WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
DYNAMIKA
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
1. Dynamiczny opis ruchu obrotowego. 2. Siły bezwładności w ruchu
obrotowym.
3. Moment siły. Moment pędu.
4. Zasady zachowania momentu pędu i energii w ruchu obrotowym.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
s
r
s
r
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
d
dt
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO 2 2
d
d
d
t
d
t
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
)
(
)
(
)
(
0 't
x
t
x
t
x
2 2d
)
(
d
d
)
(
d
)
(
t
t
x
t
t
v
t
a
)
(
)
(
)
(
0 't
a
t
a
t
a
0 'F
ma
ma
)
(
2
d
d
' ' ' 'r
v
r
t
a
a
a
tr
rot tra
a
a
a
'
) ( d d ' ' ' r v r t arot WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO ) ( 2 d d ' ' ' r v r t a au tr
tr b ma F ' 2m v FC ) ( r' m Fd ' d d r t m Fbo
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
t
p
r
F
r
d
d
t
p
r
v
m
v
t
p
r
p
t
r
t
p
r
t
p
r
d
)
(
d
d
)
(
d
d
d
d
)
(
d
d
d
F
r
M
p
r
L
t
p
r
F
r
d
d
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
r
p
r
L
p
s i n r Moment siły Moment pędu s i n rF
r
F r M WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Rys: Fizyka dla szkół wyższych, OpenStax Polska.
sin
,
M
r F
r F
)
sin 90
)
sin 90
o oa M
r F
r F
F
F
b M
r
r
)
sin 90
2
2
)
sin
or
r
c M
F
F
d M
r F
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
t
L
M
d
d
II zasada Newtona dla ruchu obrotowego:
Zmiana momentu pędu ciała jest równe
momentowi siły wypadkowej działającemu na to ciało.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
r
r
m
v
m
r
p
r
L
p
r
L
r r
0
m
L
r
P
P
P
rWYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
t
I
t
L
M
d
)
d(
d
d
d
d
M
I
I
t
I
L
L
2mr
I
Moment bezwładności m
L r S t a ł a o ś o b r o t uWYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
d
r
r
d
r
r
r
Praca w ruchu obrotowym
d
W
F
r
o
d
r
r
F
r
o
(d
r
r
r
) d
r
o
(
r F
r
r
)
M
r
o
d
r
M
r
So
d
r
d
d
d
d
d
d
S S SM
W
P
M
M
t
t
t
r
r
r
r
r
r
o
o
o
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
d
d
d
B A t B A tL M t
L
L
M t
r
r
r
r
v
Zmiana momentu pędu jest równa (wektorowo) momentu siły. Jeśli moment siły
znika to moment pędu cząstki jest stały.
0 to
const
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO S N S N S
M
r
M
r
M
r
r F
r
r
r F
r
r
r F
r
r
F
F
NF
Sr
M
0
Nr F
r
r
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Praca w ruchu po okręgu
2 2
d(
)
d
d
d
d
d
2
2
B B B A A A B A t t t AB t t t B AI
W
M
r
M
t
t
t
I
I
I
r
r
r
r
r
r
o
o
o
r
r
r
r
o
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO 2 2
2
2
B A ABI
I
W
r
r
A B ABE
E
W
Energia (mechaniczna) jest funkcją stanu, której zmiana jest równa pracy sił działających na ciało.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
W7
Mechanika bryły sztywnej.
Środek mas układu wielu cząstek. Ruch środka mas. Ruch obrotowy bryły sztywnej.
Moment siły. Moment pędu.
Moment bezwładności. Twierdzenie Steinera. Ruch obrotowy bryły sztywnej.
Zasada zachowania momentu pędu. Energia kinetyczna ruchu obrotowego.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Układ N niezależnych cząstek ma 3N stopni swobody. Opis takiego układu wymaga rozwiązania 3N równań skalarnych Newtona.
1 N i iz ij j F F F
r r r i i ip
r
m v
r
1 d d N i i iz ij j p F F F t
r r r r N 1 1 1 1 d d N N N i iz ij i i i j p F F t
r
r
rWYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO N 1 d d d d i i p p t t
r r 1 N z iz i F F
r r
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 N N N N N N N N ij ij ji ij ji i j i j i j i j F F F F F
r
r
r
r r 1 N i i p p
r rd
d
zp
F
t
r
r
Równanie ruchu dla układu punktów swobodnych: zmiana całkowitego pędu układ punktów materialnych jest równa całkowita sile zewnętrznej działającej na ten układ punktów materialnych.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy taki punkt w przestrzeni, którego promień wodzący spełnia równanie:
1 1 1 1 1 d d d d n n i i i i SM i i SM n n n i i i i i i r m m v r t p v t m m m
r r r r r 1 1 n i i i SM n i i m r r m
r r 1 n i i ip
m v
r
r
Jest całkowitym pędem ciała. Gdy niedziałają siły zewnętrzne to pęd pozostaje stały, a środek masy spoczywa lub porusza się ze stałą prędkością.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO 1 1 2 2 1 2 SM m r m r r m m r r r kg 5 . 1 1 m 2.0kg 2 m 1 [1,3] rr 2 [4, 2] rr [1.5; 4.5] [8, 4] 3.5 [9.5;8.5] [2.17; 2, 43] 3.5 SM r r 1.5 [1,3] 2.0 [4, 2] 1.5 2.0 SM r r
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Środek masy układu porusza się jak punkt materialny, w którym skupiona jest cała masa układu i na który działa siła równa wypadkowej sił
zewnętrznych przyłożonych do wszystkich punktów bryły sztywnej.
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 d d d d d d d d n n i i i i n n n i i i SM i i i n i i i i i m r m r r r F F m m m t t t m t
r r r r r r 2 2d
d
SMr
F
m
t
r
r
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO 1 1 n i i i SM n i i m a a m
r rPrzyspieszenie środka masy: Prędkość środka masy:
1 1 n i i i SM n i i m v v m
r rW przypadku, gdy siła zewnętrzna jest stała to środek masy układu punktów materialnych porusza się zgodnie z wyrażeniami:
0 0 0
d
(
)
d
sm smr
F
v
v
t t
t
m
r
r
r
r
2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 sm F r r v t t t t m r r r rWYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO i i
v
r
r
r
r
L
r
i
r p
r r
i id
d
d
d
d
d
i i iL
L
M
M
L
t
t
t
r
r
r
r
r
i i i i i iL
r
L
r
r p
r r
m r v
r r
(
)
i i iL
r
m r
r
r
r
r
i i iM
r
r F
r
r
d
d
L
M
t
r
r
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
d
p F t
r
r
d
dL M tr rd 1 N i i i i iz ij j M r F r F F
r r r r r r L
r pi i r r r 0 d t o t p pr r
F tr 0 0 d t t L Lr rv
M tr 1 1 1 1 1 N N i i iz ij i j N N N i iz i ij i i j M M r F F r F r F
r r r r r r r r r 1 1 1 1 0 N N N N i ij i ij i j i j r F r F
r
r r
r 1 N i iz iz i M r F M
r r r rWYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Bryła sztywna jest szczególnym przypadkiem układu wielu punktów materialnych, dla którego odległości pomiędzy tymi punktami są stałe w czasie. ij i j
r
r
r r
r r
2 2const
ij i jr
r
r r
r r
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Ruch postępowy jest ruchem w którym dowolna prosta łącząca dowolne punkty w bryle sztywnej, pozostaje w czasie trwania tego ruchu równoległa. W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły sztywnej zakreślają równe i równoległe tory oraz w danej chwili punkty te mają jednakowe prędkości i jednakowe przyspieszenia liniowe.
V V
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Każdy ruch bryły sztywnej można rozłożyć na ruch: postępowy i obrotowy.
Ruch obrotowy jest to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej zwanej osią obrotu.
Oś obrotu jest osią stałą, jeżeli z biegiem czasu nie zmienia położenia w przestrzeni. Punkty znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a
pozostałe zakreślają łuki (okręgi). Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe wszystkich punktów bryły w danej chwili jest taka sama.
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
2 2 0 0 1 1 2 2 K i i i E
m vr r
m rr vr Id
r
r
i
d
r
r
s
d
r
r
r
ijv
i
v
s
r
ijr
r
r
2 1 2 K i s ij E
m vr rr 2 2 2 2 0 0 1 1 ( ) sin ( , ) 2 2 K i i i i i E
m vr
mr r vr r
m r r rr
2 2 2 2 0 0 1 1 sin ( , ) 2 2 K i i i i i E
m vr r
m rr vr
m r r rr 2 sin ( , )2 i i i I
I m r r rr 2 2 0 1 1 2 2 K i E
m vr I 0 i i m r
rWYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO 2 i i i i i i i
L
r
r p
m rv
m r
I
d
d
d
d
d
d
L
(I )
M
I
I
t
t
t
r
r
r
r
r
2 i ir
m
I
Szczególnym przypadkiem ruchu obrotowego bryły sztywnej jest obrót wokół stałej osi.
gdzie wielkość:
nazywamy momentem bezwładności bryły sztywnej względem danej osi obrotu. Stąd drugie prawo Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej przyjmuje postać:
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi obrotu równa się momentowi bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy ciała powiększony o iloczyn masy ciała
i kwadratu odległości między tymi osiami.
2
mh
I
I
C
h O O 2sin ( , )
2 2 i i i iI
m r
r r
r
m r
V mV
r
m
r
I
2d
2
d
WYKŁAD 4 DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO p u n k t m a t e r ia ln y p o r u s z a ją c y s ię p o o k r ę g u o p r o m ie n iu R , o b rę c z c ie n k o ś c ie n n a o p r o m ie n iu R 2 c mR I s z eś c ia n o k r a w ę d z i a c ma 2 6 1 I w a le c o p r o m ie n iu R c mR 2 2 1 I w a le c o dłu g o ś c i l c ml 2 12 1 I k u la o p r o m ie n iu R c mR 2 5 2 I c z a s z a k u lis t a o p r o m ie n iu R c mR 2 3 2 I R m l R R
