Stany równowagi na rynkach warunkowych. Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2009, Nr 76, s. 110-121

EKONOMETRIA

Zastosowanie matematyki

w ekonomii

Redaktor naukowy

Janusz Łyko

26

Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 2009

PRACE NAUKOWE

UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO

WE WROCŁAWIU

nr 76

RESEARCH PAPERS

OF WROCŁAW UNIVERSITY

OF ECONOMICS

No. 76

Spis treści

Wstęp ... 7

Beata Bal-Domańska, Ekonometryczna analiza sigma i beta konwergencji regionów Unii Europejskiej ... 9

Andrzej Bąk, Aneta Rybicka, Marcin Pełka, Modele efektów głównych i modele z interakcjami w conjoint analysis z zastosowaniem programu R 25 Katarzyna Budny, Kurtoza wektora losowego ... 44

Wiktor Ejsmont, Optymalna liczebność grupy studentów ... 55

Kamil Fijorek, Model regresji dla cechy przyjmującej wartości z przedziału (0,1) – ujęcie bayesowskie ... 66

Paweł Hanczar, Wyznaczanie zapasu bezpieczeństwa w sieci logistycznej ... 77

Roman Huptas, Metody szacowania wewnątrzdziennej sezonowości w ana-lizie danych finansowych pochodzących z pojedynczych transakcji ... 83

Aleksandra Iwanicka, Wpływ zewnętrznych czynników ryzyka na prawdopo-dobieństwo ruiny w skończonym horyzoncie czasowym w wieloklasowym modelu ryzyka ... 97

Agnieszka Lipieta, Stany równowagi na rynkach warunkowych ... 110

Krystyna Melich-Iwanek, Polski rynek pracy w świetle teorii histerezy ... 122

Rafał Piszczek, Zastosowanie modelu logit w modelowaniu upadłości ... 133

Marcin Salamaga, Próba weryfikacji teorii parytetu siły nabywczej na przy-kładzie kursów wybranych walut ... 149

Antoni Smoluk, O zasadzie dualności w programowaniu liniowym ... 160

Małgorzata Szulc-Janek, Influence of recommendations announcements on stock prices of fuel market ... 170

Jacek Welc, Regresja liniowa w szacowaniu fundamentalnych współczynni-ków Beta na przykładzie spółek giełdowych z sektorów: budownictwa, informatyki oraz spożywczego ... 180

Andrzej Wilkowski, O współczynniku korelacji ... 191

Mirosław Wójciak, Klasyfikacja nowych technologii energetycznych ze względu na determinanty ich rozwoju ... 199

Andrzej Wójcik, Wykorzystanie modeli wektorowo-autoregresyjnych do modelowania gospodarki Polski ... 209

Katarzyna Zeug-Żebro, Rekonstrukcja przestrzeni stanów na podstawie wielowymiarowych szeregów czasowych ... 219

6

Spis treści

Summaries

Beata Bal-Domańska, Econometric analysis of sigma and beta convergence

in the European Union regions ... 24

Andrzej Bąk, Aneta Rybicka, Marcin Pełka, Main effects models and

main and interactions models in conjoint analysis with application of R software ... 43

Katarzyna Budny, Kurtosis of a random vector ... 53 Wiktor Ejsmont, Optimal class size of students ... 65 Kamil Fijorek, Regression model for data restricted to the interval (0,1) –

Bayesian approach ... 76

Paweł Hanczar, Safety stock level calculation in a supply chain network ... 82 Roman Huptas, Estimation methods of intraday seasonality in transaction

financial data analysis ... 96

Aleksandra Iwanicka, An impact of some outside risk factors on the finite-

-time ruin probability for a multi-classes risk model ... 109

Agnieszka Lipieta, States of contingent market equilibrium ... 121 Krystyna Melich-Iwanek, The Polish labour market in light of the hysteresis

theory ... 132

Rafał Piszczek, Logit model applications for bankruptcy modelling ... 148 Marcin Salamaga, Attempt to verify the purchasing power parity theory in

the case of some foreign currencies ... 159

Antoni Smoluk, On dual principle of linear programming ... 168 Małgorzata Szulc-Janek, Analiza wpływu rekomendacji analityków na ceny

akcji branży paliwowej (Analiza wpływu rekomendacji analityków na ceny akcji branży paliwowej) ... 178

Jacek Welc, A linear regression in estimating fundamental betas in the case of

the stock market companies from construction, it and food industries ... 190

Andrzej Wilkowski, About the coefficient of correlation ... 198 Mirosław Wójciak, Classification of new energy related technologies based

on the determinants of their development ... 208

Andrzej Wójcik, Using vector-autoregressive models to modelling economy

of Poland ... 218

Katarzyna Zeug-Żebro, State space reconstruction from multivariate time

series ... 227

PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 76

Ekonometria 26 2009

Agnieszka Lipieta

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

STANY RÓWNOWAGI

NA RYNKACH WARUNKOWYCH

Streszczenie: Rozważmy dwuokresowy model ekonomii wymiany (contingent market) opi-sany w pracy M. Magill i M. Quinzii [2002]. Jest to uogólnienie modelu Arrowa-Debreu, w którym opisywana gospodarka sekwencyjnie zmienia się w czasie. Rozważana ekonomia funkcjonuje w dwóch momentach czasu: teraźniejszym i przyszłym, przy czym czas przy-szły opisany jest stanami świata (interpretowanymi jako zbiór wszystkich możliwości, w ja-kich gospodarka może znaleźć się w przyszłości).

Zanalizowano problem jedyności stanów równowagi na rynkach warunkowych. Jest to uzupełnienie znanych rezultatów dotyczących problemu istnienia równowagi na tego typu rynkach. Zaletą tej analizy jest brak konieczności standardowych założeń o różniczkowalno-ści funkcji użytecznoróżniczkowalno-ści poszczególnych konsumentów, co zwiększa klasę relacji preferen-cji, które można poddać analizie.

Słowa kluczowe: warunkowa ekonomia wymiany, stan równowagi, optimum Pareta, rzut

ortogonalny.

1. Wstęp

System ekonomiczny, zwany ekonomią Debreu (zob. [Debreu 1959]), ze względu na swój statyczny charakter doczekał się wielu uogólnień (zob. np. [Radner 1970; Aliprantis 1996; Magill, Quinzii 2002; Malawski 2005; Malawski, Woerter 2006; Moore 2007]). Rozważana w pracy [Magill, Quinzii 2002] warunkowa ekonomia wymiany (contingent market) jest jedną ze znanych w literaturze modyfikacji eko-nomii Debreu. Jest to dwuokresowy, sekwencyjny model rynku, w którym rozważa się tylko jedno dobro. We wspomnianej pracy, oprócz prezentacji modelu, omó-wiony został także problem istnienia równowagi w warunkowej ekonomii wymia-ny. W większości zaprezentowanych metod autorzy przyjmowali dodatkowe zało-żenie o różniczkowalności funkcji użyteczności charakteryzujących wybory po-szczególnych konsumentów. Wyznaczanie stanów równowagi na rynkach warun-kowych sprowadza się do wyznaczenia ekstremów warunkowych funkcji użytecz-ności na zbiorach budżetowych, które muszą spełniać dodatkowo warunek równo-wagi. Funkcje użyteczności są rzeczywistymi funkcjami wielu zmiennych, więc do wyznaczenia ekstremów można zastosować klasyczne metody analizy matema-tycznej i programowania liniowego. Jednak w niektórych przypadkach, zwłaszcza

Stany równowagi na rynkach warunkowych

₁₁₁

gdy wymiar przestrzeni jest duży, napotykamy liczne przeszkody natury technicz-nej. Dodatkowo funkcje użyteczności w warunkowej ekonomii wymiany nie muszą być różniczkowalne.

W artykule przedstawione zostaną pewne własności zbiorów konsumpcji, za-sobów, wektorów cen i funkcji użyteczności charakteryzujących warunkową eko-nomię wymiany, które mogą być przydatne w procesach efektywnego wyznaczania stanów równowagi oraz podczas analizy problemu jedyności stanów równowagi. Zaletą tych rezultatów jest brak konieczności założeń o różniczkowalności funkcji użyteczności poszczególnych konsumentów, co zwiększa klasę relacji preferencji, które można poddać analizie.

2. Definicja warunkowej ekonomii wymiany. Struktura działania

Warunkowa ekonomia wymiany funkcjonuje w dwóch okresach. Okres jest rozumiany jako czas teraźniejszy, okres oznacza przyszłość. Okres jest opisany przez skończony zbiór { tzw. stanów natury (świata), gdzie

Liczba 0 = t 1 = t 1 = t , }S 1, ... } {1, 2, 3, ...}.

S∈ s∈{1, ...,S oznacza jedną z możliwości realizacjiświata w okresie t=1. Okres t=0

1

jest interpretowany jako początkowy stan natury , stąd rozważa się

0 =

s S+ stanów świata. Obserwacja liczby jednostek jednego (ustalonego) dobra w każdym stanie s=0, 1, ...,S prowadzi do definicji przestrze-ni towarów i cen _ℜS+1_.

Niech oznacza skończoną liczbę konsumentów działających w ekonomii. Każdemu konsumentowi i (

{1, 2, ...} I∈

1, ..., )

i= I przyporządkowane są:

• zbiór konsumpcji _{X –}i _{zbiór tych strumieni konsumpcji} i S 1_{, których}

posiadaniem jest zainteresowany konsument i

x ∈ℜ +

1

{1, ..., }_{I ∋ →i X}i_{⊂ ℜ}S+ ,

• relacja preferencji ≼i (relacja spójna, przechodnia i ciągła)

{1, ..., }I ∋ →i ≼i ⊂ ℜS+1× ℜS+1.

Jeżeli

X

i

=

ℜ

₊S+1, to zbiór

_X

i _{jest zbiorem wszystkich możliwych wielkości}

danego dobra dla konsumenta i=1,..., ,I w ka_{żdym stanie} s=0, 1, ..., .S Zak łada-my też, że relacja preferencji ≼i każdego konsumenta i jest reprezentowana przez

ciągłą funkcję użyteczności spełniającą warunek silnej monoto-niczności:

ℜ

→

+1

u

i

:

ℜ

₊S , (1)

)

ˆ

(

)

(

ˆ

:

ˆ

,

_x

1

_x

_x

_u

_x

_u

_x

x

_∈

_ℜ

S

_<

_⇒

i

_<

i

∀

+ + gdzie: jeśli x=( , ...,x₁ x_S+1),xˆ=( , ...,xˆ₁ xˆ_S+1),to

Agnieszka Lipieta

112

ˆdef[( {1, ..., 1}: _l ˆ_l) ˆ].

x x< ⇔ ∀ ∈l S+ x ≤x ∧ ≠ x x (2) W stanie s=0 konsument posiada zasób

i

_ω0i

+

∈ℜ oraz (poprawnie) określa swój zasób i w każdym stanie

s

ω

s=1, ..., .S Zatem każdy konsument i scharakte-ryzowany jest przez wektor zasobów pocz_ątkowych.

0 1

( , , ..., ) .

i i i i S Xi

ω = ω ω ω ∈

Analogicznie konsument i (i=1, ..., ),I wybierając strumień konsumpcji

0 1

( , , ..., ) ,

i i i i S i

x = x x x ∈X

określa swoją konsumpcję (liczbę jednostek danego dobra) w okresie oraz przewiduje konsumpcję w okresie

i

x

₀ t=0 1

=

t dla każdego stanu s=0, 1, ..., .S

Definicja 1 (zob. [Magill, Quinzii 2002]). Dwuokresową ekonomię ( , ),Ε u ω w której działa I konsumentów scharakteryzowanych poprzez funkcje użyteczno-ści i zasoby początkowe

1 1

( , ) ( , ...,_{uω = u u}I,_ω , ...,_ωI),

nazywamy warunkową ekonomią wymiany lub rynkiem warunkowym (contingent market).

Niech

1

(0, ..., 0) S+

Ο = ∈ℜ

oznacza wektor zerowy w przestrzeni towarów i cen.

Definicja 2 (zob. [Magill, Quinzii 2002]). Alokacją w ekonomii ( , )E uω na-zywamy wektor x=( , ...,x1 xI), gdzie wektor jest strumieniem kon-sumpcji każdego konsumenta

1 +

ℜ

∈

S i

x

1, ..., .

i= I Alokację _{x=( , ...,x}1 _xI_{) nazywamy}

do-stępną lub dopuszczalną, jeżeli {1, ..., }: i i I x ∀ ∈ ∈_Xi _{oraz .} 1( ) I _{i i} i= x −ω ≤ Ο

∑

Zbiór wszystkich dostępnych alokacji oznaczamy przez

( 1)

1

{ S I : I ( i i)

i

F = ∈ℜx ₊+ ⋅

∑

₌ x −ω ≤ Ο)}.

Stany równowagi na rynkach warunkowych

₁₁₃

∑

= = _iI i 1

ω

ϖ

(3) ekonomii

Ε

(

u

,

ω

)

.

Definicja 3 (zob. [Magill, Quinzii 2002]). Alokację _{xˆ=( , ...,xˆ}1 _xˆI₎

)

,

nazywamy optimum Pareta w warunkowej ekonomii wymiany

Ε

(

u

ω

, jeżeli:

F

x

ˆ

∈

oraz 0 ˆ ˆ ~ (_{∃ ∈x F}:[(_{∀ ∈i} {1, ..., }: ( )_{I u x}i _{≥u x}i( )) (_{∧ ∃ ∈i} {1, ..., }: ( )_{I u x}i _{>u x}i( ))]).

Definicja 4 (zob. [Magill, Quinzii 2002]). Kontraktem warunkowym w eko-nomii

Ε

(

u

,

ω

)

nazywamy obietnicę dostarczenia jednej jednostki rozważanego dobra w każdym stanie s=0, 1, ..., .S Warunkowym wektorem cen (contingent

market price) nazywamy wektor 1

0, , ...,p1 pS) S

(

p= p ∈ℜ + , gdzie

p

_s (s=0, ...,S) jest zdyskontowan_{ą (zaktualizowaną na okres} t=0) cen_{ą jednej jednostki dobra w} stanie s, płaconą w okresie t=0.

W powyższej definicji oznacza liczbę ustalonych arbitralnie jednostek

pie-niężnych. s

p

Każdy konsument działający na rynku warunkowym ma możliwość realokacji swoich zasobów. W tym momencie pojawiają się naturalne pytania: czy istnieją w zbiorach budżetowych każdego konsumenta i strumienie konsumpcji preferowa-ne bardziej niż zasoby początkowe oraz co motywuje konsumen-tów do realokacji swoich zasobów. Kluczem do odpowiedzi na te dwa pytania jest rozstrzygnięcie, czy zasoby

i

ω

I

(i=1, ..., )I 1_{, ...,}

ω ω tworzą z danym wektorem cen stan równo-wagi w warunkowej ekonomii wymiany. Jeśli tak, to konsumenci nie mają moty-wacji do realokacji zasobów, jeśli nie, to motywuje ich to do działania.

Warunkowa ekonomia wymiany

Ε

(

u

,

ω

)

działa w następujący sposób. W okresie konsument i może sprzedać swój zasób początkowy względem warunkowego wektora cen

0 =

t

_ω

i

0 1

( , , ..., _S)

p= p p p , otrzymując dochód w wysokości:

0 . S i i i s s s w p ω p ω = = =

∑

⋅ (4)

Konsument i może zakupić strumień konsumpcji którego wartość nie przekracza jego dochodu, tzn.

1 0 1 ( , , ..., ) , i i i i S S x = x x x ∈ℜ +

Agnieszka Lipieta

114

0 . S _{i i} s s s= p x⋅ ≤w

∑

Założenie monotoniczności funkcji użyteczności prowadzi do analogicznej własności monotoniczności relacji preferencji ≼i każdego konsumenta i:

x

x

x

x

X

x

x

i i

_∈

i i

_<

i

_⇒

_≺

_i

∀

,

:

interpretowanej jako „im więcej, tym lepiej”. Zgodnie z tą interpretacją warunko-wy zbiór budżetowy konsumenta i względem warunkowego wektora cen

(contingent market budget set) zdefiniowany jako

1 S p∈ℜ + 1 ( ,_pωi) {def _xi S+ :_{p x}i _{p ω}i} Β = ∈ℜ ≤ jest postaci 1 ( ,_pωi) {_xi S+ :_{p x}i _p i i}. Β = ∈ℜ = ω = w (5)

Zauważmy, że konsument i w przypadku podjęcia decyzji o realokacji wydaje cały swój dochód z warunku (4) na zakup strumienia konsumpcji . _wi

_x

i

Warunkowa ekonomia wymiany dzia_{ła prawidłowo, jeżeli każdy konsument ma} mo_{żliwość sprzedaży i zakupu takiej ilości dobra, ile chce, o ile tylko nie wpływa to} na zmian_{ę ceny tego dobra. Zatem wymiana na rynkach warunkowych musi być} oparta na pewnych regułach, które gwarantują jej prawidłowe funkcjonowanie i które są przestrzegane przez wszystkich uczestników rynku. Zakłada się, że:

• wszystkie umowy handlowe są zawierane w okresie t=0,

• ceny kontraktów w różnych stanach są mierzone w tych samych, ustalonych w okresie t=0 jednostkach pieniężnych,

• istnieje wolny od opłat ze strony konsumentów monitoring rynku, • nie ma możliwości renegocjowania cen kontraktów w okresie t=1.

Definicja 5 (zob. [Magill, Quinzii 2002]). Warunkowym stanem równowagi (contingent market equilibrium) w ekonomii

Ε

(

u

,

ω

)

z jednym dobrem nazywamy parę ) 1 ( ) 1 ( * *

_,

₎

(

_x

_p

∈

ℜ

₊S+ ⋅I

×

ℜ

₊S+

złożoną z alokacji i warunkowego wektora cen

_x

*

_p

* taką, że

* * {1, ..., }: i arg max{ ( ) :i i i ( , )} i I x u x x p ω ∀ ∈ ∈ ∈Β i . oraz * 1( ) I _{i i} i= x −ω = Ο

∑

Stany równowagi na rynkach warunkowych

₁₁₅

Zauważmy, że warunkowy stan równowagi jest stanem równowagi konkuren-cyjnej na rynku, w którym konsumenci są biorcami cen, tzn. każdy konsument kupuje tyle, ile chce, i nie ma to wpływu na zmianę ceny towaru p w kas żdym

stanie 0,1, ..., .s∈ S Zatem, przy założeniu silnej monotoniczności relacji preferen-cji, problem maksymalizacji użyteczności na zbiorach budżetowych ma rozwiąza-nie, jeśli ceny towaru w każdym stanie są dodatnie, tzn. rozważane dobro nie jest dobrem wolnym w żadnym stanie.

Spostrzeżenie to formalizuje następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1 (o braku wolnych kontraktów na rynkach warunkowych) (zob. [Magill, Quinzii 2002]). W ekonomii

Ε

(

u

,

ω

)

następujące warunki są równoważne: • para _{( ,x p jest warunkowym stanem równowagi w tej ekonomii,} * *₎

• _p* S+1_, ++

∈ℜ

• zbiór _{Β( ,p}* _ωi_{) jest zwarty dla każdego {1, ..., }.i∈ I}

Twierdzenie 2 (zob. [Magill, Quinzii 2002]). Niech Ε(u,

ω

) będzie warunko-wą ekonomią wymiany. Jeżeli para _{( ,x p jest warunkowym stanem równowagi} * *₎

w tej ekonomii, to alokacja _{x jest optimum Pareta.} *

Jeżeli ekonomia Ε(u,

ω

) jest w stanie równowagi, to żaden konsument nie ma motywacji do realokacji swoich zasobów. Każdy stan dopuszczalny (zob. defini-cj_{ę 2), który nie jest stanem równowagi, będzie „prowokował” kolejne realokacje} zasobów do momentu uzyskania stanu równowagi.

Zauwa_{żmy na koniec tej części pracy, że kontrakty warunkowe, zdefiniowane} w definicji 4, mog_{ą być wykorzystane np. do modelowania kontraktów} ubezpie-czeniowych, przy czym stany natury zawieraj_{ą różne rodzaje ryzyka, od którego} ubezpiecza się konsument. Może to być ubezpieczenie od pożaru, kradzieży, wy-padku samochodowego, choroby, kalectwa, śmierci i innych „stanów niepewno-ści”, na wypadek zajścia których zwykle dokonuje się ubezpieczeń.

3. Główne rezultaty

Kiedy został już rozstrzygnięty problem istnienia równowagi na rynkach warun-kowych, pojawiają się kolejne problemy: jak wygląda stan równowagi na rynkach warunkowych, czy jest on jedyny i jakich użyć metod, aby go wyznaczyć. Jeśli funkcje użyteczności są klasy C2_{, to najprostszą metodą, za pomocą której można}

wyznaczyć stan równowagi przy danym wektorze cen, jest metoda mnożników Lagrange’a. Jeżeli natomiast zakładamy tylko ciągłość funkcji użyteczności (bez zakładania różniczkowalności), pozostają metody programowania liniowego. W tej sytuacji przydatne są wszystkie informacje, które uprościłyby procesy optymaliza-cyjne.

Agnieszka Lipieta

116

Niech Ε(u,

ω

) ) , (_x* _p*

będzie warunkową ekonomią wymiany (zob. definicję 1), w której para jest warunkowym stanem równowagi oraz wektor

jest całkowitym zasobem (zob. (3)). Zauważmy, z twierdzenia 1, że

(tzn. wszystkie współrzędne wektora są dodatnie). W tej sytuacji zachodzi na-stępujące twierdzenie: 1 + + ℜ ∈ S ϖ 1 * + + + ℜ ∈ S p * p

Twierdzenie 3. Istnieje warunkowa ekonomia wymiany Ε( , ),u ωˆ różniąca się od ekonomii

Ε

(

u

,

ω

)

tylko wektorami zasobów początkowych, w której istnieje stan równowagi postaci oraz całkowite zasoby w obu ekonomiach są takie same, tzn. ) , (_x* _p* 1 _... I _ˆ1 _{... ˆ}I_. ϖ ω= + +ω =ω + +ω

Ponadto wektory zasobów początkowych wszystkich konsumentów w ekonomii )

ˆ , (u

ω

Ε zawierają się w podprzestrzeni wektorowej przestrzeni _ℜS+1 wymiaru 1.

Dowód. Zauważmy najpierw, że jeśli * +1 oraz

+ + ℜ ∈ S p _ϖ S+1_, + ∈ℜ to

0

*

_ϖ

_≠

p

.

Warunkowy wektor cen _p* indukuje przekształcenie liniowe postaci

*_: S 1 * _.

p ℜ + ∋ →x p x∈ℜ

Niech _Q:ℜS+1_→ℜS+1 będzie odwzorowaniem danym przepisem * * ( ) ( ) . ( ) p x Q x p ϖ ϖ = ⋅ (6) Oznaczmy

)

(

ˆ

i

_Q

_ω

i

ω

=

dla 1, ..., .i= I Wtedy dla dowolnego

x

∈

ℜ

S+1

( )

* _.

Q x p =x p* ₍₇₎

Z warunku (7) wynika, że zbiory budżetowe względem warunkowego wektora cen _p* w ekonomiach _Ε(u,

_ω

_{) oraz Ε(u,}

_ω

_{ˆ) są takie same. Skoro relacje} preferen-cji dla każdego konsumenta są również te same, to wektory maksymalizujące uży-teczności na zbiorach budżetowych poszczególnych konsumentów w ekonomii

) , (u

ω

Stany równowagi na rynkach warunkowych

₁₁₇

ˆ ( , ).u ω

Ε Z definicji odwzorowania Q (zob. (6)) wynika, że wektory _{ωˆ , ...,}1 _{ω sˆ}I _ą

zawarte w jednowymiarowej podprzestrzeni generowanej przez wektor ca łkowi-tych zasobów

ϖ

(zob. (3)).

Zauważmy, z warunku (7), że liniowe odwzorowanie Q (zob. (6)) jest rzutem ortogonalnym na jednowymiarową podprzestrzeń generowaną przez wektor .ϖ Z twierdzenia 3 wynika, _{że jeśli}

ˆ {1, ..., }: i i,

i I ω ω

∃ ∈ ≠

to istniej_{ą przynajmniej dwie różne alokacje zasobów wszystkich konsumentów,} które przy danym wektorze cen i danych funkcjach u_{żyteczności dają ten sam stan} równowagi.

Ekonomia Ε(u,

ω

ˆ) ma charakter pomocniczy. Do procesów optymalizacyj-nych, zamiast danych zasobów _ω1_{, ...,ω poszczególnych konsumentów, mo}I _żna

użyć ich rzutów ortogonalnych na prostą generowaną przez wektor produkcji cał-kowitej (3).

Zajmiemy się teraz sytuacją, kiedy wybory każdego konsumenta ograniczają się do mniejszego zbioru niż

ℜ

₊S+1. Wówczas prawdziwe jest twierdzenie.

Twierdzenie 4. Jeśli istnieje podprzestrzeń wektorowa taka, że 1_, + S V⊂ ℜ } {Ο 1_≠ ℜ ∩ + + S V (8) {1, ..., }: i , i I X ∀ ∈ ⊂ V

to istnieje wektor cen taki, że para jest warunkowym stanem równowagi w ekonomii V p_ˆ*∈

)

,

(

) ˆ , (_x* _p*

ω

u

Ε

.

Dowód. Zauważmy, że jeśli _{V ⊂ℜ}S+1 oraz _{V ≠ ℜ}S+1_{, to}

Oznaczmy

dimV < +1.S V

k =S+1−dim (k∈{1, 2, ..., })S . Wtedy istnieją wektory _h1_{, ...,h}k

1_, S+ ∈ℜ (_hl (_{h , ...,0}l l_), S h = l∈{1, ..., })k takie, że 1ker , k _l l V h = =

∩

gdzie funkcjona_ły

1 0 0 0 : ( , ..., ) ... l S l l S S h ℜ + ∋ x x →h x + +h x_S∈ℜ

są liniowe i ciągłe dla każdego

l

∈

{

1

,...,

k

}

.

Ustalmy bazę w przestrzeni V. Niech wektory b_{ędą wyznaczone z warunków:}

1 1

Agnieszka Lipieta

118

, ( ) ( ) 0 l j l j n j h q v q δ ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ dla ,l j∈{1, ..., },k n∈(1, ...,S+ −1 k). Wówczas wektor _ˆp* postaci:

* * 1 ˆ* k l( l l ) p p h p = q = −

∑

⋅

spełnia tezę twierdzenia.

Z twierdzenia 4 wynika, że w sytuacji, gdy wybory konsumentów są ograni-czone do pewnej podprzestrzeni wektorowej , gdzie

to problem wyznaczenia warunkowego wektora cen równowagi można zawęzić do podprzestrzeni V, co w procesach optymalizacyjnych pozwala na wyeliminowanie k zmiennych z warunków budżetowych i dziedziny funkcji użyteczności. Zauważmy, że w przypadku założenia (7) dana alokacja , która daje stan równowagi w całej ekonomii z pewnym wektorem cen, tworzy też stan równowagi z pewnym wektorem cen z podprzestrzeni V.

1 +

ℜ

⊂

S

V

dimV = + −S 1 k, *

x

{1, ..., }, k∈ S

Wniosek 1. Niech

Ε

(

u

,

ω

)

będzie warunkową ekonomii wymiany, w której {1, ..., }: i

i I X V

∀ ∈ ⊂ oraz _p*_{∉ V.}

Wtedy w ekonomii tej istnieją przynajmniej dwa stany równowagi, a zbiory budżetowe przy cenach

_p

* oraz

_ˆp

* są identyczne.

Wniosek 2. Z twierdzenia 1 wynika, że _ˆ* +1 oraz

+ + ℜ ∈ S p , (9)

||

||

||

ˆ

||

_p

*

_≤

_p

*

gdzie norma jest zadana przez iloczyn skalarny. Zatem jeśli nierówność w warunku (9) jest ostra, to wektor cen jest korzystniejszym z punktu widzenia konsumentów warunkowym wektorem cen równowagi.

||

||

⋅

* ˆp

Rozważmy teraz sytuację, w której, przy danym wektorze cen ist-nieją w ekonomii * S 1_, p ∈ℜ₊₊+ ) , (u ω

Ε co najmniej dwa różne

)

,

ˆ

(

),

,

(

_x

*

_p

*

_x

*

_p

*

stany równowagi, gdzie

x

*

,

x

ˆ

*

_∈

_ℜ

(S+1)⋅I

,

x

*

_≠

x

ˆ

*. Niech

* * 1* * ( 1)

( ) { ( , ..., I ) S :

Stany równowagi na rynkach warunkowych

₁₁₉

* i * 1* *

{1, ..., }: (i i ) max{ ( ) :i i ( , i)} ... I

i I u x u x x p ω x x ϖ

∀ ∈ = ∈Β ∧ + + = (10)

będzie zbiorem tych dostępnych alokacji (zob. definicje 2 oraz 5), które wraz z wektorem _p* tworz_{ą stan równowagi w warunkowej ekonomii wymiany Ε( , ).u ω}

Uwaga 1. Wektory , s_{ą nieporównywalne względem relacji} (zob. (1)). Ponadto *

x

_ˆx

*

_∈

_R

₍

_p

*

₎

1 1

"

"

<

⊂

ℜ

S+

×

ℜ

S+ * _ˆ* * {1, ..., }: (( i i ) ) i I x x ∀ ∈ − ⊥ p _{oraz i {1, ..., }:I x}i* _xˆi* S+1 ++ ∃ ∈ − ∉ℜ * i x .

Dowód. Przypu_{śćmy, że wektory ,} s_{ą porównywalne}

wzglę-dem relacji , np. . Wtedy

*

x

ˆ

*

_{− x}

*

ˆx

0

*

_>

I S+ ⋅

ℜ

∈

( 1) 1 1

"

"

<

⊂

ℜ

S+

×

ℜ

S+

_x

* _ˆ {1, ..., }: i i I x ∀ ∈ ≤ oraz _{∃ ∈i {1, ..., }:I x}i*_<xˆi*_.

Z założenia monotoniczności relacji preferencji otrzymamy

* _ˆ

{1, ..., }: (i i ) i( i )

i I u x u x

∀ ∈ ≤ * _{oraz ∃ ∈i {1, ..., }: (I u x}i i*_{)<u x}i_(ˆi*_),

co znaczy_{łoby, że para} nie jest warunkowym stanem równowagi w eko-nomii

)

,

(

_x

*

_p

*

)

,

(

u

ω

Ε

.

Niech i=1, ..., .I Wtedy (zob. (4))

I * * * * i

_ˆ

i i

_p

_x

_p

_x

w

=

=

,

co w konsekwencji oznacza dla każdego 1, ...,i= prostopadłość wektorów oraz .

)

ˆ

(

_x

i*

₋

_x

i*

_p

* Gdyby * _ˆ* {1, ..., }: i i S i I x x +1 ++ ∀ ∈ − ∈ℜ , to

0

ˆ

* *

_{− x}

_>

x

,

co znaczyłoby, że para nie jest warunkowym stanem równowagi w eko-nomii

)

,

ˆ

(

_x

*

_p

*

)

,

(

u

ω

Ε

.

Uwaga 2. Jeżeli w warunkowej ekonomii wymiany

Ε

(

u

,

ω

)

funkcje u żytecz-ności wszystkich konsumentów są silnie wypukłe, to przy danym wektorze cen istnieje co najwyżej jeden stan równowagi.

Dowód. Silna wypukłość relacji preferencji oznacza, że

ˆ ˆ

, :[( ( ) ( )) (0,1) : ( ( ) ( (1 ) ))].

i i i i i i i i i i i i

x x X u x u x t u x u tx t x

Agnieszka Lipieta

120

Gdyby w ekonomii istniały dwa różne stany równowagi

(

_x

*

,

_p

*

),

(

_x

ˆ

*

,

_p

*

)

, to

* _ˆ*

{1, ..., }: i i

i I x

∃ ∈ ≠ x .

Z silnej wypukłości wynikałoby więc, że

)

ˆ

)

1

(

(

)

(

:

)

1

,

0

(

_u

i

_x

i*

_u

i

_tx

i*

_t

_x

*i

t

∈

<

+

−

∀

.

Wektor postaci leżący w zbiorze budżetowym byłby bardziej preferowany niż wektor i i

_t

_x

tx

*

₊

₍

₁

₋

₎

_ˆ

* *_, i

x co prowadzi do sprzeczności.

Na koniec artykułu zostanie podane twierdzenie charakteryzujące zbiór stanów równowagi w warunkowej ekonomii wymiany przy danym wektorze cen

* S 1_.

p ∈ℜ₊₊+

Niech

Ε

(

u

,

ω

)

,

(

_x

*

będzie warunkową ekonomią wymiany (zob. definicję 1), w której para jest warunkowym stanem równowagi (zob. definicję 5 i twierdzenie 1), wektor jest całkowitym zasobem (zob. (3)), a zbiór

jest wyznaczony z warunku (10). Wówczas prawdziwe jest twierdzenie.

)

*

p

1 + +

ℜ

∈

S

ϖ

)

(

_p

*

R

Twierdzenie 5. Niech * _{ * _{: (} *_{) max{ ( ) : ( ,}* i i i i i i i i i X = x ∈X u x = u x x ∈Β p ω )}} S dla i∈{1, 2, ..., }I oraz (11) 1* 2* * 1 2 1 2 1 : ... I ( , , ..., I) ... I . f X ×X × ×X ∋ x x x →x +x + +x ∈ℜ + Wtedy (12)

)

(

)

(

* * 1 *

_∈

_R

_p

_⇔

_x

_∈

_f

−

_ϖ

x

oraz zbiór

_f

−1

(

_ϖ

)

jest zwarty.

Dowód. Zauważmy, że niepustość zbiorów

_X

i*_{dla 1, ...,i= I wynika z faktu,}

iż względem wektora cen istnieje stan równowagi w ekonomii _p* _{Ε( , ).u ω Postać} odwzorowania f z warunku (11) oraz warunek (12) s_{ą konsekwencją definicji 5.}

Odnotujmy, że odwzorowanie f jest ciągłe. Zatem zbiór jako prze-ciwobraz zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym w przestrzeni . Ponadto

)

(

1

_ϖ

−

f

I S+ ⋅

ℜ

( 1) 1_{( ) ( ,}* 1_{) ... ( ,}* I_), f− ϖ ⊂ Β p ω × × Β p ω

Stany równowagi na rynkach warunkowych

₁₂₁

gdzie zbiory budżetowe _Β(_p*,

_ω

i) dla _{i=1, ...,I są zwarte (zob. twierdzenie 1).} Z twierdzenia Tichonowa (zob. [Engelking 1975]) wynika, że iloczyn kartezjański zbiorów budżetowych będzie zbiorem zwartym w przestrzeni . Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest również zwarty, co daje tezę twierdzenia.

I S+ ⋅

ℜ

( 1)

4. Podsumowanie

Niektóre zaprezentowane w artykule fakty (twierdzenia 3 i 5) mogą być pomocne (przez redukcję pewnej liczby zmiennych) podczas efektywnego wyznaczania sta-nów równowagi w warunkowej ekonomii wymiany. Inne zaś (twierdzenie 4, uwa-ga 2) opisują sytuację, kiedy w tej ekonomii istnieje więcej niż jeden stan równo-wagi. Do całościowej analizy problemu jedyności stanu równowagi na rynku wa-runkowym potrzebna jest jeszcze wiedza na temat postaci funkcji użyteczności poszczególnych konsumentów. Pewną charakterystykę zbioru stanów równowagi w warunkowej ekonomii wymiany daje twierdzenie 5.

Literatura

Aliprantis C.D., Problems in Equilibrium Theory, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg, Germany 1996. Debreu G., Theory of Value, Wiley, New York 1959.

Engelking R., Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975.

Magill M., Quinzii M., Theory of Incomplete Markets, MIT Press, Cambridge 2002.

Malawski A., A Dynamical System Approach to the Arrow–Debreu theory of General Equilibrium, The 9-th World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics, and Informatics, Proceeding 2005, July 10-13, Orlando, Florida, USA, Vol. VII, 2005.

Malawski A., Woerter M., Diversity Structure of the Schumpeterian Evolution. An Axiomatic

Ap-proach, Arbeitspapiere/Working Papers of the Swiss Institute for Business Cycle Research,

No 153, Zurich 2006.

Moore J.C., General Equilibrium and Welfare Economics, Springer, Berlin 2007.

Radner R., Existence of Equilibrium of Plans, Prices and Price Expectations in a Sequence of

Mar-kets, „Econometrica” 1970 vol. 40.

STATES OF CONTINGENT MARKET EQUILIBRIUM

Summary: Let Ε( , )uω be the contingent market studied in [Magill M., Quinzii M., Theory

of Incomplete Markets, MIT Press, Cambridge, 2002]. The aim of this paper is the

presenta-tion of some properties of consumppresenta-tion sets, utility funcpresenta-tions and total endowments which may be useful in the characterization of the sets of states of equilibrium and in the effective calculation of the states of equilibrium on the contingent market.