Wykad 6

MECHANIKA 2

Wykład 3

Podstawy

i zasady dynamiki

Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Wprowadzenie

DYNAMIKA

jest

działem

mechaniki

opisuj

ą

cym ruch układu materialnego

pod wpływem sił działaj

ą

cych na ten

układ.

Oparta jest na zasadach sformułowanych

przez Newtona w traktacie:

Philosophiae naturalia principia

mathematica (1687) .

Zasady dynamiki klasycznej Newtona

Zasada pierwsza

Punkt

materialny,

na

który

nie

działają żadne siły lub działają siły

wzajemnie równoważące się, pozostaje

względem

układu

odniesienia

w

spoczynku lub ruchu jednostajnego

prostoliniowego.

Zasada druga

Zmiana

ilości

ruchu

(pędu)

jest

proporcjonalna względem siły działającej

i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta

siła działa.

Dla m = const

Zasada trzecia (akcji i reakcji)

Każdemu działaniu towarzyszy równe,

lecz przeciwnie zwrócone oddziaływanie.

Zasada czwarta (prawo superpozycji)

Jeśli na punkt materialny o masie m działa

jednocześnie

kilka

sił,

to

punkt

uzyskuje

przyspieszenie

równe

sumie

geometrycznej

przyspieszeń,

jakie

uzyskałby

w

wyniku

niezależnego działania każdej z sił.

Zasada pi

ą

ta (prawo grawitacji)

Każde dwa punkty materialne przyciągają się

wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu

mas (m

, m

) i odwrotnie proporcjonalnie do

kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły

leży na prostej łączącej te punkty.

- stała grawitacji

G

Rozpędzamy wózek z przyspieszeniem

. Musimy więc

działać siłą równą

, . Zgodnie z zasadą akcji i reakcji na

nasze ręce działa taka sama siła pochodząca od wózka, lecz

zwrócona przeciwnie.

Jest to siła bezwładności ( d’Alemberta )

Siła bezwładno

ś

ci

a

ρ

a

m

F

ρ

=

ρ

=

D

ρ

Ciężarek o masie m obracany na nici wokół punktu 0 poddany jest działaniu siły

skierowanej do środka 0.

Nić jest rozciągana siłą bezwładności nazywamy ją czasem siłą odśrodkową

n

a

m

F

ρ

=

ρ

=

D

ρ

Siła bezwładno

ś

ci

Niech po dowolnym torze porusza się punkt materialny o masie m. Na punkt ten działa siła nadając, mu przyspieszenia całkowitego . Siłę F oraz przyspieszenie a rozłożymy na kierunek styczny i normalny do toru, otrzymamy:

F

ρ

a

ρ

siłę styczną do toru

siłę normalną do toru

=

t

F

ρ

=

n

F

ρ

Siła bezwładno

ś

ci

Poruszającemu się punktowi przypiszemy siłę bezwładności , równą co do modułu sile , lecz zwróconą przeciwnie. Siłę tę możemy również rozłożyć na kierunek styczny i normalny do toru.

a

m

D

ρ

=

−

ρ

F

ρ

Styczna siła bezwładności

Normalna siła bezwładności

=

t

D

ρ

=

n

D

ρ

Siła bezwładno

ś

ci

Siła

bezwładności

ma

wartość

równą

iloczynowi

masy

przez

przyspieszenie

ruchu.

Jej

kierunek

jest

taki

jak

kierunek

przyspieszenia

ruchu,

zaś

zwrot

jest

zawsze przeciwny niż

zwrot przyspieszenia

Siła bezwładności jest równa zeru wtedy, gdy w ruchu nie

występuje przyspieszenie. W szczególności, styczna siła

bezwładności nie występuje w ruchu jednostajnym

punktu, normalna siła bezwładności jest równa zeru w

ruchu prostoliniowym.

W

ruchu

swobodnego

punktu

materialnego układ sił czynnych

równoważy się z siłą bezwładności

.

W ruchu punktu nieswobodnego siły

czynne i reakcje wi

ę

zów równowa

żą

si

ę

z sił

ą

bezwładno

ś

ci.

Tak więc wprowadzając do zagadnień dynamiki siłę bezwładności sprowadzamy je do zagadnień statyki. Metodę tę nazywamy metodą kinetostatyki.

Rozpatrzmy ruch masy m zawieszonej na końcu liny rozwijającej się z bębna. Załóżmy, że przyspieszenie opadającej masy wynosi .

Na rozważaną masę działa siła ciężkości , siła napięcia w linie i siła bezwładności , zwróconą przeciw przyspieszeniu.

Warunek równowagi:

Przykład

a

ρ

G

ρ

Rys. 8

Przykład

a

g

ρ=

ρ

W przypadku swobodnego spadku masy

, siła

napięcia liny będzie równa zeru. Przy jednostajnym ruchu

masy siła w linie będzie równa sile ciężkości.

Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem

układu sił

Drugą zasadę Newtona zapiszemy w postaci:

P

ę

d punktu materialnego

Wektor

nazywany jest p

ę

dem

lub

ilo

ś

ci

ą

ruchu punktu materialnego.

n 2 1

F

F

F

ρ

_,

ρ

_,....,

ρ

v

m

ρ

p

ρ

Po wprowadzeniu pojęcia pędu, drugą zasadę Newtona

możemy przedstawić w postaci

Pochodna p

ę

du punktu materialnego

wzgl

ę

dem czasu jest równa sumie sił

działaj

ą

cych na dany punkt.

W przypadku gdy na punkt materialny nie

działają

siły lub siły działające równoważą

się, pęd punktu materialnego jest stały.

Zasada zachowania p

ę

du punktu

materialnego

Drugą zasadę Newtona przepiszemy w postaci

Zasada p

ę

du masy i impulsu siły

Impuls elementarny siły działającej na

punkt materialny jest równy przyrostowi

elementarnego pędu tego punktu.

Po oznaczeniu

otrzymamy

Elementarny

impuls siły

Całkując obustronnie poprzednie równanie otrzymamy

dt

∫

=

Π

F

ρ

ρ

- jest impulsem całkowity siły F w przedziale czasu t₂-t₁,

otrzymamy

Przyrost p

ę

du masy poruszaj

ą

cego si

ę

punktu jest

równy impulsowi całkowitemu sił działaj

ą

cych.

Stwierdzamy więc, że dla zmiany pędu masy niezbędny jest określony czas działania siły. Siły działające nieskończenie krótko lub, praktycznie biorąc, mające bardzo krótki czas działania nazywamy siłami chwilowymi (działanie nogi gracza na piłkę, siły przy uderzeniu kul bilardowych) w odróżnieniu od sił ciągłych, do której zaliczamy np. siłę ciężkości.

Z równania tego wynika, że zmiana wektora pędu będzie tym intensywniejsza, im większa będzie siła oraz im mniejsza będzie masa m i pęd początkowy .

F

ρ

1

p

ρ

KR

Ę

T PUNKTU MATERIALNEGO

Po dowolnym torze porusza się punkt o masie m, z

prędkością

. Obierzmy dowolny punkt 0 jako początek

układu stałego x, y, z i połączmy go z poruszającym się

punktem promieniem-wektorem

.

v

ρ

r

ρ

Krętem poruszającego się punktu materialnego

względem obranego bieguna 0 nazywamy wektor

równy

iloczynowi

wektorowemu

promienia,

przez pęd poruszającego się punktu.

Po zróżniczkujemy wektora krętu względem

czasu otrzymamy

czyli

Iloczyn wektorowy wektorów równoległych

,

natomiast

iloczyn

przedstawia moment sił

działających

na

poruszający

się

punkt

materialny

względem obranego bieguna 0. Tak więc

0

v

m

v

ρ

× ρ

=

a

m

r

ρ×

ρ

Pochodna wektora krętu względem czasu jest

równa momentowi głównemu wszystkich sił

działających na dany punkt materialny.

Zasada zachowania kr

ę

tu

Jeżeli

moment

sił

działających

na

poruszający się punkt materialny jest

względem jakiegoś bieguna jest równy

zeru, to kręt poruszającego się punktu

względem tego bieguna jest wektorem

stałym.

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

Po podstawieniu

oraz

Otrzymamy

dynamiczne równaniami ruchu

Przy analizie ruchu punktu stosuje się w mechanice oprócz układu kartezjańskiego również inne układy ortogonalne. Równania ruchu w tych układach otrzymamy uwzględniając znane z kinematyki wzory przedstawiające przyspieszenia w tych układach.

Tak na przykład w biegunowym układzie współrzędnych dynamiczne równania ruchu maja postać:

,

W układzie współrzędnych walcowych, równania te będą wyglądały następująco:

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

W kinematyce podaliśmy składowe przyspieszenia w naturalnym układzie współrzędnych. Opierając się na tych składowych napiszemy dynamiczne równania ruchu w naturalnym układzie współrzędnych

Wreszcie podamy jeszcze dynamiczne równania ruchu we współrzędnych kulistych:

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

Rozwiązanie równań dynamicznych sprowadza się do dwóch zagadnień zwanych niekiedy dwoma zadaniami dynamiki.

1. Zadanie pierwsze polega na tym, że mamy parametryczne równania toru, po którym porusza się punkt materialny, czyli mamy określone równania ,

)

(t

x

x

=

y

=

y

(t

)

z

=

z

(t

)

Chcemy natomiast wyznaczyć siłę , pod której wpływem porusza się punkt materialny Zadanie to rozwiązuje się w prosty sposób. Różniczkując dwukrotnie względem czasu równania parametryczne, określamy składowe przyspieszenia, podstawiając je do dynamicznych równań ruchu znajdujemy szukane składowe siły działającej, a więc i wektor siły.

F

ρ

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

2. Bardziej złożone jest drugie zadanie dynamiki. Polega ono na wyznaczeniu (przy danej masie i sile) przyspieszenia, prędkości i toru poruszającego się punktu.

W zadaniu tym musimy mieć określoną siłę działającą. Możemy tu rozróżnić następujące przypadki.

a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie, b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła,

c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości przy uwzględnieniu dużego obszaru,

d) Siła zależy od prędkości poruszającego się punktu, np. opór powietrza.

W najogólniejszym przypadku równania ruchu w współrzędnych kartezjańskich b miały postać

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i uwzględniając warunki początkowe dla t=0

, o

x

x

=

x

&=

x

&

y

y

=

y

&=

y

&

_z

&=

_z

&

) , , , , , , ( 1 x y z x y z t f

x = _{o o o} &_o &_o &_o y = f₂(x_o, y_o,z_o,x&_o, y&_o,z&_o,t) z = f₃(x_o, y_o, z_o,x&_o, y&_o,z&_o,t)

Ten układ równań określa ruch punktu, na który działają znane siły i który w chwili początkowej zajmował określone położenie i miał określoną prędkość początkową.

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

CAŁKOWANIE RÓWNA

Ń

RUCHU

Określenie siły na podstawie parametrycznych równań toru.

Określić działająca siłę.

Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu i znajdujemy składowe przyspieszenia

Podstawiając je do równań ruchu znajdujemy szukaną siłę

lub w postaci wektorowej

=

F

ρ

Ruch pod wpływem siły

0

=

F

ρ

0

=

a

m

ρ

0

=

r

&

ρ

&

Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0

r

v

ρ

&

ρ =

v

r

ρ =

&

ρ

Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0

r

r

o

ρ

ρ=

Dochodzimy w ten sposób do znanych równań ruchu jednostajnego i prostoliniowego.

Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych:

dla t = 0 oraz dla będzie

Ruch pod wpływem siły stałej

. Napiszemy

równanie ruchu w postaci

const

=

F

ρ

v

r

ρ =

&

ρ

r

r

ρ =

ρ

=

r

ρ

Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia.

Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m wystrzelonego z planety o masie M (rys. 9). Równanie ruchu ma postać

ale

lub

Po całkowaniu otrzymujemy równanie

Rys. 9

Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość początkową v_o. Podstawimy więc v = 0, x = H, x_o = R otrzymamy

po przekształceniu

Zastanówmy się, z jaką prędkością należy wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą planety.

Prędkość tę, zwaną prędkością ucieczki v_∞, otrzymamy, podstawiając do wzoru v_o = v_∞ oraz H = ∞. Na prędkość ucieczki otrzymamy wyrażenie

Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość

Prędkość ucieczki dla Ziemi będzie

Przyjmując w szczególności R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s2 otrzymamy

v_∞ ≈ 11,8 km/s ≈ 42 500 km/h.

Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się ono satelitą Ziemi.

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch post

ę

powy

Względem układu stałego ruch punktu jest określony równaniem

W układzie ruchomym ruch określony jest więc równaniem oraz

u u

ma

D

ρ

=

−

ρ

w którym nazywamy siłą bezwładności unoszenia. Jest ona równa iloczynowi masy punktu przez przyspieszenie unoszenia i jest zwrócona przeciwnie niż

a

ρ

Równanie ruchu przyjmuje następującą postać:

Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego ruch postępowy punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego,

oprócz sił danych, jeszcze pomyślana siła bezwładności unoszenia.

Zasada względności mechaniki klasycznej:

Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu

odniesienia.

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

Rys. 8

Ostatecznie:

Dla punkt materialny będzie poruszał się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry.

Gdy , punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

α

tg

g

a

<

α

tg

g

a

=

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

W układzie stałym równanie ruchu będzie następujące:

oraz

Równanie ruchu w układzie ruchomym przyjmie postać:

– siła bezwładności unoszenia,

– siła bezwładności unoszenia Coriolisa.

u u

ma

D

ρ

=

−

ρ

ma

D

ρ

=

−

ρ

Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego ruch obrotowy punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sil danych, jeszcze pomyślana siła bezwładności unoszenia i

pomyślana siła bezwładności Coriolisa.

W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną przyspieszenia obrotowego i doosiowego, czyli

w związku z tym

(19)

(20)

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

– obrotowa (styczna) siła bezwładności,

– poosiowa (normalna) siła bezwładności,

o o

ma

D

ρ

=

−

ρ

ma

D

ρ

=

−

ρ

=

D

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

=

d

D

D

=

przy czym

Rys. 9

Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie

W wielu zagadnieniach praktycznych za układ odniesienia przyjmujemy Ziemię. W ogólności jest to układ nieinercjalny. Jednak z wystarczająco dobrym przybliżeniem Ziemię możemy uważać za układ inercjalny, o ile

tylko będziemy rozpatrywać ruch w przedziałach czasu krótkich w porównaniu z okresem ruchu postępowego i obrotowego Ziemi. Szczególnie niewielką rolę odgrywa, przy występujących w praktyce

prędkościach, siła Coriolisa.

RUCH WZGL

Ę

DNY PUNKTU MATERIALNEGO

PRZYKŁAD 1

Człowiek naciska na podłogę windy siłą N

= 500 N, jeśli

winda jest w spoczynku, natomiast siłą N

= 550 N, jeśli

winda rusza. Jakie jest przyspieszenie windy? Przyjąć g =

10 m/s

.

spoczynek

_ruch

?

a

ρ

=

Rozwi

ą

zanie

Dla spoczynku

Dla ruchu windy

Z warunków równowagi:

Z II zasady dynamiki Newtona:

PRZYKŁAD 2

Ciało o masie m

porusza się po chropowatej równi pochyłej,

tworzącej za poziomem kąt α. Za pomocą nieważkiej, doskonale

wiotkiej linki, przerzuconej przez kołek K, wprawia w ruch ciało o

masie m

, znajdujące się na chropowatej płaszczyźnie poziomej.

Współczynnik tarcia kinetycznego na obydwu powierzchniach jest

równy

µ

. Znaleźć wartość siły wypadkowej działającej na ciało o

masie m

.

Rozwi

ą

zanie

Wartości sił działających na ciało 2:

2

Tρ

Rozwi

ą

zanie

Niech – wypadkowa sił N

F

ρ

i G

.

Wtedy

Zatem wypadkowa sił działających na ciało 1 ma wartość:

PRZYKŁAD 3

Przypadek

taki

sam,

jak

w

poprzednim

zadaniu.

Prędkość początkowa ciała o masie m

wynosi v

. Znaleźć

czas, po którym prędkość będzie n razy większa.

Rozwi

ą

zanie

Zgodnie z zasadą pędu:

PRZYKŁAD 4

Z działa o masie M = 1000 kg wystrzelono pocisk o masie

m = 1 kg. W chwili wylotu z lufy pocisk ma prędkość o

wartości v = 400 m/s. Działo ulega odrzuceniu w przeciwną

stronę niż leci pocisk. Obliczyć szybkość odrzutu działa –

szybkość chwilową w momencie, gdy pocisk opuszcza lufę.

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

s m

00

4

v

=

?

u

=

Rozwi

ą

zanie

Działo i pocisk tworzą układ zamknięty. Przyjmujemy

istnienie wyłącznie oddziaływań między działem i pociskiem

(oddziaływania grawitacyjne w chwili wystrzału możemy

pominąć). Nie ma oddziaływań zewnętrznych w stosunku do

układu działo-pocisk.

Ponieważ siły między działem i pociskiem się równoważą, w

układzie działo-pocisk obowiązuje zasada zachowania pędu.

F

ρ

F

ρ

gdzie p

– pęd układu w spoczynku;

p

– pęd układu w chwili odrzutu.

v

m

ρ

więc

Odp.:

u

M

ρ

−

PRZYKŁAD 5

Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy

wyrzucić, alby balon zaczął wznosić się z tą samą

prędkością? Masa balonu (z balastem) wynosi M = 300 kg,

a siła wyporu F

= 2900 N.

Rozwi

ą

zanie

Na balon działają 3 siły:

•

ciężkości G;

•

wyporu F

;

•

oporu ośrodka R.

Balon porusza się ze stałą prędkością, więc na podst. I

zasady dynamiki:

Gdy balon wznosi się, również będzie spełniona I zasada

dynamiki:

Uwaga!

Ponieważ szybkość przy opadaniu i wznoszeniu jest taka

sama, a siła oporu powietrza R zależy tylko od prędkości, jej

wartość przy opadaniu i wznoszeniu również będzie taka

sama.

PRZYKŁAD 6

Dwa klocki o masach m

i m

związane nieważką i

nierozciągliwą nicią leżą na poziomym stole. Do drugiego z

nich przyłożono siłę F pod kątem α. Współczynniki tarcia

między klockami a stołem wynoszą odpowiednio µ

i µ

.

Oblicz przyspieszenie klocków i siłę napinającą nić.

Rozwi

ą

zanie

Na układ działają siły:

•

G

, G

– siły ciężkości;

•

T

, T

– siły tarcia;

•

N

, N

– siły nacisku (reakcji podłoża);

•

S – siła napięcia linki;

•

F – dodatkowa siła zewnętrzna.

Wykorzystamy fakt, iż oba klocki poruszają się z tym

samym przyspieszeniem o wartości a.

Równania ruchu pierwszego klocka:

– II zasada dynamiki

– równanie równowagi

Równania ruchu drugiego klocka:

– II zasada dynamiki

– równanie równowagi

Rozwiązania:

Uwaga!

Powyższe rozważania mają sens, gdy klocek nie odrywa

się od podłoża (tj. gdy G

> Fsinα) oraz gdy a > 0, tj. gdy:

PRZYKŁAD 7

W wagonie poruszającym się poziomo ruchem

jednostaj-nie przyspieszonym wisi na nici ciężarek o masie m = 0,1

kg. Nić odchylona jest od pionu o kąt α = 15°. Obliczyć

przyspieszenie wagonu i siłę napięcia linki.

Rozwi

ą

zanie

Kulka względem wagonu jest w spoczynku, a względem ziemi

porusza się z przyspieszeniem a równym przyspieszeniu

wagonu. Na kulkę działają jedynie siły:

grawitacji G;

napięcia linki S.

Obie siły składają się na wypadkową F,

która powoduje ruch kulki względem

ziemi z przyspieszeniem a.

Skalarnie: