Porównanie metod analizy osiowo-symetrycznego przepływu płynu przez układy łopatkowe maszyn wirnikowych wykorzystujących ogólny model przepływu w zakresie prędkości poddźwiękowych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ S e r i a : ENERGETYKA z . 73

1979 Nr kol. 617

Joachim OTTE

PORÓWNANIE METOD ANALIZY OSIOWO-SYMETRYCZNEGO PRZEPŁYWU PŁYNU PRZEZ UKŁADY ŁOPATKOWE MASZYN WIRNIKOWYCH WYKORZYSTUJĄCYCH OGÓLNY MODEL PRZEPŁYWU W ZAKRESIE PRĘDKOŚCI PODDŹWIijKOWYCH

Streszczenie. W pracy dokonano krytycznego przeglądu metod snę­

li zy~przepTywtr7 Scharakteryzowano poszczególne metody, podano za­

kresy stosowalności i przedstawiono wnioski odnośnie ich skuteczno­

ści.

1. Wstęp

Opracowanie metod obliczeniowych przepływu przez układy łopatkowe ma­

szyn wirnikowych bazujących na ogólnym modelu zjawiska przepływu, stano­

wi obecnie temat prac w wielu zagranicznych ośrodkach naukowych,przy czym zdecydowana większość prac wykonywana jest w pracowniach i laboratoriach wielkich firm przemysłowych, względnie w instytutach na zlecenie tychże firm. Można stwierdzić, że każdy z tych ośrodków dąży do opracowania wła­

snej w pełni sprawdzonej kompleksowej metody obliczeniowej, która w grun­

cie rzeczy Jest zbiorem metod regulujących zagadnienie tworzenie modelu matematycznego, formułowania zagadnień brzegowych, rozwiązywania równań różniczkowych, konstruowania algorytmu obliczeń, budowy programu na EMC itp. Korzyści wynikające z opanowania i wdrożenia metod obliczeń opartych na ogólnych modelach przepływu są szczególnie widoczne w takich dziedzi­

nach jak konstrukcja maszyn wirnikowych (optymalizacja konstrukcji, obli­

czenia charakterystyk maszyn) oraz badania mechanizmu przepływu na drodze eksperymentu cyfrowego, (np. badania wpływu cech geometrycznych na pole parametrów przepływu).

Jeżeli chodzi o literaturę krajową, to mimo niemałego już potencjału w dziedzinie budowy turbin, pomp i wentylatorów, można stwierdzić, że nie był on do tej pory poparty odpowiednim poziomem prac podstawowych i opra­

cowań aplikacyjnych z zakresu badania przepływu w tych maszynach.

W Instytucie Maszyn i Urządzeń Energetycznych dążąc do opracowania kom­

pleksowej obliczeniowej metody syntezy zjawiska przepływu przez układy łopatkowe maszyn wirnikowych w pierwszej kolejności wiele uwagi poświęco­

no zagadnieniom analizy przepływu. Niniejszy przegląd oparto na niepubli­

kowanej pracy autora [2l] i poszerzono o najńowsze pozycje literaturowe.

2. Ogólny model przepływu

Niniejsze praca obejmuje jedynie metody dotyczące zagadnienie analizy osiowo-symetrycznego przepływu płynu na powierzchniach typu S2 (według oznaczenia zaproponowanego przez WU [33]). Rozważania ograniczone są tu do obszaru strumienia głównego, przy czym obszar ten rozciąga się na pod- obszary zajęte wieńcami łopatkowymi Jak i podobszary międzywieńcowe (prze­

strzenie międzywieńcowe). Rozpatruje się tu zarówno pojedyncze wieńce ło­

patkowe, stopnie jak i układy wielostopniowe.

Podstawowe założenia określajęce ogólny model przepływu sę następujące:

- przepływ jest uśredniony względem czasu i współrzędnej obwodowej stęd też należy uważać go Jako ustalony i osiowo-symetryczny na średniej po­

wierzchni s'2 kanału międzyłopatkowego. W wyniku operacji uśredniania w równaniach ruchu pojawia się tzw. masowa siła oddziaływania łopatek F2 , natomiast w równaniu cięgłości współczynnik zwężenia przekroju T , - płyn uważa się Jako rzeczywisty, co wynika z przybliżonego uwzględnie­

nia w postaci energetycznej, uśrednionych efektów lepkości wyrażonych przez gradienty entropii wzdłuż linii prędu,

- przepływ w ogólnym przypadku jest wirowy charakteryzujący się gradisn- tami rotalpli całkowitej, entropii i cyrkulacji rcu ,

- pomiędzy poszczególnymi strugami płynu nie ma wymiany ciepła, czyli za­

kłada się, że przepływ jest adiatermiczny,

- dopuszcza się dowolność geometrii łopatek i dowolność geometrii linii ograniczających kanał przepływowy w przekroju merydionalnym.

Przy tych założeniach zagadnienie analizy przepływu opisane Jest ukła­

dem równań [2 1] : - równanie ruchu

- w x rot # + 2u x ii ■ T v s - 7 h * + F2 + T

(l)

- równanie ciągłości

div(?Tw) * O

(

)

- równanie stanu gazu

p = ? RT (3)

- równanie przeraieny

Porównanie metod analizy osiowo-eymetrycznego. 21

Układ ten uzupełniają dodatkowe zwięzki pomiędzy Jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni Sg oraz siłę Fg i wektorem prędkości w:

- warunek ortogonalności siły Fg względem powierzchni Sg

ń x F2 = 0 (5)

- zwięzek określajęcy powierzchnię Sg Jako powierzchnię prędu

w . ń = 0 (6)

Forma końcowa równań różniczkowych opisujęcych zagadnienie analizy w pierwszym rzędzie uzależniona jest od obranych wielkości niewiadomych w równaniach końcowych. Sako zasadnlczę niewiadomę obiera się najczęściej albo jednę z prędkości (najczęściej jest to składowa merydionalna cm ) al­

bo funkcję prędu V . Po przekształceniach układu równań otrzymuje się wte­

dy naetępujęce postacie równania końcowego:

ć>c

p

c m oq — 2. + Acz + m Bc + C = m 0 (7)

92 v o2 v a2 v sv av , „

A * 28 W a l + c 0^2 + D Ur + E az + F = 0 (8)

3. Podział metod analizy przepływu

Ogólnie można dokonać podziału na metody, których równania końcowe sta­

nowię przypadek przedstawionych wyżej równań (7) i (8) oraz na metody spe­

cjalne korzystajęce Jeszcze z innych założeń.

Można więc wyróżnić:

- metody wykorzystujęce pojęcie linii prędu (równanie (7)), - metody wykorzystujęce pojęcie funkcji prędu (równanie (8)), - metody specjalne.

Metody wykorzystujęce pojęcie linii prędu maję tę zaletę, że w równa­

niach opisujęcych przepływ łatwo można wyodrębnić poszczególne człony do- konujęc fizycznej ich interpretacji, tak Jak to uczyniono w pracy SMITHA

[27],

Stęd też w tych metodach wskutek przyjmowania odpowiednich założeń, przede wszystkim w zakresie własności geometrycznych linii prędu, otrzy­

mano uproszczone modele przepływu. Można tu wyszczególnić:

- model przepływu cylindrycznego, gdy zakłada się, że linie prędu sę pro­

stymi równoległymi do osi obrotu,

22 O. Otta

- model przepływu stożkowego, gdy linie prądu są tworzącymi stożkowych obrotowych powierzchni prądu,

- model przepływu falistego, gdy przyjmuje się, że merydionslne linie prądu przebiegają faliście,

- ogólny model przepływu, którego algorytmy numerycznej realizacji okre- ślono nazwą metody krzywizny linii prądu (MKLP) [10], [li], [13], [l5] ,

W metodach wykorzystujących pojęcie funkcji prądu zwanych dalej meto­

dami funkcji prądu (MFP) w zależności od stosowanych numerycznych proce­

dur rozwiązywania można wyróżnić:

- metodę różnic skończonych (MRS) , - metodę elementów skończonych (MES).

Rozwój techniki obliczeniowej sprawił, że metody analizy bazujące na uproszczonych modelach przepływu straciły już rację bytu. Stąd też dalsze rozważania poświęcone zostaną metodom MKLP, MFP + MRS, MFP + MES.

4. Metody krzywizny linii prądu

Szczególną cechą tych metod jest konieczność odpowiednio dokładnego wyznaczenia charakterystyk geometrycznych linii prądu na podstawie poło­

żenia punktów węzłowych w kolejnych przekrojach obliczeniowych. Poszukuje się tu funkcji aproksymujących, na których można by wykazać m.in. takie operacje analityczne jak różniczkowanie z rozsądną dokładnością.

Pierwotnie zastosowanie MKLP odnosiło się głównie do wieńców typu osio- wo-promieniowego o długich kanałach prowadzących czynnik, co przedstawio­

no w pracy [7] jak również w [28] i [29] . Według przedstawionych tu algo­

rytmów w pracy [1 2] dokonano analizy przepływu w wirniku promieniowo osio­

wej turbiny wodnej, natomiast w pracy [32] przeprowadzono analizę parame­

trów przepływu w wieńcu sprężającym z merydionalnym przyspieszeniem stru­

mienia.

W wyżej wymienionych pracach przepływ traktowany jest przeważnie jako izentropowy, a także jako homoenergetyczny. Ogólniejsze ujęcie zagadnie­

nia analizy z uwzględnieniem strat przepływu jest rozpatrywane przez sze­

reg autorów [9], [16], [24], [44] .

Przedstawione prace dotyczyły głównie analizy przepływu na odcinku wień­

ca łopatkowego, co też jest Jedną z przyczyn błędów w określeniu parame­

trów w strefach brzegowych przy krawędzi wlotowej i wylotowej łopatek.

Oedrtą z pierwszych prac ujmujących w zadowalający sposób ogólny model przepływu jest praca STIEPANOWA [46], gdzie między innymi rozpatrzono tak­

że problem dokładności opisu osiowo-symetrycznego ruchu płynu równaniami uśrednionymi. Dalsze rozwinięcie teoretycznych podstaw analizy przepływu osiowo-symetrycznego zostało dokonano przez SIROTKINA [43], [44],

Porównania metod analizy osiowo-symetrycznago. 23

Stosunkowo kompletny model przepływu przedstawiono w pracach[l7]i [19]

w odniesieniu do czynnika nieściśliwego oraz w pracy [18] w odniesieniu do płynu ściśliwego.

Ważnym problemem przy tego rodzaju metodach jest konstrukcja efektyw­

nych algorytmów obliczeniowych. Zagadnieniom obliczeń numerycznych po­

święcono rozdział w księtce HORLOCKA (10] . pewne procedury opisano także w pracach [18] i [19] , zaś w pracy [25] rozpatrzono problem numerycznego wyznaczania charakterystyk linii prędu wraz z analizę stosowanych w tym względzie metod.

5. Metody funkcji prędu

W odróżnieniu od metod opartych na pojęciu linii prędu, które rozwija­

ły się stopniowo, metody funkcji prędu. ze względu na bezpośredni zwięzek z postępami elektronicznej techniki obliczeniowej znalazły zastosowanie od razu w ogólnym modelu przepływu. Klasycznę już pracę bazujęcę na poję­

ciu funkcji prędu jest praca WU [33], dajęca poczętek współczesnym meto­

dom analizy przepływu przestrzennego. Ściślejsze ujęcie tego samego za­

gadnienia zostało rozpatrzone przez SIROTKINA [45] tak w odniesieniu do modelu przestrzennego jak i quasi-trójwymiarowego.

Jeżeli chodzi o numerycznę realizację, to stosuje się głównie dwie współczesne metody dyskretyzacji zagadnienia; metodę różnic skończonych i metodę elementów skończonych.

5.1. Metody różnic skończonych

Pierwszę pracę bazujęcę na uproszczonym modelu WU i wykorzystujęcę me­

todę różnic skończonych jest praca MARSHA [14] Przedstawiono tu w ogól­

nym zarysie opis programu obliczeniowego. Podstawowe równanie opisujęce przepływ, po aproksymacji wyrażeniami różnicowymi, sprowadzono do postaci macierzowej. który to zapis wykorzystano następnie przy budowie programu obliczeniowego.

W pracy GOLDINA [35] rozważono możliwości otrzymania rozwięzania na drodze iteracyjnej, konkretne zaś zagadnienie analizy przepływu beztar- ciowego (izentropowego) przez stopnie osiowe rozpatrzono w pracach BINIA- RISA [3], [4], przy czym rozwięzania uzyskano na drodze iterecyjnych ob­

liczeń relaksacyjnych. Przytoczone tu przykładowo wyniki obliczeń podob­

nie jak w referacie [23] odnoszę się do stopni turbinowych.

W pracy [2l] na bazie uogólnionego modelu przepływu z dysypację ener­

gii sformułowano zagadnienie brzegowe sprowadzajęce się do rozwięzania nieliniowego eliptycznego równania różniczkowego w postaci (8). W tej pra­

cy, jak i we wcześniejszej [20j dotyczęcej wyłęcznie przepływu płynu nie­

ściśliwego. algorytm obliczeń oparto na metodzie nadrelaksacyjnej. W pra­

cach tych przedstawiono wyniki analizy przepływu w osiowym stopniu sprę-

24 O. Otte

żajęcym. W pracach [5] i [22] podano natomiast rozwięzania przepływu przez bazłopatkowy kanał wirnika promieniowego.

5.2. Metody elementów skończonych

Metoda elementów skończonych znajduje się w okresie burzliwego rozwo­

ju, przede wszystkim na gruncie mechaniki budowli. Może także znaleźć za­

stosowanie przy rozwięzywaniu problemów przepływu [3 4].

Do pierwszych opublikowanych prac wykorzystujących MES w odniesieniu do zagadnienia analizy przepływu przez wieńce łopatkowe należę prace AD­

LERA i KRIMERMANA [l] oraz HIRSCHA i WARZEE [ 8] .

W pracy [8] końcowe równanie przepływu sprowadzono do postaci quasi­

ha rmonicznej

Do rozwięzania powyższego równania zastosowano odmianę metody elementów skończonych polegajęcej na postępowaniu według ważonej metody residualnej Galerkina. gdzie funkcja wagi jest równa funkcji kształtu. Dyskretyzację oparto na czterobocznych krzywoliniowych izoparametrycznych elementach z ośmioma punktami umieszczonymi na ich brzegach.

6. Porównanie metod analizy

Przedstawiony krótki przeględ poszczególnych metod wykazał, że najbar­

dziej bogatę literaturę posiadaję metody krzywizny linii prędu, zaś prak­

tycznie w poczętkowym stadium rozwoju jest metoda elementów skończonych w zastosowaniu do analizy przepływów. Stęd też właściwe porównanie można przeprowadzić pomiędzy MKLP oraz MFP + MRS. Do takiego porównania upoważ­

nia autora także zdobyte w tym zakresie doświadczenie obliczeniowe.

6.1. Ograniczenie ze względu na liczbę Macha

W zależności od prędkości przepływu w metodzie funkcji prędu zmienia się typ równania (8). I tak dla liczb Macha M < 1 równanie to jest ty­

pu eliptycznego, co fizykalnie sprowadza się do tego. że zakłócenia w przepływie rozchodzę się we wszystkich kierunkach.

Rozpatrzone wyżej prace dotyczę właśnie zagadnienia eliptycznego w przepływach zaś naddżwiękowych. gdy mamy do czynienia z zagadnieniem hi- perbolicznym stosuje się najczęściej metodę charakterystyk. Obecnie mimo, że stosowanie osiowo-symetrychnego modelu do przepływów około- i nad- dźwiękcwych nie jest jeszcze w pełni uzasadnione, rozwijane sę prace nad efektywnymi procedurami numerycznymi z zakresu analizy przepływów transo- nicznych w sprężarkach [6]. [26] jak i ostatnich stopniach turbin [4l].

(9)

Porównanie metod analizy osiowo-symetrycznego. 25

Seżeli chodzi o MKLP to mimo, że uzupełniające równanie ciągłości w formie

sprawia, że mamy do czynienia z układem równań różniczkowo-całkowym, to jednak fakt zadawania odpowiednich warunków brzegowych na wlocie oraz wy­

znaczanie charakterystyk geometrycznych linii prądu na podstawie wszyst­

kich punktów węzłowych danej linii powoduje, że układ ten aa także cha­

rakter "eliptyczny".

Porównanie metod dotyczyć więc będzie zakresu przepływów poddźwięko- wych.

6.2. Metody rozwiązania

W metodach MKLP i MFP algorytm obliczeń numerycznych opiera się na dy- ekretyzacji zagadnienia. Oeżeli jednak w MFP dyskretyzację przeprowadza się bezpośrednio wychodząc z równania (8) to w MKLP wykorzystuje się Jesz­

cze koncepcję rozwiązywania równań różniczkowych wszystkich metod pros­

tych, której idea bazuje na iteracyjnym dochodzeniu do ostatecznego roz­

wiązania. Założenia tej metody pozwalają przejść od równania (7) o pocho­

dnych cząstkowych do układu równań różniczkowych zwyczajnych, które z ko­

lei rozwiązuje się przy zastosowaniu różnych odmian metod Runge - Kutty.

Out na podstawia powyższego można wnioskować o znacznej "subtelności" me­

tody krzywizny linii prądu.

W MFR + MRS układ równań różniczkowych rozwiązuje się metodami macie­

rzowymi [14] lub też metodami iteracyjnymi. W tym drugim przypadku naj­

częściej stosuje się proces nadrelaksacji

gdzie fił jest czynnikiem relaksacji, zaś p jest kolejnym numerem itera-

6.3. Siatka węzłów obliczeniowych

Ważnym zagadnieniem w istotny sposób wpływającym na skuteczność metody jest pokrycie obszaru analizy siatką węzłów obliczeniowych, ze szczegól­

nym uwzględnieniem geometrii brzegów.

W metodzie MKLP początkowo obliczenia prowadzono w układzie współrzęd­

nych krzywoliniowych ortogonalnych [7], [28], [29] , co Jest niezmiernie utru­

dnione przez zmiany położenia punktów węzłowych siatki w trakcie kolej­

nych iteracji. Znaczną poprawę w tym zakresie przyniosło wprowadzenie tzw.

q

(10)

(1 1)

cji.

26 _{3. Otte}

n-m układ współrzędnych

ortogonalnych g-m układ współrzędnych guasi-ortogonalnych

Rys. i

Rys. 2 Rys. 3

qussi-ortogonalnej siatki przepływu [13, 24] (rys. l). Mankamentem MKLP jest to, że zawodzi ona w przypadku nieregularnych brzegów obszaru prze­

pływu.

Dyskretyzację zagadnienia brzegowego w przypadku MFP+MRS najczęściej przeprowadzano w oparciu o siatkę prostokętnę [3, 4. 20, 2 l ] , co Jednakże znacznie komplikowało program obliczeń, gdy obszar analizy odbiegał od prostokąta. Stąd też opracowano sposoby transformacji analizowanego ob­

szaru przepływu na obszar prostokęta [30, 36, 40, 4l] . Z powodzeniem za­

częto stosować także siatkę krzywoliniową [22] (rys. 2).

Porównania metod analizy osiowo-symet rycznego. 27

W MFP + MES uzyskuje się najlepsze dopasowanie siatki węzłów oblicze­

niowych. Przykład siatki zastosowanej w pracy [8] przedstawiono na rys. 3.

6.4. Zagadnienie stabilności i zbieżności obliczeń

Z góry założone iteracyjne dochodzenie do ostatecznego rozwiązania wy­

łania w metodzie krzywizny linii prądu kompleks problemów związanych ze stabilnością i zbieżnością procedur obliczeniowych. W trakcie kolejnych obliczeń iteracyjnych obserwuje się tu bowiem zjawisko "przenoszenia błę­

dów". Tym zagadnieniom wiele uwagi poświęcono w pracach [2, 3i] . Dla za­

bezpieczenia zbieżności procesu iteracyjnego wprowadza się najczęściej tzw. współczynniki (czynniki) relaksacji [lO, 18, 37, 38, 42], przy czym znajdują one zastosowanie przy określeniu nowych współrzędnych linii prą­

du i prędkości

r . , * ! * > . (IZ)

gdzie , u ) ^ są czynnikami relaksacji, natomiast /x jest numerem przy­

bliżenia. Czynniki w wyznaczane są tu przede wszystkim na drodze ekspe­

rymentu cyfrowego.

Po rozpatrywaniu zagadnień dokładności, stabilności i zbieżności obli­

czeń, na korzyść metod' funkcji prądu przemawia fakt, że wykorzystuje się tu nagromadzone doświadczenia z dziedziny rozwiązywania równań fizyki ma­

tematycznej. Stosowany tutaj najczęściej iteracyjny proces obliczeń nad- relaksacyjnych jest wynikiem wyboru. Dla wyznaczenia optymalnego czynnika relaksacji wykorzystuje się tu następujące oszacowanie

(14)

gdzie J (g) jest promieniem spektralnym macierzy iteracyjnej Gaussa-Sei- dla.

6.5. Realizacja programu na EMC

Oceniając budowę programu obliczeniowego pod kątem jego złożoności i ilości rozwiązań logicznych, to program realizujący metodę funkcji prądu jest pod tym względem znacznie bardziej przejrzysty. Deżeli chodzi o po­

jemność pamięci maszyny cyfrowej to w warunkach jednakowej liczby punktów węzłowych obie metody MKLP i MFP są mniej więcej równorzędne. Porównując natomiast czasy obliczeń pierwszeństwo należy dać metodzie funkcji prądu.

28 0. Otte

7. Wnioski

Spośród przytoczonych wyżej metod, metoda krzywizny linii prędu Jest, Jek już stwierdzono, najbardziej subtelna i skuteczność jej stosowania w dużej mierze zależy od nabytego doświadczenia obliczeniowego. Efektywność jej wzrasta w przypadku analizy pola przepływu w wieńcach typu osiowo- promieniowego, w których linie prądu posiadają wyraźnie określoną krzy­

wiznę.

Ocena metody funkcji prędu w swej odmianie wykorzystującej metodę róż­

nic skończonych w dużym stopniu uzależniona Jest od typu zastosowanej ob­

liczeniowej siatki przepływu. Dysponując algorytmem bazującym na trans­

formacji obszaru analizy w celu zastosowania siatki prostokątnej lub też algorytmem opartym na siatce krzywoliniowej ocena tej metody względem po­

zostałych wypada bardzo korzystnie.

Metoda elementów skończonych znajduje się dopiero w początkowym sta­

dium rozwoju, przy czym wykorzystuje się tu doświadczenia wyniesione głó­

wnie z dziedziny mechaniki budowli. Pewną korzyścią tego Jest możliwość wykorzystania niektórych gotowych podprogramów.

LITERATURA

[1] Adler D. , Krimerman Y .: The Numerical Calculation of the Meridional Flow Field in Turbomachines Using the Finite Element Method. Israel Oournal of Technology, Vol. 12 (1974), pp. 268-274.

[2] Bindon 3.P. : Stability and Convergence of Streamline Curvature Flow Analysis Procedures. Int. Oournal f. Numerical Methods in Engineer­

ing, Vol. 7, 69-83 (1973).

[3] Biniaris S. : Die Berechnung der quasidreidimensionalen reibungs-fra- len kompressiblen Strömung in axialen Turbomaschinen. VDI - Berichte Nr 193 (1973).

[4] Biniaris S.: The Calculation of the Quasi - Three-Dimensional Flow in an Axial Gas Turbine. Trans. ASME, Oournal of Engineering for Po­

wer, April (1975).

[5] Deptuła B. : Przepływ czynnika nielepklego przez promieniowe wieńce wirujące. Politechnika Poznańska 1971. Praca doktorska.

[6] Frlihauf H.H. : Ein Differenzverfahren für die sxialsymmetrische liber- schallströmung in rotierenden Ringgittern mit lokalen Unterschallge­

bieten. Forschung Ing.-Wesen, Nr 5, Bd 40 (1974).

[7] Hamrick G . T . , Ginsburg A., Osborn W . M . : Method Analysis for Compres­

sible Flow Through Mixed-Flow Centrifugal Impellers of Arbitrary De­

sign. NACA Report 1082 (l952).

[8] Hirsch Ch., Warzee G.: A Finite-Element Method for Through Flow Cal­

culations in Turbomachines. Oournal of Fluids Engineering, September (1976).

[9] Hoffmeister M . , Seifert G . : Über die Bestimmung der merldionalen Stromlinien in einem Diagonalgitter bei Unterschallströraung. Maschi­

nenbautechnik H. 7, 16 (1967).

[10] Horlock O.H.: Axial Flow Turbines 1966, (tłumaczenie w Języku rosyj­

skim).

Porównanie metod analizy osiowo-symetrycznego. 29

11] Horlock D.H. : Axialkompressoren. Karlsruhe 1967 G. Braun.

12] Dansen W.: Flow Analysis in Francis Water Turbinen. Trans. ASME, Nr 3, ser. A (1967).

13] Katsanis T . : Use of Arbitrary Quasl-Orthogonals for Calculating Flow Distribution in a Turbomachine, Trans, ASME, Dournal of Engineering for Power, Nr 2, (1966).

14] Marsh H. : A Digital Computer Program for the Through-flow Fluid Me­

chanics in an Arbitrary Turbomachir.e using a Matrix Method. Reports and Memoranda, No 3509, Duly (l966).

15] Novak R .A. : Streamline Curvature Computing Procedures for Fluld-Flow Problems. Trans. ASME, Nr 4, ser. A (l967).

16] Otte D.D. : Równania przepływu płynu nieściśliwego w kanałach łopat­

kowych maszyn wirnikowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej Ener­

getyka, z. 53, s. 131-143.

17] Otte D . D . : Osiowo-symetryczny przepływ płynu nieściśliwego w kanałach łopatkowych osiowych maszyn wirnikowych. Archiwum Budowy Maszyn, z.

4, t. XXII (1975), s. 475-488.

18] Otte D.D. : A Method of Analysis of Axial-Symmetric Flow in Blade Chanels of Turbines. Ill Conference on Steam Turbines of Great Out­

put, Gdaósk 1974, Prace IMP, z. 70-72, s. 597-614.

19] Otte D.D. : Wyznaczenie pola prędkości i ciśnień w kanałach łopatko­

wych osiowych maszyn wirnikowych przy przepływie płynu nieściśliwe­

go. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej Energetyka, z. 56.

20] Otte D.D. : Zagadnienia analizy przepływu nieściśliwego w układach łopatkowych osiowych maszyn wirnikowych. Praca Konkursowa P T M T S , Łódź 1975 (niepublikowa).

21] Otte D.D.: Metoda analizy przepływu przez układy łopatkowe maszyn wirnikowych. Politechnika Ś l ę s k a , Gliwice 1976, Praca doktorska.

22] Otte D.D. : Numeryczne modelowanie quasi-trójwymiarowego przepływu w maszynach wirnikowych. Zbiór prac z IV Konferencji "Technologia ma­

szyn przepływowych", Rzeszów 1978.

23] Rais M . : A Method of Solution of Three-dimensional Flow of a Nonvis- cous Fluid Through Axial Turbine and Some Practical Applications. VI Konference Parni Turbiny Velkeho Vykonu, Plzeń, 1975.

24] Senoo Y. , Nakase Y. : An Analysis of Flow Through a Mixed Flow Impel­

ler. Trans. ASME, ser. A, Nr l(l972).

25] Shaalan M . R . A . , Daneshyar H.: A Critical Assesment of Methods of Cal­

culating Slope and Curvature of Streamlines in Fluid Problems. In­

stitution of Mechanical Engineers. Proceedings 1972, Vol. 186.

26] Simon H. : Entwicklungsarbeiten an lieberschallaxialverdichterstufen.

Technische Rundschau. Nr 16, 21 (l974).

27] Smith L.H.Jr: The Radial Equilibrium of Turbomachinery. Trans. ASME, Dournal of Engineering for Power. Nr 1 (1966).

28] Traupel W.: Die Theorie der Strömung Radialmaschinen, Karlsruhe 1962.

Verlag G. Braun.

29] Traupel W.: Thermische Trubomaschinen. Bd 1, 1966. Springer Verlag.

30] Wächter D. , Schulz B. : Numerische Berechnung Stationärer quasi-drei­

dimensionaler Strömungen in Kanälen beliebiger Formgebung, darge­

stellt am Beispiel eines Radialverdichter-Umlenkraumes. Forsch. Ing- We8en, Nr 5, Bd. 43 (l977).

31] Wilkinson D.H.: Stability, Convergence, and Accuracy of Two-Dimen­

sional Streamline Curvature Methods using Quasi-Orthogonals. Insti­

tution of Mechanical Engineers. Proceedings 1969-60, Vol. 184, Pt3G I.

32] Witkowski A. : Analiza przepływu w kanałach łopatkowych osiowego wień­

ca sprężającego z merydionalnym przyspieszeniem strumienia. Gliwice 1971, Praca doktorska.

30 0. Otte

[33] Wu Ch u n g - H u a : A General Theory of Three-Dimensional Flow in Subsonic and Supersonic Turbomachines of Axial, Radial, and Mixed-Flow Types.

Trans. A S M E , Nr 8 (l952)„

[34] Zienkiewicz O.C. s The Finite Element Method in Engineering Science.

McGraw-Hill. London 1971 (tłumaczenie w języku polskim: Arkady. War­

szawa 1972).

[35] rojTbflHH A .B .t IIpKMeHeHHe HHCJieHHHx MeioflOB pemeHHa n p stio a ocecHMSTpHH- HOfi 3a^aqH Te>ieHHH jkhakocxh b npoxoHHoa yacT u rnApoiiamitH npnMeHnxeJibHO

k 3UBM, SBeproMaBHHOCTpoeKHe S§ 4 (1969) ,

[36] rpeqaHH'tteHKO K).B. , jleBHHa M .B .: Pacqex npocipaHCTBeHHOro «BynapaMeTpH-

^tecKoro noxosca c npoH3B03BHbiMii ppammaM n. SH epreiH aecK oe MamHBOcipoe- Hae, BHnycK 1 (1966).

[37] £op$MaH JI.A.j Cepa3etAHHOB A.3., HceHOBCKaa M.JI.: IIporpaMHpoBaHHe pac- nexa Ha 3L[BM BuxpesKX TeaeiiHfi HjjeajibHOfi ¡khakocih b KpHBOMHeSabix ¡taHa- a a x . Tpyjm UKTH, BHnycK 74 ( 1 9 6 6 ) .

[38] Rop$itan JI.A . t HucseHHue MeTOflH b raaoflHHaMHice TypSoMatiHH. JleHHHrpafl 1974 JHepl'KH.

[39] SyKOBCKHit M .H .: A3poflHHaMHHecKHa pacqeT noxoica b oceB ux xypSoManiHHax.

HeHHHrpaA 1967. ManHHOCxpoeHHe.

[40] 3KyKOBCKH2 M .H ., KapaKHH iO .E .: P acneT BHxpeBoro TeneHHa r a 3 a b oceenM - lieTpHHHux KaHaaax. SHeproMamnHOCTpoeHHe ® 7 (1971) .

[41] HyicOBCKHii M . H . , HoBHKOBa O.H., IIonoB 0 . J I.: Pacaei npocxpaHcxaeHHOro noiQKa b xypdHHHux cT yneH sx Sojibmoa BeepHocTH. Tem iosH eprexH K a 1 12

1974 .

[42] HoBHKOBa O . H .: Pac>iex ocecHMMexpH’-moro n o io K a b npoiOHHOg nacxH oce'BHX lypdHH . TeiMOBHepreTHita H? 4 (1965) .

[43] CnpoTKHH H.A.s Pacqex ocecaMMeTpHiHoro BHxpeBoro noToica HeBH3K0ft c x h-

MaeMoft sHflKocxH b oceBHX xypSoManHHax. H3B. AH CCCP. OTH, MexaHHica a MatiHHocxpoeHHe t® 2 ¡1961) .

[44] CupoxKHH H . A .s PacqeT ocecHMMexpmiHoro BHxpeBoro TeneHHa HeBH3K0fi e r a - MaeMOii aaiflKOciH b pa,nnajiBHHX TypSoMamHHax. H3B. AH CCCP, OTH, MexaHHKa

h MamHHocxpoeHHe IE 3 (1963).

[45] Chpoxkhk H . A .: K nocxaHOBKe flByMepHbix 3aaa«i BHxpeBoro leaeH H ii c ra M a e - Moa KHAKOCXH B xypdoMamHHax. HHxeHepHHK xypH aJi, x . 4 , BbinycK 2 , (1964) [46] CxenaHOB P.K).: I’H.upo.uHHaMHKa pemexoK TypdoMamHH. MocKBa 1962.

CPABHEHHE MEIO.ĘOB AHAJIH3A OCECHMMETPHHHOrO TEHEHHfl HHJIKOCTH H EPE3 JIOnACTHHE CHCTEMH TyPEOMAllIHH, HCnOJIb3yiOHHX OEUjyiO MOffEJIb TEHEHHH B JUiAHA30HE £03B yft0B H X CKOPOCTEH

P e 3 to m e

B ciaxbe npoBendH ¡cpHXHHecKHft odaop MeiOAOB aHazH3a Terenu«. U s h h xapan- x e p H C T H K H o i f l e a t H L i x M e T O f lO B , n p e ^ e J i H h x n p n M e H e H H H h b h b o a l i , KacaioniHecH h x

3$$eKIHBH0CTH.

Porbwnanie metod enalizv osiowo-symetrycznego. 31

A COMPARISON OF METHODS 0, MALYSING AXIAL SYMMETRIC FLUID FLOW THROUGH BLADE SYSTEMS OF IMPELLER MACHINES USING THE GENERAL FLOW MODEL AT SUBSONIC VELOCITIES

S u m m a r y

A critical survey of analysing methods has been presented. Particular methods have been characterised utilisation ranges and reliabilities pre­

sented.

l)