3.
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora
=
{
x,
y,
xy}
(3.1)Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:
Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń
Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt zapisujemy:
x,
=
xcos
2
ysin
22
xysin
cos
(3.2)
y,
=
xsin
2
ycos
2−2
xysin
cos
(3.3)
x ' y '=−
x−
ysin cos
xycos
2
−sin
2
(3.4)lub krócej w postaci macierzowej
'=T
(3.5)gdzie wektory ' i opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych i wyjściowych.
Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
y x xy yx y x xy yx x y
T=
[
c2 s2 2 sc s2 c2 −2 sc −sc sc c2 −s2]
(3.6)Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy wówczas
x,
=
x
y2
x−
y2
cos
2
xysin
2
(3.7)
y,
=
x
y2
−
x−
y2
cos
2−
xysin
2
(3.8)
x ' y '=−
x−
y2
sin
2
xycos2
(3.9)Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej niezmiennikami, które zapiszemy następująco:
x
y=
x '
y '=const.
(3.10)
x
y−
xy 2=
x '
y '−
x ' y ' 2=const.
(3.11)Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć ekstremum równania (3.7) względem kąta . Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:
tg
2
gł=
2
xy
x−
y (3.12)
I , II=
x
y2
±
x−
y2
2
xy 2 (3.13)Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt /4 w stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:
'
MAX=
x
y2
2
xy 2 (3.14)=
{
x
y
xy}
(3.15) Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v, odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:
x= ∂
u
∂ x
y= ∂
v
∂ y
xy= ∂
u
∂ y
∂
v
∂ x
(3.16)Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:
Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco
=Lu
(3.17)gdzie wektor
u
=[u , v]
T, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu dwuwymiarowego przyjmuje postać:L
=
[
∂
∂ x
0
0
∂
∂ y
∂
∂ y
∂
∂ x
]
(3.18)W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru: x,u y,v ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂u ∂ ydy v∂v ∂ ydy u ∂u ∂ xdx ∂ v ∂ xdx u v dx dy
z=0
xz=0
yz=0
(3.19)
Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:
xz=0
yz=0
(3.20)
a wartość
z≠0
Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco
x=
1
E
x−
y
y=
1
E
y−
x
(3.21)
xy=
1
G
xy=
2
1
E
xy
z=−
E
x
y
(3.22)lub w postaci relacji odwrotnej
x=
E
1
−
2
x
y
y=
E
1−
2
y
x
(3.23)
xy=
E
21
xy=
E
1
−
2
xy (3.24) gdzie=
1
−
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci
gdzie C=E1
[
1 − 0 − 1 0 0 0 21]
(3.26) lub odwrotnie=D
(3.27) gdzie D=C−1= E 1−2[
1 0 1 0 0 0 ]
(3.28)W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:
z=0
xz=0
yz=0
xz=0
yz=0
(3.29) natomiast
z≠0
(3.30)Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco
x=
1
E
x−
y−
z
y=
1
E
y−
x−
z
(3.31)
xy=
2
1
E
xy (3.32) oraz
z=
1
E
−
x−
y
z
=0
(3.33)skąd
z=
y
x
(3.34)Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie
x=
1
E
[
1−
x−
y]
(3.35)
y=
1
E
[
1−
y−
x]
(3.36)
xy=
21
E
xy (3.37)lub odwracając zależności:
x=
E
11−2
[
1−
x−
y]
(3.38)
y=
E
11−2
[
1−
y−
x]
(3.39)
xy=
E
2
1
xy (3.40)W zapisie macierzowym zapiszemy:
C=1E
