S e r i a : M e c h a n i k a z . 47 Nr k o l . 3 3 9
J u l i a n ZIELIŃSKI
I n s t y t u t M e c h a n i k i i P o d s t a w K o n s t r u k c j i Maszyn
ANALIZA KRZYWYCH REZONANSOWYCH UKŁADU DRGAJĄCEGO O NIELINIOWYCH CHARAKTERYSTYKACH RUCHU
S t r e s z c z e n i e . W p r a o y p r z e d s t a w i o n o m etodę o k r e ś l e n i a dy nam ioznych. c h a r a k t e r y s t y k więzów u k ł a d u d r g a j ą c e g o o j e d nym s t o p n i u s w o b o d y , o p a r t ą na a n a l i z i e k rz y w y o h r e z o n a n - so w y o h .
1 . C e l p r a o y
W z a g a d n i e n i a o h d o t y o z ą o y o h d y n a m i k i u k ła d ó w m e c h a n i c z n y c h z a c h o d z i c z ę s t o k o n i e o z n o ś ó u w z g l ę d n i e n i a n i e l i n i o w e g o o h a r a k t e r u z a l e ż n o ś o i s i ł od p r z e m i e s z c z e ń i p r ę d k o ś c i e le m e n tó w u k ł a d u . P r z e p i s y f u n k c y j n e , k t ó r e u j m u j ą d z i a ł a j ą c e na u k ł a d s i ł y , z a l e ż n e od w z a j e m n e j k o n f i g u r a c j i j e g o e le m e n t ó w i i o h p r ę d k o ś c i w z g l ę d n y c h , nazywamy c h a r a k t e r y s t y k a m i r u o h u . S t o s o w a n a d o ś ó p o w s z e o h n i e w o h l i o z e n i a o h d y o a m l o z n y o h l i n e a r y z a o j a c h a ~ r a k t e r y s t y k i s p r ę ż y s t e j , w p r z y p a d k u m a ły c h d r g a ń l u b s t w i e r d z o n e j t z w . s ł a b e j n i e l i n i o w o ś c i , n i e może d o t y o z y ó r ó w n o c z e ś n i e c h a r a k t e r y s t y k i t ł u m i e n i a r u o h u w u k ł a d z i e . Ś w i a d c z ą o tym d o ś w i a d c z e n i a , z k t ó r y c h w y n i k a , ż a t z w . l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t ł u m i e n i a n i e j e s t p r o p o r o j o n a l n y do c z ę s t o ś c i d r g a ń .
Z p u n k t u w i d z e n i a z a s t o s o w a ń t e o h a i o z n y o h j e d n a k o w o ważny s t a j e s i ę w l ę o p r o c e s a n a l i z y r u o h u , j a k r ó w n i e ż p r o c e s p o s z u k i w a n i a p o s t a o i c h a r a k t e r y s t y k u k ł a d u , k t ó r y r e a l i z u j e o k r e ś l o n y r o d z a j r u c h u .
P r a o a , s u g e r u j ą o pew ną m etodę w y z n a c z a n i a c h a r a k t e r y s t y k r u c h u , na d r o d z e a n a l i z y k rz y w y o h r e z o n a n s o w y c h u k ł a d u d r g a j ą c e g o o je d n y m s t o p n i u swo
b o d y , p r z e d s t a w i a pewną p r ó b ę u z u p e ł n i e n i a d o t y c h o z a s o w y o h o p r a c o w a ń w t e j d z i e d z i n i e .
M a t e m a t y o z n e u j e o l e c a g a d a l e n t a
R o z p a t r z y m y d r g a n i a wymuszone u k ł a d u z a o d e l o w a n e g o j a k na r y s . 1 . C i a ł o M o m a s ie "m" p o w i ą z a n e j e s t z o l a ł e m z a pomooą ł ą c z n i k a z ł o ż o n e g o z s i l n i e n i e l i n i o w y o h : s p r ę ż y n y i t ł u m i k a . C i a ł o w y k o n u je d r g a n i a ś c i ś l e s i n u s o i d a l n e o a m p l i t u d z i e 1 c z ę s t o ś c i r e g u l o w a n y c h w s p o s ó b o i ą g ł y . N i e o h § o z n a o z a w s p ó ł r z ę d n ą o l a ł a w zglę dem n i e r u c h o m e g o u k ł a d u o d n l e -
6 J u l i a n Z i e l i ń s k i
a l e ó l a , x w s p ó ł r z ę d n ą o k r e ó l a j ą o ą w y o h y l e n i e o l a ł a M w zglę dem d r g a j ą c e g o iu M asa p o s t a ó :
x + R ( x , x ) + S ( x ) = , ( 1 )
o l a ł a . R ó w n an ie r u c h u M asa p o s t a ó s
g d z i e
R ( z f x ) = ~ ^ ( x , x ) - n i e l i n i o w a o h a r a k t e r y s t y k a t ł u m i e n i a , S i x ' ) « ~ F ( x ) - n i e l i n i o w a o h a r a k t e r y a t y k a s p r ę ż y s t a ,
£ = h s i n W t ,
h — a m p l i t u d a d r g a ń o l a ł a M^,
■ - masa o l a ł a M.
R y s . 1
Na f u n k o j e S ( x ) 1 R ( x , x ) n a k ła d a m y w a r u n k i z godne z w ł a s n o ś o i a m i m e- o h a n l o z n y o h u k ła d ó w d r g a j ą o y o h , a m i a n o w i o i e :
S ( - x ) - - S ( x ) ,
S i o ) » 0 .
R ( x , x ) x ^ O,
R ( —x , x ) ■ R ( x , x ) ,
R ( x ,—x ) « - R ( x , i ) ,
R ( x , o ) = 0 ,
R ( o , x ) + O, d la x 2 4* 0 .
( 2 )
(3)
Po p o d s t a w i e n i u £ <* h s i n w t w p r a w ą s t r o n ę r ó w n a n i a ( 1 J i u w z g l ę d n i e n i u p r z e s u n i ę c i a f a z o w e g o m i ę d z y s i ł ą w y m u s z a j ą o ą P ( t ) « ~ § ( t ) i w ychy
l e n i e m x ( t ) o l a ł a M w f u n k c j i P ( t ) ? r ó w n a n i e ( 1 ) p r z y j m i e p o s t a ć :
i ' + R ( x , i ) + S ( x ) - P g s i n w t + P Q o o s c o t , ( 4 )
g d z i e
P g ■ h UJ2 0 0 3 ® , ( 5 )
P0 = k w 2 s i n ® . (6 )
Pg i PQ s ą t o a m p litu d y sk ład ow yoh s in u s o w e j i o o s in u s o w e j f u n k o j i P ( t ) , fl - k ą t p r z e s u n i ę o i a fa z o w e g o m iędzy P ( t ) i x ( t ) . Składow e P s 1 P o s p e ł - n i a j ą ró w n a n ie
1
(P g2 + P02 )? - h tu 2 . (7 )
D la rów n an ia ( 4 ) z a ło ż o n o i s t n i e n i e r o z w ią z a n ia w p o s t a o i k o m b in a c ji l i n i o w e j o d p o w ie d n ie dobranyoh i li n io w o n ie z a l e ż n y c h f u n k o j i . P o n iew a ż s i ł a w ym uszająoa P ( t ) j e s t f u n k o j ą okresow o zm ienną 1 u k ła d j e s t tłu m io n y , t o r o z w ią z a n ie ró w n a n ia ( 4 ) można p r z e d s t a w ić w p o s t a o i
x ( t ) » A a in Wt + A- s i n 2 U t + . . . + A_ s i n i W t ( 8 )
Z D
? c o s u j ą o t y l k o p ie r w s z y o z ło n s z e r e g u ( 8 )
x ( t > - A s i n W t , ( 9 )
ja k o p ie r w s z e p r z y b l i ż e n i e r o z w ią z a n ia ró w n a n ia ( 4 ) o trzy m u je s i ę p o z o s t a ł o ś ć
q.(t ) » - Ań»2 s l n t u t + H(A s i n c u t , AŁUoosŁOt) +
( 1 0 1 + S(A s i n C J t ) - P 8 s i n t ^ t - PQ o o s t u t .
J a k o k r y t e r io m d o k ła d n e ć o l r o z w ią z a n ia p r z y j ę t o minimum n a s t ę p u j ą c e j o a ł k l
T
J
-J*
ę 2 ( t ) d t , o( 1 1 )
J u l i a n Z i e l i ń s k i g d z i e
T = - o k r e s f u n k c j i ( 9 ) .
K r y t e r i u m t o w y n ik a z z a s a d y n a j m n i e j s z y c h k w ad rató w s t o s o w a n e j do w yzna
c z a n i a s t a ł y o h , b ę d ą c y c h p a r a m e t r a m i k r z y w e j a p r o k s y m u j ą o e j s z e r e g p u n k tów e m p i r y c z n e g o r o z w i ą z a n i a . Dla k a ż d e j c z ę s t o ś c i w y m u s z e n i a , A , P g , P Q s p e ł n i a j ą r o l ę s t a ł y c h i w y s t ę p u j ą w p o z o s t a ł o ś o i ( 1 0 ) i c a ł c e (1 1) . Po
n i e w a ż a m p l i t u d ę d r g a ń A = A(cu) można w y z n a c z y ć d o ś w i a d o z a l n i e , p o s z u k i wać b ę d z ie m y w a r t o ś o i s k ł a d o w y c h P g 1 P Q, k t ó r e m i n i m a l i z u j ą o a ł k ę ( 1 1 ) . Minimum o a ł k i ( 1 1 ) o t r z y m u j e s i ę , j e ś l i z o s t a n ą s p e ł n i o n e n a s t ę p u j ą c e wa
r u n k i
g d z i e
‘t s W t .
Po p r z e d s t a w i e n i u ( 1 0 ) do ( 1 2 ) o t r z y m u j e s i ę
29t
P g ~“ ~ j [ s ( x ) - A w 2 f i n t ] s i n t d t , ( 1 3 ) 0
23T
P o ” R ( x , x ) o o s 1 d ' t . ( 1 4 )
O
P o d s t a w i a j ą c ( 1 3 ) 1 ( 1 4 ) do ( 7 ) o t r z y m u j e s i ę r ó w n a n i e k rz y w y c h r e z o - nanso w y o h A • A ( t o , h ) . W p r z y p a d k u gdy P ( t ) = - | ( t ) « O, d r g a n i a o l a ł a M b ę d ą d r g a n i a m i sw o b o d n y m i. P o d s t a w i a j ą o do r ó w n a n i a ( 1 3 ) P g •= O o t r z y m u j e s i ę
Z T
co2 ■ p 2 S i x ) s i n ‘T d l t ( 1 5 )
O
g d z i e
p - o z ę s t o ś ć d r g a ń sw o b o d n y c h .
R ó w n a n ie ( 1 5 ) j e a t ró w n a n ie m k r z y w e j z a l e ż n o ś c i m iędzy c z ę s t o ś c i ą p i am
p l i t u d ą d r g a ń s w o b o d n y c h , c z y l i j e s t t o r ó w n a n i e k r z y w e j , s z k i e l e t o w e j k r z y w y c h r e z o n a n s o w y c h A = A (o u ,h ) . B i o r ą c po d uwagę ( 1 5 ) p r z e k s z t a ł c a m y r ó w n a n i e ( 4 ) do n a s t ę p u j ą c e j p o s t a c i ;
x + R ( x , x ) + p 2x = P 3 s i n w t + P Q o o s w t . ( 1 6 )
R ó w n a n i a ( 1 3 ) 1 ( 1 4 ) p r z y j m u j ą p o s t a ó s
P a = p 2A - c o 2 A, ( 1 7 )
P 0 =U)A J 1# ( 1 8 )
g d z i e
2%
J 1 = f w T J R ( x , x ) c o s T . ( 1 9 )
O
P o d s t a w i a j ą c ( 1 7 ) 1 ( 1 8 ) do r ó w n a n i a ( 7 ) o t r z y m u j e s i ę n a s t ę p u j ą c a rów
n a n i e k r z y w y c h r e z o n a n s o w y c h
(1 “ K “ (2 p 2 - j / ) ^ 2 + P4 - 0 . ( 2 0 )
r z e z p o c z ą t e k u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h A , co pro w a d z im y p r o s t e i r y s . 2 ) .
A * Ck UJ (k = 1 , 2 , . . , ) ( 2 1 )
R y s . 2
10 J u l i a n Z i e l i ń s k i
P r o s t e ( 2 1 ) p r z e c i n a j ą k r z y w ą r e z o n a n s o w a A « A ( t c , h ) { r y s . 2 ) w p u n k ta c h , o c z ę s t o ś o i a o h d r g a ń u k ł a d u i . P o d s t a w i a j ą c ( £ 1 ) do ( 2 0 ) o -
t r z y a u j e s i ę
U H * “ iS ~ J + 2 p 2 ~ J 1 { u ) i k : ) ] 2 + p 4 - 0 . (22 ) c k"
Po r o z w i ą z a n i u r ó w n a n i a 22 o t r z y m u j e s i ę
( 2 3 )
OU . ( k )
2
-\ \ + 2 p 2- J 12 ) - ł p 4
Ck
“ 5 --- --- ---- ( 2 4 ) R u g u j ą c z r ó w n a ń ( 2 3 ) l ( 2 4 ) f u n k o j ę
f ( A ,U )) = ^ -* r + 2 p 2 - J - j2 * Ck
( 2 5 )
o t r z y m u j e s i ę
^ (k ) UJ2 (iC ) (k = 1 , 2 , . . . ( 2 6 )
S t o s u j ą c r ó w n a n i e ( 2 6 ) można w y z n a c z y ć k r z y w ą c z ę s t o ś c i d r g a ń swob odnyoh ( k r z y w a s z k i e l e t o w a ) d l a w y z n a c z o n y o h d o ś w i a d o z a l n i e k rz y w y o h r e z o n a n s o - wyoh u k ł a d u ( r y s . 3 ) .
Z r ó w n a n i a ( 1 5 ) w y n i k a , że k s z t a ł t t e j k r z y w e j z a l e ż y od c h a r a k t e r y s t y k i s p r ę ż y s t e j więzów S ( x ) . Zauważmy, że I s t n i e j e m o ż l iw o ś ć d o b o r u z a ró w n o d y n a m i c z n e j c h a r a k t e r y s t y k i s p r ę ż y s t e j S ( x ) j a k i c h a r a k t e r y s t y k i t ł u m i e n i a R ( x , x ) . W tym c e l u w y k o r z y s t u j e m y d o ś w i a d c z a l n i e w yzn ao zo n y z b i ó r k r z y w y c h r e z o n a n s o w y c h o r a z k r z y w ą c z ę s t o ś o i d r g a ń swobodnyoh (k r z y w a
s z k i e l e t o w a ) .
Z a k ł a d a j ą o a n a l i t y c z n o ś ć f u n k c j i S ( x ) p r z y w arunkach. ( 2 ) . p r z y j m u j e m y d l a S ( x ) n a s t ę p u j ą c e r o z w i n i ę c i e
S i x ) = j F ( x ) = ~ (a .,x + a^x-3 + a^ x5 + . . . ) ( 2 7 )
S t o s u j ą c t y l k o p i e r w s z e dwa w y r a z y s z e r e g u ( 2 7 ) o t r z y m u j e s i ę
S ( x ) =oc x + /S i- * , ( 2 8 )
g d z i e
Po p o d s t a w i e n i u ( 2 8 ) i ( 9 ) do ( 1 5 ) i s o a ł k o w a n i u o t r z y m u j e s i ę
p ^ = OC + j t y S A 2 . ( 2 9 )
P o d s t a w i a j ą o do r ó w n a n i a ( 2 9 ) w s p ó ł r z ę d n e (A ,p > o d p o w i e d n i o d o b r a n y c h p u n k tó w k r z y w e j o z ę s t o ś o i d r g a ń s w o b o d n y c h , o t r z y m u j e s i ę j ( j » 1 , 2 ) r ó w n ań na w s p ó ł o z y n n i k i CC i A d y n a m i c z n e j c h a r a k t e r y s t y k i s p r ę ż y s t e j S ( x ) s
( 3 0 )
12 J u l i a n Z i e l i ń s k i U k ł a d r ó w n a ń ( 3 0 ) n a l e ż y d o b r a ć t a k , a by po j e g o r o z w i ą z a n i u i p o d s t a w i e n i u w a r t o ś c i w s p ó ł c z y n n i k ó w oc i y3 do ( 2 9 ) r u n k o j a t a a p r o k s y m o w a ł a w s p o s ó b o p t y m a l n y w y z n a c z o n ą d o ś w i a d c z a l n i e k r z y w ą c z ę s t o ś c i d r g a ń sw obodnych u k ł a d u ( r y s . 3 ) .
K rz ywa c z ę s t o ś c i d r g a ń sw obodnych p r z e o i n a k rzyw e r e z o n a n s o w e w p u n k t a c h I , X I , I I I , . . . ( r y s . 4 ) . D la w y m ie n i o n y c h punktó w s p e ł n i o n y j e s t w a r u n e k
6lJV = Pv (y = I , I I , I I I . . . ) ( 3 1 )
P o d s t a w i a j ą c ( 3 1 ) o r a z o d p o w i a d a j ą c e punkto m I , I I , I I I , . . . a m p l i t u d y d r g a ń A>7 (V = I , I I , I I I , . . . ) do r ó w n a n i a ( 2 0 ) o t r z y m u j e s i ę
Zauważmy, że i s t n i e j e m o ż l iw o ś ć d o b o r u c h a r a k t e r y s t y k i t ł u m i e n i a więzów R ( x , x ) w y k o r z y s t u j ą c w tym c e l u r ó w n a n i a ( 6 ) , ( 1 9 ) , ( 3 2 ) . M i e r z ą c k ą t p r z e s u n i ę c i a fa z o w e g o ® m ię d z y x ( t ) i f ( t ) d l a k a d ż e j c z ę s t o ś c i wymu
s z e n i a UJ s p o r z ą d z a m y w y k r e s f u n k o j i (i>) ( r y s . 5 ) .
Wobec z a ł o ż o n e j a n a l i t y c z n o ś c i f u n k c j i R ( x , x ) o r a z n a ł o ż o n y c h na n i ą wa
runków ( 3 ) p r z y j m i e m y d l a R ( x , x ) n a s t ę p u j ą c e r o z w i n i ę c i e
R ( x , x ) = i 'P ( x , x ) = b 1x + b 2x 2x . ( 3 3 )
Po p o d s t a w i e n i u ( 3 3 ) do ( 1 9 ) i s o a ł k o w a n i u o t r z y m u j e s i ę
J 1 = b 1 + ę b 2A2 . ( 3 4 )
P o r ó w n u j ą c s t r o n a m i r ó w n a n i a ( 3 2 ) . i ( 3 4 ) o t r z y m u j e s i ę
r j = b 1 + r b2 4 * ( v = I , I I , I I I , . . . ) ( 3 5 )
P o d s t a w i a j ą c do r ó w n a n i a ( 3 5 ) w s p ó ł r z ę d n e A y, p y o d p o w i e d n i o d o b r a n y c h p u n k tó w p r z e c i ę c i a s i ę k r z y w e j o z ę s t o ś c i d r g a ń sw ob o d n y ch z k rzy w y m i r e z o n a n so w y m i o t r z y m u j e s i ę u k ł a d dwu ró w n a ń a l g e b r a i o z n y o h na w s p ó ł o z y n n l - k i b^ i b 2 . U k ł a d ró w n a ń ( 3 5 ) n a l e ż y d o b r a ó t a k , a b y po j e g o r o z w i ą z a n i u i p o d s t a w i e n i u w s p ó ł c z y n n i k ó w do ( 3 4 ) , a n a s t ę p n i e ( 3 4 ) do ( 1 8 ) f u n k c j a
( 1 8 ) a p r o k s y m o w a ł a w s p o s ó b o p t y m a l n y k r z y w ą P 0 = P 0 (CJ).Wyznaozone w s p ó ł c z y n n i k i b^ i b 2 f u n k c j i ( 1 8 ) b ę d ą r ó w n o c z e ś n i e w s p ó ł c z y n n i k a m i p o s z u k i w a n e j c h a r a k t e r y s t y k i t ł u m i e n i a (33 ) .
LITERATURA
1 . J . N . MAC DUFF 1 J . R . CURRERI - Y i b r a t i o n o o n t r o l , Mo Graw - H i l l Book Company, New Y ork—T o r o n t o ~ L o n d o n , 1 9 5 8 .
2 . W . J . CUNNINGHAM - I n t r o d u o t l o n t o n o n l i n e a r a n a l y s i s , Mao G r a w - H i l i Book Company, New Y o r k - T o r o n t o - L o n d o n , 1 9 5 8 .
14 J u l i a n Z i e l i n s k i
AHAJtt.3 PE3OHAH0HUX KPKBiK KWiEBATEJIbHOL OkUTEiJU CiEJI-ACAUUlli HEJiliHEiiHOVi XAPAKTEB.UTl.KOh LBLLEHDi
P e 3 k m e
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AN ANALYSIS OF THE RESONANCE CURVES OF THE VIBRATIONAL SYSTEM WITH NONLINEAR CHARACTERISTICS OF MOTION
S u m m a r y
Ad a o t i o n o f t h e f o r o e s on th e v i b r a t i o n a l sy s te m w ith n o n lin e a r e l e s - t l o c o n t r a c t i o n s oau aea e f f e o t d i f f e r e n t th a n In oaae o f l i n e a r s y s t e m . T h e r e f o r e , o b t a i n i n g o f t h e fu n d a m en ta l I n fo r m a tio n on b e h a v io u r o f th e sy s te m d u r in g f o r c e d v i b r a t i o n s , ' n e o e s s a r y f o r d e s ig n o f v i b r a t i o n a l ma- o h ln e s w ith n o n lin e a r e l a s t i o o o n t r a o t io n s r e g u l r e s a n a l y s i s o f th e non
l i n e a r d y n a m ica l e q u a t io n s o f m o t io n . For th e p u rp ose know ledge o f th e f u n o t i o n s c a l l e d d y n a m io a l o h a r a o t e r l a t i e a o f o o n t r a o t io n s I s n e o e s s a r y .
In th e paper h a s b een d e s o r lb e d t h e a p p ro x im a te method o f d e te r m in a t i o n o f th e f u n o t io n s m en tio n ed a b o v e , b a sed on a n a l y s i s o f th e r e s o n a n o e c u r v e s o f sy s te m w it h one d e g r e e o f fr e e d o m .
