Środowisko programowe do obliczenia poziomów energetycznych studni kwantowych typu III-V

Środowisko programowe do obliczenia poziomów energetycznych

studni kwantowych typu III-V

Praca dyplomowa inŜynierska Jarosław Zawojski

Opiekun:

dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda, prof. PWr.

Wrocław, marzec 2007

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Serdecznie dziękuję opiekunowi pracy za cierpliwość oraz cenne uwagi merytoryczne przekazane mi w trakcie pisania pracy dyplomowej.

Spis treści

1. WPROWADZENIE... 5

2. ELEMENTY PASMOWEJ TEORII HETEROSTRUKTUR ... 6

2.1HETEROSTRUKTURY... 6

2.2RÓWNANIE MASY EFEKTYWNEJ... 10

3. METODY STRZAŁÓW ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA ... 12

3.1PRZEGLĄD METOD... 12

3.2PROSTA METODA STRZAŁÓW... 12

3.3ULEPSZONA METODA STRZAŁÓW... 13

4. PREZENTACJA ORAZ DYSKUSJA WYNIKÓW ... 16

4.1WYNIKI NUMERYCZNE DLA STUDNI KWANTOWEJ TYPU III/V... 16

4.2ZALEśNOŚĆ WARTOŚCI ENERGII WŁASNYCH STUDNI KWANTOWEJ OD MASY EFEKTYWNEJ... 16

4.4ZALEśNOŚCI ENERGII WŁASNYCH W STUDNI KWANTOWEJ OD JEJ SZEROKOŚCI... 19

4.5ANALIZA DOKŁADNOŚCI... 21

4.6CZAS OBLICZEŃ... 26

4.7SUPERSIECI... 28

5. PODSUMOWANIE ... 32

6. BIBLIOGRAFIA... 33

DODATEK A. STRUKTURY KRYSTALICZNE ... 34

DODATEK B. ELEMENTY TEORII PASMOWEJ PÓŁPRZEWODNIKÓW... 36

DODATEK C. OPIS PROGRAMU STRZAŁY ... 37

DODATEK D. PARAMETRY UśYTEGO W OBLICZENIACH MATERIAŁU PÓŁPRZEWODNIKOWEGO ... 41

DODATEK E. PROGRAMY ŹRÓDŁOWE ... 42

1. Wprowadzenie

Jednym z waŜnych problemów teoretycznych współczesnej fizyki układów niskowymiarowych o duŜym znaczeniu aplikacyjnym jest wyznaczenie poziomów energetycznych nośników prądu w strukturach półprzewodnikowych typu III/V. Struktury te są podstawowym elementem budowy między innymi laserów półprzewodnikowych [1].

W celu wyznaczania struktury energetycznej heterostruktur półprzewodnikowych stosowanych jest wiele technik doświadczalnych oraz obliczeniowych. Techniki doświadczalne w większości opierają się na zjawisku spektroskopii fotoodbiciowej [2].

Natomiast metody obliczeniowe polegają na rozwiązywaniu odpowiedniego równania Schrödingera, w którym opis ilościowy właściwości elektrycznych heterostruktur jest prowadzony między innymi w ramach jednoelektronowego i jednopasmowego przybliŜenia za pomocą równania masy efektywnej [3]. Metody i algorytmy numeryczne odgrywają duŜą rolę w początkowych etapach modelowania struktur, oraz często słuŜą do weryfikacji poprawności wyników doświadczalnych.

Praca poświęcona jest tzw. ulepszonej metodzie strzałów, zaproponowanej w artykule [4], umoŜliwiającej rozwiązywanie pełnego (wyznaczane są wartości i wektory własne) równania Schrödingera opisującego stany własne nośników prądu w heterostrukturach półprzewodnikowych zawierających studnie kwantowe typu III/V.

Dyskutowana metoda jest specyficznym algorytmem numerycznym słuŜącym do rozwiązywania jednowymiarowego stacjonarnego równania masy efektywnej [3].

Celem pracy jest zaprojektowanie i opracowanie programu komputerowego pozwalającego, w ramach ulepszonej metody strzałów, rozwiązywać jednowymiarowe stacjonarne równanie masy efektywnej dla heterostruktur półprzewodnikowych typu III/V.

Zanim przejdziemy do prezentacji wyŜej wspomnianej metody przedstawiamy krótkie streszczenie pracy. Rozdział 2 zawiera zwięzłe przedstawienie najwaŜniejszych wiadomości o heterostrukturach półprzewodnikowych [5, 6, 7] (rozdz. 2.1) a rozdział 2.2 poświęcony jest scharakteryzowaniu równania masy efektywnej. W rozdziale 3 dokonujemy przeglądu wybranych algorytmów oraz omawiamy szczegółowo ulepszoną metodę strzałów. Rozdział 4 zawiera prezentację wybranych wyników obliczeń numerycznych wykonanych omawianą metodą dla róŜnych rodzajów heterostruktur i supersieci półprzewodnikowych. W rozdziale tym przedstawiona jest takŜe analiza dokładności oraz czasu obliczeń dla trzech wybranych metod – prostej metody strzałów, ulepszonej metody strzałów oraz metody macierzowej [3].

Kolejny rozdział stanowi podsumowanie najwaŜniejszych wyników. Pracę zamykają spis literatury oraz dodatki.

2. Elementy pasmowej teorii heterostruktur

2.1 Heterostruktury

Jedną z najprostszych struktur kwantowych jest heterozłącze, które powstaje na skutek zetknięcia ze sobą dwóch róŜnych materiałów półprzewodnikowych (A i B) charakteryzujących się róŜnymi masami efektywnymi oraz struktura pasmową (patrz rys. 1).

Więcej informacji o strukturach krystalicznych oraz półprzewodnikach moŜna znaleźć w dodatkach A i B oraz w licznych ksiąŜkach takich jak [5, 7].

Rys. 1. Struktura energetyczna w obszarze heterozłącza zaznaczonego linią przerywaną [3].

NaleŜy wspomnieć, Ŝe przedstawiony model heterozłącza (rys. 1) jest daleko idącą idealizacją rzeczywistości. Pokazana struktura pasmowa opisuje wyizolowane złącze, w którym nie występują Ŝadne lub występuje względnie mała ilość nośników elektrycznych.

Ponadto na układ nie działają pole elektromagnetyczne i ciśnienie a jego temperatura jest równa 0 K. W rzeczywistym świecie takie warunki nie istnieją i cała struktura energetyczna ma odmienną od rys. 1 postać. Więcej na ten temat moŜna znaleźć w [2, 5, 6]. Niemniej jednak dyskutowane tutaj przybliŜenie jest dostatecznie dobre do zastosowań numerycznych, o czym jest mowa w ksiąŜkach i publikacjach między innymi w [3 ,4, 5, 7].

Heterostruktury [2,3,4] zawierają wiele hetorozłącz, co oznacza, Ŝe istnieje nieskończona liczba moŜliwych heterostruktur. Jeśli umieścimy cienką warstwę jednego półprzewodnika o mniejszej przerwie energetycznej – materiał A – pomiędzy warstwami półprzewodnikowymi o większej przerwie energetycznej – materiał B – (rys. 2), to wtedy tworzą one strukturę zwaną podwójnym heterozłączem.

Jeśli warstwa materiału A jest odpowiednio wąska, dla zastosowań kwantowych (szerokości to od kilku do kilkudziesięciu nanometrów), to wtedy takie ułoŜenie warstw jest nazywane pojedynczą studnią kwantową (ang. single quantum well). Jeśli istnieją jakiekolwiek nośniki ładunku (elektrony bądź dziury), to w takim układzie będą one zawsze dąŜyły do obniŜenia swojej energii. W takim przypadku elektrony i dziury będą gromadzić się wewnątrz odpowiednich studni kwantowych.

Rys. 2 Schematyczne przedstawienie jednowymiarowej studni kwantowej [5].

Dodatkowe warstwy półprzewodnikowe mogą być dołączane do opisanej wcześniej heterostruktury tworząc np. schodkowe bądź asymetryczne studnie kwantowe, co przedstawia rys. 3.

Rys. 3 Schematyczne przedstawienie jednowymiarowych studni kwantowych typu schodkowego [5].

W ten sposób moŜe być uformowana niezliczona ilość skomplikowanych heterostruktur, takich jak symetryczne lub niesymetryczne podwójne studnie kwantowe (patrz rys. 4), wielokrotne studnie bądź tzw. supersieci – ang. superlattice. RóŜnica pomiędzy pojedynczą studnią bądź kombinacją wielu studni czy supersieci tkwi w oddziaływaniu pomiędzy pojedynczymi studniami. Zestawienie wielu jam potencjałów w zaleŜności od odległości pomiędzy pojedynczymi jamami moŜe zachowywać się jak skupisko pojedynczych studni, (gdy odległość pomiędzy poszczególnymi studniami jest dostatecznie duŜa) bądź jak supersieć, gdy obszar oddzielający studnie jest dostatecznie wąski, co prowadzi do oddziaływania nośników prądu w sąsiednich studniach

.

Rys. 4. Struktura energetyczna symetrycznej (lewa strona) i asymetrycznej (prawa strona) podwójnej studni kwantowej [5].

W supersieciach moŜe zachodzić zjawisko tunelowania polegające na tym, Ŝe elektron bądź dziura moŜe przedostać się przez obszar zabroniony klasycznie do sąsiadującej studni kwantowej.

Rys. 5. Struktura pasmowa supersieci [5].

Wszystkie zaprezentowane powyŜej układy półprzewodnikowe są przykładami tzw.

struktur pierwszego typu (ang. type-I systems). Są to układy, w których, przerwa energetyczna jednego z materiałów półprzewodnikowych jest całkowicie zagnieŜdŜona pomiędzy materiałem o innej przerwie energetycznej. Skutkiem takiego ułoŜenia jest to, Ŝe kaŜdy elektron czy dziura wpada w studnię kwantową wewnątrz tego samego materiału (np.

pobudzony elektron przez wzrost temperatury przeskakuje z warstwy walencyjnej do warstwy przewodzącej wewnątrz tego samego materiału). W ten sposób dwa typy nosicieli ładunku (elektrony i dziury) są zlokalizowane w tym samym obszarze przestrzeni, co z kolei zwiększa szybkość rekombinacji dziura-elektron.

Istnieją jednak inne moŜliwości rozkładu warstw walencyjnych w strukturach drugiego typu (ang. type-II systems), w którym przerwy energetyczne materiałów (A i C jak zaznaczono na rys. 6) są tak rozłoŜone, Ŝe uformowane w ten sposób studnie kwantowe w obydwu warstwach znajdują się w róŜnych materiałach.

Rys. 6. Struktura energetyczna układów pierwszego i drugiego typu [5].

Ustawienie takie powoduje rozłoŜenie elektronów i dziur wewnątrz warstw róŜnych półprzewodników, co znacznie zwiększa czas rekombinacji par dziura-elektron.

Wiele z wyŜej wymienionych struktur i układów znalazły zastosowania w urządzeniach elektronicznych takich jak diody, tranzystory, termopary, diody elektroluminescencyjne, lasery półprzewodnikowe [1].

2.2 Równanie masy efektywnej

W reprezentacji połoŜeń stacjonarne równanie Schrödingera [3] dla cząstki swobodnej ma postać zagadnienia własnego dla operatora energii (hamiltonianu) H

Ψ Ψ E

H = , (2.1)

gdzie liczbę E nazywamy wartością własną operatora H (energią własną), a funkcję falową Ψ – funkcją własną.

W układach jednowymiarowych równanie (2.1) przybiera postać

( )

^{x EΨ}

( )

^x

dx Ψ d

2m ²

2

2 =

− h

, (2.2)

gdzie m oznacza masę cząstki, h=^h/

( )

²π – stałą Diraca, x – połoŜenie cząstki [3].

Równania (2.2) nie moŜna jednak stosować do układów zawierających studnie kwantowe lub elektrony/dziury wewnątrz ciała stałego. Cząstka wewnątrz kryształu poddana jest róŜnym oddziaływaniom pochodzącym od cząstek budujących kryształ bądź przyłoŜonego pola elektromagnetycznego. Jak wynika z badań fizyki ciała stałego rozkład potencjału wewnątrz kryształu jest bardzo skomplikowany (więcej informacji w załącznikach A i B).

Zostało jednak dowiedzione w licznych pracach (takich jak [3], [5],[8]), Ŝe potencjał ten moŜe być dostatecznie dobrze przybliŜony (dla potrzeb numerycznych) stałym parametrem zwanym masą efektywną – m^*. Jest to najczęściej stosowana wielkość w fizyce niskowymiarowych układów półprzewodnikowych, takich jak druty i studnie kwantowe czy supersieci [3,5,6]. Badania wykazały, Ŝe masa efektywna jest anizotropowa, jak równieŜ, Ŝe jest dobrym przybliŜeniem tylko dla relatywnie niskich energii elektronu. Dla przykładu w materiale GaAs, elektrony wykazują masę równą 0,067m , gdzie ₀ m to spoczynkowa masa ₀ elektronu w próŜni.

Równanie (2.1) przybiera wówczas postać ψ

ψ ^E

m ∇ =

− ²_* ² 2

h , (2.3)

gdzie ₂

2 2

dx

= d

∇ , m^∗ – masa efektywna a wartości własne dane są wzorem

* 2 2

2m E h k

= (2.4)

Równanie (2.3) nadal jednak nie pozwala nam przeprowadzać obliczeń dla systemów bardziej skomplikowanych takich jak heterostruktury.

Dotychczas rozpatrywaliśmy układ z zerowym lub stałym na całym przedziale potencjałem. W przypadku złącz półprzewodnikowych niezbędne jest uwzględnienie róŜnic potencjału. Równanie (2.3) z uwzględnieniem potencjału jako funkcji zaleŜnej od połoŜenia V(x) przybiera postać

( ) ( )

^{( )}

2 ²

2

* 2

x E x x dx V

d

m Ψ = Ψ







− h +

. (2.5)

NaleŜy pamiętać, Ŝe równanie (2.5) nie daje nam moŜliwości traktowania masy jako funkcji połoŜenia. W celu obliczenia wartości własnej układu przedstawionego na rys. 2 za pomocą równania (2.5) naleŜałoby je rozwiązać na dwóch przedziałach, dla których masa efektywna wynosi (zakładając najprostsze przybliŜenie stałych lecz róŜnych mas efektywnych dla róŜnych materiałów)

( )

( )





>

= <

0

* 0

dla

dla

x x m

x x m m

B

A ,

gdzie x0 to punkt zetknięcia się materiałów A i B, a następnie zszyć rozwiązania w punkcie styku x₀, nakładając odpowiednie warunki na funkcję Ψoraz jej pochodną

dx

dΨ. Więcej o tej metodzie moŜna znaleźć w [3].

Strukturę energetyczną bardziej skomplikowanych układów, którymi są np.

heterostruktury półprzewodnikowe wyznaczamy za pomocą jednowymiarowego równania o postaci

( ) ( ) ( ) ( )

^{x V x x E}

( )

^x

dx d x m dx

d Ψ + Ψ = Ψ

− 1

2 ^*

h2

. (2.6)

Równanie (2.6) – zwane dalej równaniem masy efektywnej – uwzględnia zarówno zaleŜność masy jak i potencjału od połoŜenia.

Taka matematyczna reprezentacja nosi takŜe nazwę przybliŜenia funkcją obwiedni (ang. the envelope function approximation). Nazwa ta pochodzi od moŜliwości przybliŜenia fizycznych właściwości układu za pomocą wolno zmieniającej się funkcji obwiedni ^Ψ

( )

^{x ,}

a niŜeli całkowitą funkcją falową o rozmiarach atomowych ^Ψ

( ) ( )

^{x u x} , która gwałtownie zmienia swoje wartości na odległościach międzyatomowych.

Funkcja obwiedni ma swoje ograniczenia. Zastosowanie jej do np. bardzo cienkich warstw nie daje pozytywnych rezultatów. Niemniej jednak dla większości stosowanych struktur przybliŜenie to działa dobrze, co zostanie przedstawione w dalszej części pracy.

Nad poprawnością i dokładnością zaprezentowanego powyŜej przybliŜenia prowadzonych jest nadal wiele badań. NaleŜy pamiętać, Ŝe przybliŜenie to stosowane jest w kontekście aproksymacji materiałowej, a nie jako przybliŜenie mechaniki kwantowej.

3. Metody strzałów rozwiązywania równania Schrödingera

3.1 Przegląd metod

Równanie (2.1) jest, jak zostało wcześniej wspomniane, zagadnieniem własnym.

Analiza numeryczna zagadnienia własnego jest prowadzona, wieloma metodami takimi jak:

• Metodami róŜnic skończonych, zwanymi tez metodami siatkowymi, wśród nich wyróŜnia się:

♣ Metody macierzowe, zwane takŜe metodami globalnymi,

♣ Metody strzałów,

♣ Metodą wariacyjną,

• Metodą elementów skończonych [3].

3.2 Prosta metoda strzałów

Przedstawiony tu algorytm wzięty jest z [3]. Korzystając z aproksymacji drugiej pochodnej za pomocą róŜnic skończonych na dyskretnym zbiorze punktów, na przedziale

< A, B >, których współrzędne określają związki

(

^{i 0,...,n 1}

)

1 = + , = +

+ + −

= A i x

n A iB A

X_i δ ^, (3.1)

gdzie xδ jest długością kroku całkowania na zadanym przedziale. Na tak zadanej siatce formułujemy jednowymiarowe odwzorowania (w ogólnym przypadku nieliniowe)

(

1^{,..., , , ,}E

)

^,

F _{i i m}

i = _→ Ψ₋ Ψ₋ C P

Ψ (3.2)

(

1^{,..., , , ,}E

)

^,

F _{i i m}

i = _← Ψ₊ Ψ₊ C P

Ψ (3.3)

gdzie C = (C1,…,Cc) i P = (P1,…,Pp) oznaczają stałe i parametry modelu, a E to szukana wartość własna.

Obliczenia prowadzimy zazwyczaj według następującego schematu:

1. Dokonujemy próbnego wyboru wartości własnej E = E₀.

2. Obliczmy wartości Ψ_i funkcji falowej na zadanej siatce (3.1) za pomocą dwóch róŜnych procedur. Jeden ciąg

Ψ^→ =

(

Ψ₁,Ψ₂,...Ψn₋₁,Ψn

)

, (3.4) wyznaczmy za pomocą odwzorowania (3.2), rozpoczynając obliczenia od obszaru

< A, A + D_A >, gdzie D_A << B – A; jest to tzw. procedura wstępująca. Drugi ciąg

Ψ^← =

(

Ψn,Ψn₋1,...Ψ2,Ψ1

)

, (3.5) wyznaczmy za pomocą odwzorowania (3.3), startując z obszaru < B – D_B, B >, gdzie DB << B – A (procedura zstępująca) ZauwaŜamy, Ŝe do uruchomienia procedur (3.4) i (3.5) wymagana jest znajomość dokładnego lub przybliŜonego rozwiązania równania Schrödingera na brzegach przedziału całkowania < A, B >.

3. Sprawdzamy poprawność wyboru wartości własnej E0 oraz otrzymanych wartości funkcji falowej za pomocą warunku zszycia w wybranym punkcie siatki Xm. Zazwyczaj Ŝąda się, aby pochodne logarytmiczne funkcji falowej otrzymane za pomocą obu procedur obliczeniowych były w punkcie Xm równe z zadaną dokładnością.

4. Kończymy obliczenia, jeśli warunek zszycia jest spełniony. Za wartość własną przyjmujemy wtedy E₀, a za wartość odpowiadającej jej funkcji własnej w punktach siatki – obliczone w procesach odwzorowania wartości Ψ_i (3.4) i (3.5).

W przeciwnym razie obliczenia powtarzamy dla nowej próbnej wartości własnej E0.

3.3 Ulepszona metoda strzałów

Przedstawiony tu algorytm wzięty jest z [4]. Rozpatrując najprostszą formę jednowymiarowego niezaleŜnego od czasu równania Schrödingera

Ψ

= Ψ +

′′Ψ V E

ϕ ^(3.6)

stosując najprostsze przybliŜenie drugiej pochodnej, na zadanej siatce punktów (3.1), dane wzorem

( )

²

2 1

1 2 O

x x

i i i

i δ

δ ϕ ϕ

ϕ′′=ϕ⁺ − + ⁻ + , (3.7)

moŜemy zapisać równanie (3.6) w postaci

(

^{x x}

) ( ) ( ) ( ) (

^{x V x Ψ x Ψ x x}

) ( )

^{x EΨ}

( )

^x

Ψ 2 2

2 δ δ δ

δ + + − + =

−

− 



, (3.8)

i

(

^x+δx

)

⁼

{

⁺

( ) ( )

^δx

[

^{V x −E}

] }

^Ψ

^{( ) (}

^{x −Ψ x−δx}

⁾

Ψ 2 2 , (3.9)

Równanie (3.8) moŜna rozwiązywać metodami macierzowymi [3] a (3.9) za pomocą metody strzałów korzystając z algorytmu opisanego w rozdziale 3.2.

Jak zostało pokazane wcześniej równanie masy efektywnej dla półprzewodnikowych struktur przybiera postać daną wzorem (2.5). Stosując przybliŜenie pochodnej (3.7) do równania (2.5) otrzymujemy równania analogiczne do (3.8 i 3.9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

^{x x}

) ( )

^{x E}

x x m

x x x m x

x x m

x x x x

x m

2 2

*

*

* 2

2

*

2 2 2 /

/ 1

2 / 1 2

/ 1 2

2 / 1

h h δ δ

δ

δ δ

δ δ δ

= + +

−



 





+ − + +

+

− −

−

Ψ

V Ψ Ψ

, (3.10)

stosowane w metodach macierzowych [2], oraz

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] _{( ) ( ) ( )}

( ) (

^/2

)

2 / 1

2 / 1 2

/ 1 2

2 / 1

*

*

* 2

2

*

x x x

x m

x x x m x

x E m

x x x

x x x m

δ δ

δ δ

δ δ δ

+ +

−



 





+ − + +

−

=

− −

−

Ψ

Ψ V

Ψ h , (3.11)

stosowane w prostej metodzie strzałów.

W odróŜnieniu od prostej metody strzałów, w ulepszonej metodzie nie stosuje się przybliŜenia drugiej pochodnej (3.7). W tym przypadku równanie róŜniczkowe drugiego rzędu zapisujemy jako parę równań pierwszego rzędu

( )

^{x m*}

( ) ( )

^{x ~ x,}

xΨ = Ψ

δ

δ (3.12)

( )

^x

[ ( )

^{x E}

] ( )

^x

xΨ~ = 2₂ V − Ψ δδ h

, (3.13)

z nową pomocniczą funkcją

( ) ( ) ( )

^x

x x

x m Ψ

Ψ δδ

*

1

~ = , (3.14)

Stosując przybliŜenie pochodnych, róŜnicami skończonymi z krokiem siatki δx^, równania (3.12) i (3.13) sprowadzamy do układu równań

(

^x δ^x

)

^Ψ

( )

^{x m*}

( ) ( )

^{x Ψ~ x}δ^x,

Ψ + = + (3.15)

( )

^~

( )

²

[ ( ) ] ( )

^,

~

2 x E x x

x x

x δ ^{Ψ V Ψ} δ

Ψ + = + −

h (3.16)

Równania (3.15) i (3.16) pozwalają obliczyć kolejne wartości funkcji falowej, jeśli znane są wartości początkowe, tak samo jak i równanie (3.11) w prostej metodzie strzałów.

W odróŜnieniu jednak od niej równania (3.15) i (3.16) są znacznie prostsze, zawierają znacznie mniej obliczeń zmiennoprzecinkowych.

Początkowa wartość funkcji obwiedni na brzegu przedziału całkowania w naszych obliczeniach numerycznych jest wybrana jako

.

0 =0

=

Ψx (3.17)

W związku z wykładniczą naturą zanikania funkcji obwiedni Ψ na zewnątrz badanej heterostruktury funkcja Ψ~

nie moŜe przyjmować wartości zerowej. W pracy przyjęto ,

~ 1

0 =

= x

Ψ (3.18)

Mając do dyspozycji równania (3.15 i 3.16) z warunkami początkowymi (3.17 i 3.18) przeprowadziliśmy obliczenia dla róŜnych wartości energii próbnej E. Za wartość własną układu przyjmowano tę, dla której wartość funkcji falowej (3.15) dla końcowego punktu przedziału całkowania przyjmuje zero z zadaną dokładnością numeryczną.

4. Prezentacja oraz dyskusja wyników

Ulepszona metoda strzałów dana wzorami (3.15) i (3.16) pozwala na zaprojektowanie oraz zaprogramowanie stabilnego numerycznie algorytmu. Do zaimplementowania algorytmu został uŜyty język wyŜszego poziomu FORTRAN 77 oraz darmowy kompilator GNU fortran g77 dostępny wraz z edytorem Force 2.0 w Internecie pod adresem [9].

Dysponując dobrze dobranymi procedurami (zawartymi w dodatku E oraz na dołączonej płycie CD) moŜna prześledzić zachowanie się energii własnych oraz odpowiadającym im funkcjom falowym dla struktur o róŜnych parametrach. Wszystkie przedstawione w tym rozdziale testy przeprowadzone były programami napisanymi w języku FORTRAN 77, których kody źródłowe zawarte są we wspomnianym dodatku.

W ramach tej pracy został napisany takŜe program w środowisku Delphi 5 – Strzały – z interfejsem graficznym (zawartym takŜe na dołączonej płycie CD), dzięki któremu moŜna uzyskać podobne wyniki. Program ten jest uboŜszy od programów napisanych w języku FORTRAN 77 i dlatego słuŜyć on moŜe jedynie do prostych obliczeń. W celu uzyskania dokładnych wyników z uŜyciem małych wartości kroku całkowania (program Strzały umoŜliwia obliczenia z maksymalną liczbą punktów siatki równą 30000) naleŜy uŜywać programów zaimplementowanych w języku FORTRAN 77. Dokładniejszy opis programu Strzały zawarty jest w dodatku C.

4.1 Wyniki numeryczne dla studni kwantowej typu III/V

Rysunek 7 przedstawia najprostsze przybliŜenie jednowymiarowego potencjału dla pojedynczej studni kwantowej wraz z uwzględnieniem skokowego rozkładu masy efektywnej.

Na wykresie zaprezentowany jest rozkład potencjału na zadanym przedziale całkowania

<−10,10>, oraz funkcje falowe odpowiadające kolejnym wartościom własnym energii.

Obliczenia przeprowadzone dla studni GaAs/Ga_0.6Al_0.4As o szerokości 10 nm (zastosowane wartości parametrów znajdują się w załączniku D).

4.2 ZaleŜność wartości energii własnych studni kwantowej od masy efektywnej

Na rysunku 8 przedstawiono zaleŜność wartości energii poziomu podstawowego od zmieniającej się masy efektywnej elektronu na zewnątrz studni w jednostkach masy spoczynkowej elektronu. Wykres ten ilustruje tendencję obniŜania się energii stanu podstawowego wraz ze wzrostem masy efektywnej elektronu wewnątrz bariery. Dla bardzo duŜych wartości masy efektywnej elektronu wartość energii dąŜy do zera. Warto wspomnieć w tym punkcie, Ŝe wraz ze wzrostem masy efektywnej elektronu wewnątrz bariery głębokość przenikania funkcji falowej w obszar zabroniony (obszar bariery) staje się mniejsza, dlatego w tych przypadkach dla przeprowadzenia obliczeń numerycznych naleŜy koniecznie zawęzić przedział całkowania. Obliczenia zostały przeprowadzone dla struktury z rozdziału 4.1.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-10 -5 0 5 10

E [eV]

x [nm]

V(x)

Rys.7. Prostokątna studnia potencjału oraz funkcje falowe odpowiadające trzem wartościom energii własnych. Obliczenia przeprowadzone dla struktury opisanej w rozdziale 4.1.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

E [eV]

masa efektywna elektronu wewnatrz bariery [m0]

Rys. 8. ZaleŜność wartości pierwszej energii własnej od masy efektywnej elektronu w barierze Obliczenia przeprowadzone dla struktury opisanej w rozdziale 4.1.

Wykres z rys. 9 przedstawia funkcje falowe dla wybranych wartości masy efektywnej elektronu wewnątrz bariery. Wartości znormalizowanych funkcji falowych są powiększone o wartość odpowiadającej im bezwymiarowej energii własnej (zaznaczone na wykresie liniami poziomymi). Na wykresie zaznaczone są równieŜ bariery potencjału, dzięki czemu dokładnie widać zmniejszającą się głębokość wnikania funkcji falowej w obszar zabroniony bariery wraz ze zwiększającą się masą efektywna elektronu na zewnątrz studni.

0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

-10 -5 0 5 10

E [eV]

x [nm]

V(x)

Rys. 9. Funkcje falowe pierwszego poziomu energetycznego dla róŜnych wartości masy własnej elektronu wewnątrz bariery. Obliczenia przeprowadzone dla struktury opisanej w rozdziale 4.1.

Wykresy z rys. 10 i 11 przedstawiają zaleŜności odpowiednio energii oraz funkcji falowych od zmieniającej się masy efektywnej wewnątrz studni (nadal dla tej samej struktury z rozdziału 4.1). Jak moŜna się było spodziewać wyniki są bardzo zbliŜone do poprzednich.

Energia pierwszego poziomu energetycznego (oraz wyŜszych poziomów) takŜe maleje wraz ze wzrostem masy elektronu wewnątrz studni. W porównaniu z przypadkiem zwiększającej się masy elektronu wewnątrz bariery, tutaj zmniejszenie wartości energii zachodzi znacznie gwałtowniej. MoŜna zaobserwować takŜe zanikanie głębokości wnikania elektronu do warstwy zabronionej wraz ze wzrostem masy elektronu wewnątrz studni.

m_b = 0,1

mb = 1 mb = 0,01

ψ

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.001 0.01 0.1 1 10

E [eV]

masa efektywna elektronu wewnatrz studni [m0]

Rys. 10. ZaleŜność wartości pierwszej energii własnej od wartości masy efektywnej elektronu wewnątrz studni. Obliczenia przeprowadzone dla struktury opisanej w rozdziale 4.1

4.4 ZaleŜności energii własnych w studni kwantowej od jej szerokości Rysunek 12 przedstawia wartości pierwszych trzech poziomów energetycznych omawianej (rozdział 4.1) studni kwantowej w zaleŜności od jej szerokości. Jak widać szerokość studni ma bardzo duŜe znaczenie w projektowaniu struktur. Choć moŜemy takŜe dobierać róŜne wartości masy efektywnej elektronów czy dziur wewnątrz studni jak i bariery, są to jednak wartości określone dla róŜnych materiałów i nie moŜna ich zmieniać dowolnie.

Natomiast szerokość studni jest parametrem, który moŜe być zmieniany w dość szerokim zakresie wartości (w nanonometrach). Jak widzimy dla pojedynczej studni kwantowej w zaleŜności od jej szerokości moŜemy nie tylko dobierać wartości energii własnych (w duŜym przedziale do około 300 meV), ale równieŜ liczbę energii własnych.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

-10 -5 0 5 10

E [eV]

x [nm]

V(x)

Rys. 11 Funkcje falowe pierwszego poziomu energetycznego dla róŜnych wartości masy efektywnej elektronu wewnątrz studni. Obliczenia przeprowadzone dla struktury opisanej w rozdziale 4.1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

E [ev]

szerokość studni [nm]

E1 E2 E2

Rys. 12. ZaleŜność wartości pierwszych trzech energii własnych od szerokości studni. Obliczenia przeprowadzone dla pojedynczej studni kwantowej typu GaAs/Ga_0,6Al_0,4As.

1,0 m0

0,1 m0

0,01 m0

0,001 m0

0,0001 m0

ψ

E3

4.5 Analiza dokładności

W celu przeprowadzenia analizy błędów niezbędna jest znajomość dokładnego rozwiązania. W podręczniku [2] zaprezentowanych zostało kilka potencjałów wiąŜących, które posiadają rozwiązania analityczne, co umoŜliwia weryfikację poprawności wyników numerycznych. PoniewaŜ porównywanie wyników numerycznych i analitycznych jest dogodniejsze w postaci bezwymiarowej (analityczne wartości energii własnych są zwykle prostymi ułamkami), zaprezentowane są tylko postacie bezwymiarowe (dołączone programy w dodatku E oraz zawarte na płycie CD operują na wartościach bezwymiarowych).

Więcej informacji moŜna znaleźć w ksiąŜce [3], skąd zaczerpnięte są poniŜsze rozwiązania.

Oscylator harmoniczny (rysunek 13 lewy) to jeden z potencjałów wybranych do przetestowania wyników. Jest to najprostszy z moŜliwych potencjałów, którego bezwymiarowa zaleŜność od połoŜenia dana jest wzorem

( )

^{x x2}

V = , (4.1)

a energie kolejnych stanów własnych dane są zaleŜnością:

1 2 −

= i

E_i , (4.2)

gdzie

(

i=^1,2...

)

Następnym potencjałem, jaki został przetestowany jest potencjał Konwenta (rysunek 13 prawy). Jest to przykład potencjału zawierającego dwie oddziaływujące ze sobą studnie, opisany jest zaleŜnością

( )

^cosh

( )

^{1 2}

1

2 



 



 −

= + x

k x b

V α ^,

(

^{2 1}

)

²

4

1 +

= k

α ^, (4.3)

0 0.5 1 1.5 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

E [eV]

x [nm]

V(x)

0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

E [eV]

x [nm]

V(x)

Rys. 13. Poglądowe wykresy potencjałów wraz z pierwszymi trzema funkcjami falowymi wybranych do testowania procedur numeryczny: potencjał oscylatora harmonicznego (po lewej), potencjał Konwenta (po prawej).

ψ ψ

który dla współczynnika ) 4 ( 9 ,

1 =

= α

k posiada rozwiązania analityczne dane wzorami

( )

4 . 4 1 9 7

1 , 9 5

1

4 , 4 1 9 7

1

2 2

3 2 2

2 2

1











 + + +

= +











 + − +

=

b b

E b E

b b

E

(4.4)

do obliczeń przyjęte została wartość b=1,2.

Rys. 14 przedstawia zaleŜność dokładności obliczeń dla drugiej energii własnej (a dokładniej róŜnicę pomiędzy otrzymanymi numerycznie wynikami a wartościami analitycznymi danymi wzorem (4.2)) oscylatora harmonicznego (4.1) od ilości punktów siatki na zadanym przedziale całkowania

1e-006 1e-005 0.0001 0.001 0.01

100 1000 10000 100000

E [eV]

ilość punktów siatki

ulepszona ms prosta ms M-D

Rys. 14. ZaleŜność dokładności obliczeń drugiej energii własnej od ilości punktów siatki. Zestawienie obliczeń dla ulepszonej metody strzałów, prostej metody strzałów oraz metody Martina-Deana dla potencjału oscylatora harmonicznego na przedziale <-4, 4>.

<−4, 4>. Na wykresie przedstawione są wyniki dla trzech metod – prostej metody strzałów opisanej wzorem (3.11), metody macierzowej Martina-Deana, która oparta jest na wzorze

liczba punktów siatki

(3.10) a algorytm opisany jest w [3], oraz ulepszonej metody strzałów opisanej wzorami (3.15) i (3.16). Wykres ilustruje tendencję osiągania lepszej dokładności wraz ze wzrostem ilości punktów siatki a tym samym pomniejszania się kroku całkowania, aŜ do momentu osiągnięcia granicy dokładności. ZaleŜność ta jednak nie jest liniowa. ZbieŜność metod Marena-Deana oraz prostej metody strzałów nie dziwi ze względu na zastosowanie tego samego przybliŜenia drugiej pochodnej (3.7) Widoczny jest fakt polegający na tym Ŝe dla pewnej wartości kroku siatki prosta metoda strzałów oraz metoda Marena-Deana osiągają maksimum dokładności, po czym stabilizują się na pewnej wartości, do której zbiega takŜe ulepszona metoda strzałów. Aby uzyskać większą dokładność naleŜałoby lepiej dobrać przedział całkowania.

1e-008 1e-007 1e-006 1e-005 0.0001 0.001

6 7 8 9 10 11 12 13 14

ulepszona ms prosta ms M-D

Rys. 15. ZaleŜność dokładności obliczeń pierwszej energii własnej oscylatora harmonicznego od szerokości przedziału całkowania dla trzech wybranych metod, ulepszonej i prostej metody strzałów, metody Martina-Deana.

Kolejny wykres (rys. 15) to zestawienie dokładności obliczeń numerycznych podstawowego stanu energetycznego dla oscylatora harmonicznego (4.1) ze zmieniającym się przedziałem całkowania dla ustalonej liczby punktów siatki równej 10⁴ dla trzech dyskutowanych tutaj algorytmów. Rys. 15. przedstawia podobne zachowanie się algorytmów do sytuacji z rys. 14. Widoczne jest pokrywanie się wyników prostej metody strzałów z wynikami metody Marena-Deana oraz osiągania przez te metody maksymalnej dokładności dla jednej z wartości długości przedziału całkowania. W tym przypadku moŜemy takŜe i dla algorytmu ulepszonej metody strzałów zaobserwować osiągnięcie maksimum dokładności – nie jest ono jednak tak wyraźne. Wykres przedstawia równieŜ tendencję spadku dokładności wraz z nadmiernym wzrostem długości przedziału całkowania, aŜ do momentu, dla którego, otrzymanie poprawnych wyników numerycznych jest niemoŜliwe. Widoczną róŜnicę w dokładnościach moŜna zmniejszyć zwiększając odpowiednio liczbę punktów całkowania.

szerokość przedziału całkowania [nm]

E [eV]

Rys. 16 zawiera zaleŜności dokładności wyznaczenia (róŜnic pomiędzy wynikami numerycznymi i wynikami analitycznymi danymi wzorami (4.4)) pierwszych trzech wartości własnych energii potencjału Konwenta (4.3) od długości przedziału całkowania.

Przedstawiono wyniki dla metody ulepszonej strzałów oraz macierzowej Martina-Deana.

Wyniki dla najniŜszych 3 poziomów energii zaznaczone są odpowiednimi kolorowymi symbolami, co wyjaśnia opis rysunku. ZauwaŜmy jedynie, Ŝe wypełnione kolorami symbole reprezentują wyniki otrzymane metodą macierzową, natomiast niewypełnione („puste”) symbole ilustrują rezultaty wyznaczone ulepszoną metodą strzałów. Otrzymane wyniki nie odbiegają wiele od wyników prezentowanych na rys. 15. Widoczna jest tendencja polepszania się dokładności aŜ do momentu osiągnięcia największej dokładności dla obydwu metod dla określonej długości przedziału całkowania, po czym daje się zauwaŜyć niewielki jej spadek wraz ze wzrostem długości przedziału całkowania.

1e-009 1e-008 1e-007 1e-006 1e-005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

4 6 8 10 12 14 16

E [eV]

x [nm]

E1 ulepszona E2 ulepszona E3 ulepszona E1 M-D E2 M-D E3 M-D

Rys. 16. ZaleŜność dokładności obliczanych energii własnych od szerokości przedziału całkowania.

Obliczenia przeprowadzone ulepszona metodą strzałów (symbole niewypełnione) oraz metodą macierzową Martina-Deana (symbole wypełnione) dla potencjału Konwenta z parametrami k=1, b=1,2. Obliczenia przeprowadzone dla stałej ilości punktów siatki równej 10⁴.

Następny wykres (rys. 17) jest analogiczny do wykresu z rys. 14. Przedstawiono zaleŜność dokładności wyznaczenia energii stanu podstawowego cząstki kwantowej w potencjale Konwenta (4.3) od ilości punktów siatki na zadanym przedziale całkowania o długości równej 8 nm (przedział wynosił <−4 nm,4 nm>) dla omawianych tutaj trzech metod numerycznych. Tym razem dzięki właściwemu doborowi długości przedziału całkowania algorytmy mogły osiągnąć znacznie większe dokładności. Maksima osiągane przez prostą metodę strzałów oraz metodę macierzową Marena-Deana są słabo widoczne, bo w tym przypadku przypadają one na granicy wykresu odpowiadającej liczbie punktów siatki rzędu 10⁵. Ze względu na ograniczenia sprzętowe, jakimi dysponowaliśmy, dalsza

kontynuacja wykresu jest bardzo czasochłonna lub wręcz niemoŜliwa ze wzglądu na objętość potrzebnej pamięci do zapisania wartości potencjału oraz masy w macierzy (dla prostej metody strzałów jak i M-D niezbędna jest znajomość masy w dwukrotnie większej liczbie punktów siatki aniŜeli potencjału).

1e-011 1e-010 1e-009 1e-008 1e-007 1e-006 1e-005 0.0001 0.001

100 1000 10000 100000

E [eV]

ilość punktów siatki

M-D Ulepszona strzałów prosta strzałów

Rys. 17. ZaleŜność dokładności obliczeń pierwszej energii własnej od ilości punktów siatki. Zestawienie obliczeń dla ulepszonej metody strzałów, prostej metody strzałów oraz metody Matrena-Deana dla potencjału Konwenta z parametrami k=1, b=1,2 na przedziale całkowania <-4, 4>.

liczba punktów siatki

4.6 Czas obliczeń

Kolejną waŜną cechą kaŜdego algorytmu numerycznego jest czas potrzebny do wykonania określonego zadania. Rozdział ten zawiera krótkie przedstawienie czasu obliczeń dla omawianych metod. Obliczenia zostały przeprowadzone, (jeśli nie zostało to zaznaczone inaczej) na komputerze przenośnym typu PC z pamięcią dynamiczną 256 Mb wyposaŜonego w procesor Intel® Pentium® Mobile III o częstotliwości taktowania 1GHz.

Rys. 19 przedstawia zaleŜność czasu obliczeń drugiej energii własnej dla potencjału oscylatora harmonicznego od liczby punktów siatki. Omawiany wykres przedstawia czas

0 0.5 1 1.5 2 2.5

1000 10000 100000

czas [s]

ilość punktów siatki

prosta ms ulepszona ms M-D

Rys. 19. ZaleŜność czasu obliczeń drugiej energii własnej od ilości punktów siatki. Zestawienie obliczeń dla ulepszonej metody (ms) strzałów, prostej metody strzałów oraz metody Matrena-Deana dla potencjału oscylatora harmonicznego na przedziale <-4, 4>.

obliczeń, które zostały przeprowadzone w celu zbadania dokładności algorytmów, a których wyniki zostały przedstawione na rys.14.

Jak widać na rys. 19 najgorzej wypada prosta metoda strzałów, która dla duŜych ilości punktów siatki potrzebuje około trzy razy więcej czasu do przeprowadzenia obliczeń w porównaniu z pozostałymi dwiema metodami. Metoda Martina-Deana oraz ulepszona metoda strzałów utrzymują się na tym samym poziome niezbędnego czasu dla dostatecznie małych wartości liczby punktów siatki, choć wraz z ich wzrostem obserwujemy tendencję rozbiegania się wykresów reprezentujących wyniki otrzymane dyskutowanymi metody na korzyść ulepszonej metody strzałów.

Kolejny wykres (rys. 20) przedstawia zestawienie czasów obliczeń tym razem wszystkich wartości własnych energii wraz z wyznaczeniem odpowiadających im wektorów własnych dla podanych liczb punktów siatki. Obliczenia zostały przeprowadzone dla

liczba punktów siatki

struktury GaAs/Ga_0.67Al_0.33As zawierającej pojedynczą studnię potencjału o szerokości 15 nanometrów, na przedziale całkowania <−15 nm, 15 nm>. Przedstawiono wyniki tylko dla metody macierzowej Martina-Deana z zastosowaniem metody DWSZ do obliczania wektorów własnych [2] oraz ulepszonej metody strzałów. Obliczenia zostały przeprowadzone równieŜ na dodatkowym komputerze nowszej generacji (komputer typu PC z dwurdzeniowym procesorem firmy Intel® Core2Duo® taktowany zegarem 2,6GHz, posiadający 1Gb RAM). Rys. 20 pokazuje, Ŝe ulepszona metoda jest w niewielkim stopniu szybsza, powiększając swoją przewagę wraz z rosnącą liczbą punktów siatki. Potwierdzają to wyniki otrzymane na dwóch PC. MoŜemy równieŜ zaobserwować około cztery razy szybsze obliczenia na nowszym komputerze.

0 2 4 6 8 10 12

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

M-D PIII ulepszona ms PIII M-D Core2Duo ulepszona ms COre2Duo

Rys.20. ZaleŜność czasu obliczeń wszystkich energii własnych wraz z wyznaczeniem wektorów własnych dla studni GaAs/Ga_0.67Al_0.33As o szerokości 15 nm. Obliczenia dla metody Martina-Deana oraz ulepszonej metody strzałów przeprowadzone na dwóch róŜnych komputerach – jeden z procesorem PIII, drugi z Core2Duo. Zamieszczone zostały takŜe aproksymacje liniowe wraz z podanymi wzorami.

Punkty wykresu (patrz rys. 20) pokrywają się z aproksymującą je prostą (linie ciągłe na wykresie wraz z odpowiadającymi im wzorami). Takie zachowanie się badanych algorytmów świadczy o liniowej zaleŜności czasu obliczeń od ilości punktów siatki.

y = 8,299E-05x - 5,785E-02

y = 2,554E-05x +9,860E-03

liczba punktów siatki

czas [s]

4.7 Supersieci

W rozdziale tym przedstawiamy zastosowanie ulepszonego algorytmu strzałów do wyznaczania poziomów energetycznych nośników prądu w wybranych supersieciach.

Rys. 20 przedstawia unormowaną funkcję falową stanu podstawowego elektronu w supersieci zawierającej dwadzieścia studni typu GaAs/Ga0,67Al0,33As o szerokości 20 nm oddalonych od siebie o 5 nm. Prezentowane wektory własne powiększone są o odpowiadającą im bezwymiarową wartość energii. Wykres ilustruje tę samą funkcję falową obliczaną z róŜną długością kroku całkowania. Jak łatwo jest zauwaŜyć potrzeba duŜej liczby punktów siatki, aby otrzymany wynik był dostatecznie dobry (dokładność wektora moŜna oszacować np. przez porównanie symetryczności funkcji falowej względem środka osi X).

Uzasadnia to zastosowanie ulepszonej metody strzałów, która nie tylko jest szybsza, ale przede wszystkim potrzebuje mniej pamięci na zapisanie wartości funkcji rozkładu masy efektywnej.

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

-300 -200 -100 0 100 200 300

x [nm]

10e5 punktów siatki 4e4 punktów siatki 9e3 punktów siatki

Rys. 20. Wykresy funkcji falowej podstawowego stanu energetycznego dla supersieci zawierającej dwadzieścia studni typu GaAs/Ga_0,67Al_0,33As o szerokości 20 nm. oddalonych od siebie o 5 nm. Wynik obliczeń dla róŜnej liczby punktów siatki, ulepszoną metodą strzałów.

E [eV]

Rys. 21 przedstawia zaleŜność wartości trzech pierwszych stanów energetycznych dla supersieci od liczby zawartych w niej studni kwantowych typu GaAs/Ga0,67Al0,33As o szerokości 15 nm oddalonych od siebie o 5 nm. Na wykresie tym uwidacznia się tendencja dąŜenia poziomów energetycznych do określonej wartości. Im więcej studni składających się na supersieć, tym bardziej kolejne poziomy energetyczne zbliŜają się do siebie, co jest związane z tworzeniem się pasm energetycznych w naszej heterostrukturze będącej jednowymiarowym kryształem zbudowanym ze skończonej liczby studni kwantowych.

ZauwaŜmy, Ŝe zbieŜność wartości własnych wraz ze wzrostem liczby studni sprawia znaczne utrudnienia w obliczaniach numerycznych poszczególnych poziomów energetycznych oraz wydłuŜa czas obliczeń.

0.01625 0.0163 0.01635 0.0164 0.01645 0.0165

10 20 30 40 50 60

E [ev]

ilość studni

E1 E2 E2

Rys. 21. ZaleŜność wartości pierwszych trzech energii własnych od ilości oddziaływających ze sobą studni.

Obliczenia przeprowadzone dla studni typu GaAs/Ga0,67Al0,33As o szerokości 15 nm., oddalonych od siebie o 5nm.

Kolejne wykresy (rys. 22-33) przedstawiają unormowane funkcje falowe odpowiednio stanu podstawowego oraz pierwszego stanu wzbudzonego dla supersieci zawierających róŜne liczby studni kwantowych. Prezentowane wektory własne zostały powiększone o odpowiadającą im energię własną, która podana jest w opisach wykresów. Wyznaczenie wektorów funkcji falowych jest bardzo waŜnym elementem pozwalającym na określenie liczby porządkowej L (numeru poziomu energetycznego) obliczonej wartości energii. Dla supersieci składających się z duŜej liczby studni kwantowych analiza kształtu funkcji falowej moŜe być jedynym sposobem na określenie numeru poziomu energetycznego, poniewaŜ liczba węzłów funkcji falowej wynosi L−1.

E3

0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026 0.028 0.03 0.032 0.034

-30 -20 -10 0 10 20 30

E [ev]

x [nm]

E1

0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026 0.028 0.03 0.032 0.034 0.036

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

E [ev]

x [nm]

E1

0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

E [ev]

x [nm]

E1

0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

E [ev]

x [nm]

E1

0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

E [ev]

x [nm]

E1

0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

E [ev]

x [nm]

E1

Rys.22. Funkcja falowa stanu podstawowego dla supersieci zawierającej dwie studnie.

E1 = 0,0163429614 [eV].

Rys.23. Funkcja falowa stanu podstawowego dla supersieci zawierającej cztery studnie.

E1 =0,016276492 [eV].

Rys.24. Funkcja falowa stanu podstawowego dla supersieci zawierającej osiem studni.

E1 = 0,0162480602 [eV].

Rys.25. Funkcja falowa stanu podstawowego dla supersieci zawierającej szesnaście studni.

E1 = 0,0162352162 [eV].

Rys.26. Funkcja falowa stanu podstawowego dla supersieci zawierającej trzydzieści dwie studnie. E1 = 0,0162345508 [eV].

Rys.27. Funkcja falowa stanu podstawowego dla supersieci zawierającej sześćdziesiąt cztery studnie. E1 = 0,0162384657 [eV].

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

-30 -20 -10 0 10 20 30

E [ev]

x [nm]

E2

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

E [ev]

x [nm]

E2

0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

E [ev]

x [nm]

E2

0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

E [ev]

x [nm]

E2

0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

E [ev]

x [nm]

E2

0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

E [ev]

x [nm]

E2

Rys.28. Funkcji falowa drugiego poziomu energetycznego dla supersieci zawierającej dwie studnie. E2 = 0,0165702687 [eV].

Rys.29. Funkcji falowa drugiego poziomu energetycznego dla supersieci zawierającej cztery studnie. E2 = 0,0163892205 [eV].

Rys.30. Funkcji falowa drugiego poziomu energetycznego dla supersieci zawierającej osiem studni. E2 = 0,0162870794 [eV].

Rys.31. Funkcji falowa drugiego poziomu energetycznego dla supersieci zawierającej szesnaście studni. E2 = 0,016289791 [eV].

Rys.32. Funkcji falowa drugiego poziomu energetycznego dla supersieci zawierającej

trzydzieści dwie studnie

E2 = 0,0162375734 [eV].

Rys.33. Funkcji falowa drugiego poziomu energetycznego dla supersieci zawierającej sześćdziesiąt cztery studnie.

E2 = 0,0162392443 [eV].