Ruch obrotowy

Wykład 6

2

Obroty - definicje

Ciało sztywne to ciało które obraca się w taki sposób, że wszystkie jego części są związane ze sobą dzięki czemu kształt ciała nie ulega zmianie.

Kierunek obrotu

Każdy punkt tego ciała porusza się po okręgu, którego środek leży na osi obrotu i każdy punkt zakreśla w ustalonym czasie taki sam kąt. W ruchu postępowym każdy punkt ciała porusza się po linii prostej i doznaje w ustalonym czasie takiego samego przemieszczenia liniowego.

Położenie kątowe

r s rad:  1



 s r

r

s 

 ,

Położeniem kątowym nazywamy kąt, jaki tworzy linia zakreślająca położenie ciała na okręgu z pewnym stałym kierunkiem, wybranym za kierunek o zerowym położeniu kątowym.



 s r

r

s 

 , r

s

rad : 

1

4

Położenie kątowe

Kąt jest tu mierzony w radianach (rad). Radian jest równy stosunkowi dwóch wielkości o wymiarze długości, jest zatem liczbą bezwymiarową. Obwód okręgu o promieniu r jest równy 2πr więc kąt pełny ma 2π radianów:

r rad

r





159 . 0 3

. 57

1rad    = 1 pełnego obrotu

Kąt θ nie przybiera znów wartości zero po każdym pełnym obrocie linii odniesienia wokół osi obrotu. Mówimy, że po dwóch pełnych obrotach linii odniesienia, od zerowego położenia kątowego, położenie kątowe θ jest równe θ = 4π rad.

Przemieszczenie kątowe

Przesunięcie kątowe jest dodatnie, jeśli obrót zachodzi w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, a jest ujemne, jeśli obrót zachodzi w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.









1

2





 ^{ }



6

Prędkość i przyspieszenie kątowe

Średnia prędkość kątowa Chwilowa prędkość kątowa

Średnie przyspieszenie kątowe Chwilowe przyspieszenie kątowe

t t

śr

t 

 



    



1 2

1 2

dt d t

chw t



  



 





lim

t t

śr

t 

 



    



1 2

1 2

dt d t

chw t



  



 





lim





Prędkość i przyspieszenie kątowe Czy są to wielkości wektorowe?

REGUŁA PRAWEJ DŁONI

8

Równania ruchu

RUCH POSTĘPOWY RUCH OBROTOWY

at v

v 



2 0

0

2

1 at t

v x

x   





2 0

2

v 2 a x x

v   

 t



 



2 0

0

2

1 t

t 





   





2 0

2

 2   

   

Związek zmiennych liniowych z kątowymi Położenie

(miara łukowa) Prędkość

Wektor prędkości liniowej jest zawsze styczny do toru cząstki.

Okres obrotu T, odnoszący się zarówno do ruchu każdego punktu ciała, jak i do ciała sztywnego jako całości, jest dany wzorem:

r s   



dt r d dt

r dr dt d dt

ds _  _  _ 

0

r v   





 2

2 

 r

T

10

Związek zmiennych liniowych z kątowymi Przyspieszenie

Wielkość dv/dt, stanowi tylko cześć przyspieszenia liniowego - tę część, która jest związana ze zmianą wartości bezwzględnej v wektora prędkości liniowej v. Ta część (składowa) przyspieszenia liniowego jest - podobnie jak v - styczna do toru rozważanego punktu. Będziemy ją nazywać składową styczną przyspieszenia

liniowego a_st punktu.

dt r d dt

dv 



r a

  

r r

a

 v

 



Druga składowa przyspieszenia liniowego powoduje zmianę kierunku wektora prędkości liniowej v i nazywa się składowo radialną

przyspieszenia liniowego:

r a_st  

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym Energia kinetyczna obracającego się ciała:













i

i i

k

m v m v m v m v

E

1

2 2

3 3 2

2 2 2

1

1

2

... 1 2

1 2

1 2

1

v_i nie jest takie samo dla wszystkich cząstek.

   

1

2 1

2

2 1 2

1 2

1 m  r m r  I 

E

n

i

i i n

i

i i

k

    





gdzie

ω

Wyrażenie w nawiasie informuje, jak rozłożona jest masa obracającego się ciała wokół osi jego obrotu. Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności ciała względem danej osi obrotu i oznaczamy ją symbolem I. Jest to wielkość stała dla danego ciała sztywnego i określonej osi obrotu.

12

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

• Masa bliżej osi

• Mały moment bezwładności

• Łatwo rozkręcić

• Masa dalej od osi

• Duży moment bezwładności

• Trudno rozkręcić

Moment bezwładności Moment bezwładności

Jednostką momentu bezwładności I w układzie SI, jest kilogram razy metr do kwadratu (kg • m²).

Jeśli ciało sztywne składa się z wielu blisko siebie położonych cząstek (czyli jest ciałem rozciągłym) wtedy:





i

i i

r m I

1

2



 r dm

I

Twierdzenie Steinera

Jeśli znamy moment bezwładności I_ŚM tego ciała względem osi równoległej do danej osi i przechodzącej przez środek masy ciała.

Moment bezwładności względem osi danej jest równy:





14

Moment bezwładności

Jednorodny pręt, oś  do długości

• Cienki jednorodny pręt o masie M i długości L.

L dx M

dm 

• Wybieramy element masy o długości dx w odległości x od osi obrotu O. Stosunek dm do całej masy M jest równy stosunkowi długości dx do całej długości L:

L dx dm  M

) 3 3

3 ( 1 3

2 2

3 2

2

x M L Lh h

L dx M

L x dm M

x

h L

h h

L

h





 



 



 



 



 















• Przesuwając położenie osi O można obliczyć moment bezwładności pręta względem dowolnej osi.

Moment bezwładności Pierścień

• Jednorodny cylinder o długości L, promieniu

wewnętrznym R₁, i zewnętrznym R₂. Oś obrotu jest osią symetrii.

) 2

( rLdr dV

dm     

• Wybieramy cieńkie cylindry o promieniu r, grubości dr, i długości L. Objętość takiego elementu:









  



^{( 2 ) 2}

² ₄ ⁽

⁾

1 2

1

R L R

dr r L rLdr

r dm

r

R

R R

R

 





) )(

2 (

2 1 2

2 2

1 2

2

R R R

L R





 

) ( R

R

L

V   

1





16

Moment bezwładności

Momenty bezwładności brył sztywnych

PRĘT PŁYTA PROSTOKĄTNA

PIERŚCIEŃ WALEC OBRĘCZ KULA SFERA

Moment siły

Zdolność siły F do wprawiania ciała w ruch obrotowy zależy nie tylko od wartości jej składowej stycznej F_st, lecz także od tego, jak daleko od punktu O

jest ona przyłożona. Aby uwzględnić obydwa te czynniki, definiuje się wielkość M zwaną momentem siły, jako iloczyn:

Moment siły można rozumieć jako miarę zdolności siły F do skręcania ciała. Jednostką momentu siły w układzie SI jest niuton razy metr (N • m).

Uwaga:

niuton razy metr jest również jednostką pracy; moment siły i praca są to jednak zupełnie różne wielkości, których nie wolno ze sobą mylić - pracę wyraża się często w dżulach (1 J = 1 N • m), czego nigdy nie robi się w odniesieniu do momentu siły.

  ^ 

 r F sin

M

18

II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego Moment siły może spowodować obrót ciała sztywnego.





 I M

Dowód:

Na cząstkę działa siła F. Cząstka może poruszać się jedynie po okręgu,

dlatego też jej przyspieszenie wzdłuż toru pochodzi tylko od składowej stycznej F_st, siły (tzn. składowej, która jest styczna do toru cząstki).

Moment siły działającej na cząstkę jest dany wzorem st

st

m a

F  

  ^{ r r}   ^{mr  I }

m r

ma r

F

M 

 

  



Praca i energia kinetyczna ruchu obrotowego

Związek zmiany energii kinetycznej ΔE_k ciała z pracą W, wykonaną nad układem jest dany przez

I W E I

E

E











 2 2

2





Gdy ruch zachodzi jedynie wzdłuż osi x, praca definiuje się:





p

Md W













 M

dt P dW

Szybkość, z jaką jest wykonywana praca jest to moc:

20

położenie położenie kątowe

prędkość prędkość kątowa

przyspieszenie przyspieszenie kątowe

masa moment bezwładności

II zasada dynamiki II zasada dynamiki

praca praca

energia kinetyczna energia kinetyczna

moc moc

związek pracy z energią związek pracy z energią Porównanie

RUCH

POSTĘPOWY

RUCH

OBROTOWY

x 

dt dx

v

   d  dt

dt dv

a



  d  dt

m I

ma

F

 M

 I 



 Fdx

W ^{W }  ^{Md }

2 mv

E



2



E

 I v

F

P   P  M  

E

W   W   E

Toczenie się ciał

Chwilowa Oś obrotu P

Ruch obrotowy

Ruch

postępowy

=

+

R s   

R

v

  

22

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Jeśli potraktujemy ruch kola jako ruch wyłącznie obrotowy wokół osi przechodzącej przez punkt P, wtedy otrzymamy:

2



E  I

przy czym ω jest prędkością kątową koła, a I_P — momentem bezwładności koła względem osi, przechodzącej przez punkt P. Z twierdzenia Steinera, czyli równania I = I_ŚM + mh² dostajemy:

mR

I

I





gdzie m jest masą koła, I_ŚM — jego momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy koła, a R (promień koła) jest odległością tych dwóch osi obrotu (h).

2 2

2 2

2 2 2

2 2

ŚM ŚM ŚM

k

I mv I mR

E       

Toczenie się ciał po równi pochyłej

ŚM

s

mg ma

f  sin  

ŚM



s

I

Rf 

Ciało toczy się bez poślizgu, więc możemy skorzystać z równania:

R a

 



R

a f

  I

stąd

ostatecznie

1

sin

mR I

a g

ŚM

ŚM





 

24

Moment pędu



 ) sin

( r p rp

L      

przeniesiona do O

II zasada dynamiki Newtona

dt M L

d  



Zachowanie momentu pędu

Jeśli na układ nie działa żaden wypadkowy moment siły, to równanie przybiera postać dL/dt = 0, co oznacza, że:

. const L  

Całkowity moment pędu w pewnej chwili początkowej

t_pocz

Całkowity moment pędu w pewnej chwili końcowej t

=

kon pocz

L L  



Jeśli działający na układ wypadkowy moment siły jest równy zeru, to całkowity moment pędu L układu nie zmienia się niezależnie od tego, jakim zmianom

podlega układ.

26

Moment pędu

„obroty"

„Śruby"

 ^

 I

L 