Zastosowanie mediany Kemeny’ego do wyznaczania oceny grupowej dla porządków częściowych

(1)

DARIUSZ WAGNER

Instytut Bada Systemowych PAN

Streszczenie

W pracy przeanalizowano zagadnienie wyznaczenia oceny grupowej w sytuacji, gdy oceny podane przez ekspertów mają charakter porządków czĊĞciowych oraz gdy dopuszcza siĊ moĪliwoĞü wystĊpowania obiektów równowaĪnych zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej. PrzyjĊto, Īe zostanie zastosowana metoda me-diany Kemeny’ego polegająca na minimalizacji odległoĞci szukanego uporządkowa-nia od zbioru uporządkowaĔ podanych przez ekspertów.

Słowa kluczowe: Decyzje grupowe, porzdek czciowy, odległo midzy ocenami, mediana Kemeny’ego

1. Wprowadzenie

Przy wyznaczaniu oceny grupowej, w celu uproszczenia rozwaa, wprowadza si pewne za-łoenia dotyczce postaci zarówno ocen ekspertów, jak równie oceny grupowej. Zazwyczaj zakłada si, e eksperci oceniaj wszystkie obiekty, ponadto przyjmuje si, e zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej nie wystpuj obiekty równowane. Załoenia te w istotny sposób zawaj klas rozwizywanych problemów.

W niniejszej pracy przyjto, e eksperci mog uzna, e niektóre obiekty s nieporównywalne bd nierozrónialne (równowane). Naley zauway, e s to róne sytuacje. Ponadto przyjto, e obiekty równowane mog wystpowa w ocenie grupowej.

Problem równowanoci obiektów w ocenach ekspertów był rozwaany m.in. w pracach Co-oka i Seiforda (1978), Armstronga i in. (1982), Bury i Wagnera (2008a)). Analiza moliwoci wystpowania obiektów równowanych w ocenie grupowej jest bardziej złoona. Bury i Wagner (2008a, b) zastosowali ułamkowy zapis pozycji obiektów zaproponowany przez Cooka i Seiforda (1978) w celu uwzgldnienia obiektów równowanych w ocenie grupowej wyznaczanej za pomoc algorytmów Bordy oraz median Kemeny’ego, Litvaka i Cooka-Seiforda.

Richards i in. (2006) przedstawili zastosowanie metody Bordy do wyznaczania oceny grupo-wej dla porzdków czciowych.

Cook i in. (1986) zaproponowali zastosowanie dwóch zero-jedynkowych macierzy – nazywa-nych macierzami informacji i preferencji - do opisu trzech rozwaanazywa-nych wariantów opinii podawa-nych przez ekspertów: cisłej preferencji (porzdek liniowy bez równowanoci), słabej preferencji (porzdek liniowy z równowanociami) oraz nieporównywalnoci obiektów (porzdek czcio-wy). Przyjli oni, e ocena grupowa wyznaczana jest jako uporzdkowanie, którego odległo – sformułowana za pomoc macierzy informacji oraz preferencji – od zbioru opinii podanych eks-pertów jest najmniejsza. Podejcie to przedstawiono w punkcie 5.

(2)

W pracy przeanalizowano zagadnienie wyznaczania oceny grupowej w sytuacji, gdy zakłada si, e eksperci nie s w stanie porówna ze sob niektórych obiektów oraz gdy dopuszcza si moliwo wystpowania obiektów równowanych zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej.

Przyjto, e zostanie zastosowana metoda mediany Kemeny’ego polegajca na minimalizacji odległoci szukanego uporzdkowania od zbioru uporzdkowa podanych przez ekspertów. (Zagadnienie wyznaczania odległoci przedstawiono w pracy Bury, Wagner (2009)). Podano przykłady numeryczne oraz porównano otrzymane wyniki z uzyskanymi dla odległoci definiowa-nej za pomoc macierzy porówna parami.

2. Oznaczenia i definicje

Niech 2 oznacza zbiór obiektów, Oi∈2, i=1, ..., n oraz . = {1, ..., K} zbiór ekspertów

doko-nujcych oceny. Przyjto, e oceny ekspertów maj charakter porzdków czciowych.

Zakładamy, e wszystkie rozwaane relacje midzy obiektami odnosz si do przyjtego kry-terium (kryteriów) ich porównywania. Dla uproszczenia zapisu w dalszych rozwaaniach to zało-enie jest pomijane.

Wprowadzamy nastpujce oznaczenia: j

k

i O

O , jeeli zdaniem eksperta k obiekt Oi jest lepszy od Oj,

j k

i O

O ≈ , jeeli zdaniem eksperta k obiekty Oi i Oj s równowane,

j k

i O

O % , jeeli zdaniem eksperta k obiekt Oj jest lepszy od obiektu Oi,

j k

i O

O ⊥ , jeeli zdaniem eksperta k obiektu Oi nie mona porównywa

z obiektem Oj.

W przypadku wystpowania obiektów nieporównywalnych (eksperci podaj porzdek cz-ciowy) macierz porówna parami ma nastpujc posta.

Definicja 1 Litvak (1982) ] a [ A kij k ₌ _{, gdzie} ° ° ° ¯ °° ° ® ⊥ θ − ≈ = j k i j k i j k i j k i k ij O O jeeli O O jeeli 1 O O jeeli 0 O O jeeli 1 a % , (1)

gdzie θ jest pewn liczb całkowit.

W celu ułatwienia badania przechodnioci opinii ekspertów w pracy (Bury, Wagner (2009)) zaproponowano wprowadzenie macierzy binarnej B, bdcej przekształceniem macierzy porówna parami A.

Elementy macierzy B s okrelone nastpujco (dla uproszczenia zapisu indeks k oznaczajcy numer eksperta został pominity).

(3)

Definicja 2 (Bury, Wagner (2009)) Jeeli ° ° ¯ ° ° ® ⊥ ≈ j i j i j i j i O O O O O O O O % , to 0 b , 0 b 1 b , 0 b 1 b , 1 b 0 b , 1 b ji ij ji ij ji ij ji ij = = = = = = = = . (2)

Odległo midzy zbiorem opinii ekspertów P(k) = {P1, …, PK} i dan opini P moe by definiowana za pomoc macierzy porówna parami A oraz macierzy binarnej B.

Definicja 3 (Litvak (1982))

Jeeli załoymy, ze w opiniach ekspertów mog wystpowa obiekty równowane lub takie, których nie mona porówna, to odległo midzy par obiektów (Oi, Oj) w opinii Pk i par

obiek-tów (Oi, Oj) w opinii P dana jest zalenoci

3 2 1 (i,j) I k ij I ) j , i ( k ij I ) j , i ( k ij k ij(P ,P) d (P ,P) d (P ,P) d (P ,P) d ∈ ∈ ∈ + + = _{, (3)} gdzie

I1 – zbiór par indeksów (i, j) takich, e w opinii P Oi Oj lub Oj Oi,

I2 – zbiór par indeksów (i, j) takich, e w opinii P Oi≈ Oj,

I3 – zbiór par indeksów (i, j) takich, e w opinii P Oi⊥ Oj,

przy czym 0 , przypadku przeciwnym w O O P opinii w jeeli 0 ) P , P ( d i j k I ) j , i ( k ij 3 > ω °¯ ° ® ω ⊥ = ∈ . (4)

W analogiczny sposób mona zdefiniowa odległo midzy opiniami ekspertów za pomoc macierzy B.

Definicja 4 (Bury, Wagner (2009))

Odległo d danej opinii P od zbioru opinii podanych przez ekspertów P(k) = {P1, P2, …, PK} dana jest zalenoci

¦¦¦

¦

= = = = = = = − = = = K 1 k n 1 i n i j ij k ij K 1 k n 1 i n i j k ij K 1 k k ) k ( b b ) P , P ( d ) P , P ( d ) P , P ( d . (5)

3. Wyznaczanie mediany Kemeny’ego

Mediana Kemeny’ego jest to uporzdkowanie najmniej odległe, w sensie przyjtej odległoci, od zbioru opinii podanych przez ekspertów.

Zadanie wyznaczania mediany Kemeny’ego mona sformułowa jako zadanie optymalizacji ^P ) P , P ( d min (k) P → . (6)

(4)

Definiujc pewne pomocnicze macierze, tzw. macierze strat [rij] (Litvak (1982), Bury, Wagner

(2008b), rozpatrywane zagadnienie mona przedstawi jako problem optymalizacji całkowitolicz-bowej (bdcy uogólnionym zagadnieniem przydziału).

¦¦

= = = n 1 i n 1 j ij ij x ) k ( P d(P,P ) min rx min ij , (7) gdzie ¯ ® = razie przeciwnym w 0 O O jeeli 1 xij i j . (8)

Zadanie to wymaga sformułowania dodatkowych warunków zapewniajcych przechodnio uzy-skanych rozwiza, co stanowi istotne utrudnienie.

Inna moliwo wyznaczenia uporzdkowania ^P polega na przeszukaniu zbioru wszystkich moliwych uporzdkowa (metoda przegldu zupełnego). Zagadnienie to zostało opisane m.in. w pracy Bury, Wagner (2008b).

Zadanie znajdowania uporzdkowania ^P w zbiorze porzdków czciowych jest bardziej zło-one (ze wzgldu na liczb moliwych postaci opinii ekspertów) i wymaga rozwaenia racjonalno-ci poszukiwania oceny grupowej dopuszczajcej wystpowanie obiektów nieporównywalnych.

W dalszych rozwaaniach zakładamy, e szukamy oceny grupowej (^P) w zbiorze porzdków liniowych (obiekty równowane s dopuszczalne).

Licznoci zbiorów moliwych postaci opinii ekspertów dla rónych porzdków w zalenoci od liczby obiektów przedstawiono w tabeli 1 (Bogart (1973), Guzicki, Zakrzewski (2005)).

Tabela 1. LicznoĞci zbiorów moĪliwych postaci opinii ekspertów dla róĪnych porządków w zaleĪnoĞci od liczby obiektów

porzdek liniowy bez obiektów równowanych z obiektami równowanymi porzdek czciowy (bez obiektów równowanych) n=3 6 13 19 n=4 24 75 219 n=5 120 541 4231 n=6 720 4683 130023 n=7 5040 47293 6129859

Na rysunku 1 przedstawiono wszystkie moliwe porzdki czciowe dla trzech obiektów (bez obiektów równowanych).

(5)

Rys. 1. Wszystkie moĪliwe porządki czĊĞciowe dla trzech obiektów

Liczno rozpatrywanych zbiorów ronie szybko ze wzrostem liczby obiektów. Osłabianie za-łoe dotyczcych charakteru opinii ekspertów (liniowe, liniowe z równowanociami, czciowe) powoduje bardzo znaczny wzrost liczby opinii, jakie naleałoby rozpatrze, co w istotny sposób ogranicza stosowanie metody przegldu zupełnego.

4. Przykłady obliczeniowe

Rozpatrzymy zadania wyznaczania oceny grupowej metod mediany Kemeny’ego z zastosowaniem macierzy porówna parami oraz odpowiadajcej jej macierzy binarnej w sytuacji, gdy eksperci mog porówna wszystkie obiekty oraz gdy eksperci nie mog porówna ze sob niektórych obiektów. Wykorzystano metod przegldu zupełnego.

Przykład 6.

Rozwamy uporzdkowania czterech obiektów podane przez piciu ekspertów. Zakładamy, e wszystkie obiekty s porównywalne, obiekty równowane s ujte w nawiasach.

P1: O3, O1, O4, O2

P2: O2, O4, O3, O1

P3: (O1, O2, O4), O3

P4: O3, O1, O4, O2

P5: (O2, O3), (O1, O4)

W zbiorze liniowych porzdków z równowanociami rozwizaniem zadania (6) jest upo-rzdkowanie

{O3, (O1, O2, O4)}.

Jego odległo od zbioru {P(k)} wynosi 22, zarówno dla odległoci wyznaczanej za pomoc macie-rzy porówna parami A (3), jak i maciemacie-rzy binarnych B (5).

W zbiorze liniowych porzdków bez równowanoci rozwizaniami zadania (6) s nastpujce uporzdkowania

O2, O3, O1, O4

(6)

O3, O1, O4, O2

O3, O2, O1, O4.

Zgodnie z oczekiwaniem ich odległoci od zbioru {P(k)} definiowane przy uyciu macierzy A, jak i B s równe i wynosz 25.

Przykład 7.

Rozwamy oceny czterech obiektów podane przez piciu ekspertów. Oceny podane przez pierwszych czterech ekspertów zostały zapisane w postaci uporzdkowa, obiekty równowane ujte s w nawiasach. Ostatni ekspert podał porzdek czciowy.

P1: O2, O3, O4, O1

P2: O4, (O2, O3), O1

P3: O1, O3, O4, O2

P4: (O1, O3, O4), O2

Macierze A5 i B5 (dla opinii podanej przez pitego eksperta) maj posta

0 1 1 O 1 0 1 O 0 1 O 1 1 1 0 O O O O O A 4 3 2 1 4 3 2 1 5 − θ − θ − θ θ − = 1 0 0 0 O 1 1 0 0 O 0 0 1 0 O 1 1 1 1 O O O O O B 4 3 2 1 4 3 2 1 5₌ (9)

W zbiorze liniowych porzdków z równowanociami zadanie (6) ma trzy rozwizania. S one takie same dla odległoci wyznaczanej z zastosowaniem zarówno macierzy A, jak i B:

(O1, O3), O4, O2, O3, (O1, O4), O2, (O1, O3, O4), O2.

Odległoci podanych uporzdkowa od zbioru opinii ekspertów s oczywicie róne; dmin,A = 221

(dla θ = -100), dmin,B = 23.

W zbiorze liniowych porzdków bez równowanoci rozwizaniami zadania (6) s nastpu-jce uporzdkowania, takie same dla odległoci wyznaczanej z zastosowaniem zarówno macierzy A jak i B:

O1, O3, O4, O2, O3, O1, O4, O2, O3, O4, O1, O2

Ich odległo od zbioru opinii ekspertów {P(k)} wynosi 24 w przypadku zastosowania ma-cierzy B oraz 222 w przypadku zastosowania mama-cierzy A.

Nastpny przykład pokazuje, e oceny grupowe otrzymane przy uyciu macierzy B lub A mog si róni.

O1

O3 O4

P5:

(7)

Przykład 8

Rozwamy oceny piciu obiektów podane przez piciu ekspertów. Ostatni ekspert podał po-rzdek czciowy, jak w przykładzie 1. Dla wygody, oceny podane przez pozostałych ekspertów zostały zapisane w postaci uporzdkowa, obiekty równowane ujte s w nawiasach.

P1: O2, O3, O4, O1, O5

P2: (O1, O2, O4), O5, O3

P3: O3, (O1, O2), (O4, O5)

P4: O1, (O4, O5), O2, O3

Macierze A5 i B5 (dla opinii podanej przez pitego eksperta) maj posta

0 1 O 0 1 1 1 O 1 0 0 1 O 1 0 0 1 O 1 1 1 1 0 O O O O O O A 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 θ θ θ − θ − − − θ − θ − = 1 0 0 0 0 O 0 1 0 0 0 O 0 1 1 1 0 O 0 1 1 1 0 O 1 1 1 1 1 O O O O O O B 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 ₌ (10)

W zbiorze liniowych porzdków z równowanociami zadanie (6) ma dwa rozwizania dla odle-głoci wyznaczanej z zastosowaniem macierzy A:

(O1, O2), O3, O4, O5 oraz (O1, O2), O3, (O4, O5), przy czym dmin,A = 328 (dla θ=-100)

oraz jedno rozwizanie dla odległoci wyznaczanej z zastosowaniem macierzy B: (O1, O2), O3, O4, O5, dmin,B = 31.

W zbiorze liniowych porzdków bez równowanoci rozwizaniem zadania (6) jest upo-rzdkowanie, takie samo dla odległoci wyznaczanej z zastosowaniem zarówno macierzy A, jak i B: O1, O2, O3, O4, O5, przy czym dmin,A = 329

(dla θ = -100), dmin,B = 32.

5. Podejcie „dwumacierzowe”

Cook i in. (1986) zaproponowali wyznaczanie mediany Kemeny’ego w przypadku wystpo-wania równowanoci lub nieporównywalnoci obiektów w opiniach ekspertów przy uyciu dwóch

O1 O5 O4 O2 O3 P5:

(8)

macierzy– macierzy informacji F oraz macierzy preferencji G – zastosowanych do zapisu opinii ekspertów. ¯ ® = razie przeciwnym w 0 ) równowane lub e preferowan (cile e porównywan s O i O jeeli 1 fij i j (11) ¯ ® = razie przeciwnym w 0 O O jeeli 1 gij i j . (12) Przykład 9

Dla opinii podanej przez pitego eksperta z przykładu 7 mamy

0 1 0 1 O 1 0 0 1 O 0 0 0 1 O 1 1 1 0 O O O O O F 4 3 2 1 4 3 2 1 5₌ 0 0 0 0 O 1 0 0 0 O 0 0 0 0 O 1 1 1 0 O O O O O G 4 3 2 1 4 3 2 1 5₌ (13)

Definicja 5 (Cook i in. (1986))

Odległo midzy opiniami _{P i}k1 _Pk2_{ma posta}

¦¦

= = »¼ º «¬ ª − + − = n 1 i n 1 j P ij P ij P ij P ij k k FG k1 k2 k1 k2 2 1 g g f f 2 1 ) P , P ( d . (14)

W pracy (Cook i in. (1986)) wykazano, e tak zdefiniowana odległo spełnia aksjomaty odległo-ci sformułowane przez Kemeny’ego i Snella (1962).

Ocena grupowa (mediana) ^P jest definiowana jako opinia, która minimalizuje odległo

¦¦¦

¦

= = = = »¼ º «¬ ª − + − = K 1 k n 1 i n 1 j P ij P ij P ij P ij K 1 k k FG g g f f 2 1 ) P , P ( d k k , (15)

w zbiorze wszystkich porzdków czciowych.

Wartoci odległoci dFGij (Pk,P) dla moliwych kombinacji połoenia obiektów Oi oraz Oj

(9)

Tabela 2. WartoĞci odległoĞci dFG(Pk,P)

ij dla moĪliwych kombinacji połoĪenia obiektów Oi oraz Oj w opiniach P oraz Pk opinia P ) P , P ( dFGij k j i O O (fij=1, gji=1) j i O O ≈ (fij=1, gij=0) j i O O % (fij=1, gij=0) j i O O ⊥ (fij=0, gij=0) j k i O O ( k ij f =1, k ij g =1) ₀ ₁ ₁ _1½ j k i O O ≈ ( k ij f =1, k ij g =0) ₁ ₀ ₀ _½ j k i O O % ( k ij f =1, k ij g =0) ₁ ₀ ₀ _½ o p in ia P k j k i O O ⊥ ( k ij f =0, k ij g =0) _1½ _½ _½ ₀

Przyjta przez Cooka i in. (1986) definicja odległoci (14) róni si od odległoci zdefiniowa-nych za pomoc zalenoci (3) i (5).

Zadanie (15) było rozwizywane w zbiorze porzdków liniowych metod przegldu zupełne-go. Dla opinii ekspertów przedstawionych w przykładach 6 i 7 rozwizania uzyskane dla odległo-ci dFG były zgodne z otrzymanymi dla odległoci definiowanej za pomoc macierzy A i B.

Dla opinii z przykładu 8 ocena grupowa w sensie odległoci dFG miała posta: O1, O2, O3, O4, O5 przy załoeniu braku obiektów równowanych, dFG = 35

oraz przy załoeniu równowanoci obiektów

(O1, O2), O3, (O4, O5) i (O1, O2), (O3, O4, O5), dFG = 33.

Praktyczna implementacja zadania (15) w zbiorze porzdków czciowych (nie rozwaana w omawianej pracy) jest złoonym problemem optymalizacji dyskretnej. Naley w nim uwzgldni zarówno przechodnio opinii ekspertów, jak równie otrzymywanych rozwiza (oceny grupo-wej).

6. Uwagi kocowe

Uogólnienie metod wyznaczania oceny grupowej na przypadki, gdy eksperci nie mog rozró-ni obiektów, bd ich porówna jest istotne dla praktycznych zastosowa. W szczególnoci uwzgldnienie tych sytuacji w ocenie grupowej znaczco rozszerza klas zada, jakie mog by rozwizywane.

Podejcie zaproponowane przez Litvaka (1) umoliwia rozwaanie porzdków czciowych podawanych przez ekspertów. Zaproponowana przez autorów modyfikacja tego podejcia (2) ułatwia wyznaczanie oceny grupowej (w zbiorze porzdków liniowych) na podstawie minimaliza-cji odległoci od zbioru opinii ekspertów metod przegldu zupełnego. Rozwizanie zadania minimalizacji (7)÷(8), które umoliwiłoby wyznaczanie oceny grupowej w przypadku wikszej liczby obiektów, pozostaje spraw otwart.

(10)

Bibliografia

1. Armstrong R.D., Cook W.D., Seiford L.M., (1982), Priority ranking and consensus formation: The case of ties, Management Science, 28, no. 6, pp.638-645.

2. Bogart K.P., (1973), Preference structures I: Distances between transitive preference relations, Journal of Mathematical Sociology, 3, pp. 49-67.

3. Bury H., Wagner D., (2008a), Group Judgement With Ties. Distance-Based Methods. In: Aschemann H. (Ed.): New Approaches in Automation and Robotics. I-Tech Education and Publishing, Vienna, Austria, ss. 153-172.

4. Bury H., Wagner D., (2008b), Pozycyjne oceny grupowe dla obiektów równowanych. W: Owsiski J.W., Nahorski Z., Szapiro T. (Red.): Badania operacyjne i systemowe: decyzje, gospodarka, kapitał ludzki i jako. Instytut Bada Systemowych PAN, Polskie Towarzystwo Bada Operacyjnych i Systemowych, Warszawa, ss. 53-64.

5. Bury H., Wagner D., (2009), Ocena grupowa dla porzdków czciowych. Wyznaczanie odległoci.

6. Cook W.D., Seiford L.M., (1978), Priority ranking and consensus formation, Management Science, 24, no. 16, pp. 1721-1732

7. Cook W.D., Kress M., Seiford L.M., (1986), Information and preference in partial orders: a bimatrix representation, Psychometrika, vol. 50, no. 2, pp.197-207.

8. Guzicki W., Zakrzewski P., (2005), Wykłady ze wstpu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogoci, PWN Warszawa.

9. Kemeny J.G., Snell L.J., (1962), Preference Ranking: An Axiomatic Approach. In J.G. Kemeny and L.J. Snell, Mathematical Models in the Social Sciences, New York, Ginn. 10. Litvak B.G., (1982), Ekspertnaja informacija. Mietody połuczienija i analiza, Radio

i Swjaz, Moskwa.

11. Richards W., Seung H.S., Piccard G., (2006), Neural voting machines, Neural Networks, vol. 19, issue 8, pp.1161-1167.

(11)

THE KEMENY MEDIAN FOR PARTIAL ORDERS

Summary

The paper is concerned with determining group judgement for the case when experts’ opinions are given in the form of partial orders and tied alternatives can occur in experts’ opinions as well as in group judgement. The Kemeny median method is applied to solve the problem of minimization of the distance between pref-erence orders.

Keywords: group decisions, partial order of alternatives, distance between preference orders, the Kemeny median method

Hanna Bury Dariusz Wagner

Instytut Bada Systemowych Polska Akademia Nauk 01-447 Warszawa, Newelska 6 e-mail: bury@ibspan.waw.pl d.wagner@ibspan.waw.pl