• Nie Znaleziono Wyników

Dla rozkªadów ci¡gªych jest to transformata Fouriera funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«- stwa: ϕX(t

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Dla rozkªadów ci¡gªych jest to transformata Fouriera funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«- stwa: ϕX(t"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Projekt pn. IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK  realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki

Kurs wyrównawczy - rachunek prawdopodobie«stwa I rok II st.mat,mef,mii,mif,zas

Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy

Funkcje charakterystyczne

Denicja. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X dana jest wzorem ϕX(t) = EeitX =

Z

R

eitxµX(dx).

Dla rozkªadów ci¡gªych jest to transformata Fouriera funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«- stwa:

ϕX(t) =

Z

−∞

eitxf (x)dx.

Fakt. ϕaX+b(t) = eitbϕX(at).

Twierdzenie. Je»eli X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, to ϕX+Y(t) = ϕX(t)ϕY(t).

Twierdzenie. Je»eli E|X|n < ∞, n ∈ N, to n-ta pochodna funkcji charakterystycznej ϕ(n)X istnieje i jest jednostajnie ci¡gªa, ponadto

ϕ(n)X (0) = inEXn.

Twierdzenie (odwrotne przeksztaªcenie Fouriera). Rozkªad prawdopodobie«- stwa µ, który ma caªkowaln¡ funkcj¦ charakterystyczn¡ ϕ, ma tak»e ograniczon¡ i ci¡gª¡

g¦sto±¢ f dan¡ wzorem

f (x) = 1 2π

Z

−∞

e−isxϕ(s)ds.

Wzory Eulera:

eiX = cos(X) + isin(X) cos(t) = eit+ e−it

2 sin(t) = eit− e−it

2i

Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

Cytaty

Powiązane dokumenty

Przez cenę netto Zamawiający rozumie cenę bez podatku od towarów i usług (VAT). Cena dla przedmiotu zamówienia może być tylko jedna, nie dopuszcza się wariantowości cen.

Instytucja WdraŜająca (Instytucja Pośrednicząca II stopnia) nie ponosi odpowiedzialności wobec osób trzecich za szkody powstałe w związku z realizacją Projektu. W

Realizator Projektu zastrzega sobie prawo do zmiany osób prowadzących zajęcia oraz terminów zajęć w trakcie trwania projektu z przyczyn techniczno-

2. Wykonawca zobowiązuje się do zrealizowania Studiów MBA zgodnie z Regulaminem Studiów MBA funkcjonującym u Wykonawcy, stanowiącym załącznik nr 3 do niniejszej umowy. Przed

1) mają najniższe dochody,.. Decyzję o przyznaniu stypendium podejmuje Zarząd Województwa Opolskiego w formie uchwały. Informacja o wynikach naboru, zawierająca dane uczniów/

 Zasady prawidłowego korzystania ze znaku-przykłady zarówno dozwolonego jak i niedozwolonego wykorzystania danego znaku graficznego. W ramach usługi Wykonawca

[r]

zawodowego w Małopolsce poprzez wdrożenie programów rozwojowych szkół zawodowych.. wzmocnienie kształcenia zawodowego w głównych dla