Dla rozkªadów ci¡gªych jest to transformata Fouriera funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«- stwa: ϕX(t

Projekt pn. IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK  realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki

Kurs wyrównawczy - rachunek prawdopodobie«stwa I rok II st.mat,mef,mii,mif,zas

Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy

Funkcje charakterystyczne

Denicja. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X dana jest wzorem ϕ_X(t) = Ee^itX =

Z

R

e^itxµ_X(dx).

Dla rozkªadów ci¡gªych jest to transformata Fouriera funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«- stwa:

ϕ_X(t) =

∞

Z

−∞

e^itxf (x)dx.

Fakt. ϕaX+b(t) = e^itbϕ_X(at).

Twierdzenie. Je»eli X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, to ϕ_X+Y(t) = ϕ_X(t)ϕ_Y(t).

Twierdzenie. Je»eli E|X|ⁿ < ∞, n ∈ N, to n-ta pochodna funkcji charakterystycznej ϕ⁽ⁿ⁾_X istnieje i jest jednostajnie ci¡gªa, ponadto

ϕ⁽ⁿ⁾_X (0) = iⁿEXⁿ.

Twierdzenie (odwrotne przeksztaªcenie Fouriera). Rozkªad prawdopodobie«- stwa µ, który ma caªkowaln¡ funkcj¦ charakterystyczn¡ ϕ, ma tak»e ograniczon¡ i ci¡gª¡

g¦sto±¢ f dan¡ wzorem

f (x) = 1 2π

∞

Z

−∞

e^−isxϕ(s)ds.

Wzory Eulera:

e^iX = cos(X) + isin(X) cos(t) = e^it+ e^−it

2 sin(t) = e^it− e^−it

2i

Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego