Formalisations booléene et intuitionniste dé la logique hégélienne

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S __________________ FOLIA PHILQSOPHICA 7, 1990__________________

D a n ie l P a rro c h ia

FORMALISATIONS BOOLÉENNE ET INTUITIONNISTE DE LA LOGIQUE HE'gÉLIENNE

Oepuis Trendelenburg, 11 у a eu, dans l ' h i s t o i r e , de nombreux e s s a is de re fo rm u la tio n de la lo g iq u e h ég álie n n e dans un cadre fo rm el. I I y a, ä c e la , un c e r t a in nombre de r a is o n s : la lo g iq ue h ógélienrie, qui e s t a la f o is une forme et un contenu!, une lo g i­ que e t une o n to lo g ie , une th á o r ie qui semble rem e ttre en cause le p r in c ip e de c o n tr a d ic tio n e t e n fin une pense'e d 'a s p e c t c i r c u l a i r e e t quasiment p arad o x al, c o n s titu e un d é fi ä la ra is o n ou, d iso n e, a la r a t io n a lit e au sens de la lo g iq u e moderne depuis Freg e .

Je ne peux, bien entendu, l e i , f a i r e ľ a n a ly se de ces ten ta- t iv e s , ď in t é r e t ď a i l l e u r s t ré s in ŕ g a l 1. J e n 'e n r e t ie n d r a i qu'une s e u le , c e l i e du fr a n ę a is Dominique O u b arle 2 , qui u t i l i s e la lo g iq u e booldenne. Je vo u d rais done p re s e n te r une a n a lyse c r it i q u e de ce t e s s a i e t p roposer, Ž» la s u it e , une fo r m a lis a tio n fondée sur la l o ­ gique in t u it i o n n i s t e .

L Л Р Э^ЧЧД.j?.e!g j.iig_nne e t Alp&bre de Boole

1 Л . Topogra p h ie du systeme h é g é lle n

L "Lncycloptádie des s c ie n c e s p h ilo so p h iq u e s' de Hegel se p rése n te tré s grosslórem ent sous la forme d'une arboreecence tr ia d iq u e qui

v í Pour *jne a n a ly se des travaux de Günther, Kosek e t A senjo, c f . riiin" 19*7 ♦ к L* ° ? que h^9é lie n n e e t fo r m a lis a tio n , " D ia lo ­ ges c f * О * м 1 ! PP ' Sur łe s a u t r * s t e n t a t i-ves. c f . D. M a r c o n í , La fo rm a liz z a tio n e d e lle d i a l e t t i c a Rosenberg e t S e l l i e r T orino 1979; L . A p o s t e 1, Loaioue et P la o K t noE , V7i t3 t LÔB1c UB ľ t connaissant;e s c ie n t if iq u e , éd. J . P ia g e t, pp. 371 e t s u iv . Sur le s travau x de J . Oonreri, c f P

2 1 6 > S o cio ló g ie et logique, P . U . F . , Paris 1982, pp. 23-3l'. ro0sseD’ l972U b a r 1 e » V p 0 z > Logique e t d ia le c tiq u e ,

se ré p liq u e en c r o is s a n t d'un fa c te u r t r o is de niveaux en niveaux. La t r i p a r t i t i o n p r in c ip a le (Lo g iq u e , N ature, E s p r i t ) se retro u ve a in s i a des niveaux de d e te rm in a tio n p lu s p r é c is . Oans l 'i d é e lo ­ giq u e, p . e x . , le moment consacró ä ľ é tr e e c la te en ( q u a lit é , q u a n tité , m esure), c e lu i de la q u a lit é en (é t r e , e t r e - lä , é tre - - p o u r- s o i), e n f in , c e lu i de 1' é t r e en (é t r e pur, n éa n t, d e v e n ir ).

C ette p ré s e flta tio n f a i t a p p a ra ltre ď ecablée, une c e r t a in e struc­ tu re S ( A, B, C ), qui semble se r é p liq u e r au n iveau de chacun des elem ents A, B, C en S (a A , aB, a C ), S(bA, bO, b C ), etc., puis S (a a A , aaO, aaC ), e tc .

Ľ e x p lic a t io n lo giq ue de ce procédé se tro uve dans la "Logique du C o n cep t"5. Hegel y montre que to u t concept se dtícompose en t r o is élém ents: un élément u n iv e rs e l a t is t r a it (U ), un element par- t i c u l i e r ( P ) , qui e s t la n ég ation de c e t u n iv e rs e l a b s t r a it , enfin un élément s in g u lie r ( S ) , qui rép re se n te le moment ve'ntablom ent co n cre t du développement du concept. C 'e s t a in s i que l ' idée lo g i­ que n 'e s t que le concept dans son moment le p lu s a b s t r a it , la Na­ tu r e , le concept qui a n ié son u n iv e r s a lit y Seulement a b s t r a it e et s 'e s t posé dans sa p a r t i c u l a r i t é , e n íin ľ E s p r it , le concept dans son v e r it a b le achfevement s in g u lie r .

D ire que c e t t e s tr u c t u r e (U, P, S ) se ré p liq u e h cheque niveau, c 'e s t d ir e que, pour chacune de ses d e te rm in a tio n s g é n é ra le s , on prendra a nouveau son u n iv e r s e l, son p a r t i c u l i e r , son s in g u lie r .

Par e x ., Ľ é t r e , ľ essence e t le concept sont resp ectivem ent l 'u n i v e r s e l , le p a r t i c u l i e r et le s in g u lie r de l 'i d é e lo g iq u e , autrem ent d i t , d'un u n iv e r s e l. On peut a lo r s é c r ir e c e tt e tr ia d e au moyen des coup les de le t t r e s s u iv a n te a ; (U , U ), (U , P ) , (U , S ) . A un tro isie m e n ive a u , on a u r a it des t r i p l e t s p. e x ., (U , U, U ) , (U , U, P ) , (U , U, S ) , et a in s i de s u it e .

C e tte n o ta tio n t r a d u it bien le s "sim ilim o rp h ism e s" repére's entre le s niveaux mais ne donne pas encore ľ e x p lic a t io n lo g iq u e des ope­ r a tio n s qui perm ettent de p asser d'un terme a un a u tre .

Ľ idee fondamentale du P. Dubarle e st de montrer que le passage du moment u n iv e rs e l de to u t concept ä son moment p a r t i c u l i e r sup­ pose un anéantissem ent r é e l de c e t u n iv e rs e l. Autrement d i t , la

* G. W. H. H e g e l , W isse n sch a ft der L o g ik , I I , Säm tlich e Werke Bd. 4, G. Lasson, 1923, 1934, pp. 239-264.

prem iére n egation de la d ia le c t iq u e e s t b ien p lu s une " s c is s io n " de ľ u n iv e rs e l qu'une v e r it a b le n e g a tio n . E l l e s e r a it en f a i t une o p e ra tio n double: d'une p a r t, ľ u n iv e r s e l (U ) e s t n ie comme t e l -- ce qu'on note I J —»л, Л s ig n if ia n t un terme con cep tu ellem en t vide - e t ď a u t r e p a r t, U se transform e en P ( l e p a r t i c u l i e r ) , A p a r t i r de l á , la neg ation de la n e g a tio n , qui e st en f a i t une "synthése", e s t le passage du coüple forme' par Л e t par P , au terme S . C 'e s t l á , p ré c is á n e n t que re'side ce que Hegel a p p e lle Aufhebung (re lé v e , dépassement, s u rso m p tio n ).

1.2. L a F o rm a lis a t i o n_ b о о1 вenne

Au prem ier n iveau de r e a lis a t io n de l 1arb orescence h eg ^ lie n n e, on a done, s i ľ on accep te ľ in tro d u c tio n du terme sup p lém en taire v id e , 4 d e te rm in a tio n s p lu tô t que 3 l 'u n i v e r s e l (U ), co t u n iv e r ­ s e l, en tan t q u 'i l e s t suppnm é, n iá , ou encore d é p o u illé de son u n iv e r s a lit y ( л ) , le p a r t i L u l i e r proprement d it ( P ) , e n f in , le sin- g u liu r ( S ) . La d ia le c t iq u e suppose que l'o n passe de U au couple (Л , P ) et de la a S , par des o p e ra tio n s que je v a is e x p l i c i t e r .

Montron3 que c e t ensemble de q u atre co n sta n te s de s tr u c tu r e s muni de de ces o p e ra tio n s , e st une a lg é b re de B o o le .

S o it d'ab p rd un ensemble ЬооЫ еп sim ple U = [o, l ] , avec aes l o is d 'a d d it io n e t de m u lt ip lic a t io n ♦ e t *. C 'e s t ce q u 'an eppel- le un anneau boom en: la l o i + a s s o c ia t iv e , possedant un element n e u tre , e t par la q u e lle tout éiement de 1' ensemble a un sym e tri- que, co n fere une s tr u c t u r e de groupe. La l o i * e s t a s s o c ia t iv e et d is t r ib u t iv e par rap p o rt h + ( f i g . I ) .

4 _{0 I} • _{0 1}

0 0 1 0 0 0

I I 0 I 0 I

F ig . I . Anneau booieen ( l o i s )

Considerons m aintenant 1'ensem b le-p rod u it U2* | o , l j2 = = 0) (0, I ) ( I , 0) ( I , l ) j forme de tous le s couples ď elem ents qu’ on peut c o n s titu e r á p a r t i r des deux ensem­ b le s . Cet ensemble e s t a u ssi un anneau.

-го { и , л , P,

s}

e t зиррозопв un i3omorphisme, qui ín tr o d u is e une correspondance e n tre c e t ensemble et ľ ensemble booleen p ro d u it U2.

- On prend pour l o i isomorphe ä la m u lt ip lic a t io n la l o i d 'in - t e r s e c t io n ensem b liste:

x*y = XflY

- e t pour lo i isomorphe a ľ a d d itio n la d iffe r e n c e sym étriq u e, d é fin ie comme s u it :

x * y- X 4 Y = xn Y' U XYiy (X ' et Y' com plém entaires de X e t de Y)

Л

p

и

s

n

Л

p

u

s

Л Л

p

и

s

Л Л Л Л Л p

p

A

s

u

p

Л

p

Л

p

и и

s

л

p

u

Л Л

_u

u

s

s

и p

Л

s

Л

p

u

s

f i g . 2. Ľ alg e b re hégélienne

On e x p lic it e le s ta b le s de ces n o u v e lle s l o is ( f i g . 2) e t on v é r i f i e 1* isom orphie des r e 's u lta ts avec ceu* des ta b le s précéden- te s . 11 d e v ie n t c l a i r a lo r s , qu'on a deux s e r ie s de termes com- p le m en ta ire s dans le s 4 co n sta n te s de s tr u c t u r e s : Л e t S, d'un cq té U et P, de ľ a u tre .

Parmi tou tes ces o p e ra tio n s , q u e lle s sont c e lie š qui sont vé- rita b le m e n t u t i l i s é e s dans le processus d ia le c t iq u e ?

1) On co n sta te que, lo r s de la prem iere n e g a tio n , le passage de U au couple (Л , P ) suppose en f a i t deux o p e ra tio n s:

- la tra n sfo rm a tio n de U en le terme nul par un Operateur qu'on peut n o ter a avec a ll

—»л.

Dr, c 'e s t la précis& nerit le r ^ s u lt a t de l'o p é r a t io n ď in te r s e c t io n de U e t de P. Ľ Operateur а зега d it un O perateur de "d e p o s it io n " ;

- la tra n sfo rm a tio n de U en P: b U ~ ^ P . I c i on a simplement la complementation booléenne. Ľ O perateur b e st l f O perateur booléen c la s s iq u e de complementation.

2) Lors du mouvement de "su rs o m p tio n ", ou d‘ Aufhebung, oH passe de (Л , P ) a S, C 'e s t ä d ir e qu'on a :

- d'une p a rt сЛ = S par complementation booléenne sim p le; - d 'a u t r e p a r t, dP = S , s o it P M 5 S, autrement d it encore,

une o p e ra tio n qu'on peut d ir e de "re le v e m e n t" qui s y n th é tis e le s d if f e r e n t e s d e te rm in a tio n s du concept.

On peut f a i r e p lu s ie u rs remarques sur c e t t e fo r m a lis a tio n : a ) pour un terme A quelconque, i l fa u d r a it schem atiser le s o p e ra tio n s d 'a b s t r a c tio n de l 'u n i v e r s e l et du p a r t i c u l i e r d'une ma- n ié r e e x p lic it e : on p a s s e r a it a lo r s de ДА (u n iv e r s e l de A) ä (Л , V A) ( p a r t i c u l i e r de A ), et de (А , V A) ä A ( s in g u lie r de А );

b) се qui a é te f a i t au n iveau des 4 co n sta n te s de s tr u c tu r e s peut á tr e rép été a chaque n ive a u ; sim plem ent, i l faudra prendre comme bíife un ensemble booléen p ro d u it de c e t ensemble fundamen­ t a l : c ’ e st d ir e que la lo g iq u e h égólienne e s t en f a i t fo rm a lis é e par une alg eb re booléenne sur { a , P, U,

s ]n,

ou n e s t le nombre de niveaux. Au deuxiemu n ive a u , on aura done 16 elem ents, qui sero n t des couples de co n s ta n te s . Au troisifem e, on en aura 64, qui sero n t des t r i p l e t s , e t c . ;

c ) fin a le in e n t, le P. Dubarle a done f a i t du systeme h é g é lie n , qui e t a i t un c e r c ie de c e r c le s , un anneau ď an n eau x, au sens ma- them atique du terme; en ve rtu des e q u iv a le n c e s de s tr u c tu r e s en nta- thém atiques, on peut montrer que le systéme h é g é lie n , s ' i l e s t un anneau booléen, e3t a u s s i un t r e i l l i s booléen, et également un espace topologique d is e r e t .

1.3. B ila n

La fo rm a lis a tio n de la lo g iq u e h ég élien n e p r é s e n t a it , au depart, p lu s ie u r s d i f f i c u l t é s : c e t t e lo g iq u e é t a i t á la f o is une forme et un contenu, une lo g iq u e e t une o n to lo g ie , une th é o rie c o n tra d ic - t o ir e , e n fin une th é o rie c i r c u l a i r e . On v o it .que le s deux der- n ie r s asp ects - la c l r c u l a r i t e et la pensée de la c o n tr a d ic tio n sont p a rfa ite m e n t re s o lu e s dans le cadre de ce form alism e. Reste le probléme du lie n e n tre la lo g iq u e e t ľ o n t o lo g ie , et celui de la forme e t du contenu. Sur ce p o in t, i l e st c l a i r que la théorie du P. O ubarle r e s te un form alism e e t s u b s titu e in c o n te s tablem ent aux con cep ts, qui sont des c o n c re ts , des termes form els sans contenu que Hegel a u r a it co n sid é ré s comme des termes a b s t r a it s , e x t é r ie u r s le s uns aux a u tr e s , tombant dans une pensée ď entenríem ent. Pour ce qui e s t du lie n lo g iq u e - o n to lo g ie , i l y a, lä enco re, une s o rte de fo sse in f r a n c h is s a b le . Le systeme du P. O ubarle e s t un systeme l o ­ g iq u e, ce r i'e s t pas une o n to lo g ie .

Néanmoins ľ auteur a voulu depasser ces lim it e s et tra n sfo rm e r, au tan t que p o s s ib le , c e tte re p re s e n ta tio n d'entendement en une r e ­ p re s e n ta tio n vraim ent r u t io n n e lle au sens de H eg el, autrement d i t , en une pensée qui pense la chose elle-meme en son in f in it u d e . D'oti ľ i d é e d ' u t i l i s e r une géom étrie p r o je c t iv e f i n i e e t de c o n s id e re r tou t le form alism e que nous venons de d é c r ir e comme une rep re se n ­ t a t io n seulement p r o je c t iv e d'une r e a l i t e I n f i n i e .

1.4. A lg ebre de Boole et géom étrie pr o j e c t iv e f i n i e

Comment f a i r e de ľ a lg é b r e précédente une algfebre p r o je c t iv e ? Un prem ier p o in t e s t qu'on peut c o n s id é re r to u t anneau booléen |o,

i j comme un espace v e c t o r ie l sur le corps jo, l } ä deux élém ents. On peut a lo r s former un espace p r o j e c t i f d óduit de c e t espace ve c­ t o r i e l , et prendre pour base de ce t espace un systéme de.coordon- nees bomogénes, autrem ent d it un systéme exprimé avec le s elements du co rp s. On o b tie n t a lo r s une géom étrie PG [1, 2] ä une dim ension,

. ( ľ . I ) (0, 1)

(n é a n t) (U n)

F ig . 3. Géom étrie p r o je c t iv e parm énidienne (d r o it e p r o je c t iv e PG [ l , 2 j)

. ’ • ■ ■ ■ -V.. ł

autrement d i t , la d r o it e p r o je c t iv e ( f i g . 3 ). On a deux p o in ts "a d is ta n c e fin ie " ( I , 0) e t (l< I ) e t un p o in t a d is ta n c e i n f i n i e (0 , 1 ), dont ces deux- lb sont la p r o je c t io n . Dans une e 'c ritu re p r o je c t iv e , normalement, on n o t e r a it p lu t S t ces p o in ts 0/1, l / l e t 1/0, mais i l s 'a g i t d'une pure co n ve n tio n . La c o l in é a r i t é des p o in ts (autrem ent d i t , le u r alig n em ent) se t r a d u it par une r e ­ la t io n a lg é b riq u e s im p le. S i on d é f m i t une o p e ra tio n + appelée "o p e ra tio n de t r a n s f e r t “ sur 1' ensemble des co u p le s, en nommant " t r a n s f e r t " le f a i t de prendre la d iffe r e n c e sym étrique terme & terme e n tre le s élém ents du co u p le , a lo r s , on a, e n tre le f i n i et 1* i n f i n i , une r e la t io n du type s u iv a n t: Pour tou t a, b, c , d apt par tenant a ľ anneau booléen:

(a , b) + ( c , d) *= (a + c , b + d) ( I , 0)

Mais c e tt e d iffe 're n c e sym étrique n 'e s t pas la méme o p e ra tio n que c e l l e qui e s t d é f in ie e n tre le s elem ents de ľ ensemble f i n i : i l s 'a g i t i c i d'une ope'ration "tra n s c e n d a n te ".

Selo n le P. O u b arle, c e t t e d r o it e p r o je c t iv e correspond ä la m o d é lis a tio n du d is c o u rs parm énidien. Parménide oppose, en e f f e t , deux e n tite 's f i n i e s ( l e néant e t ľ r f t l n ť ) ä une e n t it e to ta lis a n te qui e st l 'E t a n t ou l'U n , enferm ant en e l l e une comprehension in- f i n i e .

Oans le cas h é g é lie n , on n ' a p lu s pour p o in t de d ep art le corps {O , l ] mais ľ a n n e a u p ro d u it {0, 1} 2, isomorphe a ľ alg eb re des 4 co n stan tes de s t r u c t u r e . On prend pour coordonnees de ces 4 co n stan tes le s coordonnées s u iv a n te3, qui sont done c e lle s des p o in ts ä d is ta n c e f l n i e : p. e x ., (1, 0, 0) pour л , ( I , 1, 1) pour S, ( I , 0, I ) pour U, ( I , I , 0) pour P.

La c o l in e a r i t e de ces p o in ts b d is ta n c e f i n i e e t de le u r s p ro ­ je c t io n s r e s p e c tiv e s dana 1* in f i n i , se c a lc u le de la méme faęon que pre'cédemment. On u t i l i s e r a simplement l'o p é r a t io n +, qui a c ô té de son sens immanent dans ľ anneau, prendra i c i un sens l u i a u ssi tran scen d an t; on a u ra , pour tou t a, b, c , d, e, f app artenan t a ľ anneau p ro d u it:

(a , b, c ) ♦ (d , e , f ) = (a + d, b ♦ e , с ♦ f )

La géom étrie p r o je c t iv e engendrée e s t a lo r s la géom étrie PG[2, 2]t. qui est. re p re se n te e par le p la n p r o j e c t i f ä 7 p o in ts , l'hypergraphe connu sou3 le nom de c o n fig u r a tio n de Fano ( f i g . 4 ).

F ig . 4. Géom étrie p r o je c t iv e h ég élien n e (p la n p r o j e c t i f á 7 p o in ts P(1[2, 2j ou c o n fig u r a tio n de Fano)

1.5. £1eroents d'une c r it iq u e

On peut s o u le v e r qu atre problemes p rin c ip a u x ä propos de la f o rm a lis a tio n p réeédente:

1) Ľ in tro d u c tio n du terme n u l. J e ľ a i d i t , le P. Dubarle teň­ te de la j u s t i f i e r par des c o n s id é ra tio n s p h ilo a o p h iq u es. I I n ’ em- péche q u 'e lle n 'e s t раь totalem ent in n o cen te. S i ľ on numérote le s niveaux de ľ arborescence e n cyclo p éd iq u e , a p a r t ir de la ra c in e (ou n * 0) , on démontre fa c ile m e n t, par re c u rre n c e , que, pour n ^ 1 le nombre de termes sup plém entaires engendré ä chaque n iveau e s t égal á N = 4n - 3n .

Aux niveaux le s p lu s profonds de ľ arborescence on aura done un nombre de termes supplém entaires tré s im p ortan t, termes qui sont des p o s itio n s fantômes du systéme.

2) Ľ ir r é g u l a r it e de 1' arborescence b ég élien n e . I I fa u t bien re c o n n a ltre que le form alism e du P. D u b arle, s i on le compare au systéme r e e l, e st une s o rte de vetement mal t a i l l é . En e f f e t , la lo g iq ue admet des excep tio n s au rythme t o r n a ir e : p. ex» dans la lo g iq u e du concept: 4 fig u r e s s y l lo g is t iq u e s , mais seulement deux formes de ľ i d é e absolue ( l ' i d é e du V r a i, ľ ide'e du B ie n ). Ľ idée du V ra i elle-meme d e la te en deux moments: le c o n n a itre a n a ly tiq u e , le c o n n a itre s yn th é tiq u e . On t r o u v e r a it également dans la p h ilo ­ sop hic de la Nature e t de l ' t s o s i t beaucoup ď e x c e p tio n s a la ré g le du découpage t e r n a ir e .

3) D 'a u tre s c r it i q u e s4 ont é té form ulées co n trę c e tt e te n ta ­ t i v e , dont c e l i e de M. P. N a v i l l e 5 , qui p o rte sur la p e rtin e n c e g é n é rale d'un reco urs b ľ alg e b re de Boole pour exprim er une the'orie de la c o n tr a d ic tio n . P. N a v i lle f a i t en e f f e t deux o b s e rv a tio n s : I ) la complementation booléenne ren vo ie p lu tô t a ľ i d é e de co n tra rié té q u 'a c e lie de c o n t r a d ic t io n ; 2) ce qui semble c a r a c t é r is e r la lo g i­ que hégélienn e de faęon e x p lic it e (on a lá dessus des te x te s de la Logique de l ' Essence6), c 'e s t le re fu s du t ie r s e x e lu . Or, la lo g iq u e booléenne admet le p r in c ip e du t i e r s e x e lu . On peut done se

— , t

4

C f . E . F l e i s h m a n n, Rapport formel et r e la t io n dia- le c tiq u e chez Marx, [d a n s :] La lo g iq u e de Marx, P . U . F . , P a r is 1974, pp. 35-60.

C f. P. N a v i l l e , op. c i t .

demander dans q u e lle mesure e i l e e st b ien c h o is ie pour fo rm a lis e r H e g e l.

Autant le prem ier p o in t de c e t t e c r it i q u e p a r a it d is c u ta b le (c e n 'e s t pas exactement la com plem entation qui t r a d u it la c o n t r a d ic ­ t io n , mais deux o p e ra tio n s d is t in c t e s , la com plem entation e t ľ in ­ t e r s e c t io n ) , au tan t le second nous semble d e v o ir e tr e p r is en c o n s id e r a t io n .

Quand on rapproche h la f o is le Probleme de 1' i r r e g u l a r i t e de la lo g iq u e , la q u estio n du terme vid e e t c e l l e du t i e r s e x c lu , on e s t amené á proposer une fo r m a lis a tio n q u i, tout en gardant le style de c e l l e du P. O u b arle, p o u r r a it p re s e n te r une sou p lesse un peu p lu s grande, des com plem entations p lu s d i v e r s i f ié e s , e t p e u t- e tre une a u tre th ^ o rie de la n eg a tio n , e l l e a u ssi p lu s lo c a le . On e st a in e i con d u it b s u b s titu e r á l ' a lg e b re de Boo le aux s ym é trie s trop p a r f a it e s , une a lg e b re pseudo-booieenne, qui ne donne malheureu- sement paa, comme on le v e r r a , des r e s u lt a t s a u ssi e s th é tiq u e s .

2.- Le. module in t u i t io n n is t e

2 . 1. Alg&bre de Heytin g et alg e b re de Brouwer

Mous appełons s ig to r c de íie y tin y ou alg e b re psoudo-complément«ia', un t r e i i l i s i m p l i c a t i f , autrem ent d it une a lg e b re p a rtie lle m e n t oŕdonntle, avec. le s élércents 0 et I e t t r o is o p e ra tio n s b in a ir e s Л , v e t —>, t e l i e s qu'on a i t le s r e la t io n s d e c r it e s dans la f ig u r e 5 avec le s axioitas ( J ) - (8) . Comme je ľ a i in d iq u e , le s axiomes (1 )- - (6) e ta n t m aintenua, s i on a, á la p la ce de ( 7 ) - ( 8 ) , le a axiomes (9 )- (1 0 ) a lo r s , on a, au lie u d'un t r e i i l i s i m p lic a t if , un t r e i i ­ l i s s o u s tr& u tif (ou alg e b re de B ro u w e r).

A« pseudo-cumpiement a — ► b du t r e i i l i s im p l ic a t i f (p lu s p e t it e borne supe'rieure de la c la s s « des x s a t is f a is a n t а Л x < b) correspond i c i le complement b ro u w trie n , autrem ent d it le p lu s grande borne io f e n e u r e des x s a t i s f a is a n t la r e la t io n a c b V x. Dana une alg eb re de H e ytin g , le complement de a s ’ e c r i t a — * о ou encore a *. Hans une alg e b re de Brouw er, l e complement brouw erien e s t note I - a ou encore i a . Ces a lg é b re s 3ont non seulement d uales ť une de ľ a u tre mais e i l e s ont en o u tre la p r o p r ie té de p o u vo ir é tr e re p re se n té e s sur un mene schéma. Tout t r e i i l i s d is ­ t rib u te f f i n i e st en e f f e t une "double a lg e b re b ro u w é rie n n e ",

a) t r e i llis im plicatif (algebre de Heyting): 1. аЛЬ < a 2. алЬ < b 3. с < з e t с < b — ► с <í a b 4. а < a U b 5. b < a U b 6. a < c et b < c — ► a U b < c 7. а

Л

(a — ► b) < b 8. а

л

c < b — > c < a — * b

b) t r e illis sougtractif (algebre de Вгоишвг): les axiomes (1)~ -(6) étant maintenus, 51 on a, ä la place de (7)-(8), les axiomes suivants:

9. a s j b u ( a - b )

10. a <. b U c —-*■ a - c < b

alors, on a, au lieu d'un t r e illis in p lic a tif, un t r e i l l i s sous- tra c tif (ou algébre de Brouwer).

F ig . 5. Oouble alg eb re brouwérienne

c .- á - d ., ä la f o is u n t r e i l l i s de Brouwer e t un t r e i l l i s de Hey­ ting. Comme le p ro d u it d'un t r e i l l i s d i s t r i b u t i f e s t un t r e i l l i s d i s t r i b u t i f , on peut e n visa g e r ľ a p p lic a tio n de c e tt e s tr u c tu r e aux d if f é r e n t s niveaux de r e a lis a t io n du Concept h é g é lie n .

2.2. P re s e n ta tio n synthé'tlque

S o it une double algfebre brouwérienne A, c o n s is ta n t en un en­ semble К * { и , P,

s ]n

e t qu atre o p e ra tio n s b in a ir e s : A , V , — ►et-, de t e l l e s o rte que B e st une a lg e b re brouwérienne sous [л , V , - } e t une alg e b re pseudo-complémentée sous [л , V , —* ] . Pour n = I , on a done le t r e i l l i s de la fig u re 6 e t le s l o is de ľ alg é b re de la f i ­ gure 7.

i Ceci correspond, au n iveau du processus d ia le c t iq u e , au schéma s u iv a n t:

1) on passe de U a P par la pseudo-complementation U — »-P. 2) on passe de P a S par la complémentation brouwérienne:

>u

*p

F ig . 6. T r e i l l i s d i s t r i b u t i f r é a l is a n t une double a lg e b re brouwé­ rie n n e , sur ľ ensemble á 3 élém ents { S , U, P }

Л p

u _ _ s

u

p

u

s

p

p

p

p

p

p

u

s

u

p

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s

p

n e g a tio n : uU— *• P ( = U* ) (pseudo-com plém entation) Aufhebung: fp — » i ( u * ) * -.P = S - P = S (com plem entation brouw érienne) F íg . 7. Lo í b de la riouble-algfebre brouwérienne

“»(U * ) x S P * S - P * S

Pour n = 2, i l y a u r a it neuf d e te rm in a tio n s c o n c e p tu e lle s , que nous pouvons exprim er par des c o u p le s: (U , U ), (U , P ) , (U , S ) , (P , U ), (P , P ) , e t c . Oň d é f i n i r a i t a lo r s 1*a lg e b re sur un ensemble K a 9 élém ents. Au n iveau s u iv a n t i l y en a u r a it 27, e tc .

P r é c is o n s , i c i , qu'on peut ne pas c o n s id é re r ces d if f é r ä n t e s " p o s it io n s " du concept que sont U, P , S , comme des termes sim ples, mais comme des ensembles regroupant des d e te rm in a tio n s sémantiques. Les n o ta tio n s du type (U , U ), (U , P ) , e t c . sont a lo r s censées de­ s ig n e r un sous-eßsemble de semes e x t r a it d'une ou de p lu s ie u r s de­ t e r m in a t io n s ) g é n é r a le (s ) le s regroupant.

Sur le p lan to p o lo g iq u e, on a la s it u a t io n d é c r it e sur la f i ­ gure 8. U e s t re p ré se n té par 1 ' in t é r ie u r du p é rim é tre , U*, par ľ e x t é r i e u r du périm fctre, ~>U par ľ e x té r ie u r augmenté rtu p é n n ie tro .

C ette re p re s e n ta tio n b id im e n s io n n e lle permet de v o ir en quot c o n s is ts ľ " é t a b lis s e m e n t " de ľ u n iv e rs e l immédiat U, d 'ab ord passé dans son e x t é r io r it é U* p u is déterminó dans sa s in g u la r it é S, par un re to u r en lui-roeme qui le "d e 'lim ite ".

J . La q u estion ď une re p re s e n ta tio n p r o je c t iv e

On s a lt que le f i l conducteur des ge'ométries p r o je c t iv e s finies a perm is au P. Ó. Oubarle de c o n s titu e r son aig é b re booléenne en alg eb re p r o je c t iv e . Une t e l l e demarche p e u t- e ile se tran sp o se r pour la double alg e b re brouwarienne que nous avons u t ilis ii'e ?

Ce qui p e rm e tta it la c o n s tit u t io n ď un e alQtíbre p r o je c t iv e avec le form alism e booléen re p o s a it sur deux c o n d itio n s :

1) Le f a i t que ľ e n s e m b le booléen sim ple U =

|o,

l ] e s t un corp s. C e rte s , ľ ensem ble-produit U2 n 'e s t deja p lu s qu'un an­ neau, mais le s ensembles Un , pour n > 2 conservent c e tte pro- p rie te '. Moyennant une a d a p ta tio n ď é c r it u r e , on p o u vait done trans- c t u e sur 1 'anneau-produit la geom etrie p r o je c t iv e er» p r in c ip e d ó f in ie sur le corps U ä deux e'léments.

2) C ette a d a p ta tio n é t a i t rendue p la u s ib le par le s p r o p rié té s p a r t ic u life r e s de PC [ i , 2 ], p lan p r o j e c t if a 7 p o in ts , dont 4 a d is ta n c e f i n i e e t t r o is s itu é s a l ' i n f i n i . Aux qu atre constantes» de s tr u c tu r e de la lo g iq u e de l ' entendement f i n i rép o n d ait done t r o is d e te rm in a tio n s i n f i n i e s in te r p r é té e s comme U n iv e r s e l, P a r t i ­ c u l i e r e t S in g u lie r , correspondant a in s i h la t r ia d o h é g é lie n n e .

A v r a i - d ir e , c e tt e c o n s tru c tio n é lé g an te ne manquait pas de re n co ritre r c e r ta in e s lim it e s : ou tre le probléme de la p e rtin e n c e d 'une re p re s e n ta tio n p r o je c t iv e de ľ i n f i n i h é g é lie n , on remarque- r a i t que lo tecme n u l, L n tro d u it dans le f i n i pour le s besoins du form alism e booléen, d is p a r a is s a it dans la re p re s e n ta tio n in fin ie pour le s besoins du form alism e p r o j e c t i f . Quel que s o it son c a r a ­ c t e r e h e u ris tiq u e , la re p re s e n ta tio n p r o je c t iv e é t a i t done, d'un p o in t de vue p h ilo s o p h iq u e , en p a r t ie a r b i t r a i r e .

Malgre le s lim it e s de ce schematisme, des ra is o n s h is to r iq u e s a u ra ie n t pu nous i n c i t e r a le tran sp o ser dans le cadre de n o tre form alism e, Malheureusem ent, ce n 'e s t pas p o s s ib le , le s bonnes p r o p r ie te s de 1 alg é b re de Boole n 'é ta rit pas conservées dans le s algfebres pseudo-booléennes qui ne peuvent e tr e c o n s titu e ^ s en a l- gebres p r o j e c t iv e s 1. On ne d o it раз tro p r e g r e t t e r ce r é s u lt a t n é g a t if: o u tre q u 'i l f a i t a p p a ra ítre la s in g u la r i t y de ľ alg e b re de B o o le , et le c a r a c te re heureux, mais quelque peu chanceux, de ľ a p p lic a t io n qui a pu en é tr e f a i t e , i l montre au ssi ľ aspect souvent c q n t r a igriant de la fo rm a lis a tio n q u i, lo in de se p l i e r á ľ in tB r p r e 'ta tio n , au c o n t r a ir e la faęonrie.

C entre N a tio n a l de la Recherche S c ie n t if iq u e P a r i s , France

D a n ie l P a rro c h ia

FORMALIZACJA B00L0W5KA I IN TUICJO N ISTYCZNA LOGIKI HEGLOWSKIEJ

i * wiadon,o lic z n e próby f o r m a liz a c ji lo g ik i H egla, сak to jednak pokazuje a u to r, w ie le z n ic h n ie osiąg a c e lu do ni *mi®rza fo rm a liz a c ja . Tym, k tó ry w rz e c z y w is to ś c i uwzględ­ n ia rz e cz y w is to ść tek stu H egla, j e s t wedle au tora 0. Oominique Qu­ i r l e . W swej pracy (lo g iq u e et d ia le c t iq u e , P a r is 1972) p rzyjm uje ło i.' i i e j ! odpowiedniość między lo g ik ą heglowską i lo g ik ą Bo-» . . Autor form u łu je k ry ty cz n y komentarz do tego p rzed sięw zięcia. T ru d n o ści, ja k ie s ię p o ja w ia ją , s k ła n ia ją autora do sfo rm a lizo w a ­ n ia rac jo n a ln eg o ją d ra d ia le k t y k i h e g lo w sk ie j przy w yko rz ystan iu lo g ik i in t u ic jo n is t y c z n e j.

, . H i r s c h f e l d , P r o j e c t iv e G eom etries o ver F i ­ n it e F ie ld s , Oxford U n iv e r s it y P re s s , 1979, pp. 79 e t 390-391.