz k„ = r dr dz —r r dr dz r (2.12) k, = — . r dr dz r k^ = r dr dz

^6 =

fC 2 —r r dr dz '' r

De integralen vindt men door integratie in drie fasen. De eerste fase wordt hier uitgewerkt terwijl men de volgende twee fasen kan vinden door cyclisch te verwisselen.

Integratie tussen de grenzen r = r-.,r = r 2 e n z = 0, z = a.,+6,r levert ons; 1 "1

(1

(1

(1

(1

(1

= cx/r3-r2) * ^ B^ir^^-r^^

1 2 2 1 3 3

= 2 «/^3 -^2 ) ^ 3 ^/^3 -''2 )

= a ^ l n ^ + 6,(r3-r2)

= 1 cx^2(r3-r2) * ^ a^B,{r^^-T^^) ^ Z^.^^r^^-r^^ (2.13)

v'^ 4«i'^"7:^°i%(v^2) 4 " i ^ i S S ' ) 4 ^ i W )

Hierbij zijn de volgende bijzondere gevallen te onderscheiden:

1 Indien r^ = r_. Dan is er geen bijdrage over dit traject. Gemakshalve (1)

kan men dan alle coëfficiënten k. = 0 stellen.

2 Indien rp = 0. De oplossing is dat men het assenstelsel moet transleren. Daartoe vervangt men z door z - z^. Hierdoor wordt a. = O en de term

^3

a,ln — wordt eveneens nul. o ^2 .

3 Indien r^ = 0. Dit gaat geheel analoog aan het vorige gedeelte voor Tg = 0.

U Indien r^ = r_ = 0. Dit probleem is geheel hetzelfde probleem als onder het eerste bijzondere geval is behandeld.

De integralen k. vindt men dus door sommatie van de drie afzonderlijke bij-dragen. 3

k. =

l

k.^J)

1 ^ 1 j=1

Het is nu dus mogelijk om matrix T te bepalen. Na het invullen van de diverse integralen vindt men voor matrix T:

T =

^3=33 k,(c,3+C33) ^5=33 0 0 ^ l " 2 3 k / c ^ 3 + C 3 3 ) ^2("11*2^13*=33^ ki^( 0^3+033) 0 0 k2(c,2+C23) ^5=33

H^"13*"33^

1^2"UU^^6"33 0 ^^2"UU ^ " 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ^2"UU 0 ^2"UU 0 ^ " 2 3 ^2^"l2-'"23^

H"23

0 0 ^2"22 (2

De vormveranderingsenergie is hiermee bepaald door de vorm:

E = -i- . 2Tr c' T c v.v 2 — —

Volgens relatie (2.7) kunnen we dit nu uitdrukken in de discrete verplaat-singen. Substitueren we relatie (2.7): c = M O O M

u

dan vinden we voor de vormveranderingsenergie:

E = — , 2TT1 u, V v.v 2 I _» — M O

M

T •^11 T ^12 T ^12 T 22 r M 0 •1 0 M u V • t ( 2 . 1 5 )

Hierbij is matrix T verdeeld in vier submatrices van drie bij drie.

T =

T T 11 12

m m

Volgens ( 2 . 1 5 ) i s m a t r i x S b e p a a l d door: S = 2TT M M' T T ^11 12 I T T •^12 22 r M 0 k • \ 0 M , S = 2Tr M'T M M'T^2''"^

De hierbijbehorende verplaatsingsvector omvat successievelijk de verplaat-singen u.|, u^, U3, v.|, Vg en V3.

Een eenvoudige permutatie van deze stijfheidsmatrix levert de stijfheids-matrix welke behoort bij een verplaatsingsvector met successievelijk de verplaatsingen u^, v.|, u^, v^, u en v .

Rekenschema: F = i" {(r2-r3)z^ + (r3-r.|)z2 + (r.|-r )z3} " 1 ^1 _ ^ 2 ^ 3 - ^ 3 ^ 2 ^ 3 - ^ 2 Z3-Z2 ^ 3 - ^ 2

k.

h

1) T

/ ^

2v ^ 1 , 3 3\

= 2 °/^3 -^2 ) ^ 2 ^/^3 -^2 ^

1) = a ^ l n X 6/r3-r2)

1) 1 2

1 2,

s ^ 1

o / 2 2, 1 „ 2, 3

3N

= 2 «1 ( V ^ s ) ^ 2 °1^^^3 -^2 ) -^ ïï ^1 ^^3 - V ^

1) 1 2

= 2 «1

a/ln^.a^6^(r3-r2)

^ ^ B^^ir^^-r^^)

1) _ 1 3

= i «1' 1- 77 ^ «i'^/V^2) ^ ïï <^i^?(-3S')

-

^ ? ^i'(r3H')

2) (3)

en k. door cyclische verwisseling.

M = __1_ 2F ^2^3"'^3^2 Z2-Z3 ^ 3 - ^ 2

Vr^i"3

V^l

^ 1 - ^ 3

^lV^2^1

"r"2

V ^ l

•11

S=33

k / c ^3+033) ^5=33 k / c ^ 3 + C 3 3 )

H^"l3*=33^

S=33

k2(c,^+2c^3+C33) k^(ci3+C33)

^2"UU^^6"33

•12 0 0 0 0 0 ^2"UU ^^l"23 ^2^"12*"23^ ^U"23 22 0 0 0 0 ^2"UU 0 0 0 ^2"22 S = 2iT M'T -M _M'T^2^'' M ' T ^ 2 * M M ' T 2 2 M

1 . 2 . 3 . De s t i j f h e i d s m a t r i x van een r i n g met r e c h t h o e k i g e doorsnede.

M Z

Afgeleid wordt de stijfheidsmatrix van een ring met rechthoekige doorsnede. Het materiaal wordt orthotroop verondersteld met hoofdassen van orthotropie langs de radiale, axiale en de tangentiële assen. V/at betreft de geometrie onderscheiden we twee gevallen, namelijk de gevallen voor R = O en R Ï' o. We zullen eerst behandelen het geval waarvoor R 5^ o.

Ring met binnenstraal R ?^ O

De verplaatsingsfuncties binnen de ring benaderen we met de interpolatie-formules:

u(r,z) = a. + Opr + a_z + ««rz

(3.1) v(r,z) = a_ + Oz-r + ci z + oigrz

We hebben acht vrije parameters daar de verplaatsingen van de hoekpunten als fundamentele onbekenden fungeren.

Als we dit uitwerken, vinden we de volgende uitdrukkirgen:

„(,.,) = (, .|, <(, .iza,,^ . r ^ , ^ , . ^ , ( . -Ï^)U3 . ^ u ^ )

Volgens formule (l.U) is de vormveranderingsenergie E :

( 3 . 2 )

F - 1

^v.v ~ 2

{ c ^ ^ e / + C 2 2 e / + C33e^2 + 2 ( c , 2 V z * " i s V t * " 2 3 ' z S ) "^

+ ^ l ; l | Y j . / > 2TT r dF ( 3 . 3 )

Daar de interpolatieformules bekend zijn, kiinnen de rekken in de verplaat-singen van de hoekpunten worden uitgedrukt. Substitutie van deze formules in de vormveranderingsenergie (3.3) levert na uitwerking de stijfheids-matrix S.

Immers, voor de vormveranderingsenergie is dan de uitdrukking af te leiden:

E = •=• V* S V

Het resultaat is ook op een andere, zij het minder directe, wijze te vinden.

De rekken kunnen namelijk in zeven onafhankelijke discrete grootheden worden

uitgedrukt. Deze grootheden, welke de discrete rekken worden genoemd, worden

als volgt gedefinieerd:

h

^2

"3

= = U2-u^

a

^U-^3

a

V3-v^ b \ - ^ 2

^ (3.U)

^1

^5 = R "

^3

^6 = r

U3+u^-U2~u^ ^2-^^U-^3-^1

^7 2b 2a

Deze grootheden worden verzameld in een vector _e_. Zoals reeds gesteld, kixnnen

de rekken hierin geheel worden uitgedrukt. Men vindt dan:

^r = ^^ - b ^ " l •*• b "

r-R> . r-R

e = (1 - ^ ) e - + ^ t . (3.5)

z a 3 a 4

= (l-f)(f.5.(l-f)e,>.f <feg-.0^-f)e,)

z - -^ R + ^ - r

^rz = ^7

*

" " T — ^ V ^ 3 ^ "• b ^^r'2^

Alsmende vormveranderingsenergie dus met behulp van (3.5) en (3.3) in deze

discrete rekken heeft uitgedrukt, dan kan men daarna met behulp van de

relaties van (3.U) de vormveranderingsenergie in de discrete verplaatsingen

uitdrukken.

De vormveranderingsenergie E wordt uitgedrukt in de discrete rekken met behulp van een symmetrische matrix die ve Y zullen noemen.

(3.6)

E = -i e' Y €

v.v 2 — —

De discrete rekken worden met behulp van een matrix B uitgedrukt in de dis-crete verplaatsingen (volgens (3.U)).

e = Bv

(3.7)

Deze relatie substitueren we in (3.6) waardoor we vinden:

E = -J- v'B'Y Bv = -i v' S V v.v 2 — — 2 — —

Dus zodoende is matrix S:

S = B Y B

(3.8)

Aan het eind van dit hoofdstuk is de uitwerking van de matrices B en Y gegeven,

Ring met binnenstraal R = O (cylinder)

Ter vermijding van

allerlei singulariteiten bekijken we het geval met R = O apart. Vanwege de axiale

syimnetrie geldt u. = u.. = O

Fig. U

Hierdoor hebben we nog maar zes vrije parameters als we de verplaatsingen

van de hoekp\inten aJ.s fundamentele onbekenden kiezen. Analoog aan formule (3.2) zijn de volgende interpolatieformules af te leiden:

/ \ !•/< Z\ . r z

u(r,z) = - ( 1 - ^ ) U 2 + - ^ U i ^

v(r,z) = (lf)(lf) v ^ . f d

-(3.9)

f)v2Ml

_{1)7^3 * a b ^}

Het is nu nog goed mogelijk om de rechtstreekse afleiding te volgen. Als we de rekken uitdrukken in de discrete verplaatsingen, dan vinden we:

- i E - n Zv 2 z U ^r " 9r ~ ^ b^ a b a V — V V i — V e = i Z = (1 _ £.) 3 1 + r ""U ^2 z 3 z ~ a b a b (3.10) u e. = — = e t r r u. - U - V, - v _ v ^ - v .

Y = £ J L - 2 + £ J L J . + (1 _ £ ) -2_JI

'^rz a b

b

a ^ b'^ a

Deze gegevens substitueren we dan in de vormveranderingsenergie (3.3) waardoor stijfheidsmatrix S bepaald wordt.

1 • o E = ~ V S V _{v.v 2 — —}

De uitwerking van matrix S is op een der volgende blsuizijden te vinden.

R ?« O e = Bv

i^j

"1

- i

a 1 R 1 " 2b ^1 1 ~ b 1 ~ 2a ^2 \ a 1 " 2b ^2 " b 1 2a ^3 a 1 R 1 2b

"3

_1_ b 1 ~ 2a ^ a 1 2b % 1 b 1

2a 1

f \ \

hl

^ 2 ^ 2

1 ^

1^3

^

"^ = b ' P = I » ^ '^ °

^3 ^U U(2+p)C^^ + + U{ p . 2 + - l n ( l + p ) } C 3 3 + 8 p C^3 + (2+p) m^ C^^ 2(2+p)C.,^ + 2 {p-2 + 1 I n (1+p)} C33 + U p C,3 - (2+p) m^ Cj^j^ U(2+p)C^^ +U {p-2 + | l n ( l + p ) } C 3 3 + 8 p C^3 + (2+p) m^ C^^ symmetrisch 2(3+p) C.,2 + 2 p C23 2(3+p) C^2 ^ 2 p C23 m 2(3+2p)C^2 + U p C23 2(3+2p)C.,2 + U p C23 2(2+p)C22 - ( 2 + p ) - ^ m 2(U+3p)C22 m

'5 ^6

8 {1 - ^ I n (1+p)} C33 + 8 C ^ 3 U {1 - ^ m (1+p)} C33 + U c ^ 3 ^ ^ 2 3 ^ ^ 2 3 | l n ( l + p ) C33 U {1 - 1 I n (1+p)} C33 + U C ^ 3 8 {1 - l l n (1+p)} C33 + 8 C^3 ^ ^ 2 3 ^ ^ 2 3 ^ l n ( l + p ) C 3 3 | l n ( l + p ) C 3 3 - 2 mp Cj^i^ 2 mp C^ï^ 0 0 0 0 12(2+p) Cj^j^

R = 0 m = r b S = -^ TT b K v i U2 Vg V3 u^ v^ 2_^ " 2 2 ^ * -("l2-*-"23^"^ +2cj^l^m 2 ( 0 ^ ^ + 2 0 ^ 3 + 0 3 3 ) +3cj^^m2 s y m m e t r i s 2 "22"^ -2"UU -2(c^2-^"23^"^ - 2 c ^ ^ m 3 0 2 2 ^ ' c h 2 -"22"^ ^ " U U (0^2+^23^"^ +2cj^^m -C22m^+ - " U U 2 ^ 022-1 + - ( c ^ 2 - ^ " 2 3 ^ " -2ci,^m ( " 1 1 * 2 0 ^ 3 + 0 3 3 )

-3cm,m2

- 2 ( c , 2 - ^ " 2 3 ^ ' ^ +2c^i^m ( " 1 2 * " 2 3 ^ ^ - 2 c ^ ^ m ^ ( " 1 1 * 2 0 ^ 3 + 0 3 3 ) +3ci^^m2 2 - 0 2 2 ^ - " U U 2 ( " 1 2 * " 2 3 ) " ^

-2"uu"^

- 3 " 2 2 - '

*"uu

2 0 2 2 ^

-2"uu

2 ( " 1 2 * " 2 3 ^ " ^ +2ci^j^m 3022m2+ *2=UU

1.2.U. Belast ingen

Zoals reeds eerder is gesteld in hoofdstuk 1.2.1. wordt de belastingsvector ^ bepaald met behulp van de potentiële energie van de belastingen, E . ge-naamd. Uit de probleemstelling volgt dat de belastingen ajciaalsymmetrisch moeten zijn. We zullen nu drie belastingstypen gaan bekijken. Deze zijn

achtereen-volgens :

1 lijnlasten

2 Verdeelde oppervlakte-belastingen 3 Massa-belastingen (eigen gewicht)

Bij ieder van deze belastingstypen zullen we dus eerst de energie van plaats bepalen en vervolgens hieruit de bijdrage aan de belastingsvector bepalen. Als eerste probleem zullen we de lijnlasten bekijken.

1 Lijnlasten Veronderstel dat in knooppunt i de horizontale lijnlast P. en de verticale lijnlast Q. zijn gegeven. De potentiële energie van deze belastingen

F i g . 5.

i s b i j de verplaatsingen u. en v . :

E T . = - 2TT r . ( P . u . + Q . v . )

p l a a t s 1 1 1 1 1

(U.1)

Voor het bepalen van de bijdrage aan de belastingsvector k wordt de energie van plaats afzonderlijk naar de verplaatsingen u. en v. gedifferentieerd. We vinden dan de bijdrage dJt aan de belastingsvector.

dk = 2Tr r. P.

2 Verdeelde belastingen

I.

Fig. 6

Veronderstel dat op het gebied tussen de knooppunten i en j de verdeelde belas-tingen p en q gegeven zijn. De horizontaal werkende verdeelde belasting p heeft in knooppunt i de waarde p. en in *^i

knooppunt j de waarde p.. Evenzo heeft de verticaal werkende verdeelde J

belasting q in deze knooppunten de waarden q. en q.. ^ O

Als we nu het probleem uitwerken voor de horizontaal werkende belasting p, dan gaat dit hetzelfde voor de verticaal werkende belasting q.

We veronderstellen nu dat u(5) en p(5) lineaire functies van 5 zijn. Deze functies luiden dan:

u(5) = -^ u. + (1 - •^) u. a J

p ( C ) = f p. + (i-|;)Pi

(U.3)

r ( 5 ) = f r. + (1 - f ) r.

De potentiële energie van de belasting p(c) is nu:

E

_plaats

= - I u(5) p(C) dF

?=a

= - 2Tr u(c) p ( 0 r ( 0 dC (U.U) C=o

1 ^' ^' E , ^ = - r Trar. {(3 + - ^ ) p . + (1 + - ^ ) p . } u . + _{p l a a t s 6 1 ' r . '^i r ^ *^j i}

. r . r . - r irar. {(1 + - i - ) p . + (3 + — ) p . } u .

6 j r . ' - ^ i r . ^ j j

Hiermee i s de b i j d r a g e dk aan de b e l a s t i n g s v e c t o r k bepaald»

(U.5) Deze b i j d r a g e i s : dJc = ?• ira r . r . r . {(3 + - J - ) p . + (1 + r ^ ) P - } 1 r ^ 1 r^ j r . r . r . {(1 + — ) p , + (3 + r ' ) P j r . 1 J " j ' (U.6)

Hetzelfde resxiltaat is te vinden als men de verdeelde belasting verveuigt door twee horizontaal werkende lijnlasten in de pvinten i en j , en deze daarna volgens de onder de lijnlasten beschreven methode behandelt»

In dat geval vindt men voor de

twee lijnlasten: p, =Tr| {(3 +r^)p,. + (1 +r^)p-} r_. j r. 1 1

1 12

1

P. = T I Ui +-^)P,. + (3 +^)P,}

12

r. " 1 J

"j

'

Fig. 7

3 Massabelasting (eigen gewicht)

a) Ring met willekeurig driehoekige doorsnede.

I Per element veronderstellen we een constant eigen gewicht g per volume-eenheid.

De potentiële energie van het eigen gewicht is dan:

-L.

Fig. 8

Volgens (2.2) is de verplaatsingsfunctie v(r,z) bepaald door:

v(r,z) = h^ + h2r + b3Z

Volgens (2.6) is de matrix M bepaald die de constanten b t/m b_ uitgedrvikt

in de discrete verplaatsingen v, t/m v_ volgens de relatie

b =

' ^ ^2

hJ

= M '^1 ^2

rsj

Substitutie hiervan in de energie van plaats levert ons:

E

plaats

g(b, + b r + b3z)2TTr dF

= - 2Tr g

(b^ + b2r + b3z)r dF

(U.8)

Om dit op te lossen, maken we gebruik van de drie volgende integralen, als

ook de oppervlakte F:

F = - {r.|(z2-Z3) + r2(z3-z.|) + r3(z^-Z2)}

^1 =

^2 =

^3 =

r dF

= iF l r.

_{3 *• 1}

F 1=1

3 3 3

r^ dF =

Y I

F { I r.2 + ^

l

r-r. }

i=1 i=1 j=1

3 3 3

r z d F = - r ^ F { y r.z.+ T r. T z.}

12 ' ' I l ' ' i ^ ' i

(U.9)

i=1

i=1 i=1

De potentiële energie van de belastingen is deui te schrijven als het inwendige

product:

E

_{p l a a t s} = - 27T g | b . , , b 2 , b3l = - 2TT g b ' i^ (U.10)

Daar b_ i s u i t t e drixkken in de verplaatsingen v, t/m v_, k\innen we schrijven:

V a a t s = - 2^ S l^i» ^ 2 ' ^ 3 ' ^

\ /

(U.11)

Hiermee is de bijdrage dit aan de belastingsvector bepaald.

dk = 2TT g M' i

b) Ring met rechthoekige doorsnede.

I

•^ 1.

Fig. 9

(U.12)

In dit geval is weer de

potentiële energie van het

eigen gewicht g:

""plaats g v(r,z) dV

Voor dit element zijn de interpolatieformules voor de verplaatsingen bekend (3.2). Directe substitutie hiervan in de energie van plaats levert ons een uitdrukking in de discrete verplaatsingen. Via de gewone manier vindt men dan de bijdrage aan de belastingsvector. Deze bijdrage is:

dk = -r irabRg 3 3 3 3 + + + + a^ R 2 R 2 a R a R (U.13)

Ditzelfde resultaat had men gevonden eils men in plaats van het eigen gewicht in de knooppiuiten 1 t/m U de volgende verticale lijnlasten had aangebracht:

Fig. 10

Q, = ^ abg (3 + |)

Q2 =

-^

abg (3 - ^ )

S " "12" ^^S (3 + |)

^u = ii

-^s

(3

- ^ )

(U.IU)

Behandeling volgens de onder de lijnlasten beschreven methode geeft dan het

resixltaat van formule (U.13).

1.2.5 Randvoorwaarden

We zullen de randvoorwaarden verdelen in twee categorieën, namelijk de

voor-geschreven verplaatsingen en de elastisch ondersteixnde randen. Het opleggen van

voorgeschreven verplaatsingen is reeds uitvoerig behandeld in voorgaande

rapporten in de hoofdstukken 1.0.5 en 1.1.6. Over blijft dus te behandelen

de elastisch onderstetmde randen.

Deze elastische ondersteuningen worden op hun beurt weer onderscheiden in

veren welke hun tegendruk als lijnlasten leveren, en in elastische beddingen

welke de tegendruk als verdeelde belastingen opleveren.

Als eerste onderdeel behandelen wij hier de veren.

1 Veren (bladveren)

We behandelen hier uitsluitend lineaire veren, dat wil zeggen veren waarbij

de tegendruk recht evenredig is met de indrukking.

Om deze veren in rekening te brengen,

moeten we de potentiële energie

be-~J

palen welke in zo'n veer wordt

7^"

r.u

Z,v

_opgehoopt.

Fig. 11

met verplaatsingen v zowel in het r-z vlak^ als in het vlak van de bladveer liggend, dan is de tegendruk p van de bladveer:

p = 0V (5.1)

In de bladveer is een potentiële energie aanwezig als vormveranderingsenergie. Deze is bepaald door:

E 1

v.v

- .= 1 o -2

pv ds = — . 2iT r. cv

(5.2)

De verplaatsing v is uit te drukken in de verplaatsingen u. en v.. Substitueert men dat in de vormveranderingsenergie, dan vindt men de uitdrukking in de ge-wenste vorm. We substitueren: Dus: V = u. cosa + V. sina 1 1 1 2 E = — . 2ir r.o (u. cosa + v. sin o)

v.v 2 1 1 1

(5.3)

De stijfheidsmatrix werd bepaald door de vormveranderingsenergie naar iedere discrete verplaatsing afzonderlijk te differentiëren. Zodoende vindt men ten gevolge van de bladveren een bijdrage aan de stijfheidsmatrix waarvan de coëfficiënten in een matrix van twee bij twee worden verzameld. Deze matrix is dan: 2ir r.o 1 2 cos a sina cosa V. 1 sina cosa . 2 sin a u. 1 V. 1

(5.U)

Toepassingen kan men onder andere vinden bij het in rekening brengen van tangentieel aangebrachte wapeningen bij problemen in gewapend beton.

2 Elastische beddingen

r.u

Z,v

Bij een elastische bedding veronder-stellen we de tegendruk recht even-redig met de indrukking v loodrecht op het oppervlak. De verplaatsing v is samengesteld te denken uit de

verplaatsingen volgens het r-z assenstelsel.

V = u sina - v cosa (5.5)

De tegendruk p(?)» welke recht evenredig is met de indrukking v(5), is met behulp van de beddingsconstante c hierin uit te drukken.

p ( 5 ) = c v ( 5 ) (5.6)

De potentiële energie welke de elastische bedding als vormveranderingsenergie vasthoudt, is bepaald door de uitdrukking:

• E V .V 2 J F c V dF ^ v . v = I ( 2TT o ^ (C) r ( ? ) dK ( 5 . 7 ) 5=a De f u n c t i e s v ( 5 ) en r ( 5 ) z i j n v a s t g e l e g d door v( 5) = -^ V. + (1 - •^) V. a j a i •(C) = -^ r . + (1 - •^) r . a j ' a i

Substitutie hiervan in (5.7) levert ons:

(5.8) 1 1 r,^ . ^^^•2 " J V •j i ""1 'J' 1 j E = -r . r irac {(3r. + r.) v'. + 2(r. + r.) v. v. +

_{v.v 2 6 1 " ' - , ' - ,}

+ (r + 3r.)v^} (5.9)

1 j j

Voor de verplaatsingen v. en v. worden nu weer de verplaatsingen volgens het

1 J

r-z assenstelsel gesubstitueerd volgens relatie (5.5). Omdat nu de stijfheids-matrix werd bepaald met behulp van de vormveranderingsenergie, is het duidelijk dat de elastische bedding via de stijfheidsmatrix tot uiting komt. Uit verge-lijking (5.9) is dan een bijdrage te bepalen waarvan we de coëfficiënten hier-onder in een matrix van vier bij vier geven.

Trac u. 1 2 (3r.+r.)cos a 1 J (3r.+r.)sinaoosa 2 (r.+r.)cos a (r.+r.)sinacosa

^i

(3r.+r.)sinacosa 1 J 2 (3r.+r.)sin a 1 J (r.+r.)sinacosa 2 (r.+r.)sin a 1 J u.

J

2 (r.+r.)cos a 1 J (r.+r.)sinacosa 1 J 2 (r.+3r.)cos a 1 J (r.+3r.)sinacosa V. J (r.+r.)sinacosa 1 u 2 (r.+r.)sin a 1 J (r-+3r.)sinacosa 1 J 2 (r.+3r.)sin a 1 J u. u. 1.2.6 Voorbeelden

Als toepassingen worden hier twee voorbeelden gedemonstreerd. Van de resultaten worden zowel wat betreft het eerste als het tweede voorbeeld slechts enkele karakteristieke grootheden uitgezet.

Het eerste voorbeeld is de berekening van een dikke bolschaal welke gelijk-matig verdeeld wordt belast door alzijdige druk.Langs de randen is de bolschaal

ingeklemd. De opzet is geweest om een analytische berekeningsmethode, de zoge-naamde Geckelermethode, te toetsen op zijn bruikbaarheid voor dikke bolschalen. Voor de berekening met behulp van de elementenmethode is gebruik gemaakt van ringen met driehoekige doorsnede. Het geheel is uitgevoerd als afstudeerwerk van ir, R,F, Pieterse,

Het tweede voorbeeld betreft de berekening van het gedrag van een op trek be-laste wapeningsstaaf in een betonnen medium. Het experiment hiertoe staat bekend onder de naam van de "pull-out" proef. Het hoofdprobleem is het bepalen van de aanhechtspanningen tussen het staal en het beton. Voor deze berekening is ge-bruik gemaakt van ringen met rechthoekige doorsnede.

•e ;«• - / o W / / / l / ^ / > J- CJl

v-/

' ^ /

A

/ \ '^ ö \ \ \ 0- - ^ \ ** ^ \ \ \ i \ \ \ \ *»* \ , y> \ \ \ \ $ \ " y x> 00 — t 0 0 OP. LO ^ ^ / «N ..-P -O» > N .M -•" 7'i' li-/ > V-* <t / y •<l

Doorsnede 6 Doorsnede 3 Doorsnede o 10 kgf/cm Waterdruk buitenopper-vlak van c r 10 kgf/cm" vlak v a n de bolschaal: 2 R(j) f 1 cm ^ 2 kgf/cm'

De verdeling in elementen van het proefstuk bij de pull-out proef, I II 11 cmi , _{9 cm} • • fr 11 i l

4-1-^.

^-i llOOO kgf

W M i

^1 ' 20

Schuifspanning -r. op staal-beton r 1 cm = 10 kgf/cm" rz Verticale spanningen a staal 1 cm S 100 kgf/cm" beton 2 1 cm - 10 kgf/cm II II III ii;