Ford-Fulkerson

(1)

Przykªady przebiegów

algorytmu Forda-Fulkersona

Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK)

Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.1 Programu Operacyjnego

(2)

Algorytm

FordFulkerson(G, c, s, t)

1 begin

2 for

ka»da (u, v) ∈ V×V

do

f[u, v] := 0;

3 while

istnieje droga p z s do t w sieci residualnej Gf

do

4 begin

5 cf

(

p) := min{cf

(

u, v) : (u, v) ∈ p};

6 for

ka»da (u, v) ∈ p

do

7 begin

8 f[u, v] := f[u, v] + cf

(

p);

9 f[v, u] := −f[u, v]

10 end

11 end

;

12 return

f

13 end

;

Linia 3: (a) skonstruuj sie¢ G

f

z denicji,

(b) znajd¹ drog¦ z s do t (np. BFS dla grafu skierowanego).

Linia 5: c

f

(

p) = zmienna pomocnicza; warto±ci c

f

(

u, v)

(3)

Algorytm przebieg I

Krok 0

G z przepªywem f (=0):

-20

-10

-15

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

G

f

:

-20

-10

-15

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

(4)

Algorytm przebieg I

Krok 0

G z przepªywem f (=0):

-20

-10

-15

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

G

f

:

-20

-10

-15

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

c

_f

(

p

) =

10

(5)

Algorytm przebieg I

Krok 1

G z przepªywem f :

-10/20

-10/10

-10/15

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

G

f

:

-10

-5

10

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

(6)

Algorytm przebieg I

Krok 1 brak drogi powi¦kszaj¡cej ⇒ KONIEC, f maksymalny!

G z przepªywem f :

-10/20

-10/10

-10/15

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

G

f

:

-10

-5

10

w

g

w

g

w

g

w

g

s a b t

(7)

Algorytm przebieg II

Krok 0

G z przepªywem f (=0):

*

16

H

j

13

-12

-14

H

j

20

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

16

H

j

13

-12

-14

H

j

20

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

(8)

Algorytm przebieg II

Krok 0

G z przepªywem f (=0):

*

16

H

j

13

-12

-14

H

j

20

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

16

H

j

13

-12

-14

H

j

20

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

c

_f

₍

p

_{) =}

12

(9)

Algorytm przebieg II

Krok 1

G z przepªywem f :

*

12/16

H

j

13

-12/12

-14

H

j

12/20

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

4

12

H

j

13

12

-14

H

j

8

H

Y

12

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

(10)

Algorytm przebieg II

Krok 1

G z przepªywem f :

*

12/16

H

j

13

-12/12

-14

H

j

12/20

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

4

12

H

j

13

12

-14

H

j

8

H

Y

12

*

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

c

f

(

p

) =

4

(11)

Algorytm przebieg II

Krok 2

G z przepªywem f :

*

12/16

H

j

4/13

-12/12

-4/14

H

j

12/20

*

4/4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

4

12

H

j

9

H

_H

H

Y

4

12

-10

4

H

j

8

H

Y

12

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

(12)

Algorytm przebieg II

Krok 2

G z przepªywem f :

*

12/16

H

j

4/13

-12/12

-4/14

H

j

12/20

*

4/4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

4

12

H

j

9

H

_H

H

Y

4

12

-10

4

H

j

8

H

Y

12

4

?

10

6

4

9

6

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

c

f

(

p

) =

7

(13)

Algorytm przebieg II

Krok 3

G z przepªywem f :

*

12/16

H

j

11/13

-12/12

-11/14

H

j

19/20

*

4/4

?

10

6

4

9

6

7/7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

4

12

H

j

2

H

_H

H

Y

11

12

-3

11

H

j

1

H

Y

19

4

?

10

6

4

9

?

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

(14)

Algorytm przebieg II

Krok 3 brak drogi powi¦kszaj¡cej ⇒ KONIEC, f maksymalny!

G z przepªywem f :

*

12/16

H

j

11/13

-12/12

-11/14

H

j

19/20

*

4/4

?

10

6

4

9

6

7/7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

G

f

:

*

4

12

H

j

2

H

_H

H

Y

11

12

-3

11

H

j

1

H

Y

19

4

?

10

6

4

9

?

7

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

s b a d c t

Ford-Fulkerson

Przykªady przebiegów

algorytmu Forda-Fulkersona

Algorytm

FordFulkerson(G, c, s, t)

1

begin

2

for

ka»da (u, v) ∈ V×V

do

f[u, v] := 0;

3

while

istnieje droga p z s do t w sieci residualnej Gf

do

4

begin

5

cf

(

p) := min{cf

(

u, v) : (u, v) ∈ p};

6

for

ka»da (u, v) ∈ p

do

7

begin

8

f[u, v] := f[u, v] + cf

(

p);

9

f[v, u] := −f[u, v]

10

end

11

end

;

12

return

f

13

end

;

Linia 3: (a) skonstruuj sie¢ G

f

z denicji,

(b) znajd¹ drog¦ z s do t (np. BFS dla grafu skierowanego).

Linia 5: c

f

(

p) = zmienna pomocnicza; warto±ci c

f

(

u, v)

Algorytm  przebieg I

Krok 0

G z przepªywem f (=0):

w

g

w

g

w

g

w

g

G

f

:

w

g

w

g

w

g

w

g

z denicji,

Algorytm przebieg I

Algorytm przebieg I

_f

Algorytm przebieg I