Prace Instytutu Maszyn Matematycznych. R. 11, z. 1

1 1969

rok XI

JiOHOCNIK RZĄDU D/S BI.KKTRONICZHBJ TECHNIKI OBLICZENIOWEJ

P R A C E

Instytutu Maszyn Bat a nat y o sny ci

Rok XI Zeszyt 1

Warszawa 1969

INSTYTUT MASZYN MATEMATYCZNYCH DZIAŁOWY OŚRODEK EJTB

Copyright © 1969 - by Instytut Maszyn Matematycznych Polani

Wszelkie prawa zastrzeżone

Komitet Redakcyjny

Bartłomiej GŁOWACKI, Jerzy GRADOWSKI /redaktor naczelny/, Andrzej K0JEK5KI, 'Włodzimierz MARDAL /z-ca redaktora/, Jan RELUGA

Sekretarz redakcji) Romana NUROWSKA

Adres redakcji» Warszawa, ul. Krzywickiego 34, tel. 28-37-29.

W.D.N - Zam. 168/0/69. Nakł. 320+20 egz.

PEACE IHJi Zeszyt 1

© 1969.01

681.325.55.023.001.24

NIEKTÓRE METODY ZMNIEJSZANIA EFEKTYWNEGO CZASU PROPAGACJI PRZENIESIEŃ W SUMATORACH RÓWNOLEGŁYCH

Stanisław MAJERSKI Pracę złożono 17.02.1968 r.

RÓWNOLEGŁYCH

Przedmiotem opracowania jest zagadnienie minimalizacji efektywnego czasu propagacji przeniesień w binarnych sumatorach równoległych. Czas ten decyduje w dużym stopniu o szybkości działań arytmetycznych równoleg­

łych maszyn cyfrowych. Przegląd ważniejszych metod zmniejszania czasu propagacji przeniesień przeprowa­

dzono w części I opracowania.

Do najkorzystniejszych metod zmniejszania maksymalnego czasu propagacji należy stosowanie układów przeskoków przeniesień. W częśoi II opracowania przedstawiono me­

tody wyznaczania optymalnych rozkładów przeskoków przeniesień w sumatorach, w zakresie rozkładów o nie­

wielkiej liczbie przeskoków.

Tematem części III są metody wykrywania zakończenia propagacji przeniesień. Omówiono ni.ektóre niedociąg­

nięcia kilku znanych z literatury rozwiązań wykrywania i przedstawiono metody odpowiednio zmodyfikowane.

SPIS TREŚCI

w s t ę p... 7

Część I. PRZEGLĄD METOD ZMNIEJSZANIA EFEKTYWNEGO CZASU PROPAGACJI PRZENIESIEŃ ... 13

1. WPROWADZENIE ... 13

2. METODA PAMIĘTANIA PRZENIESIEŃ ... 16

3. METODA RÓWNOCZESNYCH PRZENIESIEŃ ... 20

4. METODA PRZESKOKÓW PRZENIESIEŃ ... 21

5. METODA RÓŻNIC SYMETRYCZNYCH... /... 23

6 . METODA PIRAMIDY PRZENIESIEŃ ... 24

7. METODA SUM WARUNKOWYCH... 27

8 . ZAKOŃCZENIE ... 30

Część II.’DOBÓR OPTYMALNYCH ROZKŁADÓW PRZESKOKÓW PRZENIESIEŃ W SU­

MATORZE ... ... ... 31

1. WPROWADZENIE.... ... •••••.... ... . 31

2 . DEFINICJE I OZNACZENIA... ... ... 36

3. PRZESKOKI JEDNOWARSTWOWE W SUMATORZE S1 BEZ PRZENIESIEŃ CYK­ LICZNYCH ... ... 42

4 . PRZESKOKI JEDNOWARSTWOWE W SUMATORZE S2 BEZ PRZENIESIEŃ CYK­ LICZNYCH ... ... .... 45

5 . PRZESKOKI DWUWARSTWOWE W SUMATORZE S1 BEZ PRZENIESIEŃ CYKLICZ­ NYCH ... . 47

6 . PRZESKOKI DWUWARSTWOWE W SUMATORZE S2 BEZ PRZENIESIEŃ CYKLICZ­ NYCH ... ... ... 50

7. PRZESKOKI JEDNOWARSTWOWE W SUMATORZE S1 Z PRZENIESIENIAMI CYK­ LICZNYMI -... . 54

3. PRZESKOKI JEDNOWARSTWOWE W SUMATORZE S2 Z PRZENIESIENIAMI CYK­ LICZNYMI ... ... ... ... 58

9. PRZESKOKI DWUWARSTWOWE W SUMATORZE S1 Z BIZZNIESIENIAMI CYKLICZ­ NYMI ... ... ... ... o 62 10. PRZESKOKI DWUWARSTWOWE W SUMATORZE S2 Z PRZENIESIENIAMI CYK- LICZNYMI ... 69

11. ZAKOŃCZENIE ... 75

Część I H . WYKRYWANIE ZAKOŃCZENIA PROPAGACJI PRZENIESIEŃ W SUMATO­ RACH RÓWNOLEGŁYCH... ... ... 78

1. WPROWADZENIE... <■. 78 2. ZAŁOŻENIA, DEFINICJE I OZNACZENIA ... ... 81

3 o METODA BLOKOWANIA UKŁADU PRZENIESIEŃ... ... 85

4. METODA LINII OPÓŹNIAJĄCYCH ... 104

5. METODA UKŁADÓW RÓŻNICZKUJĄCYCH... ... ... 103

6 . ZAKOŃCZENIE ... 110

Dodatek I. UZASADNIENIE METODY WYZNACZANIA OPTYMALNEGO DWUWARSTWO­ WEGO ROZKŁADU PRZESKOKÓW PRZENIESIEŃ DLA n' '-POZYCYJ­ NEGO SUMATORA 31 BEZ PRZENIESIEŃ CYKLICZNYCH 1 . MAKSYMALNY CZAS PROPAGACJI PRZENIESIEŃ W SUMATORZB Si Z DWUWAR­ STWOWYM ROZKŁADEM PRZESKOKÓW ... ... 113

2. MAKSYMA INA LICZBA POZYCJI SUMATORA DLA DANEGO CZASU PROPAGACJI PRZENIESIEŃ PRZY ZAŁOŻENIU M - T ... 116

3. UZASADNIENIE ESZY JĘCIA ZAŁOŻENIA U - T ... *... 123

Dodatek II. ROZKŁADY PRZESKOKÓW PRZENIESIEŃ O OGRANICZGNBJ LICZBIE POZYCJI W GP.UPACH I SEKCJACH 1. PRZESKOKI JBDNOWARSTWOWB W SUMATORACH BEZ PRZENIESIEŃ CYKLICZ­ NYCH ... ... ... 133

2. PRZESKOKI DWUWARSTWOWE W SUMATORACH BEZ PRZENIESIEŃ CYKLICZ­

NYCH ... 134 3. PRZESKOKI JEDNOWARSTWOWE W SUMATORACH Z PRZENIESIENIAMI CYK­

LICZNYMI ... 136

4. PRZESKOKI DWUWARSTWOWE W SUMATORACH Z PRZENIESIENIAMI CYKLICZ­

NYMI ... 136

Literatura ... 139 Pe3BMe ...

Suninary ... ... . 143

WSTĘP

Szybkość wykonywania operacji arytmetycznych jest jednym z głównych czynników decydujących o efektywnośoi działania maszyn cyfrowyoh. Zwiększenie Jej można uzyskaó zarówno przez stosowa­

nie szybszych elementów elektronicznych Jak również przez odpo­

wiednią strukturę logiozną układów arytmetycznych.

Szybki rozwój elektroniki w ostatnich latach umożliwił osiąg­

nięcie wielokrotnie większego wzrostu szybkości operacji wewnę- trznyoh w maszynach cyfrowych niż wzrost szybkości wprowadzania i wyprowadzania informacji. Pomimo tego, wymagania na zwiększe­

nie szybkości operaoji wewnętrznych, a zwłaszcza operaoji aryt­

metycznych, znacznie wzrosły. Jest to wynikiem równie szybkiego rozwoju organizacji maszyn i metod programowania, umożliwiają­

cych budowę takioh sy3temów przetwarzania informacji, w których wiele urządzeń o znacznie różniących się szybkościach działania może praoować ze sobą bardzo efektywnie, wyrazem tego rozwoju są nowoczesne, wielo programowe i praoujące w podziale ozasu ma­

szyny i systemy maszyn, takie jak IBM 360, EELM 4, Spectra 70, CDC 6000. Powszechne w tych systemaoh stosowanie wielokrotnych układów arytmetycznych może świadczyć, że nawet przy najszyb­

szych istniejących obecnie elementach elektronioznych istnieje potrzeba zwiększania szybkośoi operacji arytmetycznych. Przema­

wia za tym także stosowanie w wielu systemach przetwarzania in­

formacji po kilka jednostek arytmetycznych. Jako przykład mogą tu służyć maszyny IBM 360/91 i 9020, a zwłaszcza maszyny CDC 6600 i 6800, posiadające wiele Jednostek arytmetyoznyoh.

Również panująoe obeonie tendencje rozwoju "architektury ma­

szyn" zakładają stosowanie dużej ilości układów arytmetycznych przy równoczesnym znaoznya skróceniu czasu wykonania operacji arytmetycznych. Przykładem tego mogą być perspektywiczne opra­

cowania takich przyszłościowych systemów przetwarzania infor­

macji jak Solomon, czy systemy iteracyjne Hollanda i Gonzalesa.

Istnieje zatem poważny problem zmniejszania czasu wykonywa­

nia operacji arytmetycznych nie tylko na drodze zwiększani,a szybkości elementów elektronicznych, ale również poprzez bar­

dziej efektywne rozwiązania struktury logicznej układów aryt-

metyoznyoh. Uwzględniając, że w większości lstnlejąoyoh obeonie typów maszyn oyfrowyoh operaoje arytmetyczne sprowadzają się do wykonania dodawania względnie określonej sekwenoji dodawań, roz­

wiązanie tego problemu polega najozęśoiej na skróceniu w sumato­

rach ozasu dodawania. O ozasie wykonania dodawania deoyduje z ko­

lei głównie ozas propagaoji przeniesień w sumatorze, a śoiślej tzw. " e f . e k t y w n y ozas propagaoji przeniesień". Pod po­

jęciem tym rozumiemy ozas p r z e z n a o z o n y w sumatorze na propagaoję przeniesień, przekraozająoy często znaoznie r z e ­ c z y w i s t y ozas propagaoji przeniesień.

Minimalizacja efektywnego ozaau propagaoji przeniesień Jest Jednym z podstawowych problemów projektowania szybkioh Jednostek arytmetycznych, a zdaniem niektórych autorów nawet problemem*oen-

tralnym /patrz praoe [15J, Dotyczy to oozy^śole projekto­

wania takich Jednostek, w któryoh, ze względu na wymaganą szyb­

kość działania konleozne jest stosowanie sumatorów równoległyoh.

W zależności od struktury logicznej sumatora e f e k t y w- n y ozas propagaoji przeniesień może być wielkością stałą lub zmienną.

W sumatoraoh równoległyoh, nie wyposażonych w układ wykrywa­

nia zakońozenia propagaoji przeniesień efektywnym czasem propa­

gaoji jest maksymalny ozas propagaoji przeniesień uwzględniają­

cy ponadto możliwe wahania ozasów propagacji elementów zastosowa­

nych w układzie przeniesień sumatora. Efektywny ozas propagaoji przeniesień, Jak również ozas oyklu pojedynczego dodawania w ta- kioh sumatoraoh, Jest wielkośoią stałą.

W sumatoraoh równoległyoh, wyposażonych w układ wykrywania zakońozenia propagaoji przeniesień, efektywnym oząsem propagaoji Jest rzeozywisty ozas propagaoji przeniesień, zwiększony tylko o ozas opóźnienia wprowadzonego przez układ wykrywania. Efektywny ozas propagaoji przeniesień, Jak również ozas oyklu pojedynozego dodawania w takioh sumatoraoh podlega dużym wahaniom, zależnym od składników dodawania. 0 wielkości tyoh wahań w sumatorze n - pozyoyjnym świadczyć może średnia długość najdłuższego z łańou- ohów propagaoji w układzie przeniesień wynosząca w przybliżeniu log2 n pozyoji w porównaniu z długośoią maksymalną wynosząoą n /względnie n-1/ pozyoji.

- 8 ^-

Umniejszenie efektywnego czasu propagacji przeniesień w sumato­

rach równoległych uzyskuje się zatem przez skrócenie maksymalnego cza3u propagacji przeniesień w przypadkach, gdy wymagana jest sta­

ła długość pojedynczego cyklu dodawania, względnie przez zastoso­

wanie układu wykrywania zakończenia propagacji przeniesień, gdy chodzi o zmniejszenie średniej statystycznej długości cyklu dodawa­

nia.

Zagadnienie minimalizacji efektywnego czasu propagacji przenie­

sień w równoległych sumatorach binarnych stanowi zasadniczy temat niniejszego opracowania. Opracowanie to składa się z trzech części, z których każda może być traktowana Jako odrębna całość.

Część I stanowi przegląd znanych z literatury metod zmniejsza­

nia e f e k t y w n e g o czasu propagacji przeniesień. W części tej omówio- nn jednak bardzo p o b i e ż n i e metodę przeskoków przeniesień oraz nie uwzględniono metody wykrywania zakończenia propagacji przeniesień.

Metodom tym, ze Yłzględu na ich duże znaczenie, poświęcono dwie po­

z o s t a ł e części niniejszego opracowania.

Metoda przeskoków przeniesień jest jedną z najbardziej korzyst­

nych metod zmniejszania maksymalnego czasu propagacji przeniesień, a zdaniem niektórych autorów nawet metodą najkorzystniejszą /patrz

¡15], [1 S j A Może byó ona stosowana w praktycznie nieograniczo­

nej ilości różnych wariantów zależnych od ilości pozycji sumatora, wymaganego czasu propagacji przeniesień, dopuszczalnych kosztów su­

matora 1 wielu innych czynników. Spośród wielu możliwych wariantów rozkładów przeskoków przeniesień, na szczególną uwagę zasługują te, które przy niewielkiej ilości układó?/ przeskoków, a więc przy nie­

wielkich kosztach, pozwalają na uzyskanie stosunkowo krótkich cza­

sów propagacji przeniesień. Optymalizacja takich rozkładów przesko­

ków jest tematem części II niniejszego opracowania. Część ta stano­

wi tłumaczenie opublikowanej w IEEE Transactions on Electronic Com­

puters pracy autora "On Determination of Optimal Distributions of Carry Skips in Adders" /patrz [łSj/. W stosunku do pracy oryginal­

nej zmieniony i rozszerzony został Jedynie rozdział 1 części II.

Metody proponowane w części II pozwalają na wyznaczenie rozkładów przeskoków przeniesień o minimalnym czasie propagacji oraz rozkła­

dów o minimalnej liczbie przeskokôv? przęniesień dla danego czasu propagacji, przy założeniu, że:

-10 -

* K ażda pozycja sumatora objęta jest oo najwyżej Jednym przesko­

kiem przeniesień,

• każda pozyoja 3umatora objęta Jest oo najwyżej dwoma przeskokami przeniesień.

Metody opracowano dla dwóoh typów sumatorów różnląoyoh się struk­

tury pozycji, a mianowicie dla klasycznego typu sumatora równoleg­

łego oraz dla bardzo oszozędnego sumatora na bramkach NOR, ale o strukturze narzuoająoej pewna dodatkowe warunki na rozkłady przesko­

ków. Rozpatrzone przy tym oddzielnie sumatory bez przeniesień cyk­

licznych i sumatory z przeniesieniami cyklioznyml. Uwzględnienie me­

tod optymallzaoji rozkładów przeskoków dla wszystkich wymienionyoh przypadków /16 różnych wariantów oplsanyoh w rozda. 3 - 1 0 ozęśoi II/ narzuciło konieczność bardzo zwięzłego opisu poszozególnych me­

tod. 2 tego względu nie przedstawiono dowodów uzasadniająoyoh te metody, a w przypadku Istnienia wielu równoważnych rozkładów przes­

koków ograniczono się do podania jednego z niob. Uzasadnienie, ze opisane metody prowadzą do rozwiązań optymalnych zwiększyłoby około trzykrotnie objętość częśoi II. Dla przykładu, uzasadnienie Jednej z omówionyoh metod podano w Dodatku I. W przedstawionych w ozęśoi II metodaoh nie uwzględniono ograniczeń na maksymalną ilość pozycji objętych wspólnym przeskokiem. Uwzględnienie ioh nie nastręoza spe­

cjalnych trudnośoi, ale wymaga modyfikacji wielu wzorów i przekra­

cza zakres niniejszej pracy. Z tego względu zagadnienie to omówio­

no jedynie w zarysie w Dodatku II.

Dobór rozkładów przeskoków przeniesień w aunatoraoh omawiany był między innymi w praoaoh [16] i [i 9]. Część II niniejszego opracowa­

nia można traktować jako kontynuację i obszerne rozwinięcie tych rozważań z praoy ¡jl 6], które dotyozyły rozkładów przeskoków oharak- teryzująoyoh się stosunkowo krótkimi ozasami propagaoji przeniesień uzyskiwanymi przy niewielkiej liozbie przeskoków. Zastosowanie po­

danych w ozęśoi II metod do sumatorów o różnej strukturze opartyoh na dwuwarstwowyoh elementaoh logiosnyoh N-OR-AND omówiono w [29] • Doboru przeskoków przeniesień w sumatorze dotyozy również praoa au­

tora [30].

Tematom ozęśoi III niniejszego opracowania są metody wykrywania zakońozenia propagaoji przeniesień w sumatorach równoległyoh umoż­

liwiające zmniejszenie średniego statyotyoznego ozasu propagaoji.

- 11 -

Część ta 8tanowi rozszerzony i przeredagowany referat autora wygło­

szony na Sympozjum Przetwarzania Danych w Pradze [26J i opublikowa­

ny następnie w "Pracach IMM". Omówiono w niej trzy metody wykrywa­

nia zakończenia propagacji przeniesień.

Pierwszą z tych metod, nazwaną metodą blokowania układu przenie­

sień, można w zasadzie traktować jako szczególny przypadek klasycz­

nej metody Gilchrisfa, Pomerene’a i Wong’a opisanej w [21J . Mimo tego uznano w niniejszej pracy za celowe obszerne jej omówienie i wyraźne sprecyzowanie dla niej warunków zapewniająoyoh poprawność wykrywania zakońozenla propagacji przeniesień. Powodem tego było stwierdzenie, że spotyka się w literaturze rozwiązania sumatorów z układami wykrywania nie zapewniającymi w każdym przypadku popraw­

nej sygnalizacji końoa propagacji. Rozwiązania takie, nie realizu- jąoe konsekwentnie zasady wykrywania podanej w [2lj , a powołująoe się na tę zasadę, opublikowano w praoaoh [19], [20] i [23]. Pakt ten wskazuje na oelowośó zwrócenia większej uwagi na sprecyzowanie warunków poprawnego działania układów wykrywania, niż uozynlono to w praoy [21] .

Dla.uzasadnienia powyższych stwierdzeń wykazano w niniejszym opraoowanlu, że przy pewnych niekorzystnych komblnaojaoh ozasów propagacji elementów sumatora, podane w [j9], [20J i [23^ rozwią­

zania wykrywania zakończenia propagacji przeniesień nie 3ą popraw­

ne. Rozwiązania te można jednak łatwo zmodyfikować w oparoiu o me­

todę blokowania w sposób pokazany na rys. 3.2b, 3.4b i 3.7b. Mody­

fikacja taka zapewnia poprawność działania układów wykrywania prak­

tycznie bez zwiększenia wyposażenia, a ozasem nawet umożliwia jego zmniejszenie.

Poza metodą blokowania układu przeniesień przedstawiono w częś­

ci III niniejszego opracowania dwie inne metody wykrywania zakończe­

nia propagacji przeniesień, a mianowioie metodę linii opóźniających i metodę układów różniczkujących. Polegają one na badaniu, ozy w oią- gu maksymalnego okresu propagacji sygnału przez Jedną pozycję suma­

tora nie uległ zmianie stan wyjść jego pozycji. W metodzie linii opóźniających badanie to polega na porównaniu aktualnego stanu wyjźć sumatora ze stanem opóźnionym o określony okres czasu, w me­

todzie układów różniczkujących na wykrywaniu skokowych zmian napięć.

- 1,2 -

Dla większośoi znanyoh rozwiązań sumatorów obie omawiane metody wy­

dają się mniej korzystne niż metoda blokowania. Niemniej mogą ist­

nieć pewne rozwiązania sumatorów, w których korzystniejsze będzie stosowanie jednej z tych metod.

Każda z omówionyoh w częśoi III metod wykrywania zakończenia pro­

pagacji przeniesień wymaga dołączenia do sumatora układu wykrywania 0 odpowiedniej strukturze, kontrolującego stany wyjść pozycji suma­

tora. Układy wykrywania dołącza się zazwyczaj do wszystkioh pozyoji sumatora. Można jednak, kosztem niewielkiego zwiększenia efektywnego czasu propagacji przeniesień, układy te znacznie uprościć 1 kontrolo­

wać kilkakrotnie mniejszą ilość pozycji sumatora. Problem ten omówio­

no również w części III w odniesieniu do każdej z trzech metod wykry­

wania.

Zastosowanie metody blokowania układu przeniesień do sumatorów o różnej strukturze, opartych na dwuwarstwowych elementach logioznyoh N-OR-AND omówiono w praoy [29], Przykładem uproszczonego rozwiązania wykrywania zakońozenia propagacji przeniesień, opartego na metodzie blokowania może być przedstawione w pracy [27] rozwiązanie sumatora na bramkach NOR z układem wykrywania kontrolującym co drugą pozyoję sumatora I zawierającym w przybliżeniu dwukrotnie mniej bramek NOR niż ilość pozycji sumatora.

Zagadnienia omawiane w niniejszym opraoowanlu i w publikowanych wcześniej ertykułaoh autora wykorzystanyoh w tym opracowaniu, dysku­

towane były na zebraniach 1 spotkaniach z praoownikami naukowymi In­

stytutu Maszyn Matematycznyoh, Instytutu Matematycznego PAN i Kate­

dry Budowy Maszyn Matematyoznyoh Politechniki Warszawskiej. Za wiele cennyoh uwag i sugestii, ktćre w dużym stopniu wpłynęły na zakres, treść i formę niniejszego opraoowania autor pragnie złożyć podzięko­

wanie prof. A. Kilińskiemu, prof. dr 1. Łukaszewiczowi, doo. dr K.

Fiałkowskiemu i doo. dr Z. Pawlakowi. Autor dziękuje rćwnież Dyrek­

cji Instytutu Maszyn Matematyoznyoh za umożliwienie mu opraoowania 1 opublikowania niniejszej pracy.

C z ę ś ć

PRZEGLĄD METOD ZMNIEJSZANIA EFEKTYWNEGO CZASU PROPAGACJI PRZENIESIEŃ

1. WPROWADZENIE

Zmniejszenie efektywnego czasu propagacji przeniesień w równole­

głych sumatorach binarnych uzyskać można, Jak wspomniano we wstępie, zarówno przez stosowanie odpowiednio szybkich elementów elektronicz­

nych, Jak również przez odpowiednią strukturę logiczną sumatorów.

Do pierwszej grupy rozwiązań należą te sumatory, w któryoh op­

rócz elementów stanaartowych, występujących również w innyoh sie­

ciach przełączających maszyny cyfrowej, stosowane są także odpowied­

nio szybkie elementy specjalne. Elementy takie spotyka się najczęś­

ciej w układach przeniesień sumatorów. Zalicza się do nich zwykle również elementy standartowe, specjalnie selekcjonowane ze względu na ozas propagacji.

Do drugiej grupy rozwiązań należą sumatory o strukturze logicz­

nej pozwalającej na uzyskanie mniejszego efektywnego ozasu propsga- cji przeniesień niż to wynika z iloozynu maksymalnego czasu propaga­

cji przeniesień pojedynczej pozycji sumatora I ilości pozycji suma­

tora.

Istnieje wiele metod zwiększania szybkości < amatorów równoległych, polegających na odpowiednim doborze ich struktury logicznej. W zależ­

ności od zasady działania układu propagacji przeniesień sumatora,, względnie zasady działania dodatkowych układów przyspieszających dołączonych do sumatora, można wyróżnić wśród nich następujące me­

tody:

a metoda pamiętania przeniesień [1] - [&],

® metoda równoczesnych przeniesień [7] - [9] ,

©metoda przeskoków przeniesień M 5] - [20], [28j - [30], i> motoda różnic symetrycznych M 0] - [12],

o metoda piramidy przeniesień [i3]>

a metoda sum warunkowych [14 ),

- 14 ^-

Istnieje również wiele modyfikacji powyższych metod, powstałych w wyniku poszukiwania optyaalnyoh rozwiązań sumatorów przy określo­

nych wymaganiach na szybkość, ilość pozyoji sumatora, rodzaj stoso- wanyoh elementów elektronieznyoh i wiele innych czynników.

Niektóre z wymienionych metod mogą być wykorzystane łąoznie w Jednym rozwiązaniu sumatora. Można mianowicie, niezależnie od sie­

bie, z powodzeniem stosować dowolną z metod zmniejszania maksymal­

nego ozasu propagaoji przeniesień /a tym sacym czasu średniego/ z równoozesnym wykrywaniem końca propagaoji przeniesień. Przykładem takiego rozwiązania jest sumator przedstawiony w [1SQ str. 71. Moż­

na również 3tosować w układzie przeniesień sumatora szybsze od standartowych elementy specjalne przy odpowiednio "szybkiej" struk­

turze logicznej tego układu. Rozwiązaniem takim jest sumator Kilbur- na opisany w [10^ 1 [j1]«

Omówimy w zarysie poszczególne metody, uwzględniając również niektóre oiekawsze ich modyflkaoJe. Opis metod poprzedzimy przypom­

nieniem kilku relaoji związanych z wykonywaniem dodawania w suma­

torach binarnyoh.

Y/eźmy pod uwagę dwie liczby całkowite dodatnie przedstawione w postaol rozwinięć binarnyoh

n n

a * 2 ] ai 21 , b - y * bŁ 21

Dla wyznaczenia ich sumy

n

/1.2/

i»0 można posłużyć się wzorem rekurencyjnym

aŁ + ^ + o± » sŁ + 2oi+1 (i * 0,1,2, ..., n) /1.3/

- ni -

przy założeniu, że °0 ” 0 oraE że si> °i przyjmują wyłąoznie

•wartości zerojedynkowe. Wyrazy we wzorze /1.3/ oznaczają prze­

niesienie. Wyróżniony wyraz oQ+1 we wzorze /1.2/ wiąże się z ayg- nalizaoją nadmiaru w maszynie cyfrowej /jak wynika a /1.1/ 1 /1.3/

zachodzi równość °n+-i " aB+i/»

Algorytm dodawraia określony przez /1.3/ może byó zrealizowany w sumatorze równoległym złożonym z n+1 sumatorów Jednopozyoyj- nyoh o strukturze opisanej wzorami boolowskimi

S^ ** D^O^ + D i^l \ D, 1 ,2, • • • t •

m aj^i + ( ^* ** •••» /1 b 5/

gdzie

Di " *1^1 + aA /1,6/

W miejsoe /1.5/ korzystać można również s wzoru

ci+1 « + (^ai + ^i)°l ( ■*" " °»1 »2 * n ) /1 «7/

2 układu k równań boo3.owskioh

^ • ai^l + ^1^*1 ^ i “ 1+1, 1+2, #Gop 1+k ) /1:&f

/porównaj /1.5// wynika, ża

°l+k+1 B al+k ^1+k

t. « ti /t.9/

+ Dl+k ^L+k-1 l+k-1

+ Di .1+k l+k-1 ^l+k-S 1+k—2 i. D

oo można zapisać krócej w postaci

°l+k+i “ al+k Dl+k + i al+mbl+m F I Dl*j)"'

m=1 \ J*m-1 /

/1.1 O k

+ °i+i F I d i+j

Należy podkreślić, że wzory /1.4/ - /1.10/ są wzorami boolcwskimi w któryoh symbole + i X dotyczą sumowania logicznego.

Przy omawianiu wzoru /1.3/ przyjęto, że c0 * O. W systemach cyfrowyoh opartych na binarnej arytmetyoe uzupełnieniowej k o r z y s ­ tne może być również dysponowanie szybkim sumatorem z przeniesie­

niami oyklicznymi, umożliwiającymi wykonanie dodawania przy zało­

żeniu c q * cn+-< • Uwaga ta ma z tego względu znaczenie dla przy­

spieszania działania sumatorów, że w zależności od zastosoT/eneJ metody, skrócenie czasu wykonania pojedynczego cyklu dodawania może być zupełnie inne dla cc * °n+-| n c o =

Z wzorów /1.1/ - /1.10/ korzystać będziemy przy omawianiu posz csególnyoh metod.

2. METODA PAMIĘTANIA PRZENIESIEŃ

Weźmy pod uwagę p + 1 całkowitych dodatnioh liczb blnarnyoh

a ( i ) . ^ ; . u ) 2i , j „ 0 ,1 ,2 , p ) /1 .1 1 / 1“ 0

1 oznaczmy ich sumę przaz s. Liczbę s można zawsze przedstawić w postaci

n+q 'r~*

s 55 2L*

i»n+l

s1 2- + '■

i = 0 3i 2 ^{/ 1}

.

/

gdzie q jest dowolną liczbą całkowitą spełniającą warunt- 2q » P > 1 -

Dodawanie stałoprzecinkowe n+1—bitowyoh liczb dodatnich rQx ("i) /p\

a > a ll/, ..., e.[pl polega na wyznaczeniu wartości bitów s< dla i - 0.1,2, .... n oraz na zbadaniu czy . +s„ _+. ... +s > 0

7 7 n+i n-f*2 n-ł-o

/zbadaniu czy występuje nadmiar/. Dodawanie takie można wykonać stosująo algorytm opisany wzorami

n

. W ♦ ■ * * • & /₁..13/

, < » . ci /1..14/

c (2)

ci + ati . (3> - s “ * ^ /i. 15/

s p - % c p - 0 + a W = ♦ 2 o (P) /I.16/

_ 18 -

DI

„ + 0i(p) - a ^ +1l 2 C ^ 1) /1.1T/

8i(P+1) + 0iCp+1) - B<P+Zl Z c ^ 71.18/

8 0>+r-1) + Ci(p+r-1) . , ^ 2 0^{^ 71.19/}

dla 1 - 0,1,2, ..., n. W powyższych wzoraoh przyjmujemy r - n, ewentualnie przyjmujemy taką liczbę r mniejszą niż n, dla któ­

rej spełniony Je3t warunek

X °i?rr) “ 0 /1.20/

i*=o

W maszynie cyfrowej, reallzaoję powyższego algorytmu dodawania można przeprowadzi<5 w układzie złożonym z n+1-pozycyjnego sumato­

ra o strukturze logioznej opisanej wzorami boolowskimi /1.4/ - /1.6/ i trzeoh n+1 pozyoyjnyoh rejestrów, które nazwiemy rejes­

trami A, C, P. Wykonanie dodawania wymaga czasu p+r taktów ze­

garowych, odpowiadających kolejnym równaniom /1.13/ - /1.19/.

Zawartość i-tej pozycji rejestrów A, C, P w kolejnych taktaoh odpowiada kolejnym wartościom w trzech kolumnach wyrazów lewej stro­

ny układu równań /1.13/ - /1.19/. W rejestrze A jest zatem naj­

pierw pamiętany pierwszy składnik dodawania, a następnie otrzymywa­

ne na wyjściach sumatora sumy częśolowe i suma końoowa. W rejes - trze C pamiętane 3ą wyprowadzane z sumatora przeniesienia, skąd wynika nazwa metody. Z rejestru P /ewentualnie wprost z pamięci/

wprowadzane są natomiast do sumatora kolejno liczby a ^ l a «..,

• • • f » a(P)*

W przypadku dodawania tylko dwóoh liczb /tj. dla p * 1/ potrzeb­

ne jest Jedynie r+1 taktów zegarowych, którym odpowiada r+1 rów­

nań należąoyoh do grup I 1 III układu równań /1.13/ - /1.19/. W przypadku takim można zastosować uproszczony sumator złożony z n+1 półsumatorów posiadających tylko po dwa wejścia odpowiadające dwóm wyrazom lewej strony każdego z równań grupy I i III,

Z powyższego opisu metody pamiętania przeniesień można wysnuć następujące wnioski:

- 19 -

• metoda nadaje się szozególnle dla maszyn cyfrowyoh o synchronicz­

nej technloe impulsowej,

• metoda pozwala, przy użyoiu niewielkich środków, na stosunkowo szybkie wykonanie dodawania wielu składników, a więo umożliwia również odpowiednio szybkie wykonanie mnożenia i dzielenia,

• metoda oharakteryzuja się dużym maksymalnym czasem propagacji przeniesień, a śoiślej maksymalnym czasem asymilacji pamiętanych przeniesień, wymagającej w sumatorze n+1 pozycyjnym n+1 tak­

tów zegarowych.

Ostatnia cecha rzutuje w dużym stopniu na maksymalny czas wyko­

nania dodawania dwóoh llozb i w znaoznie mniejszym stopniu na ozas dodawania dużej ilości liczb.

Stosowane są następująoe modyflkaoje metody pamiętania przenie­

sień:

1. Modyfikaoja uwzględniaJąoa wykrywanie końoa asymilaoji prze­

niesień polegające na sygnalizacji samyoh zer w rejestrze przenie­

sień. Zaletą Jej jest prosty układ sumatora dla dodawania dwóoh llozb i krótki średni czas dodawania, a wadą zmienna długość cza­

su dodawania.

2. Modyfikaoja polegająca na takim rozwiązaniu sumatora, w któ­

rym dwie pozyoje binarne traktowane są jako jedna pozyoja rozwinię­

cia czwórkowego. IV rejestrze przeniesień pamiętane jest wówczas oo drugie przeniesienie binarne. Rozwiązanie takie wymaga nieco bar­

dziej złożonego sumatora, ale w zamian za to rejestru przeniesień o dwukrotnie mniejszej ilośoi pozycji. Zaletą jego jest dwukrotne zmniejszenie maksymalnego czasu asymilacji przeniesień.

3. Modyfikacja analogiczna do omówionej poprzednio, z tym, że k cyfr binarnyoh traktowane są jako jedna cyfra rozwinięcia przy zasadzie 2k , Pamiętania wymaga wówczas Jedynie co k-te przenie­

sienie binarne. Wewnętrz k-pozycyjnych grup, przeniesienia dodawa­

ne są bezpośrednio przy użyciu układów przeskoków przeniesień, względnie innymi metodami. Zmniejszenie ozasu asymilaoji przenie­

sień w takim rozwiązaniu można oszacować przyjmując, że prawdopo­

dobieństwo wystąpienia przeniesień na więcej niż k kolejnych po­

zy o Jach. sumatora wynosi W praktycznych rozwiązaniach su­

- 20 -

matorów, uwzględniających ponadto 'badanie zerowego stanu rejestru .przeniesień C, asymilacja przeniesień zajmuje zwykle jeden do

dwóoh taktów zegarowych.

4. Modyfikacja polegająca na pamiętaniu jedynie przeniesień pro­

pagujących /na tych pozycjach, dla których a^b^ + ai \ = 1 bezpośrednim dodawaniu do sumy osęśoiowej przeniesień generowanych /gdy a±b1 * 1/.

Metoda pamiętania przeniesień opisana została po raz pierwszy w praoy [ij, a niektóre jej modyfikacje w [2^ - i,Ietoda ta nada­

je się zarówno dla sumatorów bez przeniesień cyklioznych jak i dla sumatorów z przeniesieniami cyklicznymi.

3. METODA RÓWNOCZESNYCH PRZENIESIEŃ

Z wzoru /1 .9/ wynika, że

°i+1 “ albi

+ Diai-Ibi-1 + DiDi-1 ai—2 bi-2

+ 1 ••• ^2 ^1^1 + Di Di-1 *** D1D1 ao bo + D1_1 ••• D2 D1 D 0 °o

Równanie boolowskie /1.21/ opisuje strukturę i-tej pozyoji uk­

ładu przeniesień sumatora, w którym przeniesienia na poszozegól- nych pozycjaoh mogą byó realizowane równooześnie i niezależnie od si?bie. Takie rozwiązanie sumatora umożliwia szybkie wykonanie do­

dawania, Jest jednak bardzo kosztowne szczególnie dla sumatorów o dużej ilośoi pozyoji. Dodatkowym czynnikiem powodującym zwiększe­

nie wyposażenia sumatora i równooześnie zmniejszającym jego szyb­

kość działania Jest ograniczenie spływu i wzmocnienia logicznego /fan-in,u i fan-out’u/ elementów stosowanych w sumatorze.

- 21 ~

Opisana metoda równoczesnych przeniesień może być stosowana w wielu różnych wariantach zależnych od parametrów technicznych 'ele­

mentów logloznyoh stosowanych w sumatorze,

W przypadkach, gdy wymagany czas działania sumatora umożliwia stosowanie wielowarstwowych sieoi przełąozających realizujących funkcje 0^,0,, ...» o ^ , możliwe jest wspólne wykorzystanie nle- któryoh elementów w kilku sieciach.

W przypadkach, gdy parametry elementów logicznych narzuoają ko­

nieczność szeregowego łączenia odpow.l . :niej liczb, elementów do realizacji najbardziej złożonej funkcji cn+1, :uożna łączyć sze­

regowo również elementy w mniejszych sieciach przełąozająoych i w ten sposób uzyskiwać prostsze układy funkcji o± dla mniejszych wartości i.

umawiana metoda jest również tematem prac [7"] - [9~], Stosowa­

nie jej może być korzystne jedynie- w przypadku sumatorów bez prze­

niesień oyklioznyoh, o niezbyt dużej ilośoi pozyojl. Metoda wyma­

ga bardzo złożonej struktury sumatora, pozwala jednak na uzyskiwa­

nie dużych szybkości działania.

4. METODA PHZESKOKÓW PRZENIESIEŃ

Y/prowadzimy oznaczenia

°l,k “ Dl+k Dl+k-1 *** D l+2 D 1.1 °1+1 /-1.22/

°l,k “ D l+k Dl+k-1 •** Dl+3 Dl+2 a l+1 bl+1 /1 *23/

Iloczyny te, jak wynika z /i,S/» są składnikami boolowakimi prze-

; l ezienia Można je zawsze sumować logicznie z dowolnym 'wyrażeniem boolowskim przedstawiająoym przeniesienie °x+k+l nie zmieniająo jego wartości. Obowiązują zatem wzory boolowskie

°i+k+i M °i+k+i + °!,k Z1 *24/

°l+k+1 ° °l+k+1 + °l,k /1.25/

- 22 -

Funkoje o^ k 1 °£ ^ nazywać będziemy funkcjami przeskoków przeniesień, a*układy elektroniczne o strukturze opisanej przez /1.22/ i /1.23/ układami przeskoków przeniesień obejmująoyml k pozyoji sumatora od pozycji 1+1 do 1+k. Do realizaoji jednego układu przeskoku przeniesień wystarcza jedna bramka iloczynu o odpowiedniej ilości argumentów. Sposób dołączania układów przes­

koków do sumatora wynika z wzorów /1.22/ - /1.25/.

W miejsoe różnio symetrycznych Di = ajpi + we wzora°ń /1.22/, /1.23/ można przyjmować również sumy logiczne a., + b ^ 0 wyborze odpowiedniej fumkoji przeskoków przeniesień decydować powinna w konkretnyoh przypadkach prostsza struktura sumatora.

W zależności od liozby i ndługośoin przeskoków przeniesień oraz rozkładu tyoh przeskoków w sumatorach o określonej liczbie pozyoji uzyskuje się rozwiązania sumatorów o różnych maksymal- nyoh czasach propagaoji przeniesień. Stosowane są przy tym zarów­

no 3umatory bardziej ekonomiczne c niewielkiej liozbie przeskoków przeniesień Jak i sumatory bardzo szybkie o znacznej liozbie prze­

skoków.

Zagadnieniu optymalizacji rozkładów przeskoków o niewielkiej liozbie przeskoków poświęoona jest ozęść II niniejszej pracy. Roz­

kłady o dużej liozbie przeskoków omawiane są natomiast między in­

nymi w praoaoh [16] i [19], Również opisana poprzednio metoda rów- noozesnyoh przeniesień może byó uważana za szozególny przypadek metody przeskoków, wykorzystujący maksymalną możliwą liozbę prze­

skoków w sumatorze. Zagadnienie stosowania przeskoków przeniesień w sumatorze Jest omawiane w praoaoh [15] - [20J , a również w pra­

oaoh autora [28j - p o ] .

Przeskoki przeniesień mogą byó stosowane zarówno w sumatoraoh bez przeniesień oykllcznyoh jak i w sumatoraoh z przeniesieniami oyklloznymi. W obu wymienionych przypadkach korzystne jest jednak stosowanie różnyoh typów rozkładów przeskoków. Uzyskanie określo­

nego maksymalnego ozasu propagaoji przeniesień dla sumatorów z przeniesieniami oyklioznymi wymaga przy tym zwykle stosowania większej liozby przeskoków.

Stosowanie układów przeskoków przeniesień uważane jest zazwy­

czaj za jedną z najkorzystniejszych metod zmniejszania maksymalne­

go czasu propagacji przeniesień.

- 23 -

5. METODA RÓŻNIC SYMETRYCZNYCH

W klasyoznym rozwiązaniu n+1— pozyoyjnego sumatora równoległe­

go o jednakowej strukturze pozyoji, układ przeniesień sumatora złożony Jest z 2(n+l) szeregowo połączonych hramek, na przemian iloozynów i sum.

Metoda różnio symatryoznyoh, podana przez Kil h u m a [10], pole­

ga na usunięciu z układu przeniesień hramek sumy i pozostawieniu wyłącznie hramek iloczynu o bardzo krótkim ozasie propagacji. Me­

toda stanowi zatem połąozenie odpowiedniego doboru struktury suma­

tora i zastosowania odpowiednio szybkich elementów. Powyższe okreś­

lenie metody nie Jest zupełnie śoisłe, gdyż funkcje hramek sumy spełniają w sumatorze Kil h u m a zwarcia przewodów, Jest jednak z tego względu wygodne, że bramoe sumy nie odpowiada żaden układ elektroniczny.

Zasadę praoy sumatora K i l h u m a wyjaśnia rys. 1.1, ilustrująoy działanie jednej pozyoji sumatora.

5.

Rys. 1.1. Schemat ilustrujący działanie jednej pozycji sumatora Kilhuma.

ZaznaozoEi na rysunku "przełączniki" są zamknięte, gdy odpowiada­

jąca im funkcja hoolowska przyjmuje wartość 1 i otwarte, gdy przyjmuje wartość 0. Symbole c «« 0 i o « 1 oznaozają pozio­

my napięć odpowiadające wartośoiom logicznym 0 1 1 /brakowi

- 24 -

przeniesienia i przeniesieniu/, syiabol / oznacza różnicę syme­

tryczną.

2asadniozą cechą rozwiązania jest niezależne zamykanie i otwie­

ranie odpowiednich połączeń równocześnie na wszystkich pozycjach sumatora. 0 czasie propagacji układu przeniesień decydują zatem nie czasy dokonywania odpowiednich przełączeń, równoozesnych na wszystkich pozyojach i wliczanych w czas ustalania się stanu po- jedynozej pozycji sumatora, ale czas przejścia sygnału przez po­

łączone szeregowo zamknięte "przełączniki''. Dla każdej kombinacji stanów wejśó a, ,b^ dokładnie jedna z funkcji aih^ , S^b^-*- + aj^b^ przyjmuje dla określonej pozycji sumatora wartość 1, a pozostałe dwie wartość 0. V,' każdej pozyoji sumatora jeden z trzech "przełączników" jest zatem zawsze zamknięty, a pozostałe dwa otwarte.

Nazwę metody przyjęto /na podstawie pracy ■ ? względu na strukturę układu przeniesień złożonego z szeregu "przełączników"

przełączanych w zależności od funkcji różnioy symetrycznej + + a 1 ^ 1 *■

Sumator oparty na przedstawionej metodzie zastosowany został w maszynie Atlas. Układ przeniesień tego sumatora składa się z łańoucha przełączników tranzystorowych.

Metoda różnic symetrycznych opisana została w praoach K i l h u m a

□ oj , [li]] 1 Saltera (ji2~\. Metoda zapewnia możliv/ość uzyskania bardzo krótkich czasów propagacji przeniesień zarówno w sumatorach bez przeniesień cyklicznych jak i w sumatoraoh z przeniesieniami oyklicznymi.

Na uwagę zasługuje także modyfikacja metody różnio symetrycz­

nych uwzględniająca stosowanie układów przeskoków przeniesień.

Struktura układów przeskoków musi być wówczas specjalnie dobrana do struktury podstawowego układu przeniesień, opisanego powyżej.

0 modyfikacji tego typu wspomniano w pracy Ql fj str. 672.

6. METODA PIRAMIDY PRZENIESIEŃ

Nazwa metody związana Jest ze strukturą logiczną sumatora opi­

saną przez Nadlera w pracy [l3j. Rys. 1.2 przedstawia 8 początko-

/

Rys. 1.2. 8~pozycyjny sumator Radiera

- 26 -

wyoh pozyoji takiego sumatora przy założeniu, że o q = 0. Dla uproszczenia schematu układy realizująoe funkcje różnioy symetrycz­

nej przedstawiono za pomooą prostokąta zawierającego symbol ^ . Grubszymi liniami oznaczono drogi przeniesieri.

Sumator Nadlera ma strukturę warstwową. Podział sumatora na warstwy zaznaczono na rysunku U n i a m i przerywanymi. Liczba warstw rożnie logarytmicznie wraz z liozbą pozycji sumatora. Logarytmicz­

nie z liczbą pozycji wzrasta również liczba szeregowo łączonych ele­

mentów sumatora, a zatem 1 czas ustalania się stanu sumatora. ’Wypły­

wa stąd wniosek, że sumator nadaje się szczególnie do stosowania w szybkich jednostkach arytmetycznych o bardzo długioh słowach.

Prooes ustalania się stanu sumatora przebiega w ten sposób, że w kolejnych etapach działania sumatora ustalają się stany kolejnych warstw sumatora pokazanych na rys. 1.2 i asymllowane są przeniesie­

nia w niezależnych od siebie parach pozycji sumatora, czwórkach po­

zycji, ósemkach itd. Ustalanie się stanu kolejnych warstw sumatora oznacza równocześnie, jak łatwo wywnioskować z rysunku, ustalanie się kolejno stanu najmniej znaczącej pary pozyoji sumatora, ozwór- ki pozyoji, ósemki itd.

Rozwiązanie Nadlera nadaje się wyłącznie do sumatorów bez prze­

niesień cyklloznyoh.

0 pewnej modyfikacji rozwiązania Nadlera wspomniano w pracy fl5]. Modyfikacja ta polega na uwzględnieniu asymilacji przeniesień

•generowanych w pierwszej warstwie sumatora 1 dołączeniu układu wy­

krywającego zakończenie asymilacji przeniesień do jednej z wyższych warstw sumatora. Układ taki może być bardzo prosty, gdyż badania wymaga tylko co 2k-ta pozycja sumatora, gdzie k jest numerem warstwy, do której dołączono układ wykrywania. Modyfikaoja taka nie wydaje się jednak speojalnie korzystna, gdyż ozas ustalania się stanu sumatora Nadlera nie zależy głównie od długośoi łańou- oha propagacji, jak to sugeruje się w pracy [1 > ale przede wszyst­

kim od numerów pozyoji, na któryoh występują przeniesienia. By to uzasadnić wystarozy przeanalizować na podstawie rys. 1.2 przypadek ustalania się stanu sumatora Nadlera dla a^ * 1, b^ «* 1.

- 27 -

7. METODA SUM WARUNKOWYCH

Dodavfanie metodą sum warunkowych oraz odpowiednia struktura su­

matora binarnego /condltional-sum adder/ opisana została przez Sklansky’ego w praoy [jl4]. Metodę tę wyjaśnimy na podanym przez Sklansky,ego przykładzie dodawania dwóoh liczb 16-bitowyoh

a = 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 b » 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 przedstawionym w tabeli 1,1.

Przez <t0 , , t2 , tt-j, oznaczono w tabeli przedziały ozasu odpowiadająoe kolejnym krokom dodawania.

W przedziale <t wszystkie pozycje binarne liozb a i b trak­

tujemy jako niezależne od siebie, wyliczając dla każdej z nich dwu­

krotnie bit sumy i przeniesienia, najpierw przy założeniu, że prze­

niesienie wejściowe pozycji jest zerem, a następnie, że jest jedyn­

ką. Jedynie dla najmniej znaczącej, zerowej pozyoji sumatora wyli­

czamy bit sumy i przeniesienia Jednokrotnie przyjmując cQ = 0.

Otrzymujemy w ten sposób cztery pierwsze wiersze tabeli. Najmniej znaczący bit w wierszu pierwszym Jest bitem sumy końcowej.

W przedziale z1 traktujemy pary pozycji przedziału r Q nieza­

leżnie od siebie i Jeśli przeniesienie wyjściowe pozyoji mniej zna- oząoej w parze /przeniesienie podkreślone w drugim i czwartym wier­

szu przedziału t jjest równe 0 przepisujemy z przedziału <cQ bity z dwóch pierwszych wierszy pozyoji bardziej znaczącej, a Jeśli równe 1 przepisujemy bity dwóoh ostatnich wierszy pozycji bar­

dziej znacząoej. Podkreślone w tabeli bity przeniesienia w wier­

szu drugim przedziału icQ deoydują przy tym o bardziej znaozą- cyoh bitach w parze w wierszach 1 i 2 przedziału , a podkreś­

lone bity przeniesienia w wierszu czwartym przedziału ^t:0 decy­

dują o bardziej znaczącyoh bitach w wierszach 3 1 4 przedziału T.j. W ten sposób otrzymujemy oztery wiersze tabeli dla przedzia­

łu ^t.^j , w tym dla pary pozycji najmniej znacząoej tylko dwa wier­

sze. Najmniej znaoząca para bitów w wierszu pierwszym przedziału Tj jest parą bitów sumy końcowej.

- 2 8 -

(' 15M13 12 11 10 9 a 7 B 5 A 3 2 1 0 •— Qi

<*> £ * -*w CJ w

■8 i i N to Qi 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 .1 1 0 1 ^{S -S «•}

o S b i? ® Qł fsj N O bi 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 <s

s 1 0 1 0 0 0 1 c 1 1 0 1 1 0 1 1 _r\

c 0 0 0 1 1 0 0 1 0 ę 1 0 0 1 0 ę

Tc

s 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

c 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

c 0 1 1 1 0 1 1

T, s 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

c 0 1 1 1 1 1 1

s 1 1 0 0 0 1 0 c 0 0 0 1 0 u ¹ 1

c 0 1 1 1

T,

s 1 1 0 1 0 1 0 1 c ⁿ 1 0

1

c 0 ^l 1

s 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 c 0 0 1 1

c 0 1 0

r,

s 1 1 0 1 0 1 0 1 c 0 1

Si 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 c 1 1

0 Ti

Ci*t 0

Tabl. 1.1. Przykład dodawania metodą sum warunkowych.

- 29 -

W przedziale traktujemy czwórki pozyoji niezależnie od sie­

bie i postępujemy z nimi analogioznie jak poprzednio z parami pozy­

cji. Bierzemy mianowicie pod uwagę przeniesienia wyjściowe raniej znaczących par pozycji należących do odpowiednich ozwórek /przenie­

sienia podkreślone przedziału %^/ i w zależnośoi od nich przepisu­

jemy bity sumy i przeniesienia par bardziej znaczących z pierwszych dwóoh lub ostatnich dwóoh wierszy przedziału . Otrzymujemy w ten sposób cztery wiersze tabeli dla przedziału Tg, w tym dla czwórki pozyoji najmniej znaczącej tylko dwa wiersze. Najmniej zna­

cząca czwórka bitów w wierszu pierwszym przedziału Tg je3t czwór­

ką bitów sumy końcowej.

W przedzlałaoh t,, T^ postępujemy analogioznie z ósemkami i szesnastkami pozycji jak w przedziale Tg z czwórkami, otrzymująo w wyniku 16 bitów sumy i przeniesienie wyjśoiowe pozyoji najbardziej

znaoząoej.

Z omawianego przykładu dodawania dwóch llozb binarnych wynika, że dwukrotne zwiększenie liczby pozyoji sumatora pociąga za 3obą konieoznośó zwiększenia czasu o Jeden przedział T. Oznaoza to, że czas dodawania metodą sum warunkowyoh jest proporcjonalny do loga- rytrau ilości pozyoji sumatora analogicznie Jak w przypadku sumato­

ra Nadlera. Oba te sumatory posiadają zresztą więoej cech podobień­

stwa. Należy do nich piramidowa struktura sumatora, jak również ko­

nieczność przyjęcia założenia oQ * 0. Również w sumatorze Sklan- sky’ego nie mogą być zatem realizowane przeniesienia oykllozne.

Mimo pewnego podobieństwa struktury sumatorów Nadlera 1 Sklan- sky’ego, oparte są one, jak łatwo wnioskować z przytoozonyoh opi­

sów, na odmiennej zasadzie działania, mianowicie:

- V/ sumatorze Nadlera tworzone są najpierw bity sumy ozęśoiowej i bity przeniesienia. Przeniesienia te są następnie asymilowane w szeregu kroków, przy czym w pierwszym kroku asymilowane są przeniesienia na oo drugiej pozyoji sumatora, a w każdym następnym kroku uwzględnione są przeniesienia z dwukrotnie mniejszej licz­

by pozyoji niż w kroku poprzednim.

- W sumatorze Sklansky’ego tworzone są na poszozególnyoh pozycjach niezależnie od siehie alternatywne bity sumy i przeniesienia

- 30 -

przy założeniu dwóoh różnych możliwyoh wartości przeniesień wej- śoiowyoh pozyoji sumatora. Następnie w kolejnyoh krokaoh wybie­

rane są z nich odpowiednie hity sumy łączone w ooraz dłuższe sek- wenoje hitów, aż do uzyskania oatateoznego wyniku.

Sumator Sklansky’ego złożony jest z szeregu warstw, praoująoyoh kolejno w przedzlałaoh ozasów ’cQ , , tg, ..., w sposób wynika- jąoy z tabeli 1.1. Taka struktura sumatora umożliwia szybkie doda­

wanie wielu liozb dzięki temu, że kolejne llozby mogą być wprowa­

dzone do pierwszej warstwy przed zakońozeniem poprzedniego dodawa­

nia, z częstotliwością wynikająoą z okresu pracy pojedynczej wars­

twy. Sumator nadaje się do realizaoji zwłaszcza v? synohronioznej teohnioe impulsowej i może znaleźć zastosowanie w szybkioh jednoa- tkaoh arytmetycznych o odpowiednio długloh słowach.

8. ZAKOŃCZENIE

O celowośoi zastosowania poszczególnych metod zmniejszania efek­

tywnego ozasu propagacji przeniesień w określonych przypadkaoh de- oydują głównie wymagania na sumator, zależne w dużym stopniu od przeznaczenia maszyny i stosowanej teohniki oyfrowej. Niemniej w większości zastosowań do najkorzystniejszych metod zalioza się zwykle:

» metodę przeskoków przeniesień, gdy ohodzl o zmniejszenie maksymal­

nego ozasu propagaoji,

0 metodę wykrywania zakońozenia propagaoji przeniesień, gdy wymaga­

ne Jest tylko zmniejszenie średniego ozasu propagaoji.

Pierwsza z wymienionych metod omówiona została w niniejszej ozęś- 01 praoy bardzo pobieżnie, a druga w ogóle pominięta. Metodom tym, ze względu na ioh duże znaozenle poświęcono, jak wspomniano we wstę­

pie, dwie pozostałe ozęśoi niniejszego opracowania.

Oceną i porównaniem różnych metod przyspieszania działania rów- noległyoh sumatorów binarnyoh zajmowano się między innymi w praoaoh

[15], [16], [19], [20l

- 31 -

C z ę ś ć II

DOBÓR OPTYMALNYCH ROZKŁADÓW PRZESKOKÓW PRZENIESIE!? W SUMATORZE

1. WPROWADZENIE

Wśród omówionyoh w pierwszej ozęśoi niniejszej praoy metod zmniejszania maksymalnego oza3u propagaoji przeniesień na szoze- gólną uwagę zasługuje 3tosowanic układów przeskoków przeniesień.

Przyozyny tego są następująoe;

e Układy przeskoków przeniesień są układami o bardzo prostej struk­

turze.

© Już przy niewielkiej liczbie układów przeskoków można uzyskać w sumatorze znaczne zmniejszenie maksymalnego czasu propagaoji przeniesień.

® Zmniejszenie maksymalnego ozasu propagaoji przeniesień jest za­

leżne w szerokie* granioaoh od liczby zastosowanych przeskoków przeniesień i lob rozmieszczenia w sumatorze.

© Stosowanie odpowiedniej liozhy odpowiednio rozmieszczonych przes­

koków przeniesień w sumatorze umożliwia uzyskanie bardzo małych czasów propagaoji przeniesień.

© Przeskoki przeniesień mogą być stosowane w sumatoraoh niezależ­

nie od niektórych innych metod zmniejszania efektywnego ozasu propagacji przeniesień,

© Stosowanie przeskoków przeniesień jest metodą bardzo ekonomioz- ną. Uzasadnieniem tego stwierdzenia może byó porównanie kosztów 1 szybkości różnyoh rozwiązań sumatorów przeprowadzone w praoy [15] /patrz str. 675 tabela 2/, jak również wykresy efektywnoś­

ci różnyoh typów sumatorów przedstawione w praoy [20]. W niektó­

rych publikaojaoh /patrz [16] str. 698/ wyrażany Jest nawet po­

gląd, że stosowanie przeskoków przeniesień jest najefektywniej­

szą metodą zmniejszania maksymalnego ozasu propagaoji przeniesień.

Istnieje praktycznie nie ogranie z ona ilość różnych możliwyoh roz­

kładów przeskoków przeniesień w sumatorach. Poszukiwanie rozwiązań najbardziej korzystnych sprowadza się do wyznaozenia odpowiedniego rozkładu przeskoków, zapewniającego wymaganą szybkość propagaoji przeniesień dla danej llozby pozycji sumatora i określonych właści- wośoi elementów logicznych użytyoh w sumatorze.

Znalezienie najkorzystniejszych rozkładów przeskoków przeniesień nastręcza zwykle duże trudności. Y/ynikaJą one głównie stąd, że czas propagaoji przeniesień jest bardzo złożoną funkcją ilości, "długo­

ści" i rozmieszczenia przeskoków przeniesień w sumatorze. Łatwym do uwzględnienia czynnikiem, decydującym o szybkości działania sumato­

ra, jest jedynie szybkość przełączania elementów logicznych. Uwzglę­

dnienie jej wpływu sprowadza się zwykle do wyrażania wymaganego cza­

su propagaoji przeniesień w jednostkach czasu równych maksymalnemu opóźnieniu sygnału przez jedną pozycję układu przeniesień sumatora, względnie przez jeden układ przeskoku przeniesienia. Oba te opóźnie­

nia są zresztą w większośoi przypadków sobie równe. Przyjmując je za jednostkę, można wyrazić maksymalny czas propagacji przeniesień w sumatorze jako maksymalną liczbę pozyoji sumatora i układów prze­

skoków przeniesień, przez które szeregowo propaguje przeniesienie przy najbardziej niekorzystnej korabinaoji bitów liczb dodawanych w sumatorze.

Sumatory z układami przeskoków przeniesień omawiane są między innymi w pracach [15] - [20], jak również w praoaoh autora niniej­

szego opracowania [28] - [30], Poświęcimy obeonle kilka uwag nie­

którym z tych prac.

MaoSorley w pracy [19] omawia rozkład przeskoków przeniesień polegająoy na podziale sumatora n$. k-pozyoyjne grupy. W każdej z grup stosuje ^g^ przeskoków wyczerpując wszystkie kombinacje prze­

skoków dla kolejnych 2,3, • •«, k pozyoji w grupie. Grupy k-pozy- cyjne mogą być z kolei łączone w większe sekcje, 00 pozwala na u- zyskanie bardzo krótkich maksymalnych czasów propagacji przenie­

sień, Rozwiązanie takie zalioza się do bardzo szybkioh, wymaga jed­

nak dużej llozby układów przeskoków przeniesień i z tego względu jest mało ekonomiczne, zwłaszcza dla niezbyt wielkich maszyn cyf­

rowy oh.

- 33 -

Kilka interesujących przypadków rozkładów przeskoków przeniesień w sumatorach przedstawili Lehman i Burla w pracy [16] . W szozegól- nośoi w praoy tej omówiono:

• rozkłady przeskoków przeniesień polegające na podziale sumatora na jednakowe grupy pozycji objęte pojedynczymi przeskokami prze­

niesień. Dla takich rozkładów wyznaozono zależność czasu propaga- oji przeniesień od liczby pozycji w grupach oraz podano optymal­

ną liczbę i optymalny rozmiar grup ze względu na najmniejszy czas propagacji w funkcji ilości pozyoji sumatora. Rozkłady o stałej liczbie pozycji w grupach charakteryzują się takim samym maksymal­

nym czasem propagaoji w przypadkach sumatorów z przeniesieniami cyklicznymi jak i dla sumatorów bez przeniesień cyklioznych.

• rozkłady przeskoków, w których sumator podzielony jest na różnej długości grupy pozyoji objęte pojedynczymi przeskokami przeniesień, przy czym liczba pozyoji w grupach stopniowo maleje z oddalaniem się od środka sumatora. 'Dla sumatorów bez przeniesień cyklioznyoh rozkłady takie są korzystniejsze od rozkładów o stałej liczbie pozyoji w grupaoh, dla sumatorów z przeniesieniami cyklioznymi są one mniej korzystne.

• kilka przykładów sumatorów o stosunkowo dużej liczbie przeskoków i bardzo krótkich ozasaoh propagacji przeniesień. Sumatory te cha­

rakteryzują się tym, że niektóre ich pozycje objęte są wieloma przeskokami, przeniesień.

Omówione w pracy \j 6] rozkłady przeskoków przeniesień w sumato­

rach podzielić można na rozkłady prostsze o niewielkiej liczbie przeskoków, pozwalająoe jednak na uzyskanie znacznego zmniejszenia czasu propagacji przeniesień, oraz na rozkłady bardziej złożone o stosunkowo dużej llozbie przeskoków i bardzo krótkioh czasach pro­

pagacji przeniesień. Podział taki uzasadnić można w sposób nastę­

pu jąoy:

• Rozkłady o niewielkiej liczbie przeskoków przeniesień nadają się szozególnie do zastosowania w sumatorach niezbyt wielkich maszyn cyfrowyoh, w któryoh bardzo ekonomiczne rozwiązanie Jednostki arytmetyoznej jest równie ważne, jak uzyskanie stosunkowo krót­

kiego ozasu propagaoji przeniesień. Rozkłady bardziej złożone na­

_ J i -

dają się natomiast głównie do sumatorów wielkich maszyn cyfro­

wych, w któryoh do uzyskania bardzo dużej szybkości wykonywania działań arytmetycznych można pozwolić sobie na mniej oszczędne rozwiązania sumatorów.

0 W zakresie stosunkowo prostych, a równocześnie dość szybkioh rozkładów przeskoków przeniesień istnieje praktyczna możliwość przeprowadzenia szczegółowej analizy wpływu rozkładu przeskoków na ozas propagacji przeniesień i dokonania wyboru odpowiedniego rozkładu przeskoków. W przypadku konieczności uzyskania bardzo szybkioh, a zatem i odpowiednio skomplikowanych rozwiązań suma­

tora, wnikliwa analiza i wybór najkorzystniejszego rozkładu prze­

skoków przeniesień mogą być bardzo utrudnione lub wręcz niewyko­

nalne. Potrzeba optymalizacji rozkładów przeskoków przeniesień i uzyskania rozwiązań bardzo ekonomicznych Jest jednak w ostat­

nim przypadku znacznie mniejsza niż dla sumatorów wolniejszych stosowanyoh w maszynach niezbyt wielkich, rozwiązanych bardziej oszczędnie.

Powyższe uwagi wyjaśniają dlaozego w pracy Lehmana i Burli Ql <f]

prostsze rozkłady przeskoków omówiono bardziej szozegćłowo, łącz­

nie z przeprowadzeniem analizy wpływu długośoi przeskoków na ozas propagaoji przeniesień, a ograniczono się Jedynie do przedstawie­

nia kilku przykładów rozkładów przeskoków bardziej złożonych. Wy­

mienione uwagi uzasadniają również celowość opracowania metod op­

tymalizacji rozkładów przeskoków charakteryzująoyoh 3ię niewielką liozbą przeskoków przeniesień. Zagadnienie to stanowi zasadniczy temat niniejszej ozęśoi praoy. Metody wyznaczania optymalnych roz­

kładów przeskoków przeniesień, przedstawione w dalszych rozdzia­

łach, można uważać za kontynuację i obszerne rozwinięcie rozważań dotyoząoyoh tyoh rozwiązań z praoy Lehmana i Burli [■>&]» które cha­

rakteryzują się stosunkowo małymi ozasami propagaoji przeniesień uzyskanymi przy użyoiu niewielkiej liozby układów przeskoków. Uza­

sadnieniem wyboru tego tematu, opróoz rozważań przeprowadzonych powyżej, może być tendencja budovy w warunkaoh krajowych raoaej maszyn niezbyt wielkich, a możliwie najbardziej ekonomicznych.

Nawet zresztą w przodująoyoh gospodarozo krajach świata zapotrze­

bowanie na takie maszyny jest znacznie wyższe, niż na maszyny wiel-' kie o bardzo dużych szybkośoiach działania.

- 35 -

W niniejszej części prao.y ograniczono się do przedstawienia me­

tod wyznaozania rozkładów przeskoków przeniesień o minimalnych cza­

sach propagacji przeniesień i minimalnych ilościach przeskoków prze­

niesień przy założeniu, że każda pozycja sumatora objęta jest co najwyżej jednym przeskokiem /jednowarstwowe rozkłady przeskoków/

oraz oo najwyżej dwoma przeskokami /dwuwarstwowe rozkłady przesko­

ków/. Metody te przedstawiono dla sumatorów z przeniesieniami cyk­

licznymi i bez przeniesień cyklicznyoh. Wzięto również pod uwagę wpływ struktury logioznej pozycji sumatora na dobór optymalnych pa­

rametrów rozkładów przeskoków. Podano mianowicie metody wyznaczania rozkładów przeskoków dla dwóoh typów sumatorów. Pierwszym z nich jest sumator nazwany S1 o klasycznej strukturze układu przenie­

sień. Metody wyznaczania rozkładów przeskoków przeniesień dla tego sumatora obowiązują w zasadzie dla większości znanych rozwiązań su­

matorów o JednakoweJ strukturze pozyoji. Drugim sumatorem nazwanym S2 Jest sumator oparty wyłącznie na bramkach NOR. Jego głównymi ceoharai są: tylko 6 bramek NOR na jedną pozyoję sumatora i tylko 1 bramka NOR na jedną pozycję układu przeniesień. Dane te świad­

czą o walorach ekonomicznych i stosunkowo małym czasie propagacji przeniesień w porównaniu z wieloma innymi rozwiązaniami sumatorów.

Struktura tego sumatora narzuca jednak dodatkowe warunki na roz­

kład przeskoków przeniesień. Przeskoki mogą mianowicie obejmować tylko nieparzyste liczby pozyoji sumatora i mogą byó przesunięte względem siebie tylko o parzystą liczbę pozyoji. Stosowanie prze­

skoków nie spełniających tyoh warunków jest w sumatorze S2 nie- ekonomlczne.

Wyznaczenie rozkładów przeskoków dla danej liczby pozyoji suma­

tora wymagało wcześniejszego wyznaczenia rozkładu przeskoków w su­

matorze o maksymalnej możliwej do uzyskania liozbie pozyoji dla danego maksymalnego ozasu propagacji przeniesień. Z tego względu, w każdym z rozdziałów 3 do 1D niniejszej ozęści pracy, przedsta­

wiono najpierw metodę wyznaczania takiego rozkładu przeskoków.

Celem zmniejszenia objętości niniejszej ozęści pracy wszystkie metody przedstawiono bez dowodów, a w przypadku istnienia wielu rozwiązań równoważnyoh ograniczono się tylko do podania jednego z nich. Pełne uzasadnienie, że podane metody prowadzą do optymal—

- % -

nych rozkładów jednowarstwowych i dwuwarstwowych, zwiększyłoby oko­

ło trzykrotnie objętość niniejszej ozęśoi praoy. Dla przykładu, w Dodatku I podano uzasadnienie dla jednej z przedstawionyoh metod z rozdz. 5, a mianowicie "Uzasadnienie metody wyznaozania optymalne- go dwuwarstwowego rozkładu przeskoków przeniesień dla n v '-pozyoyj- (T) nego sumatora S1 bez przeniesień cyklicznych".

2. DEFINICJE' I OZNACZENIA

Układ przeskoku przeniesień w sumatorze S1

Definicja 1 S u m a t o r S1 jest to równoległy sumator binarny złożony z jednakowych sumatorów jednopozycyjnych, w którym struktura i-tej pozycji układu przeniesień jest opisana wzorami boo- lowskimi

Propagacja przeniesień w sumatorze rozpoczyna się od momentu zmia­

ny zerowego stanu wejść sumatora w stan odpowiadający bitom składni­

ków dodawania, a kończy się w momenoie ustalenia się stanu wszyst­

kich bramek układu przeniesień sumatora.

Definicja 2 U k ł a d p r z e s k o k u p r z e n i e ­ s i e ń Cl obejmujący k pozyoji układu przeniesień sumatora S1 od pozyoji 1 + 1 do 1 + k jest to układ opisany funkcją boo- lowską przeskoku przeniesienia

Układ przeskoku C1 dołąozony jest do układu przeniesień suma-

ci+1 =

/

.

/

= "** ai^ l ^/2.2/

°l,k = °1+1 Dl+1 Dl+2 **• Dl+k /2.3/

tora S1 w sposób pokazany na rys. 2.1 dla k = 3.

Układ przeskoku przeniesień w sumatorze S2

Definicja 3 S u m a t o r S2 jest to równoległy sumator bi­

narny zbudowany na bramkaoh NOR, złożony z sumatorów jednopozyoyj- nych, któryoh strukturę przedstawiają następująoe wzory boolowskie:

Układ przenie­

sień sumat ora

Rys. 2.1. Układ przeniesień sumatora S1 z układem przeskoku C1.

Układ przeskoku przenie­

sień

Układ przeskoku przenie­

sień Układ przenie­

sień sumatora

Rys, 2.2. Układ* przeniesień sumatora S2 z układem przeskoku C2.

- 32 -

dla nieparzystych pozycji sumatora

si “ Di°i + ai-1 Di-1 + Si-1 51-1 + albi + aibi + Di°i /2.h7 /2.5/

dla parzystych pozycji sumatora

72.6/

bi-1 + Di-1 °i-1 72.7/

gdzie

72.8/

Propagacja przeniesień w sumatorze rozpoczyna się, przy ustalo­

nym stanie wejść sumatora, od momentu zmiany sygnału sterującego h ze stanu 1 w stan 0, a końozy się w momencie ustalenia się stanu wszystkich bramek układu przeniesień sumatora /wszystkioh bramek Dioi i D^c^/.

Definicja 4 U k ł a d p r z e s k o k u p r z e n i e ­ s i e ń C2 obejmujący k pozyoji układu przeniesień sumatora S2 od pozyoji 1 + 1 do 1 + k jest to układ opisany funkcją boo- lowską przeskoku przeniesienia

gdzie 1 jest liozbą parzystą, a k liczbą nieparzystą /warunki na 1 i k wynikają z wzorów /2.5/ i /2.7//.

tora S2 w sposób pokazany na rys. 2.2 dla k *• 3.

Dla sumatora S2 bez przeniesień cyklicznych będziemy zawsze zakładać, że c^ = 0.

°l,k * D151 + albl + al+1 1+k bl+k 72.9/

Układ przeskoku C2 dołąozony jest do układu przeniesień suma-