Podstawy automatyki i sterowania I

(1)

Podstawy automatyki i sterowania I

Wykład 4: Opis ciągłych układów dynamicznych w przestrzeni stanu i za pomocą schematów blokowych

Paweł Malczyk

Zakład Teorii Maszyn i Robotów Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska

24 października 2019 r.

(2)

Plan prezentacji

1 Równania stanu i wyjścia

2 Własności równań stanu

3 Schematy blokowe

4 Reguła wzmocnień Masona

5 Podsumowanie

(3)

Równania stanu i wyjścia

1 Równania stanu i wyjścia Koncepcja stanu układu Nieliniowości

Linearyzacja funkcji skalarnej wielu zmiennych Linearyzacja równań stanu i wyjścia

Przykład

3 Schematy blokowe

5 Podsumowanie

(4)

Koncepcja stanu układu

 Definicja 1 (Stan układu) Najmniejszy liczebnie zbiór wielkości (zmiennych stanu), określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań, który jest wystarczający do przewidzenia przebiegu procesu w przyszłości.

 Komentarz 1

Układy statyczne (bez pamięci).

Układy dynamiczne (układy przyczynowe,z pamięcią).

Znajomość stanu x(t0) oraz wymuszeń u(t) dla t ≥ t0

wystarcza do określenia przebiegów odpowiedzi y(t) i stanux(t)dla czasut≥ t0.

Fig. 1:Koncepcja stanu układu

(5)

Koncepcja stanu układu - przykład

Wydatek wyjściowy y(t) = QO(t) zależy od wartości wydatku wejściowego u(t) = QI(t) (przyczynowość).

Stan układu, np. wysokość słupa cieczy, x(t0) = H(t0), określa skutki przeszłych oddziaływań (pamięć).

Znajomość stanux(t0)oraz wymuszeń u(t) dla t ≥ t0 pozwala na wyznaczenie odpowiedzi y(t) dla t≥ t0.

Fig. 2:Układ przepływowy

 Jak zmienia się stan układu w zależności od bieżącego stanu i wymuszeń?

 Jaki jest przebieg odpowiedzi, w zależności od bieżącego stanu i wymuszeń?

(6)

Równania stanu i wyjścia

Fig. 3:Schemat blokowy układu nieliniowego

Równania stanu ˙x(t) = f(x, u, t), x(0) = x0 (1)

Równania wyjścia y(t) = g(x, u, t) (2)

 Komentarz 2

Gdy funkcjefignie zależą jawnie od czasu, tociągły układ dynamiczny(CUD) nazywamynieliniowym układem stacjonarnym.

 Komentarz 3

Na ogół jesteśmy zainteresowani zachowaniem układu wokół pewnego punktu równowagi→linearyzacja.

(7)

Nieliniowości

Układ jest nieliniowy, jeśli nie jest spełnionazasada superpozycji.

Różneźródła nieliniowościw układach fizycznych (np. luzy, saturacja, tarcie, odkształcalność).

Linearyzacja to proces znajdowania modelu liniowego, który aproksymuje nielinowy wokół pewnegopunktu równowagi.

Modele zlinearyzowane dobrze aproksymują zjawiska nieliniowe tylko w zakresie otoczenia punktu równowagi.

Linearyzacja bazuje na rozwinięciu funkcji nieliniowej wszereg Taylora w otoczeniu punktu pracy i pominięciu wyrazów wyższego rzędu.

(8)

Linearyzacja funkcji skalarnej wielu zmiennych

Rozważmy skalarną funkcjęnargumentówv = [v1,· · · , vn]^T:

z = h(v1,v2,· · · , vn) =h(v) (3) Jeśli warunki nominalne (pracy)oznaczymy jakov_∗, to funkcję hmożna rozłożyć w szereg Tayloraw otoczeniu punktu pracy.

∆z =

∂h

∂v1

∗

∆v1+· · · +

∂h

∂vn

∗

∆vn+w.w.r.≈

∂h

∂v

T

∗

∆v (4)

∆z = z− z∗,z_∗=h(v_∗)

∆vi =vi− vi∗,i = 1,· · · , n

∆v = v− v_∗

_∂h

∂v

∗= h∂h

∂v1,· · · ,_∂v^∂h_niT

∗.

Fig. 4:Linearyzacja funkcji skalarnej

(9)

Linearyzacja równań stanu i wyjścia

Rozważmy nieliniowy układ równań stanu i wyjścia.

˙x = f(x, u) (5)

y = g(x, u) (6)

gdzieup×1,xn×1,y_q_×1. Ponadto,f = [f1,· · · , fn]^Torazg = [g1,· · · , gq]^T. Niech będą określonewartości nominalneu = u_∗andx = x_∗. Dla stałego wektorau_∗,stan równowagix_∗wyznaczymy jako:

˙x_∗=f(x_∗,u_∗) =0 (7) Sygnał wyjściowy odpowiadający wartościom nominalnym.

g(x_∗,u_∗) =y_∗ (8)

Małe odchylenia odwartości nominalnychx_∗,u_∗,y_∗, dla których (7), (8) są spełnione, definiujemy jako:

x = x_∗+ ∆x, u = u_∗+ ∆u, y = y_∗+ ∆y (9)

(10)

Linearyzacja równań stanu i wyjścia

Podstawmy relacje (9) do równań stanu (5) i wyjścia (6).

˙x = ˙x_∗ + ∆ ˙x = f(x_∗+ ∆x, u_∗+ ∆u)≈

≈ f(x∗,u_∗) +

h_∂f

∂x

i

∗

∆x +

h_∂f

∂u

i

∗

∆u (10)

y = y_∗ + ∆y = g(x_∗+ ∆x, u_∗+ ∆u)≈

≈ g(x∗,u_∗) +

h_∂g

∂x

i

∗

∆x +

h_∂g

∂u

i

∗

∆u

(11)

Zlinearyzowane równania stanu i wyjścia przyjmują postać:

∆ ˙x = A∆x + B∆u, ∆y = C∆x + D∆u (12) gdzieAn×n = _∂f

∂x

∗,Bn×p = _∂f

∂u

∗,Cq×n = h∂g

∂x

i

∗orazDq×p = h∂g

∂u

i

∗ są stałymimacierzami Jacobiegowyznaczonymi w punkcie pracy.

(11)

Linearyzacja równań stanu i wyjścia

Zauważmy, że_∂f

∂x

∗oraz_∂f

∂u

∗są macierzami Jacobiego funkcjifwzględemx orazu. Są one wyznaczane w punkcie pracyx_∗,u_∗.

∂f

∂x=







∂f1

∂x1

∂f1

∂x2 · · · _∂x^∂f¹_n

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2 · · · _∂x^∂f²_n ... ... ... ...

∂fn

∂x1

∂fn

∂x2 · · · _∂x^∂fⁿ_n





^,

∂f

∂u=







∂f1

∂u1

∂f1

∂u2 · · · _∂u^∂f¹_p

∂f2

∂u1

∂f2

∂u2 · · · _∂u^∂f²_p ... ... ... ...

∂fn

∂u1

∂fn

∂u2 · · · _∂u^∂fⁿ_p





 ⁽¹³⁾

Podobną strukturę mają macierze Jacobiego,^∂g_∂xoraz^∂g_∂u.

∂g

∂x =







∂g1

∂x1

∂g1

∂x2 · · · ^∂g_∂x_n¹

∂g2

∂x1

∂g2

∂x2 · · · ^∂g_∂x²_n ... ... ... ...

∂gq

∂x1

∂gq

∂x2 · · · ^∂g_∂x^q_n





^,

∂g

∂u=







∂g1

∂u1

∂g1

∂u2 · · · ^∂g_∂u¹_p

∂g2

∂u1

∂g2

∂u2 · · · ^∂g_∂u²_p ... ... ... ...

∂gq

∂u1

∂gq

∂u2 · · · ^∂g_∂u^q_p





 ⁽¹⁴⁾

(12)

Komentarze

Fig. 5:Układ nieliniowy i zlinearyzowany

 Komentarz 4 Układ zlinearyzowany wyraża relacje pomiędzy perturbacjami wejścia, wyjścia i stanu układu nieliniowego.

(13)

Przykład

 Przykład 1 Dany jest układ przedstawiony na rysunku 6.

1 Wyprowadzić równania ruchu dla układu oraz zapisać w formie równań stanu.

2 Znaleźć punkty równowagi.

3 Znaleźć model zlinearyzowany.

4 Demo . Fig. 6: Wahadło matematyczne.

Długośćl = 1m, masam = 1kg, g = 9.81^m_s2, moment napędowyτ

Równania ruchu przyjmują postać (suma momentów względem punktuO):

ml²θ +¨ mgl sin θ = τ → θ =¨ u− ω²sin θ gdzieu = _ml^τ2 – sygnał wejściowy,ω =

qg

l – częstość drgań własnych.

Założenie: sygnałem wyjściowym jest kąt obrotu y = θ.

(14)

Przykład

Równania stanu dlax1= θ,x2= ˙θ:

˙x =

x˙1

x˙2

=

x2

u− ω²sinx1

=f(x, u) Załóżmy, że nominalny moment napędowy u_∗=0. Szukamy stanu równowagi˙x_∗=0.

f(x_∗,u_∗) =0 ⇒ x∗=

±nπ 0

dla n = 0, 1, 2,· · ·

Wybieramy punkt równowagix_∗= [0, 0]^T. _{Fig. 7:}Wahadło matematyczne

A =

"

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2

#

∗

=

0 1

−ω²cosx1∗ 0

, B =

_∂f₁

∂f∂u2

∂u

∗

=

0 1

Model

zlinearyzowany

∆ ˙x =

x˙1

x˙2

=A∆x + B∆u =

0 1

−ω² 0

∆x +

0 1

∆u y = C∆x + D∆u =

1 0

∆x + [0]∆u

(15)

Przykład

Fig. 8:Odpowiedź wahadła w przypadku modelu liniowego i nieliniowego dlaτ =1Nmorazτ =4Nm

(16)

Własności równań stanu

2 Własności równań stanu Schemat blokowy

Transmitancja operatorowa a równania stanu

3 Schematy blokowe

5 Podsumowanie

(17)

Równania stanu i wyjścia

Równania stanu (5) i równania wyjścia (6) można zlinearyzować wokół położenia równowagi (punktu pracy), aby otrzymać

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 (15)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (16)

A∈ Rⁿ^×n– macierz stanu,B∈ Rⁿ^×p– macierz wejścia,C ∈ R^q^×n– macierz wyjścia,D∈ R^q^×p– macierz transmisyjna układu.

 Komentarz 5 Jeśli macierzeA,B,CandDnie są bezpośrednio zależne od czasut, to układ (15), (16) jestliniowym układem stacjonarnym (LUS).

+ + +

+ +

Fig. 9:Schemat blokowy ciągłego liniowego układu stacjonarnego

(18)

Transmitancja operatorowa a równania stanu

Rozważmy równania stanu i wyjścia dla LUS postaci:

˙x = Ax + Bu, x(0) = x0 oraz y = Cx + Du (17) Transformata Laplace’a równań (17) przyjmuje postać:

sX(s)− x0=AX(s) + BU(s) → X(s) = (sI − A)⁻¹(BU(s) + x0) (18)

Y(s) = CX(s) + DU(s) (19)

Podstawmy wyniki z równania (18) do relacji (19), aby dostać:

Y(s) =

C(sI− A)⁻¹B + D

| {z }

=G(s)

U(s) + C(sI− A)⁻¹x0=Yss(s) + Ytr(s) (20)

 Komentarz 6 Odpowiedź całkowita Y(s) układu jest sumą odpowiedzi ustalonejYss(s)oraz odpowiedzi przejściowejYtr(s).

 Komentarz 7 Transmitancja operatorowa jest zdefiniowana dlazerowych warunków początkowych(x0=0), zatem ...

(19)

Transmitancja operatorowa a równania stanu

... transmitancja operatorowa ma postać:

G(s) = C(sI− A)⁻¹B + D (21)

 Komentarz 8

Relacja (21) pozwala na przekształcenie modelu CUD danego w postaci równań stanu i wyjścia do opisu transmitancyjnego (jednoznaczność).

 Komentarz 9

Zauważmy, że prawa strona równania (21) zawiera odwrotność(sI − A)⁻¹. Zatem macierzG(s)można wyrazić jako:

G(s) = Q(s)

|sI − A|

gdzeQ(s)jest wielomianem zmiennejs(macierz dopełnienia algebraicznego), aN(s) =|sI − A|jestwielomianem charakterystycznymtransmitancjiG(s).

 Komentarz 10Wartości własnemacierzyAtobiegunytransmitancjiG(s).

 Komentarz 11 Przekształcenie modelu transmitancyjnego do postaci równań stanu i wyjścia jest niejednoznaczne.

 Praca domowa 1 Wyznaczyć transmitancję operatorową układu z rys. 6 korzystając z relacji 21. Gdzie są położone bieguny układu?

(20)

Schematy blokowe

3 Schematy blokowe Wprowadzenie Połączenie szeregowe Połączenie równoległe

Układ z pętlą sprzężenia zwrotnego Użyteczne transformacje

5 Podsumowanie

(21)

Wprowadzenie

Schematy blokowe stosuje się do graficznego przedstawienia zależności występujących w układach automatyki.

Fig. 10:Przykład schematu blokowego (Matlab/Simulink)

(22)

Połączenie szeregowe

Fig. 11:Trzy rodzaje elementów:liniowe elementy dynamiczne,węzły sumująceorazwęzły zaczepowe

Fig. 12:Szeregowe połączenie elementów

Z definicji transmitancji operatorowej można zapisać:

G1(s) = Z1(s)

U(s), G2(s) =Z2(s)

Z1(s),· · · , Gn(s) = Y(s)

Z_n−1(s) (22) Mnożąc przez siebie poszczególne transmitancje dostajemy:

G(s) = Y(s)

U(s)=G1(s)G2(s)· · · Gn(s) (23)

 Komentarz 12 Transmitancja układu elementów połączonych szeregowo jest równa iloczynowi transmitancji poszczególnych elementów.

(23)

Połączenie równoległe

SygnałYi(s)można zapisać jako:

Yi(s) = Gi(s)U(s), i = 1,· · · , n (24) Sygnał wyjściowy jest równy sumie indywidualnych składnikówYi(s):

Y(s) = Xn

i=1

Yi(s) (25)

Fig. 13:Równoległe połączenie elementów

Biorąc pod uwagę wzór (24) powyższa formuła przyjmuje postać:

Y(s) = Y1(s) + Y2(s) +· · · + Yn(s) = Xn

i=1

Gi

!

U(s) (26)

 Komentarz 13 Przy połączeniu równoległym transmitancja wypadkowa układu jest równa sumie (z uwzględnieniem znaków) transmitancji poszczególnych elementów.

(24)

Układ z pętlą sprzężenia zwrotnego

Rozważmy wyrażenie na uchyb regulacjiE(s):

E(s) = R(s)− B(s) =

=R(s)− G2(s)Y(s) (27) Sygnał wyjściowy ma postać:

Y(s) = G1(s) E(s) (28) Fig. 14:Układ z ujemną pętlą sprzężenia zwrotnego

Wstawmy (27) do (28), aby dostać:

Y(s) = G1(s)(R(s)− G2(s)Y(s)) (29) Wyznaczmy sygnałY(s):

(1 + G1(s)G2(s))Y(s) = G1R(s) (30)

(25)

Układ z pętlą sprzężenia zwrotnego

W rezultacie transmitancja zastępcza układ ma postać:

G(s) = Y(s)

R(s) = G1(s)

1 + G1(s)G2(s) (31)

Fig. 15:Układ z ujemną pętlą sprzężenia zwrotnego

 Komentarz 14 Zauważmy, że mianownik transmitancji operatorowej (31) stanowirównanie charakterystyczneukładu, tj.N(s) = 1 + G1(s)G2(s).

 Komentarz 15

Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym dodatnim ma postać:

G(s) = Y(s)

R(s) = G1(s)

1− G1(s)G2(s) (32)

(26)

Układ z pętlą sprzężenia zwrotnego + zakłócenie

Całkowita odpowiedź dla LUS:

Y(s) = YR(s)|_D(s)=0+YD(s)|_R(s)=0 (33)

Trans.układu zamkniętegoGR(s)

Trans.zakłóceniowaGD(s) _{Fig. 16:}Uproszczony schemat układu regulacji z idealnymi przetwornikami pomiarowymi

GR(s) = YR(s)

R(s) = C(s)G(s)

1 + C(s)G(s), GD(s) =YD(s)

D(s) = G(s)

1 + C(s)G(s) (34)

Odpowiedź całkowitaY(s):

Y(s) =

|GR|≈1

z }| {

C(s)G(s) 1 + C(s)G(s)R(s) +

|GD|≈0

z }| {

G(s)

1 + C(s)G(s)D(s) (35) Dla|C(s)G(s)| >> 1dostajemy:

n |GR(s)| ≈ 1 ⇒ YR(s)≈ R(s) (nadążanie za wejściem)

|GD(s)| ≈ 0 ⇒ YD(s)≈ 0 (redukcja zakłóceń) (36)

(27)

Użyteczne transformacje

(28)

Reguła wzmocnień Masona

3 Schematy blokowe

4 Reguła wzmocnień Masona Wprowadzenie

Podstawowe definicje Reguła Masona Przykłady

5 Podsumowanie

(29)

Wprowadzenie

Alternatywna i zwarta notacja przedstawiania schematów blokowych za pomocą grafów przepływu sygnałów – Mason (1953, 1956).

Graf przepływu sygnałów (GPS) składa się z węzłów, które są połączone skierowanymi gałęziami (krawędziami).

GPS można stosować tylko do układów liniowych.

Równania, dla których rysuje się GPS muszą być relacjami algebraicznych o charakterze przyczynowo-skutkowym.

Węzływ GPS reprezentują poszczególnesygnały, agałęzie–transmitancje opisujące związki między sygnałami.

Sygnały mogą przepływać wzdłuż gałęzi tylko w kierunku oznaczonym strzałką.

(30)

Podstawowe definicje

Fig. 17:Układ z dwoma ścieżkami. a) Schemat blokowy; b) Graf przepływu sygnałów

 Definicja 2 (Ścieżka) Ścieżka – droga sygnałów stanowiąca zbiór występujących po sobie gałęzi, którymi sygnały kolejno przepływają i tylko jeden raz przechodzą przez poszczególne węzły.

 Definicja 3 (Kaskada)

Ścieżka zaczynająca się w węźle źródłowym i kończąca się w węźle odbiorczym.

 Definicja 4 (Pętla)

Ścieżka, która zaczyna się i kończy w tym samym węźle.

(31)

Podstawowe definicje

Fig. 18:Układ z dwoma ścieżkami. a) Schemat blokowy; b) Graf przepływu sygnałów

 Definicja 5 (Wzmocnienie ścieżki) Wzmocnienie ścieżki jest iloczynem wzmocnień związanych z poszczególnymi gałęziami tworzącymi ścieżkę.

 Definicja 6 (Wzmocnienie pętli) Wzmocnienie pętli jest iloczynem wzmocnień związanych z poszczególnymi gałęziami tworzącymi pętlę.

 Definicja 7 (Niestykające się elementy) Dwie pętle, ścieżki, bądź pętlą i ścieżka nie stykają się ze sobą, jeśli nie mają wspólnych węzłów.

(32)

Reguła Masona

G(s) = Y(s) U(s)=

Pn k=1Pk∆_k

∆ (37)

gdzie

n– liczba ścieżek łączących wejście z wyjściem.

Pk– transmitancjak–tej kaskady.

∆– wyznacznik grafu.

∆ =1−X suma transmitancji wszystkich pojedynczych petli +

X suma iloczynow transmitancji wszystkich możliwych kombinacji po dwie niestykające się pętle −

X suma iloczynow transmitancji wszystkich

możliwych kombinacji po trzy niestykające się pętle +· · ·

∆_k– wyznacznik∆obliczany dla tej części schematu, która nie styka się zk-tą kaskadą (ściężką pomiędzy wejściem a wyjściem).

(33)

Przykład

 Przykład 2 Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu z rysunku 19.

Występują dwie kaskady:

P1=G1F1, P2=G2F2

Odnajdujemy również dwie pętle:

L1=−G1H1, L2=−G2H2

Fig. 19:Schemat blokowy

Wyznacznik:

∆ =1− (L1+L2) +L1L2=1 + G1H1+G2H2+G1H1G2H2

∆₁=1− L2=1 + G2H2, ∆₂=1− L1=1 + G1H1

Stosując regułę Masona dostajemy:

G(s) = Y(s)

U(s) = P1∆₁+P2∆₂

∆ = G1F1(1 + G2H2) +G2F2(1 + G1H1) 1 + G1H1+G2H2+G1H1G2H2

(34)

Zagadnienia kontrolne

1 Co to jest stan układu? Podaj przykłady.

2 Podaj przyczyny, dla których układy dynamiczne modeluje się za pomocą zmiennych stanu.

3 Sformułuj równania stanu i wyjścia dla CUD.

4 Wyjaśnij, z jakich powodów linearyzujemy modele układów fizycznych?

5 Przedyskutuj procedurę linearyzacji funkcji skalarnejnzmiennych.

6 Jak linearyzujemy nieliniowe równania stanu i wyjścia?

7 Związek pomiędzy opisem CUD w przestrzeni stanu i za pomocą transmitancji.

8 Wyjaśnij, z jakich powodów stosujemy w automatyce schematy blokowe.

9 Jakie są podstawowe komponenty stosowane w budowaniu schematów blokowych dla liniowych układów stacjonarnych.

10 Wyprowadź wzory na transmitancje zastępcze połączenia szeregowego, równoległego oraz ze sprzężeniem zwrotnym.

11 W jaki sposób można dokonać uproszczeń schematów blokowych?

12 Wyjaśnij, jak poprzez dobór regulatora w układzie regulacji można wpływać na nadążanie za sygnałem referencyjnym i jednoczesne tłumienie zakłóceń?

13 Co to jest graf przepływu sygnałów (GPS)? Jak wyglądają związki pomiędzy GPS a schematem blokowym?

14 Wyjaśnij, co to jest reguła Masona.

(35)

Podsumowanie

3 Schematy blokowe

5 Podsumowanie