Dynamika jednokulkowego korektora pionu sztucznego horyzontu

(1)

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A l S T O S O W A N A

3 4 , 22 (1984)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A P I O N U S Z T U C Z N E G O

\s H O R Y Z O N T U

A L E K S A N D E R D Ą B R O W S KI ( W A R S Z A W A ) Z B I G N I E W B U R D A

Politechnika Warszawska

1. Przeznaczenie korektora

Sztuczny horyzont służy do okreś lania przestrzennego położ enia samolotu wzglę dem płaszczyzny horyzontu. Zasadniczym elementem sztucznego horyzontu jest ż yroskop o dwóch stopniach swobody (przy pominię ciu ruchu obrotowego wirnika ż yroskopu), którego oś jest osią odniesienia. Kierunek tej osi powinien być zgodny z kierunkiem pio

nowym w danym punkcie ziemi (pion lokalny). Ż y r o s k op nie jest jednak w stanie utrzy

mać swej osi głównej na kierunku lokalnego pionu z powodu precesji wywołanej tarciem w łoż yskach ramki oraz dlatego, że kierunek ten zmienia swe położ enie wzglę dem u k ł a d u inercjalnego podczas ruchu samolotu na skutek krzywizny powierzchni ziemi. Toteż nie zbę dnym wyposaż eniem każ dego ż yroskopu sztucznego horyzontu jest korektor pionu wymuszają cy zgodność osi ż yroskopu z kierunkiem pionowym.

N a rys. l a przedstawiono schematycznie ż yroskop, którego oś jest odchylona od kie

runku pionowego o kąt • &. Zadaniem korektora jest wymuszenie ruchu ż yroskopu w kie

runku pokrycia się osi ż yroskopu 0f z osią oz równoległą do wektora g natę ż enia pola

grawitacyjnego. Ruch ten może być opisany kinematycznie torem dowolnego punktu osi

ż yroskopu oc (róż nego od punktu O — ś rodka ruchu kulistego ż yroskopu), np. punktem

okreś lają cym koniec wektora H momentu pę du.

D l a optymalnej korekcji tor powinien leż eć w płaszczyź nie wyznaczonej przez oś ż yroskopu Or i oś wektora H . N a podstawie tzw. elementarnej teorii ż y r o s k o pu m o ż na powiedzieć, że aby taki ruch nastę pował, na ż yroskop musi działać moment zewnę trzny o kierunku stale p r o s t o p a d ł y m do wektora H momentu pę du, leż ą cy również w płaszczyź nie Hzy (rys. Ib). Prę dkość opisanego powyż ej ruchu precesyjnego jest ś ciś le zależ na od mo dułu wektora momentu. Oczywistą jest rzeczą, że dla # = 0 moment ten powinien zanikać. Wynika stąd bezpoś rednio, że zadaniem korektora jest wykrycie odchylenia osi ż yroskopu od kierunku pionowego i wytworzenie momentu o odpowiednim zwrocie i module — wy muszają cego precesję ż yroskopu na kierunek pionowy. Moment ten nazywany jest mo mentem korekcyjnym.

(2)

tor optyma lny. R y s . 1 2. Opis konstrukcji korektora jednokulkowego Jednym z prostszych konstrukcyjnie rozwią zań korektora pionu sztucznego horyzontu jest, opatentowany w roku 1974 w Z S R R , korektor jednokulkowy o oznaczeniu Z . F . Całkowity brak w literaturze fachowej opisu zjawisk dynamicznych zachodzą cych podczas działania tego typu korektora uniemoż liwiał dotąd zastosowanie go w wytwarzanych przez przemysł krajowy sztucznych horyzontach. Niniejsza praca, której podję cie zostało za inicjowane sugestiami kierownictwa jednego z krajowych biur konstrukcyjnych przemysłu

lotniczego, stwarza moż liwoś ci zaprojektowania korektora, który dzię ki swej małej masie

i prostej konstrukcji jest szczególnie predystynowany do wykorzystania w sztucznych horyzontach małych samolotów i szybowców, tak licznie wytwarzanych przez krajowy przemysł lotniczy.

Szczegóły konstrukcyjne korektora jednokulkowego są przedstawione na rys. 2. K u l k a / umieszczona jest wewną trz rowka prowadnicy 2 stanowią cej górną czę ść ruchomego korpusu 8. K u l k a spoczywa na wklę słej (promień krzywizny S) powierzchni bież ni 3 zwią zanej sztywno z ramką 4 ż yroskopu. Korpus 8 ułoż yskowany jest na ramce przy po

(3)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 455

R y s . 2

mocy łoż yska 7 i napę dzany przez ż yroskop za poś rednictwem wielostopniowej przekładni zę batej 6. 3. Analiza dynamiczna jednokulkowego korektora pionu 3 . 1 . Z a ł o ż e n ia w s t ę p n e. Opis układu został wykonany w inercjalnym układzie odniesie nia. Odpowiada to sytuacjom, w których samolot wraz z zamontowanym na nim sztucz nym horyzontem porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, lub też, gdy badamy zachowanie się sztucznego horyzontu z korektorem w warunkach laboratoryjnych. Są to zatem te wszystkie przypadki, w których pion pozorny pokrywa się z pionem rzeczy wistym (kierunkiem g). Z a ł o ż o no dalej, że oś ż yroskopu sztucznego horyzontu wychylona jest o stały kąt od kierunku pionowego. D l a takiej sytuacji napisane są r ó w n a n i a ruchu

kulki oraz dyskusja i obliczenia momentu korekcyjnego.

Wreszcie jeż eli chodzi o d y n a m i k ę ż yroskopu, oparto się na tzw. przybliż onej teorii zjawisk ż yroskopowych (1) i (2). Wszystkie wzory zawarte w pracy są typu wielkoś ciowego.

(4)

3.2. U k ł a d y w s p ó ł r z ę d n y c h. Przy opisie u k ł a d u zostały wykorzystane trzy nieruchome układy współrzę dnych (odniesienia): prostoką tny Oxzy, prostoką tny 0'fr?f, sferyczny QS'ó(p (dla S' = const) oraz ruchomy układ Q'oa leż ą cy stale w płaszczyź nie Щ г \ (rys. 3).

U k ł a d Oxyz jest zwią zany z polem grawitacyjnym, a ujemny zwrot osi Oz jest r ó w n o  legły do wektora pola grawitacyjnego f . Układ 0 Ł ł ? t jest zwią zany z obudową ż yroskopu

(ramką wewnę trzną ), a oś 0 ' f jest równoległa do wektora momentu pę du H ż yroskopu.

Punkt O układu Oxyz pokrywa się ze ś rodkiem ruchu kulistego ż yroskopu (z punktem przecię cia się osi ramek zawieszenia kardanowego ż yroskopu). Osie О С i Oz przecinają

się ze sobą w punkcie O tworząc kąt • &. Punkt O' jest oddalony od punktu O o odległość

R + d/2 (por. rys. 2). Ruchomy układ O'QO jest zwią zany z korpusem 8 (rys. 2), a oś O'Q jest równoległa do osi podłuż nej rowka prowadnicy 2 (rys. 2).

Powierzchnia sferyczna 27 stanowi miejsce geometryczne moż liwych położ eń ś rodka k u l k i . Chwilowe położ enie ś r o d ka kulki opisuje w układzie XYZ wektor r, który może być przedstawiony w postaci sumy (składniki sumy zostaną objaś nione póź niej):

r = R' + h + p. (1)

W układzie sferycznym położ enie to okreś lone jest jednoznacznie przez ką ty 6, (p (S' = = const).

Kąt <5 jest ką tem pomię dzy ujemnym zwrotem osi О 'С a wektorem wodzą cym S' ś r o d ka kulki poprowadzonym ze ś r o d ka krzywizny Q powierzchni sferycznej 27. Kąt 9? jest ką tem

(5)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E C . O K O R E K T O R A 457

pomię dzy osią 0'£ a osią 0'g. Pochodna czasowa ką ta cp jest równa prę dkoś ci ką towej,

z jaką obraca się korpus z prowadnicą 2 (rys. 2):

<p = co = const. (2)

R ó w n a n i e (2) n a k ł a d a wię zy na współrzę dną cp. Zatem przy założ eniu, że kulka toczy się po bież ni bez poś lizgu, ma ona jeden stopień swobody, odpowiadają cy współrzę dnej д .

Przed przystą pieniem do dalszej analizy należy okreś lić zwią zki mię dzy wersorami układów OXYZ, О 'С п С i Oga. Zwią zki te zostały wyznaczone na podstawie rys. 4:

1Ł = l y c o s t f — lzs i n # , (3) 1, = l x , (4) lc = l y s i n # + lzc o s # , (5) lp = l{COSc> + l^sinc>, (6) a po podstawieniu (3) i (4) do (6) otrzymamy: lp = — l x sin<j9 + lyCos#cos9> — lzsin#cosc/>. (7) R y s . 4

(6)

Podobnie: 1„ = l ^ c o s i p l f s i n c ) , (8) 1 = lxcos(p — lyCos#sin(p + izs i n # s i n c p . (9) Jak to wykazano we wzorze (1), wektor r moż na przedstawić jako sumę wektorów R', h i p, gdzie: R' = 1с ( д + у ) . (10)

3.3. K i n e m a t y k a u k ł a d u . A b y wyrazić położ enie ś rodka kulki (okreś lone przez wektor r) przy pomocy zmiennych д i (p, co bę dzie potrzebne do wyznaczenia funkcji opisują cej energię kulki, należy d o k o n a ć podanych dalej przekształceń. Podstawiając (5) do (6)

otrzymano nastę pują cy zwią zek:

R' = lr( j ? + y j s i n 0 + l2| i? + y j c o s 0 . Wprowadzając do (11) R' = R+^=r otrzymano ostatecznie: R' = lyt f ' s i n # + lzt f ' c o s # . N a podstawie rys. 5 moż na napisać: h = l{( S " S ' c o s ó ) = 1 5 ' ( l c o s ó ) , gdzie: S' = S— — . ( I D (12) (13) R y s . 5

(7)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 4 5 9 Po wstawieniu (5) do (13) otrzymamy: h = lyS ( l cos<5)sin# + lzS ' ( l c o s Ó ) c o s # (14) oraz p = lp5 ' s i n ó (15) Q S'sind (16)

a po podstawieniu w miejsce l p wyraż enia (7)

p = — lAS'sinÓsincp + l)S'sinócos#cos9?— lzS'sin<5sin#cos<p. (17) Po podstawieniu do (1) zwią zków (11), (14) i (17) otrzymano ostateczną postać wyraż enia

okreś lają cego wektor r:

г = lxS'smósin9?+ly[/?'sin#rS'(l — cosд )sin# + S'sin<5cost?cos<p] +

+ lz[ / ? ' c o s ^ + S ' ( l c o s ó ) c o s t ? 5 ' s i n ( 5 s i n t > c o s 9 ) ] . (18) Prę dkość ś rodka kulki może być wyznaczona przez zróż niczkowanie wzglę dem czasu

wyraż enia (18). Łatwiej jednak jest tę prę dkość (a właś ciwie jej moduł) wyrazić bezpoś rednio przez pochodne współrzę dne u k ł a d u sferycznego.

Prę dkość ś rodka kulki vC M moż na przedstawić w postaci sumy:

У СМ = У г +У е , (19) gdzie:

vr — prę dkość ś rodka kulk i wzglę dem u k ł a d u O'gC,

У е — prę dkość unoszenia. Korzystając z rys. 6 napiszemy: vr = 8 x S' 8 ma zwrot przeciwny do osi 0'cr (por. rys. 3) (20) | v , | = / o S ' (21) oraz ve = t o x p , (22) |T,| = tu • Q, (23) Ponieważ vrJ.v,,. więc i vC Ml = Vm 2_Q2 +'d2_S'2_, (24) VcAl = (o2 Q2 + d2 S'2 . (25)

Przy wyznaczaniu bezwzglę dnej chwilowej prę dkoś ci ką towej kulki zakładamy, że prę d

kość ką towa kulki wzglę dem u k ł a d u ocrf jest stale równoległa do osi O'o. Po przyję ciu tego założ enia otrzymujemy:

O JC = O J ^ +to. (26)

Zgodnie z powyż szym założ eniem co ma zwrot osi O'a. D l a wyznaczenia <ok posłuż ymy

się równaniem

vr = ÓS', (27)

(8)

czyli Stąd R y s . 6 ÓS' = W f c y . cok

=

— ÓS', a Wobec tego, że с о к±с о , m o ż na n a p i s a ć : co2 = — ó2 S'+co2 . (29) (30) (31)

3.4. E n e r g i a u k ł a d u . R ó w n a n i e (18) pozwala okreś lić ztową składową położ enia ś rodka kulki wzglę dem u k ł a d u OXYZ:

rz = l2[R'cos6 + S'(lcosd)cos'&S'smasmi)cos(p],

r2 7*?'cos?? + 5 " ( l c o s < 5 ) c o s ? ? 5 " s i n ó s i n ^ c o s r .

(32)

(9)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 461 Oznaczmy przez V energię potencjalną kulki i przyjmijmy jej zerową wartość dla rx = = cos&R' V(r, = COS*JJ') = 0. Bę dzie wtedy V = mg[S'(\cos d)cos&S'smdsmftcos(p], (34) gdzie: m — masa k u l k i ,

g — natę ż enie pola grawitacyjnego.

Energię kinetyczną m o ż na wyznaczyć nastę pują co:

E = | m v2

C M+ | /C M< o ? . (35)

gdzie:

E—energia kinetyczna,

JctA — moment bezwładnoś ci kulki wzglę dem osi przechodzą cej przez ś rodek, fCM =

= 0,1 md2 . Po podstawieniu do (35), (25) i (31) otrzymamy: E = ~moi2 q2 + ~m'd2 S'2 + ~md2 <o2 . (36) A podstawiając (16) do (36) otrzymamy ostatecznie: E = i / j i w2 S '2 s i n2 ( 5 + ^m'62 S'2 + jrjmd2  (37 > Po założ eniu, że dla <5 przyję tej jako współrzę dna uogólniona nie wystę pują siły niepoten

cjalne (Qa = 0), a więc że ruch kulki wzglę dem prowadnicy jest ruchem nietłumionym,

r ó w n a n i e Lagrange'a II rodzaju opisują ce układ przybierze nastę pują cą p o s t a ć : d I8E\ 8E dU „ l ( Ą ] Ą + Ą = ( ) ' . ( 38) Wyznaczmy poszczególne składniki (38) Щ . = ^mS'4, dó 5 d I 8E\ 7 BE = / ? i ( u2 S "2 s i n ó c o s ó , (40) co dV —r = mgr S'sin<!>cosf?S'cos<5sin#cos(p]. (41) 00 Po wstawieniu (39), (40), (41) do (38) otrzymamy ostatecznie 7 —mS'2 dma>2 S'2 s'mdcosÓ + mgS'sinócos& — w g S " c o s ó s i n # c o s c s = 0 . (42) Jest to r ó w n a n i e ruchu kulki ś cisłe, przy wszystkich dotychczasowych założ eniach.

(10)

Obecnie, dla uwzglę dnienia rozproszenia energii, załóż my, że ruch kulki tłumiony

jest siłą proporcjonalną do prę dkoś ci ś rodka kulki wzglę dem zabierakaprowadnicy. Rów

nanie (42) wzbogaci się wtedy o składnik vS'd. Współczynnik v charakteryzuje intensyw ność t ł u m i e n i a : 7  mS'2 d — w o2 5 "2 s i n ócos ó + mgS'sin ócos д — mg S'cos Osin ftcosqi + vS' o — 0. Ponieważ q> = wt, moż emy więc napisać: 7 — mS'2 d+vS'd + m(o'S'2 sinócosó + mgS's\ndcos& = mg S'cos Ósin&cos((ot). (43) D l a uproszczenia dalszej analizy równanie (43) zlinearyzujemy w otoczeniu punktu 6 = 0. Otrzymamy:  mS'z b + vS'ó — mc»2 S'2 b + mgS'cos&d = mgS'sin&cos(cot), (44) 7 mS'2 d + vS'o + mS'(gcosft(o2 S')d = mg S'sin dcos(«>t). (45) Dla uproszczenia postaci r ó w n a n i a wprowadzimy nastę pują ce oznaczenia:

/ = ^ < 2 , b = rS', к = mS'(gcos9a)2 S'), M = mgS'sinft. Po ich podstawieniu do równania (45) otrzymamy: IŚ +bÓ + kd = Mcosoit, (46)

Jest to liniowe równanie róż niczkowe o stałych współczynnikach. Rozwią zanie jego m o ż na przedstawić w postaci sumy rozwią zań opisują cych ruch wymuszony i ruch swobodny. A b y ruch swobodny, a zatem i wypadkowy, był ruchem nierozbież nym, musi być spełnio ny warunek: к > 0 Stąd wynika, że , gcostf A zakładając otrzymamy warunek w postaci: TT 4~

(11)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 463 D l a к > 0 składowa opisują ca ruch swobodny, ze wzglę du na tłumienie, po upływie czasu równego k i l k u stałym czasowym zmniejsza się do zera. Dlatego też w rozwią zaniu uwzglę d niamy tylko składową wymuszoną.

Rozwią zaniem (46) bę dzie:

6 = ómcos(a)t + yi),

gdzie: óm — amplituda; y>— kąt przesunię cia fazowego.

M o„, = (48) W = argj — / с о 2 Ą jbcoĄ k M lub w postaci rzeczywistej: • Too2 + jbco + к M V{kIoo2 )2 + (bco)2 ' boo ip = — arctg k — Ico2 (49) (50) 7Г

Efekt korekcji bę dzie maksymalny dla ką ta przesunię cia fazowego y> = — — i zerowy

dla ip = 0 lub f = —Ti. Warunek ten pozwala wyznaczyć prę dkość ką tową o>, z jaką powinna być napę dzana prowadnica 2 (rys. 2): boo czyli — = —arctg — 2 kIoo2 kIw2 = 0, 2 к ш = —, a po podstawieniu uprzednio przyję tych oznaczeń: , 5 gcos# co = 12 S' (51) Ponieważ układ jako całość pracuje w otoczeniu (d —.0) i spełnia warunek okreś lony przez nierówność (47), moż na przyją ć: 12 S' ' (52)

W dalszym cią gu tę właś nie wartość czę stotliwoś ci bę dziemy oznaczali cor (pulsacja re

zonansowa).

3.5. Trajektoria k u l k i . A m p l i t u d a d„, dla co = cor wyniesie:

<5|n(r) ^ M bm = / 1 2 5 : г Г 5 g wg sini? g v (53)

(12)

Rozwią zanie (53) dla co = cor przybierze nastę pują cą p o s t a ć : Ь = c>mMcos(wrt + y>r), , _ / 1 2 S' mg . I n \ Oznaczmy: wtedy: . , / 12 5 ' mg . . . ; . (5 = 1 / — — sin#sin(a>rf). <5 = /lsin#sin(ri)rf). (55) Wstawiając (55) do (18) otrzymamy wektorowe r ó w n a n i e trajektorii ś r o d ka kulki w ukła

dzie OXYZ. Trajektoria ta jest krzywą leż ą cą na powierzchni sferycznej 27.

Przeanalizujemy teraz, j a k przedstawia się r ó w n a n i e trajektorii ś r o d ka kulki w ukła dzie O'CrjC, a właś ciwie, przy pominię ciu składowej h, w płaszczyź nie 0'Crj (rzut trajek torii na płaszczyznę O'Erf).

W płaszczyź nie 0'%r\ położ enie ś rodka rzutu kulki opisane jest wektorem p (16), a w przybliż eniu (por. rys. 5)

p = lPS'd. (56)

M o d u ł wektora p jest okreś lony nastę pują co:

|p| = S'd = S'Anm&$in(o>rt).

Trajektoria ś rodka kulki w płaszczyź nie 0'Có dana jest równaniami parametrycznymi: cp = cort, Q ш S',4sin#sin(co,ł) Po wyrugowaniu / otrzymamy: Q = S'A sin#sin<p. (57) R ó w n a n i e to moż emy napisać w postaci: s i n * Г Ш * = Ł (58)

Jest to biegunowe równanie rodziny okrę gów o ś rednicy D = S M sin# zależ nej od ką ta # (rys. 7).

3.6. W y z n a c z e n i e momentu korekcyjnego. W poniż szych obliczeniach zakładamy, że ż y roskop jest całkowicie wyważ ony dynamicznie i że u k ł a d y : ż y r o s k o p r a m ka wewnę trzna (obudowa) oraz ż y r o s k o p r a m ka w e w n ę t r z n a r a m ka zewnę trzna są idealnie wyważ one statycznie wzglę dem ś rodka ruchu kulistego ż yroskopu (ż yroskop astatyczny). W y n i k a stą d, że jedynym ź ródłem niewyważ enia bę dzie przemieszczanie się kulki (I rys. 2 ) k o  rektora.

N a kulkę (w układzie inercjalnym, np. OXYZ) działają siły: cię ż koś ci i reakcje prowa

(13)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 465 prowadnicy są równoległe do osi ż yroskopu, a co za tym idzie, reakcja kulki na powierzch nię boczną zabieraka jest p r o s t o p a d ł a do tej osi. Moment tej reakcji wzglę dem punktu O

(ś rodek ruchu kulistego ż yroskopu) jest wektorem leż ą cym na osi momentu pę du ż yro

skopu (osi ż yroskopu) i jako taki nie może zmienić kierunku wektora momentu pę du.

Stanowi on natomiast dodatkowe obcią ż enie silnika ż yroskopu.

R y s . * 7

Moment korekcyjny (moment powodują cy precesję osi ż yroskopu na kierunek piono wy) bę dzie zatem momentem reakcji kulki na powierzchnię prowadzą cą (bież nię 3, rys. 2). Reakcja ta jest sumą reakcji statycznej i dynamicznej. Ponieważ składową przyspieszenia kulki równoległą do osi 0 Ł m o ż na pominą ć, zatem również składową dynamiczną wyż ej wspomnianej reakcji pominiemy w dalszych obliczeniach.

Statyczna składowa tej reakcji jest r ó w n a składowej siły cię ż koś ci równoległej do osi

OL, (rys. 8): P = Gt = lt/ n j j c o s # . (59) Moment chwilowy tej siły wzglę dem punktu O wyniesie: M0 = r ( / ) x P (60) a ponieważ [R' + h]|iOC (rys. 3), wię c: M0( / ) = P( / ) x P . (61) Podstawiając (56) i (59) do (61) otrzymamy: M o ( / ) = [\„S'd(l)]x [ lfm g c o s # ] , M Q ( 0 = l0S " ó ( / ) m g c o s # , ) 10 Mech. Teoret. i Stos. 34/84

(14)

R y s . 8 a podstawiwszy (55): oraz M0( / ) = laS'mgA&m&As'm'&sin^o.t)

|M

0

(OI

= y S ' w g . 4 s i n 2 # s i r i ( wrr ) . A b y wyrazić M0(t) w układzie nieruchomym, podstawiamy (8) do (63): M0( 0 = [\^sm{(ort) + \nco%(o)rt)]~S'mg2smdsm{c)rt), a po przekształceniu (63) (64) M0( f ) = l Ł " S ' m g / l s i n 2 # [ l c o s ( 2 c orr ) ] + l ,; Ą S'mgAs'm2&s'm(2cort) (65) R ó w n a n i e (65) przedstawia rozkład chwilowego momentu korekcyjnego na sumę momen tów wzglę dem osi i 0'r\. N a rys. 9 przedstawiono przebiegi składowych tych m o m e n t ó w . Z r ó w n a n i a (65) Z r ó w n a n i a (65) widać, że przebiegi zmiennoś ci składowych momentu korekcyjnego mają

(15)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 467 okres podstawowy T/2, gdzie 2™=—^. Wyznaczmy impuls momentu korekcyjnego za COf jeden okres (T/2): Г / 2 п

(

М о ,

т )

=

/

М о ( ? ) Л ; analogicznie П » , . M o , Г / 2 j M(ln(t)dt. Impuls całkowity jest sumą składowych:

п = n

f

+n,

r м „' 1 ^ S m g A s i n 2 i > \ s m g A s i n 2 i > s i n ( 2 urt ) 1 ^S'mgAsin2i!' R y s . 9

Składowe impulsy momentu korekcyjnego moż na wyznaczyć z poniż szych zwią zków:

Г / 2

j l,\jSmgAsm2&sin(2<ort)\dt = 0,

Г / 2

j' l f ^SmgAsin2Ą \cos(2(ort)) dt =

Г / 2

l^S'mgAsmlft j ( l cos(2o>rf))ift =

(16)

Ostatecznie impuls całkowity bę dzie równy 7 /f:

Щ М 0, T/2) ш U \S'mgAsin20 • T. (66)

o

Załóż my, że tego samego impulsu udzielałby stały moment Mśr = — \$М \Г (w tym samym

czasie),

П = L M s r y = li—S'mgAs\i\2& T=> Mir = ~S'mgAsm2d

dla niewielkich odchyleń osi ż yroskopu od pionu

Mir = —S'mg Ad. Powracając do pierwszych oznaczeń (14) i (54) otrzymamy

* , = | / j ( S " £ ) (67,

gdzie Q — gę stość właś ciwa materiału kulki.

u 0 < i> < arcsin ^r=rr.

1Ъ A

Wzór (67) obowią zuje w zakresie k ą t ó w: j . w .

D l a ką tów & wię kszych od arcsin j ^ s ' ^ ) ' Ze WZ

S ' ^U n a

ograniczoną długość prowad nicy, korektor pracuje nieliniowo — trajektoria kulki zbliża się do półokrę gu o ś rednicy L' (rys. 10). Moment korekcyjny wyraża się wtedy wzorem (dla czę ś ci obwodowej tra jektorii)

M0 n = l0L'mgcos§ M0n — moment nasycenia),

a po podstawieniu (8)

Mo„ = lq^L'mgcosdcoscplc ^L'mg cosv sin <p. (68)

Impuls momentu za p ó ł obrotu zabieraka wyniesie (przy pominię ciu impulsu „wytwarza nego" na prostoliniowej czę ś ci trajektorii):

772

П „ = j M0ii(t)dt, ( I L , — impuls nasycenia)

o

(17)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E O O K O R E K T O R A 469

п „

Г / 2 = 1„ • y L ' w Ł C 0 S # J "

cos(co

r

0^

= О , Г / 2

i Г i г

I L = — Ь •—L'mgcosft sin(wrt)dt = 1£ • —L'tngcosft —, " 2 J 2 7i П „ = 1 L ' 2 1 Т • —L'mgcosft • — Mir = — m g c o s & ,

gdzie: A /Ś r — moment ś redni nasycenia.

Ponieważ otrzymamy: m = rQnd i , o Mit. 1 L' QT:d3gcose. (69) Charakterystykę momentu ś redniego korekcyjnego przedstawia rys. 11. 4. Uwagi koń cowe Stworzony w niniejszej pracy model matematyczny korektora oraz jego analiza dają ca szczegółowy opis zasady działania tego typu korektora, a nadto zbudowanie funkcji opi

(18)

sują cej moment korekcyjny „ w y t w a r z a n y " przez korektor, w zależ noś ci od ką ta odchy lenia osi ż yroskopu od kierunku pionowego i p a r a m e t r ó w konstrukcyjnych, wzbogacone o pewne dane doś wiadczalne, powinny stanowić pomoc przy projektowaniu tego typu

;jn| 1/ j Ko t odc hyle nia osi

2 SA ż yro sko pu od pionu R y s . 11 urzą dzeń. Mogą one być również wykorzystane jako wstęp do bardziej zaawansowanej analizy lub do obliczeń numerycznych. W y b ó r typu korektora podyktowany został potrzebami przemysłu krajowego. L i t e r a t u r a cytowana w t e k ś c ie 1. R . H . C A N N O N , J r Dynamika układów fizycznych, W N T , W a r s z a w a 1973. 2. W . R U B I N O W I C Z , W . K R Ó L I K O W S K I , Mechanika teoretyczna, P W N , W a r s z a w a 1980. 3. A . S T E F A N O W I C Z , Wyposaż enie samolotu, W P W , W a r s z a w a 1981.

4. M . K A Y T O N , W . R . F R I E D , Elektroniczne układy nawigacji lotniczej, W K . Ł , W a r s z a w a ] 976.

5. E . J . SIFF, C . L . E M M E R I C H , An Engineering Approach to Gyroscopic Instruments, R o b e r t Speller a n d Sons, Publishers, Inc, N e w Y o r k 1960.

6. P . H . S A V E T , Gyroscopes: Theory and Design, M c G r a w H i l l , B o d e C o , Inc, N e w Y o r k 1961.

7. J . B . S C A R B O R O N G H , The Gyroscope: Theory and Applications Inlcrscicnce Publishers, Inc, N e w Y o r k 1958 8 P . D E V E R G N E , Horizons Gyroscopiques de conception francaise en produktion industrielle W : A i r T e c h  niques, v o l . 4, 1963. Patenty P I . H o r y z o t sztuczny, G O l c 15/4 N r 2425, P o l s k a , 1935. P2. A u f r i c h t v o r r i c h t u n g fur K r e i s e l h o r i z o n t e , 42c 25/50 N r 863 422, R F N , 1950. P 3 . K u g e l a u f r i c h t e r fur V e r t i k a l k r e i s e l , 42 с 25/50 N r 11466663, R F N , 1958. P 4 . I m p r o v e m e n t s i n E r e c t o r s o f G y r o v e r t i c a l s , G 6 1 c 19/50 N r 34086, A n g l i a , 1965. P 5 . D e v i c e s f o r R e d u c i n g the A c t i o n o f P e n d u l o u s Erectors o n G y r o v e r t i c a l s , G 0 1 с 19/54 N r 34613, A n g l i a , 1965. P 6 . A u f r i c h t v o r r i c h t u n g m i t P e n d e l m fur V e r t i k a l k r e i s e l , 42 с 25/50 N r 1498027, R F N , 1965. P7. G y r o E r e c t i o n System, G O l c 19/30, 19/46. N r 3, 498, 146, U S A , 1966.

P8. A . D e v i c e for Suppressing the E r e c t i o n i n G y r o H o r i z o n s for A i r c r a f t , G O l c 19/54. P9. U s t r o j s t v o k o r e k c j i g i r o v e r t i k a l i , G 0 1 С 19/50, N r 583372, Z S R R , 1974.

(19)

D Y N A M I K A J E D N O K U L K O W E G O K O R E K T O R A 471

PIO. D i s p o s i t i t i f de c o r r e c t i o n mecanique d'une centrale gyroscopique de verlicale, G O I С 19/42.Nr76 26712, F r a n c j a , 1976.

P i l . E r e c t e u r de gyroscope de verticale, G O I С 19/50. N r 78 06250, F r a n c j a 1978. P 1 2 . K o r e k t o r g i r o s k o p u p i o n o w e g o , G O I С 19/50. N r 213824, P o l s k a , 1979.

P 1 3 . E i n r i c h t u n g z u m A u f r i c h t e r u n d Stutzen eines Lotkreisels, G O I С 19/50 N r 28 38 740, R F N , 1978. P14. D i s p o s i t i f p o u r le redressement et le soutien d ' u n gyroscope gravitationnel, G 0 1 С 19/50 N r 79 06176,

F r a n c j a , 1979.

P 1 5 . D e v i c e for E r e c t i n g a n d S t a b i l i z i n g a G y r o V e r t i c a l , G 01 С 19/50 N r 4 , 294, 128, U S A , 1979. P 1 6 . V o r r i c h t u n g z u m A u f r i c h t e n u n d Stutzen eines Lotkreisels, G 0 1 С 19/46 N r 30 00 265, R F N , 1980, P17. D i s p o s i t i f de redressement et de soutien d ' u n gyroscope gravitationnel, G 0 1 С 19/46 N r 8100109. F r a n c j a , 1981. Р е з ю м е Д И Н А М И Ч Е С К И Й А Н А Л И З М Е Х А Н И Ч Е С К О Г О К О Р Р Е К Т О Р А В Е Р Т И К А Л И П О А В И А Г О Р И З О Н Т У В с т а т ь е п р и в о д и т с я д и н а м и ч е с к и й а н а л и з м е х а н и ч е с к о г о к о р р е к т о р а в е р т и к а л и п о а в и а г о р и з о н т у . О п и с ы в а е т с я н а з н а ч е н и е к о р р е к т о р а и в ы п о л н е н ы е и м ф у н к ц и и . Д а н а т а к ж е к л а с с и ф и к а ц и я с и с т е м к о р р е к ц и и , п р е д л о ж е н н а я а в т о р а м и . О с н о в н а я ч а с т ь р а б о т ы п о с в я щ е н а к о н с т р у к ц и и а н а л и з у и п о д р о б н о м у р а с с м о т р е н и ю м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и о д н о ш а р н о г о к о р р е к т о р а с п р я м о л и н е й н о й н а п р а в л я ю щ е й . А в т о р ы п р и н я л и р я д п о л о ж е н и й , к о т о р ы е с ч и т а ю т т е о р е т и ч е с к о й о с н о в о й д л я р а з р а б о т к и с и с т е м к о р р е к ц и и с у ч е т о м р е а л ь н ы х у с л о в и й р а б о т ы . S u m m a r y D Y N A M I C A L A N A L Y S I S O F T H E M E C H A N I C A L E R E C T O R F O R G Y R O V E R T I C A L

T h e subject o f the paper is a d y n a m i c a l analysis o f the m e c h a n i c a l E r e c t o r for G y r o V e r t i c a l (for A r t i f i c i a l H o r i z o n ) .

T h e paper informs about a p p l i c a t i o n a n d functions o f G y r o E r e c t i n g Devices. It also includes classi f i c a t i o n o f G y r o E r e c t i n g Systems — p r o p o s e d by the authors.

T h e m a i n part — covers design, analysis a n d detailed discussion o f the m a t h , m o d e l o f one b a l l type G y r o E r e c t o r w i t h straightline guideway.

A u t h o r s have t a k e n into account a n u m b e r o f principles treated as theories i n w o r k i n g out solutions to real situations i n the w o r k o f E r e c t o r for G y r o V e r t i c a l .