Stateczność dynamiczna śmigłowca z wirnikiem przegubowym

I STOSOWANA 1/ 2, 24, (1986)

S TATECZNOŚ Ć DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM

WI E SŁ AW Ł U C JAN E K JAN U SZ N AR K I E WI C Z

Politechnika W arszawska

K R Z YSZ T O F SI BI LSKI W AT

W pracy został  przedstawiony zwię zł y opis efektywnie dział ają cej numerycznej m etody obliczeń dynamicznej statecznoś ci ś migł owca, w której został y uwzglę dnione sprzę ż enia mię dzy wszystkimi sześ cioma stopniami swobody kadł uba traktowan ego ja ko ciał o sztywne, a param etry lotu ustalonego i poch odn e aerodyn am iczn e został y wyznaczone w oparciu 0 nieliniowe równ an ia ruch u i obcią ż eń aerodynamicznych.

1. Wstę p

W zespole N aukowo- Badawczym M echaniki Ś migł owców I n stytutu Techn iki Lotn i-czej i M echaniki Stosowanej Politechniki Warszawskiej został a opracowan a m etodyka 1 program y obliczeń n a E M C dynamicznej statecznoś ci z trzym an ym i steram i oraz podł uż-nej sterownoś ci wedł ug kryterium N ASA, ś migł owca z jedn ym wirnikiem n oś n ym typu przegubowego i ze ś migł em ogonowym. W stosun ku d o klasycznych m etod analizy sta-tecznoś ci ś migł owców opracowanie róż ni się  n astę puuą cym i cecham i:

—•  rozważ ane są  ruchy kadł uba odpowiadają ce sześ ciu stopn iom swobody, bez podział u na symetryczne i antysymetryczne,

— param etry ustalonego lotu prostoliniowego są  wyznaczane z nieliniowych ró wn ań równowagi,

— pochodn e aerodynam iczne wirnika noś nego są  wyznaczane m etodą  przyrostów skoń czonych, pozwalają cą  n a uwzglę dnienie nieliniowoś ci aerodyn am iczn ych , geometrycznych i kinematycznych.

P raca zawiera opis metody badan ia statecznoś ci dynamicznej ś migł owca o raz przy-kł ady wyników obliczeń.

2. Wykaz oznaczeń A1—ką t skoku cyklicznego sterowania poprzecznego, - fix — ką t skoku cyklicznego sterowania podł uż nego,

G — cię ż ar ś migł owca,

h,,,z, JXy,Ixnlyz — skł adowe tensora bezwł adnoś ci ś migł owca, L — skł adowe wzdł uż osi Ox momentu obcią ż eń aerodynamicznych,

M — skł adowa wzdł uż osi Oy momentu obcią ż eń aerodynamicznych,

m — masa ś migł owca,

N — skł adowa wzdł uż osi Oz momentu obcią ż eń aerodynamicznych,

P — skł adowa wzdł uż osi Ox prę dkoś ci ką towej ś migł owca, Q — skł adowa wzdł uż osi Oy prę dkoś ci ką towej ś migł owca, R — skł adowa wzdł uż osi Oz prę dkoś ci ką towej ś migł owca, Rw — promień wirnika noś nego,

U — skł adowa wzdł uż osi Ox prę dkoś ci lotu, V—skł adowa wzdł uż osi Oy prę dkoś ci lotu, W — skł adowa wzdł uż osi Oz prę dkoś ci lotu, Xa — skł adowa wzdł uż osi Ox sił  aerodynamicznych,

Ya — skł adowa wzdł uż osi Oy sił  aerodynamicznych, Za — skł adowa wzdł uż osi Oz sił  aerodynamicznych,

R — macierz stanu w równaniu [7], x — wektor stanu [3],

y — wektor zaburzeń [6],

0 — ką t pochylenia ś migł owca (mię dzy osią  Ox i pł aszczyzną  poziomą , dodatni, gdy

pół oś +  Ox jest skierowana w górę ),

&„ — ką t skoku ogólnego wirnika noś nego, 06O — ką t skoku ogólnego ś migł owca ogonowego,

X — wartość wł asna macierzy stanu,

H — bezwymiarowa prę dkość lotu poziomego, odniesiona do prę dkoś ci Q koń ców ł opat wirnika w ruchu obrotowym,

0 — ką t przechylenia ś migł owca (mię dzy osią  Oy i krawę dzią  przecię cia płaszczyzny

poziomej przechodzą cej przez punkt O z pł aszczyzną  Oyz, dodatni, gdy przy — 7i)2 < & < n[2 pół oś +  Oy jest skierowana w dół ),

Q — prę dkość ką towa wał u wirnika noś nego,

( • ) — pochodna wzglę dem czasu.

3. Równania ruchu ś migł owca

Równania ruchu ś migł owca, a ś ciś lej jego kadł uba, traktowanego jako sztywna brył a

o sześ ciu stopniach swobody, został y wyprowadzone metodą  róż niczkowania wzglę dem czasu pę du i krę tu wzglę dem ś rodka cię ż koś ci. W zwią zanym ze ś migłowcem prostoką t-nym, prawoskrę tnym ukł adzie współ rzę dnych Oxyz, o począ tku w ś rodku cię ż koś ci ś migł owca i o osiach: Oz — równoległ ej do ojsi wał u wirnika noś nego, skierowanej w dół ,

Ox — skierowanej do przodu, Oy — dopeł niają cej ukł ad, równania te mają  postać [2]:

m

u

'u'

W.

=

'x

~

z

+

/ ,  - , _ r J v / .  - j J —T l zx J zy p Q

k

\

]

N iewiadomą  funkcją  w tych równaniach jest wektor

x = co\ lU,V,W ,P,Q,R,e,0], (3)

mają cy osiem skł adowych. Niezbę dne dwa dodatkowe równania moż na otrzymać ze zwią zków mię dzy skł adowymi P, Q, R prę dkoś ci ką towej ś migł owca oraz ką tami 9 i <& i ich pochodnymi wzglę dem czasu:

0 =  gc o s0- - R sin $ , (4a> <t> = P +  Q- sin $- tg(9 +  .R- cos<?>- tg6>, (4b>

Zwią zki (1), (2) i (4) tworzą  ukł ad oś miu nieliniowych równań róż niczkowych zwyczaj-nych pierwszego rzę du. W przypadku ogólnym ukł ad ten może być rozwią zany tylko-metodami numerycznymi.

4. Obcią ż enia aerodynamiczne

Obcią ż enia aerodynamiczne w ogólnym stanie lotu ś migł owca powstają  na wszystkich jego zewnę trznych elementach konstrukcyjnych: wirniku noś nym, ś migle ogonowym oraz kadł ubie wraz z belką  ogonową , statecznikiem poziomym, podwoziem itd. Obcią ż enia te w równaniach (1) i (2) z reguł y przedstawia się  w postaci tzw. pochodnych aerodyna-micznych sił  Xa, Ya i Za oraz momentów L, M i N wzglę dem parametrów lotu U, V, W , P, Q, R i parametrów sterowania @0, Ait B1} ©so, n p.: skł adowa siły bocznej (wzdł uż

osi Oy) ma postać: 8Y 8Y 8Y 8Y 8Y (5)

W powyż szym wyraż eniu Yx oznacza wartość siły Y„ w locie ustalonym, a n p. 8Y/ 8P

jest pochodną  siły Ya wzglę dem prę dkoś ci ką towej przechylenia P, natomiast d&a

 — przy-rostem ką ta skoku ogólnego ł opat wirnika noś nego.

W wyraż eniu na skł adową  M momentu pochylają cego uwzglę dniana jest jeszcze pochodna 8MjdW , okreś lają ca wpływ opóź nienia dopł ywu do statecznika poziomego strug odchylonych przez wirnik noś ny.

Powszechnie stosowana metoda obliczeń pochodnych aerodynamicznych (np. [1]) polega na róż niczkowaniu wzglę dem parametrów lotu i sterowania wyraż eń analitycznych okreś lają cych obcią ż enia aerodynamiczne, uproszczonych w wyniku niezależ neg o trak-towania ruchów symetrycznych i niesymetrycznych ś migł owca oraz zlinearyzowanych wzglę dem tych parametrów. W rezultacie otrzymuje się  pochodne aerodynamiczne nieza-leż ne od zmiennych róż niczkowania, stosunkowo wygodne do dalszego przetwarzania,

ale niezbyt dokł adne, zwł aszcza w przypadkach, gdy rzeczywiste zależ noś ci obcią ż eń aerodynamicznych od parametrów lotu i sterowania są  silnie nieliniowe.

W pracy zastosowano do wyznaczania pochodnych aerodynamicznych metodę  przy-rostów skoń czonych, zaproponowaną  w [4], a szczegółowo opracowaną  w [3]. Jest to metoda numeryczna. Podstawowym elementem programu obliczeniowego jest procedura (nazwijmy ją  SM), na wejś ciu której są  wczytywane stał e wielkoś ci geometryczne, kine-matyczne i masowe ś migł owca, charakterystyki aerodynamiczne (profilu ł opaty wirnika, kadł uba itp.) w funkcji ką tów natarcia i ś lizgu oraz liczby Macha, wysokość lotu itd. oraz zmienne: skł adowe prę dkoś ci liniowej U, V, W  i ką towej P, Q, R ś migł owca, skok ogólny 0O i współ czynniki Ay oraz BL skoku cyklicznego wirnika noś nego, a także skok &so ś migła ogonowego. N a wyjś ciu procedury SM otrzymuje się  wektor sił

 aerodyna-micznych Xa, Y„, Zfl i momentów aerodynamicznych L, M, N. Obliczenia są  wykonywane

metodą  iteracyjną  w oparciu o nieliniowy opis matematyczny ruchu ś migł owca i jego elementów, n p. wahań w przegubach ł opat wirnika noś nego.

f (U, V, W, P, Q, R, 90, A, , B,, 9S O)

A | ( A U , AV, AW, AP, AQ, AR, A60 , AA, , AB , , ABS O)

j = 1

Rys. 1

Pochodne aerodynamiczne są  obliczane według algorytmu schematycznie przedsta-wionego na rys. 1. N a wstę pie okreś la się  10 skł adowych wektora stanu % oraz wektora

A% przyrostów tych skł adowych.

Zazwyczaj przyrosty są  rzę du 1% maksymalnej wartoś ci odpowiedniej skł adowej. N astę pnie, stosują c procedurę  SM oblicza się  kolejno skł adowe obcią ż e ń aerodynamicz-nych Xa, Ya> Za, L, M, TV dla dodatnich i ujemnych (F j) przyrostów skł adowych wektora

stanu, po czym oblicza się  pochodne S jako ilorazy róż nic obcią ż eń aerodynamicznych i podwojonej wartoś ci przyrostu, Cykl obliczeń powtarza się  tyle razy, wzglę dem ilu parametrów obliczane są  pochodne. N p., w przypadku obliczania tylko pochodnych statecznoś ci z trzymanymi sterami, cztery ostatnie skł adowe wektora AS, okreś lają ce wychylenia organów sterowania, są  równe zeru i cykl obliczeń jest powtarzany 6 razy. W przypadku ogólnym cykl obliczeń powtarza się  10 razy.

5. Parametry lotu ustalonego

Powszechnie stosowana metoda obliczeń parametrów ustalonego lotu ś migł owca

{np. [1]) polega na myś lowym rozdzieleniu ruchów symetrycznych i antysymetrycznych ś migł owca, zlinearyzowaniu równań ruchu, przyrównaniu do zera skł adowych prę dkoś ci ką towej ś migłowca i wszystkich pochodnych wzglę dem czasu oraz wyznaczeniu: z ukł adu

23 22 21 S'20 * , 9 18 17 16 / Uc=0.l85 0.1 0.2 Rys. 2

V

u.

V

1 ;

f i

/  /

/  !

/

równań ruchu symetrycznego wielkoś ci B_y, ©₀, © i z ukł adu równań ruchu niesymetrycz-nego wielkoś ci Al} &so, 0. Otrzymane tą  drogą  parametry lotu ustalonego są  wystar-czają co dokł adne dla wię kszoś ci zagadnień praktycznych, jednakże w przypadku np. analizy statecznoś ci dynamicznej, gdy przedmiotem rozważ a ń jest przebieg w czasie zabu-rzeń wielkoś ci ustalonych, wymagana jest wię ksza dokł adnoś ć. Moż na ją  osią gną

naczają c param etry lotu ustalonego metodą  kolejnych przybliż eń z nieliniowych równań ruch u ś migł owca, po przyrównaniu do zera wszystkich skł adowych prę dkoś ci ką towej kadł uba i pochodn ych wzglę dem czasu. Wielkoś ci obliczone metodą  tradycyjną  są  wyko-rzystywane ja ko wartoś ci startowe procesu iteracyjnego.

10 o n i. 2

\\v

\

V\

y

— —

y

N a rysun kach 2, 3 i 4 są  przedstawione przykł adowo wielkoś ci &0, Ax i 0SO jako funkcje bezwymiarowej prę dkoś ci ji, obliczone dla trzech poł oż eń ś rodka cię ż koś ci: n a osi wał u wirnika n oś n ego, 0,185 m przed osią  i 0,05 m za osią  (promień wirnika Rw =  7,85 m) m etodą  pierwszego przybliż enia (lin) oraz metodą  opisaną  w pracy.

Z rysunków wynika, że charakter zmiennoś ci param etrów lotu ustalonego jest w obu m etodach podobn y, wartoś ci bezwzglę dne są  jedn ak róż ne. P on adto m etoda oparta o rozdzielenie ruchów, w odniesieniu do prezentowanych param etrów jest niewraż liwa n a poł oż enie ś rodka cię ż koś ci ś migł owca, co jest konsekwencją  zał oż onego braku sprzę ż eń mię dzy postaciam i ruch u.

6. Stateczność dynamiczna

W celu obliczenia dynamicznej statecznoś ci ś migł owca, równania ruchu (1) i (2) z wyznaczonym i prawymi stron am i oraz zwią zki kinematyczne (4), został y zlinearyzowane wzglę dem m ał ych zaburzeń wektora stanu (3). Wektor zaburzeń y m a skł adowe:

y = col[u,v,w,p,q,r] (6) P o linearyzacji, równ an ia (1), (2) i (4) przybierają  ogólną  postać [2]:

j>- i?j> =  0 (7) gdzie R jest macierzą  stanu o wymiarach  8 x 8 . »

Ś migł owiec jest dynamicznie stateczny, jeż eli czę ś ci rzeczywiste wszystkich oś m iu wartoś ci wł asnych macierzy stan u R bę dą  n iedodatn ie.

N a rys. 5 jest przedstawiony przykł ad przebiegu wartoś ci wł asnych A w funkcji bez-wymiarowej prę dkoś ci / J, lotu ś migł owca dla ś rodka cię ż koś ci leż ą cego n a osi wał u wir-nika (xc =  0) .

N a rysunku jest 8 wartoś ci A: trzy pary zespolonych o wartoś ciach rzeczywistych (linie cią gł e) i urojonych (linie przerywane) oznaczone param i cyframi rzym skim i I , I I i I I I oraz dwie wartoś ci rzeczywiste. (W dwóch przedział ach f.i pierwiastki pary I I I są rzeczywiste).

Ś migł owiec był by stateczny, jeż eli linie cią gł e nie przebiegał yby n ad osią  odcię tych. W przypadku przedstawionym n a rys. 5 ś migł owiec jest dynamicznie niestateczny w cał ym przedziale / J,, a zwł aszcza w zawisie (/ j, =  0) .

Znają c wartoś ci wł asne A m oż na okreś lić wł asnoś ci fizyczne ruchu ś m igł owca: tł u-mienie, w przypadku ruchów oscylacyjnych, (Im X = 0) okres a także postacie ruch u (wektory wł asne macierzy R).

Literatura

1. BRAMWELL A. R. S., Helicopter Dynamics, Edward Arnold Ltd, London, 1976. 2. ŁUCJANEK W., SIBILSKI K., Wstę p do dynamiki ś migł owca, Ż aki. G raf. PW, 1981.

3. NARKIEWICZ J., SIBILSKI K., ŁUCJANEK W., Statecznoś ć dynamiczna i sterownoś ć ś migł

owca jedno-wirnikowego. Programy obliczeniowe. Sprawozdanie N r ZMS- 2/ 81 ITLiM S PW, 1981.

4. OSTROFF A. J., DOWN IN G D . R., and ROOD W. J., A technique using a nonlinear helicopter model for

determining trims and derivatives, N ASA TN D- 8159, May 1976.

P e 3 w M e

.m ł H AM H tfflC K Ail yC TOft^I H BOC TŁ BEPTOJIETA C IU APH H PH bIM KP E n JI E H H E M JI O n AC T E Jł  H ECyiU,EBO BH H TA

B pa6oTe flaH O KpaTKoe onncanHe Meio,na pacieTa Ha EBM flH H aMH raecKoii ycToftiHBocTH  BepTo-. <E>io3ejifl»c, npHHHTŁiH i<ai< H<ecTKoe Tejio3 HiweeT mecTŁ CTeneHefi CBo6oflM (B3amviocBH3auHŁix).

yc- ranoBH Bmerocji flBHH<eHHH H  aapoflHHaMHHecKHe npoH 3Bo«H bie onpeflejiaiOTCH  H3 H aapoflHHaMHHecKHK H arpy3oic.

S u m m a r y

D YN AM IC STABILITY O F H ELICOPTER WITH  H IN G ED  ROTOR

The numerical method for calculating helicopter dynamic Stability was briefly outlined. All six coupled degrees of freedom for fuselage treated as rigid body were included in nonlinear equations of motion and aerodynamic loadings for determining helicopter trims and derivatives.