12 DEC.1972
ARCH1F
Bibliotheek van
sbouwlcunde
Lab. v
Scheepsbouwkun
Technsche
Hogeschool
M
MATHEMATISCH INSTITUUT
RIJKSUNIVERSITEIT:
GRONINGEN
OnrIrafrJeIr
Hogeschoo D')CUI";EPIlATIE Ai U M:RAPPORT TW- 118
BOEMERANGS ROTEREND IN EEN. LUCi1TSTROOM:
KRACHTMETINGEN
Felix Hess
4
s-Rapport TW 118
BOEMAIGS ROTERND EEN LUCHTSTROOM:
KRACHTMETINt-EI'T.
Felix Hess
2
Boerangs roterend. in een 1.uchtstrooni: krachtmetingen. I Overzicht 3 § i Doel. ecperiment 3 § 2 Concl,usie 3
§ 3
Erkentelijkheid. 5 II kpparatuur 5 § i Mechanisch gede&Lte 5 § 2 Wind.tunnel 8§ 3
Werking 8 § is. De boemerarigs 10III Met ingen lo
§ i Metingen 10
§ 2 L]king 12
§ 3
Verwerking metingen 12§ is. Verwerking ijking 72
§ 5
Lijst van metingen 13IV Foutend.iscussie
§ i Fouten bij de ijking ill.
§ 2 Verwante fouten bij de metingen 15
§ .3 Pauten: in de gecorrigeerde outputs Mc. 15
§ is. Fouten in 1uchtsne1,heid, rotatiesneiheid, tijd 17
§ 5
InvLoed aanwezigheid apparatuur . 18§ 6
Doorbuiging van de bo emerang 18§ 7
Sanenvatting 18V Uitkosten 19
§ 7 Dc tabeUen 19
§ 2 De gm.fieken 19
§ .3 De theoretische grafieken 21
§ Ii. Verge1ijking theorie/experinent 2h.
VI TabeUen
25 Lis. 26L6
3h.Li
'as. wU 53 F 18 6o VII Grafieken 68LI
69 F 18 75 81 Theorie 87I Overzicht
§ 1 Doel experiment
±Iet in dit rapport beschreven experiment maakt deel uit van een onderzoek naar de djnamica en aerodynamica van boemerangs. Bij dit experiment zijn enige boemerangs achtereenvolgens roterend opgesteld in een luchtstroom en de over de tijd gemiddelde krachten en koppels op die boemerangs. gemeten. Bij de metingen op een bepaald.e boemerang zijn gevarieerd: de
rotatie-snelbeid , de lucbtsnelheid. W en de hoek 1V tussen de richting van de
lucht-stroom en bet viak van de boemerang. Voor verscheid.ene combinaties van deze
grootheden w, W, 4r zijn gemeten: de op de boemerang uitgeoefende drie
krachtcomponenten en drie momentcomponenten, alle gemiddeld over een groot aantal omwentelingen. Van dynamische metingen, d.w.z. het meten van de
componenten als functies van de tij d hebben we afgez ien vanwege de enorpie
complicaties die dan zouden moeten worden overwonnen (zoals het elimineren van triuingen).
De resultaten van dit experiment kunnen worden vergeleken met de uitkomsten van een reeds eerder ontwikkeld theoretisch model. cperiment en theorie
samen kunnen hopelijk een fundering leyeren voor het berekenen vari banen die boemerangs in vrije vlucht doorlopen.
§ 2 Conclusie
Van de uitgevoerde metingen mocht geen grote nauwkeurigheid iorden verwacht.
De betrekkelijk geringe krachten en momentex (Orde resp. .- 100 gra.iní' en
300 gra.mf cm. De gebruikte meetelementen zijn ontworpen voor krachten
van enkele kgf.) werden bepaald door soins sterk oscillerende signalen te middelen en van die gemiddelden lineaire combinaties te mken. Als men dit
in overweging neemt en bovendien rekening houdt met bet feit dat dergelijke metingen nooit eerder zijn uitgevoerd, dan is bet experiment red.elijk
geslaagd. te noemen.
De voornaamste gebreken zijn geweest: 1e; bet relatief 3rnstige nulpunts-verloop in een der kanalen, 2e de soins hevige trillingen, 3e het ontbreken van boemerangs met precies bekende profieleigensehappen.
Het theoretisch model waarmee we de experimentele resultaten kunnen vergelijken is behandeld. in een vorig rapport: TW-111 "Rotating airfoils in steady flow".
De zes d.imensieloos gemaakte, gemiddelde coinponenten zijn daar genoemd:
LF, DFX, DFY voor de krachten en LDC, LTY, D']2 voor de momenten.
Over het geheel genomen blijkt er een redeiijke kwaiitatieve oereenstenmiing
te bestaan tussen theorie en experiment. Kwantitatief redelijke
overeen-steiing is er voor de axiale kracht LFZ, het axiale moment DIZ en de kracht
DFX. Dit zijn dezelfde drie componenten die bij een
oeger experiment in
watér zijn gemeten; zie § 26 en § 27 van genoemd. rapport TW-111.
De momenten LDC en LTY zijn experimenteel het minst nauwkeurig bepaald. De
experimente1e LTY stemt niet zo siecht overeen met de theorie maar met L'DC
1.igt dit anders. De gemeten LTX is, samen met de kracht DFY, ernstig
beinvioed door het reeds genoemde nulpuntsverioop in ee±i der meetkanalen.
De (kleine) component DPY is in de praktijk voor boeinerangs van ñiet zo groat
belang, maar het moment LDC (bij vliegtuigen zou dit het roi-moment worden
genoemd.) is sanen met LFZ en LTY van essentieel belang voor het gedrag
van
een boemerang. Het is daaroin erg janner dat het nu onbekend is of bet verschil
tussen theorie en experiment betreffende LDC te wij ten is aan een gebrek in
bet theoretisch model of aan bet genoemde nuipuntaverloop bij de metinlen.
Aan de grafieken met experimentele resultaten (zie achter in dit rapport) is
een stel theoretische grafieken toegevoegd ter vergelijking. Deze zijn niet
zondermeer gebaseerd op Iet in rapport TW-1 11 beschreven model, maar op een
uitbreiding ervan. Aangezien bij gewone boemerangs de armen niet gelijk zijn,
is gewerkt met gesuperponeerde winglet-systemen, voor elke boemerangarm één.
Essentiler is dat het eventueel overtrokken zijn van de boeinerangarmen in
rekening wordt gebracht (een niet-lineair model). Dit leidt tot veel
realistischer uitkomsten bij grote hoeken van inval r, vooral voor de
componenten LFZ, DIZ, DFX (maar misschien juist niet voor LTY).
Mocht dit experiment ooit worden herhaald., dan zouden de bcLangrijkste
een-voudige verbeteringen zijn:
1e
de afwezigheid van ernstig nulpuritsverloop in
elk der zes ka.nalen,
2e
bet vermijden van al te sterke trillingen docr een
iets andere keuze van de rotatiesneiheden,
3e het doormet'rn van
én of meer
'standaard boemerangs't met bekende profieleigenschappen. Misschien ook, maar
van minder belang:
e
het integreren over een geheel aantal oirrwentelingen,
5e
het gebruik van gevoeliger meetblokjes.
De relatief geringe nauwkeurigheid in de momenten LIX en LTY is een gevolg
van de geometrie van de meetopstelling. In dit geval van de noodzakelijke
lengte van de rotatie-as, die de boeinera.ng mid.den in de luchtstroom moet
aan-drijven, terwiji de rest van de apparatuur zoveel mogelijk buiten de
lucht-strooiu moet blijven. Het is stellig niet eenvoud.ig orn hier een verbetering
voor te vind.en.
3 Erkentelijkheid
Heel wat mensen hebben zeer essentieel bijgedragen tot het realiseren van
dit experiment.
De proeven werden gedaan met een windtirnnel van het Laboratorium voor
Aero- en Hydrodynainica van de T.H. Delft. Ir. R.E. de Haan en Ir. H. Leijdens hebben hieraan hun rnedewerking gegeven. In dit lab werd ook het onderstel voor bet meetapparaat vervaardigd.
De meetblokjes, servomotor en electronica werden ter beschikking gesteld door bet Laboratorium voor Schee:psbouwkunde van de T.H. Delft, afdeling Sleeptank. Hierbij, en trouwens bij de gehele ontwikkeling van de opzet van bet experiment, hebben meegewerkt Ir. M.C. Meijer en de her M. Buitenhek.
De heer A. Goeman (van dezelfde afdeling) heeft het leeuwenaand.eel, gehad. bij
de uitvoering van de metingen. Gedurende de weken omstreeks kerstmis en nieuwjaar
'71-'72
heeft hij met een verbazende efficiency, nauwgezethei1 en volbarding gezorgd voor een goed verloop van de proeven en enormehoeveel-bed.en meetgegevens.
Het meetapparaat werd gen1aakt op de werkplaats van bet Laboratorium voor Experimentele Natuurkimde van de Rijksuniversiteit te Groningen. Het ontwerp
ervan is tot stand gekomen tij dens taltoze midd.agen en avond.en denken en
praten met Herman D. Coster. De tetraeder-vorm en de fosforbrons draa&jes
zijn van hem afkomstig.
Prof.dr.ir. R. Wereld.sma heeft ons tijdig bet hachelijke van dynamische
metingen doen inzien.
De numerieke verwerking van de gegevens werd uitgevoerd met behulp van de TR 4 rekenmachine van bet Rekencentrum der R.U. te Groningcn.
Alle hier met name en niet met name genoemd.e mensen ben ik erkentelijk voor bun medewerking en ideen.
II Aparatuur
§ i Mechanisch gedeelte
Zie de foto?s op de volgende pagina: fig. II, i en 2. De boemerang is
be-vestigd aan het uiteind.e van de rotatie-as door middel van een aluminium V-vormig bevestigingsstukje. Het massa.middelpunt van de boemerang +
bevestigingsstukje Ugt zo goed mogelijk op de hartUjn van de rotatie-as. Deze as is uitgevoerd als een bolle aluminiumbuis. Hij is op twee ptaatsen gelagerd in een tetraeder-vormig frame dat bestaat uit aluminium hoekbalken.
In dit frame is opgehangen de aand.rijf-servomotor met een tandriemoverbrenging.
Op de motoras zit een schijf met spleten die samen met een fotocel + lampje dient voor de snelheidsregeling. Dit hele gedeelte weegt zonder boexnerang
a
A.
I
'tp
t
I fig. 11,1 de meetopstelling5.15 kg. De.gebruikte boeiaerangs wegen, inclusief bevestigingtukje van
0.15 tot
0.19
kg.Het tetraeder-vormige aluminium frame is via zes rneete1exnenten verbonden met
een vast frame, eveneens tetraeder-vormig, maar geniaakt van ijzeren
hoek-balken. Aan dit laatste frame is star bevestigd. een dunwandig cilindrisch
lichasm met stroomlijnprofiel, dat de rotatie-as moet afschermen van de luchtstroom. Bij de proeven is de rotatie-as zo goed. mog&Lijk horizonta&L gestel4. Het gehele apparaat staat op een ijzeren tafel en kan worden
gedraaid. orn een verticale as door bet middelpunt van de boemerang, ten eind.e
verschillende standen ten opzichte van de luchtstroom te kunnen instelLen. We definiren een rechtshandig cartesisch cordinatensys-tem als voigt. De oorsprong is bet massamiddeipunt van de boemerang. De z-as valt samen met de rotatie-as, positieve richting van lagers naar boemerang toe. De i-as is verticaal omhoog gericht. De x-as is horizontaal, iride stand i0
in de richting van de luchtstrooin. Bij de proeven kan -iV worden ingesteld
tussen -20° en
+i.5°.
Het x,r-vlak vait samen met bethoofdtraagheidsvla.iç
van de boemerang. Bij een rechtshandige boernerang past de rotatiesnelhejd
bij de z-richting als een rechtshandige schroef.
Elk der zes meetelernenten bestaat uit een meetblokje en een fosforbrons
draadje. Een meetblokje is kubusvorrnig (ribbe 5 cm) en bevat v-1er evenwijdige
staten bandjes waarop rekstrookjes zijn geiijmd. (zo'n blokje is uit één stuk armco staal gefreesd). Een meetblokje kan iets vervormd worden onder
invloed van krachten in één richting, en is praktisch volkomen stijft.o.v.
de vij.f andere vrijheidsgraden. Elk biokje is door middel van bouten aan
de ene kant verbonden met bet vaste ijzeren frame, en aan de atidere kant via een fosforbrons draadje aan het aluminium frame. Het fosforbrons. draadje
staat evenw.ijdig aan de gevoetige richting van het blokje. Het beeft de
functie uitsiuitend krachten in deze richting over te breiigen. T.o.v. de vijf andere vrijheidsgraden is bet draadje slap. Op deze wijze krijgt ieder van de zes meetbiokjes zo zuiver rnogeLijk de "voor hem bedoelde" kracht
toe gevoerd.
De posities van de zes meetelementen en de richtingen waarin zij krachten meten zijn schematisch aangeduid in fig. II,
3.
Ze zijn genuinmerd van9
t/m lii.. De meetelementen 12, 13, i1. meten in x-richting, 11 meet iny-richting,
9
en 10 meten in z-richting. Het gewicht van het aluminium frame(inclus ief boemerang en aandrijving '-'
5.i.
kg) hangt aan meetelement 11,en
belast, in mindere mate, ook de elementen 9 en 10.
fig. II, 3. Schema met posities en orientaties der meetelementen.
§ 2
Windtunn&LDe gebruikte windtumiel as kort voor het experiment gereed gekoien en werd gebruikt met open meetsectie. De uitstroomopening is rechthoekig,
70 cm hoog en 90 cm breed. De afstand tussen het midd.elpunt van de boemerang en bet vlak van de uitstroomopening is
68.5
cm. Bij d.eze afstand kan nbg neteen bock 4r van worden ingesteld zonder dat het ijzeren frame de houten
tunnel.wand raakt. Het middelpunt van de boemerang ofwel bet eind van de
rotatie-as reikt op 8 cm na tot de hartlijn van de luchtstroom. De rotatie-as
bevind.t zieh lets minder dan
0.5
cm hoger dan het midden van de luchtstroom.De cirkel die een boemerang bij rotatie bes1aat heeft bij arie van de vijf
gebruikte boeiaerangs een straal van ruim 30 cm, bij twee een straal van
ongeveer 26 cm. Het is duid&Lijk dat bij de eerste drie boemerangs de
vleugel-tippen twee maaL per omwenteling zeer dicht bij de begrenzing van de
lucht-stroom komen. Door rniddel van een pitot-buis is vastgesteld dat de 11uchtlucht-stroom bomogeen (binnen e-' i%) is in bet gehele gebied waarin de boemerangs zieh
tijdens de metingen bevinden.
§ 3
WerkingElk der meetelementen en meetkanalen is door ons genunmierd van 9 t/xn iLs.. De
van de meetblokjes afkomstige signalen worden versterkt in zes peekels (dit
zijn rekmeters van de firma Peekel.) en geintegreerd over een meetruri ( 50 seá).
De zes geintegreerde signalen worden digitaal afgelezen. De peekels kunnen
worden ingesteld. op gevoeligheden die wij noemen: 1, 2,
5,
10. (Op de peekelszelf aangegeven als: .1, .2,
.5,
1). De keuze der gevoeligheden wordt bepaald door dé maximale grootte van de (vaak sterk oscillerende) signalen. De zesgebruikte peekels maken d.eel uit van één set van acht stuks.
Ond.erstaand.e tabelgeeft voor elk
van
de kanalen 9 t/m iii. betidentificatie-nummer van het zneetblokje en bet bijbehorende peekel kanaalnumnier.
ans nummer meetblokje + peekel
De zes componenten van de op de
F, =1 ..
.6.
Zijn F , F , F dex
y z de boemerang, en M , M , M diex
y zF=F
F=F F=F
1 X 2 y3
zF=M FM FM
li.x
5 y6
zOnderstaande tabel geeft
aan of de bijdrage van elk der meeteleinenten9
t/m lii.tot jeder der F. positief, negatief
of afwezig is. Hierbij is uitgegaa.n vaneen ideale instelling van
de apparatuur. De
ijlen in fig.
11,3 geven de richtingen aan waarin de gemeten krachten positief worden gerekend.boemerang uitgeoefende krachten noemen we -cartesische componenten van de kracht F op
van bet krachtmoment
M,dan noemen we:
Vergelijk deze tabe'L met (111,2) dat is de matrix A.., verkregen uit
ijk-met ingen.
De aandrijf-servomotor is van het te Axem-Servalco F9MII.. De tandriemover-brenging heeft een vertraging van 5:2. Het toerentalvan de motor wordt Inge-steld en constant gehouden door middel van een op de motoras gemonteerde
(11,2)
.9
9
10 11 12 '13 1L.F1 00 0
+ + F2 O O +00 0
F3 +0 000
(II,)) F -0 00
F50
00-F'6 oo 0-
+ o9
861-20-v 9lo
861-20-II 10 11 861-io-I 1512
861-lo-ii
12 13 861-10-iii 13 i I.SB-}'-0I.i.7-1 0-VI
16Blokjes 9 en 10 zijn 20 kgf-blokjes, de o.verige 10 kgf-blokjes (li. gf/.x resp.
schijf met pleten, een fotoce1 + lamp en een e1ectronische
terugkoppelings-regeling.
De. stuwdruk in de luchtstroom, en daarxnee de luchtsneiheid, wordt bepaald
door middel van een pitot-buis en een manometer.
§ 1i. De boemerangs
Vier van de gemeten boemerangs zijn iirikshandig en door mij uit multiplex
vervaardigd. De vijfd.e, de WU, is rechtshandig en bestaat uit kunststof.
Deze in serie gefabriceerd.e boernerang is in Duitsiand te koop onder de naain
"Comeback" (ntwerper Willi Urban). De Li is voorzien van batterijtjes
en
een lampje. Deze boernerang is vroeger gebruikt bij het fotograuisch registreien
van boemerangbanen (F. Hess: The aerodynamics of boomerangs, Scientific
American voi. 219, no. 5, pp. 12h-136, November 1968). Ook de L1
en de L6
bevatten batterijtjes en lampje, maar in deze boemerangs kan bovendien
en
"tijdpii't worden aangebracht, d.w.z. een stukje electronica dat het lampje
twee inaal per seconde aan- en uitschakelt orn zodoende bij baanfotografie een
tijdschaal te verschaffen. De F18 is een boemerang zondermeer.
Ond.erstaande tabel geeft een iijst van de boemerangs, bun gewicht inciusief
bevestigingsstukje en de straal R van de cirkel die ze bij rotatie beslaan.
boemerang
gewiöht
R(gram)
(cm)Li links
19130.7
Liinks
19030.2-L6 links
15125.h.
FlBiinks
15126.2
WU rechts
17730.3
III Metingen
§ i Metingen
Bij het Ttdoormeten" van een boemerang wordt als voigt te werk gegaan. Eerst
wordt de boemerang gemonteerd.
Dan wordt een hoek van inval
r ingesteid. (r = -5°,0°,5°,10°,15°,20°,30°,Li.5°).
Vervoigens wordt een meetserie uitgevoerd. Een meetserie bestaat uit:
1e
Peekeis op nul stellen.
2e
Nulpuntmetingen, d.w.z. meetruns zonder krachten op de boemerang. AL1e
peekeis achtereenvolgens op gevoeligheid 1, 2, 5, 10.
WV
(fr
,,
wU
-i
fig. 11,4. De vijf gemeten boemerangs, met bevestigingsstukjes.
3e
Eigenlijke metingen. Een windsnelheid wordt ingesteld (ineestal in totaal. vijf verschiVLende wind.snelheden). Vervolgens worden in het algeineen
drie meetruns van 50 sec uitgevoerd. bij
7,
10 en lii. omwentelingen per sec.Ll. Nulpuntnietingen als onder (behalve voor gevoeligheden die bij de
eigenhijke metingen niet zijn gebruikt).
Een volledige meetserie bestaat dus uit ongeveer 1 5 eigenhike metingen en maxiniaal 8 nul.puntmetingen.
Warineer zeer sterke tril.lingen optreden, wordt de rotatiesneiheid jets
ver-hoogd, bijvoorbeeld
7.5 i.p.v. 7.0
omw/sec, 10.3 of10.6
i.p.v. 10.0 omw/sec.§ 2 IJking
De apparatuur word.t geijkt door bekende krachten en momenten uit te oefenen op het uiteinde van de stilstaande rotatie-as. Dit wordt gedaan.door mi.del van bekende gewichten die gelegd worden op schaaltjes die hangen aandunne, soepele koordjes, eventueel via lichtlopende katroVLen. Bij een bepaalde opsteUing van koordjes en katroVLen worden de gewichten op én of beide
schaaltjes gevarieerd., efi een meetserie uitgevoerd als beschreven in § 1, 1e
.,,
§ 3
Verwerkin metingenDit gebeurt per meetserie (zie § 1). De geintegreerde outputs der kanalen
9 t/m iL'. worddigitaal afgelezen in de vorm van gehele getallen. Alle
outputs worden herleid tot een meettijd
van-50
sec exact, en vermenigvuldigd met de gebruikte peekelgevoeligheid (1, 2, 5 of io).De nulpuntinetingen worden op dezelfde manier behand.eld. De nulpuntoutputs
aan het einde van een meetserie verschill.en in het algemeen van de overeen-koinstige gootheden aan het begin van de meetserie.
Daaroin worden de meetoutputs gecorrigeerd door middel van lineair
geinterpoleerd.e nulpuntoutputs. Zo verkrijgen we per meting zes gecorrigeerde
outputs: Mc., j
= 9..
.i1..
Deze worden afgerond tot gehele getallen.§ li. Verwerking Liking
De ijknietingen worden in principe
metingen, zie
§ 3.
Het verband tussen de zes output
F, i = 1 . .
.6
wordt gegeven door1J.i.
F. = E A..Mc.,
i
i9
Ji
Jop dezelfde manier bewerkt als de eigenlijke
s Mc., j
=
9...1)-i. en de zes krachtcomponentende matrix A..:
3].
i1...6
Bij de ijking zijn de F. bekend, de Mc worden bepaald en de
utrix A..
kan
worden berekend.In totaal zi.jn 50 ij1etingen(in 12 meetseries) uitgevoerd. Met een kleinste çwadraten methode zijn de matrix elementen A1 bepaald. Tabel (111,2) geeft de matrix A... Voor gegeven gecorrigeerde outputs Mc
j
=9..
.114. kunnen hier uit de zes componenten F1, i = i . ..6
worden berekend met formule (111,1).Aangenomen is een meetrun van 50 sec. F1, F2, F3, (F', F) zijn uitgedrukt
13
De elementen die corres:rfonderen met de niet-nulelementen in de matrix (11,3)
zijn ond.erstreept.
§ 5 Lijst
van
metingenDe nulpimtmetingen zijn niet bij
alle
meetseries zo voUedig uitgevoerd alsin § 1 is vermeld. Bij de laatste 14.0% van de inetingen en ook
bij
de ijkingis dit wel het
geval.
Deze metingen dulden we aan met: XX. Bij de middelste 20% van de metingen zijn alleen nulpuntmetingen uitgevoerd met peekelgevoeligheid 1. Deze metingen dulden we aan met: X. Bij de eerste ii.0% van
de metingen zijn geen nulpuntmetingen gedaan. Het nuLpuntverloop in urek is afgelezen 'op de bij de peekels behorende galvanometer. Deze metingen duiden we aan met: 0. (Metingen helemaal aan het begin van het experiment, Lsmede
een andere ijking, alles zonder enige nulpuntcontrole, laten we buiten
beschouwing).
Tabel (111,3) geeft een lijst van alle bruikbare eigenlijke metingen: totaal
614.0 metingen in 1i.2 meetseries. In de bovenste regel staan de namen van de.
vijf gebruikte boeinerangs en
hundraaizin aangegeven.
in gran1f en F14., F5, F6, (M,
9
10 M) in gramf.dm 11 12 13 iii. (111,2) F1 F2 F3 F14. p F6 -.0077 -.0001 +.3152 -.0007 -.0082.3160
-.0031 +.1677.1528
+.1529+.1633
-.0033 +.0026 -.oi63 -1.0130 -.0013 +.00141.0005
-1.0071 -.0010 +.0059. +.0071 -1.55314. -.00514.1.0360
.3937
-.14.5!.Qli.55
.0096
.0i214. -.0030 +.0155 .00i14. -.1923 +.1937 +.0015IV
Foutendiscussie
§ i Fouten bi.i de ijki
Bij de ijking treden ap: fouten in bet aangrijpingspunt van de krachten (dci),
d.w.z. in de bevestiging van de koordjes, en fouten in de richting van de
krachten (db), d.w.z. de richting van de koord.jes. De fouten in de grootte
der krachten (bekend.e gewichten) is verwaarloosbaar. We neinen aan:
dci = 1mm, db = .01 rad.
Verder riemen we aan een rel.,atieve fout
df
=.5%
in de outputs van elk der kanalen
9t/m lii-.
De fouten zijn eigenlijk steeds op te vatten als verschillen tussen de
'tijktoestand" en de "meettoestandt' vari de apparatuur. cid betreft het verschil
in positie tussen bet aa.ngrijpingspunt van de ijkkracbten en het zwaartepunt
van de boeinerang. db betreft het verschil. tussen de richting der koord.jes en
de x-, y
of z-richting. df betreft bet verschil in signaalversterking tussen
het ijken en het meten.
Door te ond.erstellen dat deze foutén zo ongunstig mogelijk samenwerken,
ver-krijgen we de ijkfoutmatrix DA.... behorende bij de ijkmatrix A.., (111,2):
1L.
("3)
Ll.links
O L6links
O XX Lilinks
X XXW
rechts
links
XX XXF18
links
XX -P5° 15 18 19 19 00 15 20 17 1) 3 18 50 16 17 19 15 16 13 1810°
15 20 17 15 16 20 15° 16 18 15 15 3 1520°
1L1. 13 lii. 10 15 300.9
10 iIi, 12 12 12 .:9
10 3 13 13totaal
110132 36
119
1687
9
131Deze ijkfouten leiden tot fouten d1F. in de cornponenten F volgens
lii.
dF. = Z
DA..IMc.I
, 1= i...6i
i
i9
Ji
JDeze fouten d. F. zijn grotendeels systematisch van aard. Hun grootte is
i -,
de orde van erik&Le % in de resulterende kracht F en het resul,terende moment
M op de boemerang. De fouten in de afonderlijke componenten kunnen relatief
veel groter zijn.
§ 2 Verwante fouten bi,i de metingen
Hoekfouten dh bij het instellen van een nieuwe hoek r zijn systematisch binnen
een meetserie, maar kunnen per meetserie verschillen. Positiefouten dd bij de bevestiging van een boemerang zijn systematisch, want het bevestigen is
doorgaans slechts één maal gebeurd per boemerang. De variaties df in de versterking der siialen blijken volgens detwee maal dagelijkse controles binnen + 0.75%. Ze leiden tot varirende fouten.
De in § 2 genoemde fouten beschouwen we verder niet expliciet, ze zijn van
d.ezelfd.e aàrd als de in § 1 genoemde, en kunnen worden geacht daarin te zijn verwerkt. Misschien is de vermelde schatting voor dd, dh, df wat áan de lage kant, maar anderzijds is bij (Iv,2) een zo ongunstig mogelijke combinatie van deze fouten aangenomen
§ 3
Fouten in de gecorrigeerde outputs McEerst beschouwen we de XX inetingen. Per afgelezen output is er 1/2 eetheid.
fout vanwege de afronding op een geheel getal. Hetzelfde geldt voor de nulpunt-inetingen. Dit levert, athankelijk van de gebruikte peekelgevoeligheid een fout
van 1, 2, 5 of 10 eenheden in de Mcd. J 15 (Iv,2) 9 10 11 12 13 iii. 1 .00514 .0056 .0070 .006o .0059 .0087 2 .0055 .0056 .0062 .0077 .0076
.0095
3 .0017 .0017 .0017 .0025 .0025 .0017 (Iv,i) 14 .0076 .0079 .0123 .0123 .0121 .0157 5 .0077 .0079 .oio6.0138
.0136 .0173 6 .00146 .00148 .0122 .0138 .0136 .0173Uit de XX nuLpuntmetingen zijn enige correlaties te vinden tuszen de nulpunt-outputs voor verschillende peekelgevoeligheden, aismede enige regelinaat in
de nulpuntinstellingen aan bet begin van de rrieetseries. Noeinen we de uitkomst
iran een nulpuntmeting met peekelgevoel.igheid i: sii (j
= 9...1!.),
dan blijktde volgende formule êen goede benadering te leyeren voor de overeer±omstige uitkomsten sri, n = 2, 5, 10 voor de overige peekelgevoeligheden:
(s_s0)
=(s1_s0)
n = 2, 5,io,
j=
9...i1
iv,3)
waaruit de constanten s (j = 9.. .i1.) te bepal.en zijn. (De se,. wijzen op
interne nuiniveau fouten in de peekels. Eigenhijk zoud.en alle s. = O moeten zijn). Uit de XX nulpuntmetingen vinden we als beste bepalingen voor de s.:
Voor de X metingen kimnen op grond hiervan de nulpuntmetingen voor de
gevoeligheden 2, 5 en 10 worden geschat. We verdubbelen dan wel de fouten in
de Mc. voor deze gevoeliheden. Bij de O metingen verdubbelen we alle fouten en tellen er nog eens 5 eenheden bij op va.nwege de extra onzekerheid door bet ontbreken van echte nulpuntmetingen. Tabel (TV,5) geeft de aangenomen fouten
in de Mc.: 3 gevoelighe id metingen XX metingen X metingen O 1 2 5 10 1 2 5 10. 1 1i 16 20 7 9 15 25
Het nulpuntverloop zoals waargenomen in de XX meetseries bedraagt geriiddeld
per meetserie:
(Iv,5)
(1 .i-rek correspondeert met 27 eetheden Mc.). Het verloop in kanaal 11 is
verreweg bet ernstigst, vaak is meer dan 2.i waargenoinen. Helaas zijn er sterke
aanwijzingen dat dit verloop niet altijd Lineair is, maar wellicht grillig, en athankelijk van de beLasting. Zeer aanzienlijke onzekerheden in de ver-kregen waarden voor en M kunnen hiervan het gevoig z.ijn zoals te zien is uit de matrix (111,2). Vanwege de onzekerheid omtrent het preciese nulpuntvérloop tij dens een meetserie, dus vanwege mogelijke niet-lineair
16 kanaal j 9 .10 11. 12 13 lii. (Iv,L)
s.
-8.8 5.1+0.5
-2.22.5
+5.3 (eenheden Mc.) 03 kanaal 9 10 11 12 13 114rn(iv6)
verloop+5.8
+0.2+26.5
+2.0 +0.32.7
(eenheden Mc.)vei'oop, teilen we bij de bovengenoemde fouten nog een bijth'age op die afhangt van het kanaal. Nogal willekeurig nemen we hiervoor de helft van het gemiddeide verloop (Iv,6):
De werkeiijke fouten in het nulpuntverioop zijn weilicht systematisch van
aard.
.Bij ledere meting krijgen we volgens (IV,5) en (Iv,7) voor elke Mc., j
= 9.
..l1.een fout DM. Onder de aanriame dat deze fouten zo ongunstig mogelijk combineren, krijgen we daaruit de volgende fouten d2F. in de componenten F., i = i . .
.6:
ill.
d.J. = E
¿1
IA..ILM., i = i...6(iv.8)
.
Ji
J3=9
De boyen aangenomen fouten in de Mc. zijn minimum schattingen. De afgelezen getaUen zijn het resultaat van integratie over 50 sec van soins sterk
osciUerende signalen met amplitudes die vaak veel groter zijn dan de
gemiddeide waarden. Evenueie alineariteiten in de apparatuur kuimen leiden tot fouten in de afgelezen grootheden, die wellicht systematisch zijn. Hiervoor kan ik geen schatting geven. Omdat echter de keuze van de
peekel-gevoeligheden voornamelijk is bepaaid door de maxima in de signalen, lijkt het waarschijnlijk dat de absolute fouten Mj grovere gevoeligheden groter
zijn dan bij fijnere gevoeliglieden. De boyen aangenomen fouten in de Mc. kunnen daarom best relatief ongeveer goed zijn, maar absoluut bijvoorbee1d
een factor 2 te klein. Veel meer dan een factor 2 zou alleen kunnen als deze fouten grotendeels systematisch zijn, want de meeste van de dubbel uitge-voerde metingen reproduceren goed.
§ 1 Föuten in luchtsnelheid, rotatiesneiheid, tijd
De fouten in de luchtsnelheid W blijven zowel ruimtelijk als in de tijd
binnen 0.5%. De begrensheid van de stroming 1.evert misschien geringe fouten op. Fouten in de barometerstand leiden tot geringe fouten in de gereduceerde rotatiesneiheid = wR/W, maar geven geen fout in de afgelezen stuwdruk.
Fouten in de rotatiesneiheid w zijn verwaarloosbaar (<
10/00).
Fouten in de tijdsbepaling zijn verwaarloosbaar, echter: door het niet
integreren over een geheel aantal periodes kunnen fouten ontstaan. Een meet-tijd van 50 sec correspondeert met 350 omwentelingen bij 7 omw/sec, met 500
17
kanaal 9 10 11 12 13 1).i.
(Iv,7)
omwentelingen bij 10 0mw/sec en met 700 omwentelingen bij iii- omw/sec.
Vanwege het vaak sterk oscillerende karakter van de signalen, zou een
halve periode flinke bijdragen kunnen leyeren. Waarschijnlijk echter
toch niet meer dan jets in de orde van
van het totaal. (Het zou
beter zijn orn niet over een vaste tijd te integreren, maar over een
vast, geheel aantal omwentelingen).
§ 5 Invloed aanwezigheid apparatuur
Er kunnen fouten optreden ten gevolge. van krachten die worden uitgeoefend
op de bevestiging van de boenierang, de roterende as, de
tandriemover-brenging, de schijf met spleten en het aluminium frame. Deze krachten
worden iininers impliciet meegemeten. Uit enkele controle metingen zonder
boemerang blijkt dat de invloed. van deze krachten gering is.
De stroming orn de boemerang wordt beinvloed. door de aanwezigheid van bet
bevestigingsstukje en vooral van het strooinlijnlichaarn dat de rotatie-as
afschermt. Dit heeft een koorde van 13.5 cm en een maximum dikte van
3.3 cm. Deze invloedis misschien niet zo gering, maar 1k kan er. helaas
geen schatting voor geven. Het verschijnsel is in leder geval onvermijdelijk.
§ 6 Doorbuiging van de boemer
Doordat de boemerang dicht bij zijn zwaartepunt wordt vastgehouden, verbuigt
hij onder invloed van de luchtkrachten veel meer (vaak duidelijk zichtbaar),
en anders, dan waimeer hij zich in vrije vLucht zou bevinden. De vorm van de
boenierang verandert tij dens een rotatieperiode en bangt bovendien af van th
wind.snelheid W, de rotatiesneiheid c en de hoek van inval 4r.
1k kan geen
schatting maken voor de fouten die hierdoor ontstaan. Ze zijn stellig
systernatich van aard en ze zouden wel eens aanzienlijk kunnen zijn.
§. 7 Samenvatt
-.3 _
. e
De fouten in F en M voor zover genoemd. in § 1, § 2, § !. en § 5,
1beth'agen
gezainenlijk waarschijnlijk iets in de buurt van 5%. De belangrijkste fouten
zijn die volgens § 3, deze vaxiren nogal per meting en per component.
Relatief bet geringst zijn ze voor F, relatief het grootst voor M
en M
Vaak zijn ze zeer aanzienlijk, soms zelfs van de orde van i00%. De fouten
genoemd
§e
en § 6 zijn moeilijk te schatten, maar kunnen belangrijk
V
(Jitkoinsten
§ i De tabellen
De uitkomsten van de metingen zijn gerangschikt in ii-2 tabellen,
én voor
elke ineetserie. Hierbij is de volgorde der boemerangs: L 1., L 6, L 1, WU,
F 18. Met de rechtshandige WU Zijfl ook enkele linksdraaiende metingen
gedaan en wel voor
fr00, 15°, 3Q0
Deze metingen zijn als zodanig aangeduid
in de tabellen.
De 17 koloien in elke tabel geven, van links naar rechts:
k: het nuniner van de meting
lii:
de invalshoek in graden
W: de luchtsnelheid in rn/s
u= /2t: de rotatiesneiheid in
ornw/sQ = cR/W: de gereduceerd.e rotatiesneiheid
de drie geiniddelde krachtcornponenten in grainf
de due geniiddelde momentcornponenten in grarnfx din
.de zes diniensieloos gemaakte componenten:
=
F/ pWR2
DFY = F/ pW2R2
LFZ=
F/ pW2R2
(v,1)
LTX
=
M/ pW2R3 LTY=
MI
pW2R3 D M/ pW2R3Linkshandige metingen zijn gereduceerd tot rechtshandige door DFY, LC, Dl2
van teken orn te keren (spiegeling).
In de twaalf laatste koloinmen is onder elke grootheid aangegeven een s chatting
voor de fout in die grootheid. Hiervoor is steeds genomen: de fout volgens
Iv § 3 (fouten in de gecorrigeerde outputs Mci) plus een fout in ieder der
kanalen vcn
%. Dit laatste maakt deel uit van de in IV § 1
en § ? genoemde
fouten. De overige fouten zijn niet opgenomen in de tabellen.
§ 2 De grafieken
De achter in dit rapport opgenomen grafieken geven de meetresultaten weer
van de volgende metingen:
X Li
links
XX
F 18 links
XX WtJ
rechts
Voor elk van de zes diinensieloos gemaakte componenten
(v,i) zijn twee
grafieken gemaakt. Eén grafiek voor zorn component als functie van Q, dit
tevrt een stet curves met
ií
als parameter. En één grafiek voor de component als Í'unctie van ', dit levert een stet curves met Q als parameter. Deze grafieken staan telkens naast elkaar op een bladzijde. De grafieken zijn als voigt tot stand gekomen:Bij de metingen heeft de hoek î steeds één van de hieronder vermelde waarden. De in de linker grafieken voorkomende cijfertjes corresponderen met deze
waarden volgens:
o o o o o o o o
-5
Q 5 10 1520 3Q
Lj.5cijfer 1 2
3
5 6 7 8(Bij de W ontbreekt het cijfer i; er is niet bij
r =
-5° gemeten).In de tinker grafiek (abscis: Q) zijn de meetpunten aangeduid met deze cijfers. Voor elke groep rneetpunten behorend bij één bepaalde hoek r is een tweed.e
graads kronmie getekend die een kleinste kwadraten aanpassing aan de rneetpurxten
vorrnt. De gewichtsfactoren voor de meetpunten zijn gebaseerd op de in de tabellen gegeven fouten schattingen. Dit hele procédé houdt niets meer in dan het gebruikelijke "stroken" en dient orn gladde iijnen te verkrijgen die een red.elijke mate van overeensteriing vertonen met de vaak sterk gespreide meet-punten. (Alleen voor de component LFZ blijkt deze methode van stroken een zeer goede aanpassing te leyeren).
De rechter grafiek geeft de zo gestrookte component als flinctie van r. Hierbij
is uitgegaan van de waarden die de kwadratis che curves in de tinker grafieken
aannernen voor
Q= resp.
.5,
1, 1.5, 2,3,
1 (v,3)(Het zou prettiger zijn geweest als bij de metingen ook Q beperkt was geweest tot erikele vaste waarden, zodat elk der metingen zou corresponderen met één van de punten van een rechthoekig rooster in het (jr,Q)-vlak. Met weinig extra
moeite zou. 'dit te realiseren zijn geweest door de rotatiesnelhed.en jets anders
te kiezen en de luchtsnelheid zeer zorgvuldig in te stellen).
Alle grafieken zijn getekend door de plotter aangesloten op de TR L. rekenmachine van het Rekencentrum van de R.U. Groningen.
Opmerking: We zijn stilzwijgend uitgegaan van de onderstelling dat het getal van Reynolds geen siiificante invloed heeft op de dimensieloos gemaakte componenten. Deze onderstelling maakt het mogelijk de drie onafhankelijke variabelen te reduceren tot twee: Q,jr. De invloed van het Reynolds getal is inderdaad merkbaar bij de component LFZ, die vaak jets toeneemt met
toenemende Re. Bij de overige componenten kwmen we hierover niets zeggen gezien de beperkte nauwkeurigheid van de metingen.
(v,2) 20
§ 3 De theoretische grafieken
Hoewel dit rapport vooral is bedoeld orn de experimentele gegevens vast te
leggen, is een vergelijking met theoreti che uitkomsten er op zijn p1aats.
Voor bet berekenen van geuiiddelde krachten en momenten op een door de lucht
bewegende boernerang hebben we een theoretisch model ontwikkeld, dat beschreven
is in bet rapport TW-111: "Rotating airfoils in steady flow". Zowel de
theoretische al,s de experinientele boemerangs die daar in voorkomen bestaan
uit een aantal onderling geUjke armen.
De bij bet ond.erhavige experiment gebruikte boemerangs zijn van bet gewone
type: zo'n boemerang bestaat uit twee ongelijke armen. Een eenvoud.ige
uit-breiding van bet theoretische model volstaat orn ftit in aarimerking te nemen.
Elke arm wordt "uitgesinerd" tot een winglet systeem. De gesuperponeerde
21
1 2
fig. V,1
Boemerang met voor elke arm een wingLet systeem.
winglet systemen worden sixnultaan behandeld volgens de in rapport TW-1i1
bes chreven methode.
De met dit model uitgerekende krachten en momenten lijken aard.ig op de
experiment&Le grootheden zolang iii klein blijft, maar voor grote hoeken ir
(Ir.15°) zijn de resultaten niet realistisch. LFZ is dan veel te hoog, DFX
te laag en D'32 te hoog (te sterke autorotatie). Geen wonder, want de
boexnerang-armen worden dan onder grote hoeken van inval aangestroomd, en de
liftcofficient
van een boemerangarin-profiel verloopt dan niet meer lineair met de
effectieve invaishoek a: de boemerangarmen kuimen overtrokken zijn.
Met niet al te veel moeite is bet lineaire model zod.anig te modificeren dat
er boenierangarmen met willekeurige lift- en
profiledrag-karakteristieken kunnen
worden behandeld. De resulterende integraalvergel.ijking is dan niet meer
Lineair, en moet met een iteratie methode worden opgelost. Als eerste stap
gebruiken we daarbij de oplossing volgens bet oude, lineaire model.
N.B. De geinduceerd.e sneiheid in z-richting
Vblijft wél lineair afhangen
dat
y
in het algemeen klein blijft, zodat deze lineaire benadering voor echte boemerangs waarschijnlijk aardig opgaat. Hiervan afwijken zou trouwens enorme theoretische moeilijkheden met zieh mee brengen.CL CL CD ft1 CL en C vs. a fig. V,2 o a1 polaire krouiine fig. V,3 CD
Bij de theoretische berekeningen is de vorm van de lift- en profiledrag-karacteristieken van de emerangarm-profielen simpel gehouden: zie fig. V,2.
Voor invalshoeken a met a < a < a2 is CL een 1,ineaire functie van a, en CD
is constant. Voor a> a.2 en voor a. < a.1 blijft CL constant en CD neemt lineair
toe.De-pola±re kromme voor bet theoretische boemerangarm-profiel bestaat dus uit drie rechte lijnstukken, zie fig. V,). Het oude, lineaire model
verkrijgt men terug door a.2 = -a1 = -ir te nemen. De in de figuren V,2 en 3
geschetste karakteristieken wijken natuurlijk af van de karakteristieken voor profielen van echter boemeranga.rmen, maar de parameters kunnen zó wor.en
gekozen dat de werkelijkheid. niet al te gek wordt benad.erd.
Voor ledere boemerangarm kunnen waarden voor de volgend.e parameters worden
gekozen:
i lengte van de arm (zie fig. v,i).
e = excentriciteit van de arm, d.w.z. de afstand arm - zwaartepunt
boemerang (positief voor arm 1, negatief voor arm 2). )a.0 = koorde bij tip van de arm.
b
C = koorde bi wortel van de arm.
L = geometrische hoek van inval t.o.v. nul-lift bij tip.
a0 geometrische hoek van inval t.o.v. nul-lift bij wortel.
deL/da helling liftcofficient voor a1 <a < a2 (zie fig. V,2).
CL1 = minimum liftcofficient. CL2 = maximum liftcofficient.
C1i = minimum profiledrag-eofficient.
dCD/da. = heliing dragcofficient voor a> a.2, a < a1.
En ìovendien nog de grootheden I-i. t/m 9 voor het achterstevoren profiel
van
dezelfde boeinerangarni.
Bij de grootheden 3 en j-l. wordt een waarde voor de tip en een waarde voor de wortel, gegeven; de correspondcrende grootheden op jeder punt van de arm
worden verkregen door interpo1atie. Taper en twist kunnen zo worden verwerkt. We beperken de theoretische berekeningen (aithans wat dit rapport betreft)
tot
die voor de
W boemerang. Dit isnamelijk de enige van de gebruikte
boemerangs waarvanwe reeds experimentele profielgegevens hebben. Bij
vroegere experimenten op de afdeling Werktuigbouw van de T.H. Twente zijn lift- en drag-karakteristieken van een
aantal boemerangarmen gemeten in een
klein
windtunne1tje. Opgrond
van deze metingen kunnen we schattingenmaken
voor de profieleigenschappen van de bij het onderhavige experiment gebruikte
boemerangs, maar meer dan grove schattingen kunnen dit niet zijn. Alleen
voor de W 1igt de zaak gunstiger: de armen van daze boemerang hebben over
de gehele lengte beide hetzelfde profiel. E&n van de op de T.H. Twente
door-gemeten armen kwam van een ander exemplaar van deze in serie gefabriceerde
boeinerang.
p
De hieronder vermelde schattingen voor de grootheden
5t/m 9 zijn gebaseerd.
op deze metingen (gedaan bij Reynolds getallen
Reli.0000 en Re
80000).
Detoen gemeten waarden voor a0
(+0.00
resp.
+2.50
voor het profiel gewoon resp.
achterstevoren) leyeren echter onrealistische resultaten. We hebben. daarom
de waarden voor
at
z6 gekozen(-i-2.5° resp. +1.5°) dat er een redelijke
steniming is verkregen vodr de component LFZ bij
r =
0°. De grootheden 1 t/m 3zijn eenvoudig met een lineaaltje opgemeten
aan
de W.De lengtes zijn opgegeven in urn, de hoeken in graden.
Met deze gegevenszijn de zes dirriensieloze componenten (11,1) uitgerekend.
voor de
8x6
punten van het rechthoekig rooster in het(,ç)-vlak
met:o
0,
o O o o o o o5,
10,15, 20,30, !i.5
fl=
.5, 1,
1.5,2,3, Ii.
(Ter vastlegging: De gegevens (V,4) bepalen theoretische boenierang nr. 18.
De berekeningen zijn gedaan met progranma versie CB 152. Aantal coVLocatie
punten
6x6.
Integratie tol.erantie .02).
(v,5)
23.rm e i
w
att
a. dCL/da, CL1 CL2 CDm dCD/da.1
+76
281 110+2.5 +2.5
.12
-0.5
+1.1
.o6
.025
achterstevdren:
+1.5 +1.5
.12
-0.5
-1-1.1.07
.025
(v,lt.)
2
-69
293 Li.0 ¿.0+2.5 2.5
.12
-0.5
1.1
.o6
.025De upzet van de theoretische grafieken correspondeert met die van de experimentele grafieken. De berekende punten zijn verbanden door rechte
lij nstukken.
§ 1. Vergeli.iking theorie/experiment
De vergelijking van theorie en experiment kan bet best gebeuren aan de hand. van de grafieken achter in dit rapport, en wel die voor de WIJ enerzijds en
die voor de theoretische boeinerang bepaald door (V,l.) anderzijds.
cperimenteel is LFZ bet nauwkeurigst bepaald. Bij deze component is er een
goed.e overeensten'nning. In het gebied waar de boemerangarmen het ernstigst
overtrokken zijn (l1r,, 200,
Q<3)
zijn er echter d.uid.elijke afwijkingen: detheorie geeft te 1age uitkomsten. (Het oude, lineaire model geeft voor veel te hoge uitkomsten). Misschien is er verbetering mogelijk door een andere theoretische parameterkeuze, maar het is ook mogelijk dat het winglet model hier niet adequaat is.
LTX en LTY zijn niet za nauwkeurig gerneten. LC is bet onzekerst. Wat betreft deze beide mienten is de overeensteimuing kwalitatief niet za gek, maar
kwantitatief niet bepaald goed. Bij LTY zit de theorie voor grate hoeken 4r aanmerkelijktelaag(Merkwaard.ig is dat de lineaire theorie hier een betere overeenstemining levert). Wellicht is de experimentele LTY te hoog ten gevolge
van bet doorbuigen van de boemerang. Miss chien is d.eze doorbuiging binnen ons theoretisch model te simuleren, dit is jets orn nog na te gaan.
Nu de componenten ten gevolge van krachten parallel aan het (x,y)-vlak: DFX, DPY, DIZ. Hier is de overeenstemming niet &Lecht. Bij DFX en DZ kwalitatief en kwantitatief goed, gez ien de beperkte experimentele nauwkeurigbeid. (De lineaire theorie geeft hier voor grote r volkomen onrealistische resultaten!). DFY is zowel experimenteel als theoretisch klein en experimenteel wat onzeker. Over bet ge'heel genomen is er geen reden omaan te nemen dat de metingen en de theorie met elkaar in strijd zijn. Anderzijds zijn de meetresultaten, behoudens die voor LFZ,te weinig nauwkeurig dan dat op grand. ervan tekort-komingen van bet theoretisch model zouden kunnen worden vastgesteld. (Maar:
de metingen in Delft zijn wel de directe aanleiding geweest voor de
ont-wikkeUng van de niet-lineaire modificatie van het theoretisch model, beschreven
in
§ 3).
VI
Tabellen
OEMERANGL4
LINKS
.R32HM
METINGENO
KPSI
Li 0M EX VYf'7
MX MYlIZ
DFX DFY LF'Z LTXLTv
DTZ10J
6 2ß7,00
2,11
+ 9 + 3 + 4 +1.1 '14
.s',0194
-.6661
*,669
-.0682
..tt581
.,ei.(i8
- 5 4 .7 32 37 4 lii 87 1.56 24o 28C 30101
6.31 10.06 3.01 +11 + 4 + 20 + 7 J.1+4
+.0241
-.6687
..e452
6656
.oee5
..0178
5 4 7 32 33 4111
86 1.57239
. 2P1 30__.to.
-5
6.36140
4.18
+14+_6
*51
+4
1t1 *42+.63@1
.e132
'.1121
-'.0028
e71
..0310
5 4 7. 32 38 4 112 85 158 237 281. 30io.
-
...45 ..1...o01.41.
+ 4-
i
+19
28 17,.6i2
-.6641
«.06±0
.,0064
.'0693 -.0057 5 4 7 32 3( 4 50 39 69teo
iM
±4 184 -5 9.4710.00
2.06 +18 + 4 .+ 11 1.22
+27
..6176
«.6640
.6112
.C603
6672
.6089
5 4 7 32 .39 4 5i 38 78106
128
14 10) -5 9.49 4.00 2.8o +20 + + 36 !S +46 +..0202-.e5i
..6356
.005o
,oi5i ...5
4.
7. 32 4h 4 52 38 78106
131
.10-3
12.71
.7.gO
1.84
-14
-.2
..-
6-1
+207
+1.0-.6679
+.ii
-.eo32
,.0634
638e
..0618
.: . - .. 5.4
732
3 4 28 21 38 59 7_6./.-5
12.72
..10.00
1,49
+24
+ 3 + 1-
7-2(
.*3
+.0131
-.0615
+,0606
4,06±3
-0036
.UC66
5 4 7. 32 4u 4 29 21 39 59 74 8 103 -5 1.2.77 1.4,60 2.08 +27 .+ 4 + 24-32
-1.1*53
*.6149
«.0026
o,6134
e'.0059
882C,0096
5 .4 7 32 41. 4 30 2139
59
75 816ì_
-5
18.79
7.60
.6.71
...37 -67
-20
7.31
+.0693
+.608i
.178
..66i7
-064
.ú326
.1 . . 6 4 7 32 43 -. 5 14 1018
27
4.iii..
-5
18.791.6.80
1.191 +40-0
- 36 -36 ,.16 .45*.0101
*.8601
.6092.0O36
196I3 - .. . -. 9 4 7 32 65 7 22 6 1827
55 61.11_
-18,7
_14!60 i...4i. +45 .+ O i5 -80 29.4
+.0115
«.0060
*.0037
..0667
'6024
,0854
9 4 7 33 66 7 22 10j8
2556
11-
2499
7,80
0,53 +62 .12108
.77
48*41
..0088
'.6602
,0155
4,8037
e.0023
p.0028
- . 8. ' 6 7 1.3 6 11. 33 311..._3
24.92
10.28
8.78
+63
u2
-
86-79
r31
.59
...0890.
..*.8003
,6123
*,e08
oois
9.4__.
7.3370..
7 13 6 1116..
334._
1i._..5.
2.92
14.00.
1.07
+68
47.82
.48
:.78
+.98
..o66.8
...+6039..''063
..!.0837_._
9 ..4 .7.. 327c_i.
7.
13 615
_o:MER4NG
L4LINKS
R312MM
MTJNGEN
O _K PSI_W
-
ti O'1 EX FY EZ MX MY iZ DF'X DPV LFZ LIX LIV DIZ 8,_ +6.36
7.0
2 9 6 I + 37 -21 th +16e.0126
-.e633
.C7i7i.e151
.,069e.,01i6
I 4 3 6 2 3(1 3 87 77127.
27
25
85+ji
'6.3
10.00
2.97 8+3
+ R 27 t ( +23+.0171
w.0662
+.278
*C197
40042
.,016
4 6 .29.30-
3 87 76 129 2C72e
23_
8? +:)_6.4114,t90
4.14 .+io5
+102
-29 *16 +41+.0228
,.6II0 .2214.o,020
A0127
,0293 i.. . . 4 4 6 29 31 3 89 76 132. 2C9 22 24 8 +j9.47
7.00
. 1.40 +11 + 4 52 -18 + i .21+.01±2
4j +.0521..;59
.0e03
v.0068
5 4 7 32Fi..
4 50 38 71 1C7 18.
+i9.4710.00
.2,00 +13#4
+ 77 5.j1.
+30*.0129
..6641
,0769
*0165
4'0032
,0099
5.4..
733.
39 4.51
39 72. 1e8 f2e 149.
+ti.9,47.14.00
2,8117
6 +125 67 7 *440i70
.0660'.1246
'0223
'0o23 p.0147 - . - 5 4 8 33 40 4 52 39 75 131 14 9:+12.63
7,01 1.05 +20 + 2 72 -48 10 *21.0i1O
.e0i1 :+'0407.+0089
e0iÇ
,0039 5 4 7 32 40 4 29 22 41 60 8. 9 +f)12.63
10,00
1,50 +22 + 3 +101 .82 3 +36+.0121
..6016
'.6564
*6I52
.,6606
.,0656
5 4 7 3 40 4 30 22 41 . 61 8 9ò +LJ12.61
14.60
2.11 +26 i. 6 4.i.45 11.0 + 5 .45.0145
-.6031
,8i7
.'C2C4
0069 ,0084 5 4 8 33 41 4 31 22 43 62 77 89s_.+6
18.797.01
. 0.71 '68 .4.. 1 i.4i i.10 -302 _.+25.0173
-.0063
..6358
+.06c2
'.0254
,021
64
833
4 5 1410
19.
. 28.35
4 9 +18.7S
10.00
1.61. +36 + 3 .1.74 .158 *28 *37+.0091
-.6007
..0441
.'.0133 .UO31 -. . 6 8 33 44 5 5 io 20 28 37 4 .1. 96W. +(18.7814.00
1.41 +41 + 5+214
.j99
*29
+52
*.0103
r.6012
*.6544
*'0i60
. ---.
6. 4 8 .34 4 5 15i0.
20. 28 3P 97 +25.06
7.60
6.53 +58 + 1 .237 -264 .26 *24+.0633
..0001
*'6096
oe'i2 .10011 6 4 8 34 49 5 9 6 12 6 2 2 93 +J24.98
10.28
0,78 +62 7 +264 -214 *22 +44*.6088
..0016
'.6379
..eiei
4oeïe
.,0021 -..:...
9:5.
8 41 71 8 13 7 -. 12 9...4.
9 +0a4.92_14.00
1.07 +66+6
+318 -269 #2E$ 9*.O94
..0009
,.C458ei28
*662
0628
9 5 9 41 7 8 14 7 12 20 34 430-..MERANGL4 LIN<S
R:3tI2MM MTINGEN O
.K J'SI
W L)Ol
FX FY 115 +3 6 3 ¿.11 .1. 7 4' 7 e 4 i_ ).1# +6 28 io,ei
3.r12
9 8 .---.. 8 4
4.21+12
j1 8 4119+3
9.49
7.0
1,40 +10 + 9 -8 4 120 +9.49 io.00
2.00 +1211
8 4 12]. +59.49 14.00
2.80 +16 +13 8 4 l2.+5 12 58
7,0
1.16 '13 78.4
t2+5 1?.56 10.00
1.51+16 +9
8 .4+5 j2.55
2.2
.22 +j3 8 412i_5 1.84_
M0
6.70 +21 +.484
125._+5 18.84 .10.00
1.01. +23 7--8.
412/__+5 18,8314.0
1.41 ._+33
+j8 -9 4 128+5 25 037.0 C1,3
.31 + 3 9 5 129,+3 25.07 10.28
0.78 +112
i5 9... 5 1.30+525.02 1400
1.06 +48 +31 ...-. ..95
..13i. +5
1.06 .48 +319.5
F'Z Mt ' DF'X DFY LF'Z LTXL'I
DTZ 1.66
-C es16
...e1!3
*.C2
r.er'7
.t11h
7 3Z 59 6174
8i64
244
43e
47 + 99 _ 7 1*23
.O2t6
.sC1135.247 .Ce6
.e31
Q,171
7 59 6 j76 89 169 248 4 4813
4j4 _+38 +.0259
.6253
+.3438
'C01
oio1 8 33 60 6 177 89 174 219 447 .109 .21 Li +1.8.0104
.0094
.1085
'C668 ..8
.0659 8 .3 9 6 77 39 74j9
195 21+144
54
* 9
.2,4
.0119
.0164
..i426
'.1t7R
o,063i .ti08e 8 3 60 6 78 39 76 110 j97 21 .206 .74 .22+5
,.0157
a.6128
.,2045
+C2d3
4'0074,11i5
8 34 61. 7 80 39 79 112 201 22 .162 .64 .1.+6 .0073 .041 ..6918
.,0119
4.002C ,fl3?B 36
6 45 22 44633
12+198 «114
*19 +26..0091
-.6652
*.11.23..62i3
.s0636 ,1Je49. 8 34 61. 7 46. 22 45 64 ..262 -i
+34*5
.oi23
.75 .4B8 ..c283
4rj4
,0066
8 34 63 7 47 23 47 65 13.323 167
*50 +23*.0054
-.6609
+.0815
40140 46
9 363.7
21 16 22 29 6+368 '257
*64 +28+.0059
.6018+,6928
4.0215 '054
.t)C23 9 3 64 7 21 16 22 2953..
+444 330
*93 +32+.6083
-.6646
*,1.19 .0275 43078 ,627
9 6 67 722
10 2310
56 6#565 27
+1.12 .22*.0044
«.6005
+6807
4,0132
4.0653 .061.6 4 4 68 7 3 7... 19 2332..
+625 38629
+25.0160
-.6022
+,6890
9'.6181e029?
-.0012 1.4 4 64 7 12 726.
23 ...3 3__+714 .513 +43 :*22
+.0069 ...0044 ..*.1620. *.6243
406
0011
14.. 5072.8.
i3 .8 ---21 24.34
+711 50 4t +21
e.0069
-.044
+,618 .'.0237 +0047
,00ie
14 50 72.8
j3 8.21.
.24
34
-OEMERANG L4 LIN<S
R=362MM NIrTINGEN C _K PSI w FX FY FZ MX MV 17 DFX .DF?
LF'ZLÎX :
.ï.
LTY DTZ13+1
6,34 7, 2.1.i + + 3 89 4 2jj9
1---. i . 4 7 3;. 37 418
a6 163 241 27 29 13 +1Mó,35i.6.it
2.99 7 + 5 +.2R ..54 *1±+.5 .14 '.1t3
.284e
3Q7 *';e3i .o111 ---.--5 _4 s 3 o 41C
.86 167242.277
3C._
+iJ6.34 13,99
4.19 +11 9193
-4 *22 +2?.244
-.Ci.91.43i0 4,e3j6 41162
,O21
-4 8 34 39 4 114 87 175 248 31... 13 ia9 47
7.,1
l.4
6 519j
-72
7+ie
..i6o
..ee55
.'.15a5 .O2374,Fje21
.5 4 8 337
449
3976
19
113
1361O
9.4
10.0
2.0 + 8 + 8t96
i16
e*4 .85
,Ø75
,1953
9O381 "C54
.048
5 4 834
35
4 50 3978
lii
iS
13/1.
9.48 l4,0
2.80
+13
+12
+272 -131
38
+22
0130 -.6119
.2711
4.6436 '12
.O67l
-. 5 4 8 34 4c 4 52 39 82 11313+10 12.63, 7.60
1.5
6 + 5 +234 1o7 1.9 *15..0034
.6026+.1369 .0198
,0028 8 4 8 3459.
6 4322.
45 63 ii9 12 13912.67 160" i.so
9 .s. 8.284 -j79
*22 +,7.0o53
.0047.1582
.o33o4.0641
c2.(331
14i16 12.6514.60
2.10 +16 +16.374 -225
+56 .18..6691
.e690.2092 '417
.eÇOOQ2.a034
8 4 8 34 6, .6 44 22 47 64 iie .12.. 8 4 9 3 62 7 46 23 49 66 12141 +10 18,83
7,60
6.70
5+ 2
.476 -214
7t1
+e
..0612
+,j94 +6178
065& ,0e17 8 4 r 9 36(
626
10
23
36
5142.10 18.82 10,00
1.01
7+12
.44
362
*82
.17,.0617
.6630
+,374 6253 *668
,(i014
413
42
61
720
10
34
35
5i
143+10 18.78
14.60
1.41.
.19
+28
.639 -414 +.5
* 7.048
,..6071
*.t622
o.0348
*6097
c.06r56 8 414
4 65 722
11
35
36
54
6-144+10
7,0
6,53
-4+ 9
.836 -296 +165
+16
.0006 .6613+,198 '*146
:4'06#
'.t1C07
-r 8 515
62
7 2 7 21 24 9 3_145 1c 24.92 10.28
tj,78
- 2
+33
+926 -412 8(
5.47 +,1325
+0197 8 ,0002
8 5 15 51 63 7. 12 822
24
3e
-3±
146_16 24.814,O0
1.67+26_+51+1020 e586 87
27.0629
,6074+.481=*6282 :009C
.0C13:. -9: 5. 16 53 67, 7 13 8 2325 ..li.32
;.,
-ROtMERANGL4 LINK5
1< PSI W UR:32MM METINGEN O
O EX EV MX MY HZ-DF'X.
DPV LEZ LTXLV
DTZ147 +15
6.31
7.O
2.10*
4 .1. 3 +11 ..5(. .*6
.O92 -.63 .,2487k3
.(i43 -. 5 4 7 3e:; 37 4 108 87 167 244 272 29i48 +1
6.32 1O.O 3.O
+ 6 + 6 +159 61*
3 +1.0.0136
..e133+.3561.+.0447
O2
O73 -; 4 8 3 37 4 iio 87 j. 246 277 3e Afl --4 , 4A A ,7 . +23152
t2F *2+.0217
i.621.Ob,323R4,O39O 427 ç.fJ152
---: 5 _4 a 34 39 4 115 9 18224
29 31 t51 15 9.53 1,39 .'. 2 + 5 1Q7 .74 ,$.,r354
*.943
4O24O *Ó7
5 4 8 33 3r 4 47 38 77 1e9 119 131.51+15
9.Sci 10.00 + 6 + 9+247
11Q 4 + 8+.0055
.60R5+,2447
4.032
*'U0iS g27
8 4 8 34 59 6 76 39 81 112 21 1.5e +15 9 47i.4,eO
2,80*jØ
+j6 +342 j43 +11 +11 .i,.0102-.6158
#.34i.3e,C472
..o103
.,0C36
8 4 9 3 60 6 79 40 86 116 199 .21 15.+15 12 63
7,00 1.05 e + 5+308 -164
+28 + 5.b.000l
,0028
*,j731.
'.0193
*,ee9
.0Ce8
8 4 8 34 58 6 43 22 48 64154 +15 12.61
1,0,60
1.50 j.+j6
+362 -172
+30*
6 *.f3064 .6056+.2637 *0326
006
8 4 9. 35 5 6 43 22 49.. f5 169 12..1.55i5 12.58 i4.0
2.11.
+8 .20
+469 -233
'5t 2s.44
,.0j.1.5
.265j'0436
9'01èi5 ,ciC4 8 4 9 36 61 7 45 23 53 68 12156 +15 18..82_7.o0
0,71 «12+6
*646 e18r .117
5..0029
.6016+,1616
*0150 :4609P
+,0004
8 4 1.0 37 !8 6 19 10 26 3169
5 1.57*15 18.84 10,01
i.ri
9 +18+685 '260
.98 9".0022
.0046+..726
4.021.7 '.6082.O007
8 4j
38 51 9 16 26. .. 31...4i.
158 .15 18,8416.60 1.61w 9
+18+699 -267
.99 8 .0623p.0045
+,764
.0223
6083 .0007 8 4 14 4359.
619..
1636.
36 49 S 159.15
18.78 14.00
1.41. -4+37
+832 p445
.3s-.0016
-.0093
*.2112
*,0374
.oii
+,0029
84
1.5 4' 61. 720.
11_38
385j..
16b +15 24,987,61 0.3
-36 +20 .11.31 -299 +270 46 ,0651..6029
e.1622
+0142
120 .,ie22..
8 4 16 46 60 7. 16..
24 -.22
8.
3 161. +i2.02 10,28
0,78 36 +5j 1269 -391. .279 62-.6672
e.1728 ..i85 9132
,0629_
-... 8 4 1.7 4260-7
.11.
624
2316 +15 24.94 14,1
i,t17 -19+70 +1346 -64
+266 '10
-.i627
10.0100 ..p,,937*,(36 ig17
*,004885
1,8563: 7
1.21
25.24
e3±
f3OLMERANGL4 LINKS
KPsi_w
U R:302MM METIJGEN. O 0M FX P' f MXMY'IZ
DFX DFY LF'Z LIX t6. +23 6.22 6.99 2.1 + 1. + 5 i3i .37 . t*
4..0627
-.0l7
..3633
.s,02864.0g4
..U27
4 8 3 36 4 110 89 174 253 . 277:16' +20
6.25 10.00
3.64 + 4+7
.189 .53 9 + 7..6698
-.6172
+.4236
04644007i
,(1051 5 4 9 3 37 4 112 89 179 294 281 30 165 +2cj6.21 14.00
4.28
+ 8 +12 +269 .55 +31. +13..0188
.6281+.6248
'6424
4',2i2 5 4 8 34 .. 3& 4 . 117 91. ... 191 263.. 29t 32166 .21
9 38 7.00 1.42 2 + 5 .236 -67 *21. e-.0070
..6047
+.2399
4,t1224
'.667
.0002
167 +20
9.38i3O.1
2.62 5 4 +10 8 +292 3, -j03 36 4 *2 I 48-.6005
39-.0105
82 114+.2969 *'6348
121 4'006 13..oeo3
5 4 .: 8 34 36 4 49 40 85 116 22 16 269.39 14.66
2.83 5399 -145
.38*
1#.J051
-.0170
*.4046 Het1488 4'ë127
w,6002
5 4 9 35 38 4 51 46 jj9 . 128 16921 12.63
7.6
1.05 - 7+ 3
*38o
-io7
+58 - 7-.6037
-.6018
e.2114
4.0199
.61o7 e,'013 5 .4 9 35 36 4 27 22 49 69 67 717u+26 12.58 16.00
1.51 - 7 +1.0 .441 -j6! .42 8..6038
-.0057
+.2495
+.6308
4'007Ç..0615
5 4 9 35 36 4 27 22 5166
6 7171. .20
12.58 14.60
2.11 -1 +22+555 -233
.6 15-.6008
-.0122
+.3137
#'0436
,0027
5.
4 03737.4..
28 2355.
69.,,
e ... 8_t72.26 1.8.85
7.06 6.70 -27 +12 +8Ø7 -j,85475
-39
..069
-o.01944.1
e,0633
. . 5 4 11 37 4 12 10 27 323i
3 j73.2j
,e e10 28
1 3 ?7 +25 +86627t +162
.46..008
..0064
.7j82
*,226
,0039
5 4 15 44 38 4 13 16 38 37 32 4174.20 18.78 1-4.00
1.41 26+46 +1014 -465 ..90
-ß2-.0666
..e101
.2576
4039
.e,i59
,0669
54
164.39.
4 13 1.1 4639.
32 4.17+20 24.9
14.1
1.37 .55+77 +1660 -763 +406 i97 -.79 -.6111
..2395.4.6336
.Ufl94
-.-.:
8 5 1-9 52 64 7 12 7281
25 e 4..17b *20 25.0014.61
1.06 -5588
1691 .73e .4.0 «205
-.0079
-.6126
*.2420 .,C346
-8,0194 ,0e97 8 5 . 19. 5 64 7 12 7 3e ...4-. N)
3OtMERANGL4
1< PSLINKS
W UR:302jM MTINGEN .0
0M FX FY FZ MX MY 117DX
DrY LFZ LÎX .LIY. DTZ177 +30
6.35
7.0 2.19 -2 +1
+173 -54 *13 - 3 -.0641-.0629
*.3837
4,6394
'e '. 00 97 4..0024 5 4 8 33 36 4 t72.. 244 264 29_47u+30
6.32 10,0
3.60 +1 +5
+232
64 +1( -4+.0614
-.6122
.5193
".6475
6675 5 4 36 4 107 .87-.180
256265
179_-'306.26.4.60 4,4
* 5 ++35
'.69*3.o
'.01.4
-.6266
- .... -.0616 . 5 .4 9 35 38 4f4
j9422
287 31....18i3o
9.47 1.40 4-6
+295 36 '.13..066
*.2946
+,0041 . 5 .4 34 36 4 48 39 83 . 112,2e.
.13t8i+3c
9.47 iø.6
2. -7 + 3+385 -l3
*)
16-.0665
-.0628
'.3842
'.6443 *.0653 5 4 13 4f? 37 4 49 ... 39 . 125 I. 132 122182 +30
9.4. 14.00
2.82 - 2 14*66 '.156
25 22 '..0017 '.,6144+.5165 oe582
. 1.
4 4113.
138 124 .t8.3ri 12.65. 70 1.o5
- .3 3 +466 ..j29 +64 22 01,.6616
'.2576
e.0239
4 61 S :. 5 4 9 35 37 . 4 27 . 22 51 65 65 7 18'.30. 1?..66i.6,00._ .1.5.1 -1.3+0
's56 '.267 *61.34
...t373 '..0663'.3153
.o'0386 -. 8 4 14 41 6. 44 2376.
7718.' +36 12.54 14.0
2.12 -13 +16722 -263
+7 '.47-.0075
.R9 +,11.2
4 ' 0132 + . 0689 --. 5.4
1.638
304
2823
60.
. 71 6flEx DFY
LU
LX
Lrv
DTZ-.0029
..6621
..4904.0344
4,0644 ,fi686 168 87 186 256 .0686+.6866 +.6494
oe94 e.0158 iii . 1,93 266 28e 3-.6310
44.60339
4;6259 ,0142 1i7 94 211 278 296 32.,0o14
-.6621
*.3545
+'017
4 1o4 +.0621 8 39 06 113 12213.
-.50 *.6613
+.4717
.0425 '6663 .0112 49 39 92 . 11613
. -.0143 .e074.4607
"'g595
4,6147
+,0224 2 O, 163 .. 124 -130+.0014
.0012
..2955 4012 4'613C
..0í19 29 22 54 67 72 e .00tj6-.0608
+.3737
o'0364
412C. .,.0
. 28 22 58 69 8-.0116
..6038
.51Ci.
'65!1i1 .4j44
*,0j,83
30.23.
65.. 74
0.0028
-.066
+,3605
s0286 4'6j67
+.059
13 11 35 36 34 43OUIERANGL4 LINKS
K PSIW
U
!["L'αρχιδιϰαστής nei primi tre secoli della dominazione romana", Anna Calabi, "Aegyptus", XXXII, 2 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)