PRZEWODNICTWO ELEKTRYCZNE UKŁADÓW NISKOWYMIAROWYCH

PRZEWODNICTWO ELEKTRYCZNE UKŁADÓW NISKOWYMIAROWYCH

W ZEWNĘTRZNYM POLU

ELEKTRYCZNYM I MAGNETYCZNYM

PRACA DOKTORSKA

Michał H. Tyc

Wrocław 2003

prof. Włodzimierzowi Salejdzie,

za życzliwość i pomoc udzieloną mi przy realizacji pracy,

za nieograniczoną cierpliwość, a szczególnie za nieustające

wysiłki nad uczynieniem z nieprofesjonalnego programisty

profesjonalnego fizyka komputerowego.

.

Spis treści

Spis oznaczeń . . . . 5

1. Wprowadzenie . . . . 7

2. Przedmiot badań . . . . 10

2.1. Kwazijednowymiarowe struktury aperiodyczne . . . . 10

2.1.1. Matematyczna konstrukcja sieci aperiodycznych . . . . 10

2.1.2. Wybrane właściwości fizyczne . . . . 13

2.2. Supersieci półprzewodnikowe . . . . 16

2.2.1. Idea i wybrane właściwości supersieci . . . . 16

2.2.2. Model supersieci półprzewodnikowej . . . . 17

2.3. Dwuwymiarowy gaz elektronowy w lateralnym polu magnetycznym . . . 18

2.3.1. Lateralne supersieci magnetyczne . . . . 18

2.3.2. Model supersieci magnetycznej . . . . 20

2.4. Wyznaczane wielkości fizyczne . . . . 24

3. Kwantowy model przewodnictwa elektrycznego supersieci . . . . 25

3.1. Przewodnictwo układów mezoskopowych. Formuła Landauera . . . . 25

3.1.1. Układ jednowymiarowy z pojedynczym kanałem przewodnictwa . . 25

3.1.2. Przewodnictwo wielokanałowe . . . . 27

3.1.3. Formuła Landauera a inne sposoby opisu przewodnictwa . . . . . 31

3.2. Kwantowomechaniczny opis struktur niskowymiarowych . . . . 33

3.2.1. Bezwymiarowa postać równania Schr¨odingera . . . . 33

3.2.2. Równanie Schr¨odingera w polu magnetycznym . . . . 35

4. Metody obliczeń . . . . 37

4.1. Metoda różnic skończonych . . . . 37

4.1.1. Dyskretne jednowymiarowe równanie Schr¨odingera . . . . 37

4.1.2. Metoda różnic skończonych dla stanów rozproszeniowych . . . . . 40

4.2. Metoda elementów skończonych . . . . 43

4.2.1. Macierz przejścia dla pojedynczej bariery potencjału . . . . 43

4.2.2. Dowolny układ prostokątnych barier potencjału . . . . 47

4.2.3. Równoważność metody elementów skończonych i metody różnic skończonych . . . . 49

4.3. Formalizm map śladów i antyśladów . . . . 49 4.3.1. Właściwości wielomianów Czebyszewa i macierzy unimodularnych . 49

3

4.3.2. Odwzorowania śladów dla uogólnionych supersieci typu Fibonacciego 50

4.4. Wyznaczanie rozkładu potencjału elektrostatycznego w układzie . . . . . 54

5. Wyniki numeryczne . . . . 55

5.1. Supersieci półprzewodnikowe . . . . 55

5.1.1. Schemat obliczeń numerycznych . . . . 55

5.1.2. Wyniki obliczeń . . . . 56

5.2. Supersieci magnetyczne . . . . 77

5.2.1. Schemat obliczeń numerycznych . . . . 77

5.2.2. Przewodność i przewodność różniczkowa . . . . 78

5.2.3. Polaryzacja spinowa prądu . . . . 96

6. Podsumowanie i wnioski końcowe . . . . 106

A. Wyniki numeryczne dla układów periodycznych . . . . 109

Bibliografia . . . . 112

.

Spis oznaczeń

Poniżej zestawione są najważniejsze oznaczenia i symbole stosowane w tekście pracy:

a, A, α, . . . skalary a , A, α, . . . wektory a, A, , . . . macierze

A, B komórki elementarne supersieci

A potencjał wektorowy pola magnetycznego

B indukcja magnetyczna

G przewodność elektryczna, G = I/U

G _diff różniczkowa przewodność elektryczna, G = dI/dU I natężenie prądu elektrycznego

=(z) część urojona liczby zespolonej z

j gęstość prądu elektrycznego; gęstość prądu prawdopodobieństwa l numer pokolenia uogólnionej supersieci Fibonacciego

m, n parametry określające uporządkowanie przestrzenne uogólnionej supersieci Fibonacciego

m ^? , m masa efektywna elektronu

M macierz przejścia w metodzie elementów skończonych N liczba punktów siatki; liczba podprzedziałów

P macierz przejścia w metodzie różnic skończonych R energetyczny współczynnik odbicia

<(z) część rzeczywista liczby zespolonej z

S _l l-te pokolenie uogólnionego łańcucha (supersieci) Fibonacciego T energetyczny współczynnik przejścia

U napięcie elektryczne v prędkość elektronu

V , V _m potencjał, potencjał efektywny pola magnetycznego

α współczynnik skali w bezwymiarowym równaniu Schr¨odingera ε energia elektronu

η _sp współczynnik polaryzacji spinowej prądu µ potencjał chemiczny

ν gęstość stanów

5

ρ amplitudowy współczynnik odbicia

σ rzut spinu elektronu na kierunek pola magnetycznego τ amplitudowy współczynnik przejścia

φ potencjał elektrostatyczny ψ, Ψ funkcja falowa elektronu

ha . . b) przedział jednostronnie domknięty a ¬ x < b

1

Wprowadzenie

Trwający od połowy ubiegłego wieku dynamiczny rozwój przemysłu mikroelektronicz- nego i optoelektronicznego, przejawiający się m.in. postępującą miniaturyzacją obwodów scalonych i ciągłym wzrostem możliwości komputerów w postępie geometrycznym (opisa- nym prawami Moore’a) [1], wiąże się z powstaniem zaawansowanych technologii litografii, trawienia i osadzania warstw [2]. Metodami epitaksji z wiązki molekularnej (MBE) lub fazy gazowej (np. MOCVD) otrzymuje się obecnie czyste warstwy materiałów półprzewodni- kowych, metalicznych czy dielektrycznych o grubości od pojedynczych warstw atomowych do setek nanometrów. Litografia i inne technologie, jak np. osadzanie samoorganizujących się kropek kwantowych [3, 4], umożliwiają wytwarzanie obiektów o rozmiarach dziesiątek nanometrów, takich jak cienkie warstwy, supersieci, druty i kropki kwantowe, a techniki mikroskopii elektronowej (m.in. transmisyjna, skaningowa, tunelowa, sił atomowych) po- zwalają na ich badanie. Doprowadziło to do powstania nowej dziedziny wiedzy — nano- technologii [4].

Do opisu właściwości fizycznych układów o rozmiarach rzędu nanometrów (określanych często mianem mezoskopowych, tj. pośrednich między makroskopowymi i atomowymi), nie wystarcza aparat mechaniki klasycznej. Wymagane jest zastosowanie opisu kwantowego, dla którego sztucznie wytworzone struktury o precyzyjnie kontrolowanej geometrii i skła- dzie stanowią zarazem znakomity sprawdzian. Z tego względu mówimy o tzw. układach ni- skowymiarowych: dwu-, jedno- i zerowymiarowych, w których kwantowaniu podlega ruch elektronów odpowiednio wzdłuż jednego, dwóch lub wszystkich trzech kierunków prze- strzennych.

W układach niskowymiarowych możliwa stała się obserwacja zjawisk do tej pory jedynie opisywanych formułami matematycznymi zawartymi w podręcznikach i zbiorach zadań z mechaniki kwantowej, jak tunelowanie czy powstawanie podpasm w supersieciach, co określa się czasem terminem do-it-yourself quantum mechanics (mechanika kwantowa „zrób to sam”). Odkrywane są też zupełnie nowe, złożone zjawiska, jak całkowity [5] i ułamkowy kwantowy efekt Halla [6, 7]. W strukturach, których rozmiary są porównywalne ze średnią drogą swobodną elektronu, mamy do czynienia z przewodnictwem balistycznym [8, 9], nie dającym się opisać klasycznym prawem Ohma. W szczególnych sytuacjach obserwujemy kwantowanie przewodnictwa elektrycznego [8, 10].

Postęp w dziedzinie nanotechnologii polega nie tylko na miniaturyzacji istniejących przyrządów, lecz również na powstawaniu zupełnie nowych rozwiązań technicznych. Przy-

7

kładem mogą być tu cienkowarstwowe głowice dyskowych pamięci magnetycznych, których zasada działania oparta jest na zjawisku gigantycznego magnetooporu [11–13]. Wykorzy- stanie oddziaływania elektronu z polem magnetycznym i użycie jego spinowego stopnia swobody do przetwarzania informacji jest obenie przedmiotem intensywnych badań — dziedzina ta jest określana mianem magnetroniki [11, 12, 14] i spintroniki [15–17]. Dopro- wadziło to m.in. do powstania zupełnie nowych materiałów, tzw. półmagnetycznych [18]

i ferromagnetycznych półprzewodników [19, 20], oraz zaprojektowania nowych przyrządów elektronicznych, jak tranzystor spinowy [21] czy tranzystor jednoelektronowy [22]. W tym kontekście rosnącym zainteresowaniem cieszą się magnetyczne struktury półprzewodni- kowe i hybrydowe [23], w tym supersieci magnetyczne i układy z dwuwymiarowym gazem elektronowym w prostopadłym (lateralnym) polu magnetycznym. Bardzo ważnym i trud- nym zagadnieniem w tych układach jest wstrzykiwanie spolaryzowanych spinowo nośników prądu [24–28].

Dynamicznie rozwijającą się dziedziną wiedzy jest informatyka kwantowa [29–32], zaj- mująca się nowymi, bardzo efektywnymi procesami przetwarzania informacji, wykorzy- stującymi kwantowe właściwości materii. Wyrażane są nadzieje, że badania w dziedzinie spintroniki pozwolą na zbudowanie w przyszłości komputerów kwantowych — układów wielokrotnie przewyższających możliwościami współczesne komputery [33].

Bardzo interesującą klasą układów fizycznych są struktury aperiodyczne [34, 35]. Są one przedmiotem dużego zainteresowania w fizyce fazy skondensowanej od czasu odkry- cia kwazikryształów [36]. Są to obiekty nie wykazujące niezmienniczości translacyjnej, lecz charakteryzujące się specyficznym rodzajem dalekozasięgowego uporządkowania atomów, co w istotny sposób odróżnia kwazikryształy od układów nieuporządkowanych typu szkieł.

Szczególny rodzaj uporządkowania znajduje odzwierciedlenie w szczególnych właściwo- ściach fizycznych (np. fraktalnym charakterze widm elektronowych i fononowych) tych układów. Brak translacyjnej niezmienniczości czyni ich opis teoretyczny nietrywialnym, gdyż uniemożliwia stosowanie twierdzenia Blocha i płynących z niego wniosków.

Obecne zaawansowane technologie pozwalają na wytwarzanie niskowymiarowych struk- tur aperiodycznych [4], a możliwość szerokiej modyfikacji ich właściwości fizycznych po- przez zmianę dodatkowego parametru w postaci przestrzennego uporządkowania czyni te układy bardzo interesującymi ze względów teoretycznych i praktycznych. Szeroki zakres tematyczny badań i duża liczba wartościowych prac poświęconych układom aperiodycz- nym, przede wszystkim jednowymiarowym i kwazijednowymiarowym, pozwalają mówić o powstaniu nowej dyscypliny w ramach fizyki układów niskowymiarowych: fizyki kwazi- jednowymiarowych struktur aperiodycznych. Najwięcej uwagi w tej dziedzinie poświęcono badaniom kwazijednowymiarowych sieci typu Fibonacciego, uogólnionych sieci Fibonac- ciego [37–39], oraz innych kwazijednowymiarowych sieci aperiodycznych konstruowanych z dwóch [40–45] lub większej liczby [46–49] składników.

Ze względu na potencjalne zastosowania w mikroelektronice, jednymi z najważniejszych

właściwości układów aperiodycznych są właściwości transportowe, a zwłaszcza przewodnic-

two elektryczne. Przedmiotem dotychczasowych badań było m.in. przewodnictwo aperio-

dycznych supersieci, rozpatrywane w ramach modeli silnego wiązania i Kroniga–Penneya,

oraz przewodnictwo supersieci magnetycznych z uwzględnieniem spinowej polaryzacji no-

śników prądu (dokładniejszy przegląd zamieszczony jest w dalszej części pracy). Istniejące

i wciąż rosnące możliwości technologiczne oraz perspektywy aplikacyjne struktur magne-

tycznych i aperiodycznych stanowiły motywację dla kontynuacji i rozwinięcia tych badań w niniejszej pracy.

Celem pracy jest:

sformułowanie kwantowego modelu balistycznego przewodnictwa elektrycznego dla wy- branych klas układów kwazijednowymiarowych: aperiodycznych supersieci półprzewod- nikowych i supersieci magnetycznych należących do klasy uogólnionych sieci Fibonac- ciego;

zbadanie w ramach tego modelu właściwości przewodnictwa elektrycznego wybranych układów aperiodycznych, a w szczególności wyznaczenie ich przewodności, przewodno- ści różniczkowej oraz (w przypadku supersieci magnetycznych) współczynnika polary- zacji spinowej prądu, w zależności od parametrów charakteryzujących układ i przyło- żonego zewnętrznego pola elektrycznego.

Praca zorganizowana jest następująco:

Rozdział drugi przedstawia krótko problematykę kwazijednowymiarowych układów aperiodycznych, supersieci półprzewodnikowych i dwuwymiarowego gazu elektronowego w lateralnym polu magnetycznym i dotychczasowe osiągnięcia w tej dziedzinie ze szczegól- nym uwzględnieniem badań dotyczących przewodnictwa elektrycznego. Zawiera również ogólną charakterystykę układów, których właściwości są przedmiotem pracy.

W rozdziale trzecim sformułowany jest, w ramach formalizmu Landauera, kwantowy model przewodnictwa supersieci.

Rozdział czwarty poświęcony jest opisowi algorytmów numerycznych i wyprowadzeniu formuł analitycznych umożliwiających wyznaczanie podstawowych charakterystyk bada- nych układów.

Wyniki obliczeń, otrzymane w ramach stosowanego modelu dla wybranych typów ape- riodycznych supersieci półprzewodnikowych oraz aperiodycznych supersieci magnetycz- nych zawiera rozdział piąty.

Rozdział szósty podsumowuje uzyskane rezultaty, przedstawia wnioski oraz perspek- tywy dalszych badań.

Dodatek A przedstawia wybrane wyniki obliczeń otrzymane dla układów periodycznych oraz ich porównanie z rezultatami dla struktur aperiodycznych.

Pracę kończy spis cytowanej literatury.

2

Przedmiot badań

Rozdział ten zawiera ogólną charakterystykę układów będących przedmiotem niniejszej pracy: kwazijednowymiarowych struktur aperiodycznych, supersieci półprzewodnikowych i dwuwymiarowego gazu elektronowego w lateralnym polu magnetycznym. Przedstawia krótko obecny stan wiedzy na ich temat, ze szczególnym uwzględnieniem problematyki przewodnictwa elektrycznego.

2.1. Kwazijednowymiarowe struktury aperiodyczne

W tym podrozdziale wprowadzone są niezbędne pojęcia dotyczące rozpatrywanych w pracy układów. Przedstawiony jest matematyczny schemat konstrukcji podstawowych klas sieci aperiodycznych. Streszczone są najważniejsze wyniki dotychczasowych badań ich właściwości fizycznych.

2.1.1. Matematyczna konstrukcja sieci aperiodycznych

Zaobserwowanie w 1984 roku przez D. Shechtmana i współpracowników podczas badań strukturalnych stopów Al–Mn ostrego obrazu dyfrakcyjnego wykazującego pięciokrotną sy- metrię obrotową [36], niemożliwą z punktu widzenia klasycznej krystalografii, oznaczało odkrycie nowego jakościowo rodzaju stanu uporządkowania materii — kwazikryształów.

Przestrzenny rozkład atomów w kwazikrysztale jest uporządkowany (struktury nieupo- rządkowane nie dają ostrego obrazu dyfrakcyjnego), nie może jednak wykazywać (z uwagi na obserwowaną krotność symetrii, niedopuszczalną przez prawa klasycznej krystalogra- fii), translacyjnej niezmienniczości. Kwazikryształy nie są zatem ani strukturami perio- dycznymi, ani też chaotycznymi (losowymi), lecz aperiodycznymi; z uwagi na nielosowy charakter określa się je również mianem deterministycznych struktur aperiodycznych.

Badania nad kwazikryształami wciąż owocują zarówno odkryciami eksperymentalnymi (nowe substancje wykazujące nowe typy uporządkowania [50]), jak i nowymi podejściami teoretycznymi do opisu struktury kwazikryształów [51–53].

Szczególnym przypadkiem struktur aperiodycznych są struktury kwazijednowymiarowe, w których rozkład gęstości masy (lub innych lokalnych charakterystyk układu) jest ape- riodyczny tylko wzdłuż jednego kierunku.

Model struktury przestrzennej idealnych kwazikryształów został zaproponowany przez P. Steinhardta i współpracowników [34]; w przypadku symetrii pięciokrotnej (ikosaedal- nej ) jest on związany z tzw. parkietażem Penrose’a, tj. pokryciem płaszczyzny dwoma

10

rodzajami czworokątów. Opiera się on na założeniu kwaziperiodycznego charakteru funkcji gęstości masy. W tym miejscu celowym wydaje się być przytoczenie definicji funkcji kwa- ziperiodycznej i funkcji prawie okresowej , której szczególnym przypadkiem jest ta pierw- sza [54, 55]:

Funkcją kwaziperiodyczną nazywamy funkcję rzeczywistą jednej zmiennej postaci f (x) = X

(k

,...,k

)

c _k

_,...,k

exp

 i

X n j=1

k _j ω _j x

 ,

przy czym P

k |c ^k | ² < ∞, a okresy ω 1 , . . . , ω _k są niewspółmierne, tj.

X

i

m _i ω _i = 0 ⇐⇒ ^

i

m _i = 0 (m _i ∈ Z).

Funkcję ciągłą f(x) określoną dla x ∈ R nazywamy funkcją prawie okresową, jeśli dla każdego  > 0 istnieje liczba l() o tej własności, że w dowolnym przedziale długości l() daje się znaleźć co najmniej jeden prawie-okres T (), czyli

^

>0

_

l()>0

^

x

∈R

_

T ()>0

^

x∈hx

,x

+l()i

|f(x + T ()) − f(x)| ¬ .

Jednowymiarowe i kwazijednowymiarowe układy aperiodyczne są zbudowane z co naj- mniej dwóch różnych składników — komórek elementarnych A i B (w przypadku układów kwazijednowymiarowych składniki te mogą być dwoma typami warstw, ułożonych wzdłuż wybranego kierunku). Porządek elementów A i B w łańcuchu określony jest za pomocą deterministycznych reguł [34, 37, 38], które mogą przybierać różne formy.

Jedną z możliwości zdefiniowania nieskończonego aperiodycznego łańcucha jest utwo- rzenie ciągu zerojedynkowego

a _i =

 i + 1 ξ



−

 i ξ



(i = 0, 1, . . .), (2.1)

gdzie bxc oznacza część całkowitą x, a ξ jest niewymierną liczbą algebraiczną drugiego stopnia (tj. pierwiastkiem równania algebraicznego stopnia drugiego); zauważmy, że dla ξ ∈ Q ciąg jest okresowy. Następnie należy przypisać wyrazom ciągu równym 0 i 1 odpo- wiednio elementy A i B łańcucha. Rozkład lokalnych charakterystyk układu w strukturze zdefiniowanej takim łańcuchem jest funkcją kwaziperiodyczną.

Inną rekurencyjną zasadą konstrukcji łańcucha aperiodycznego jest reguła konkatenacji S _l = f _l (S _l−1 , . . . , S _l−k ) (l = k, k + 1, . . .), (2.2) w której l numeruje kolejne pokolenia łańcucha S _l (S ₀ , . . . , S _k−1 są ustalone i stano- wią „warunki początkowe”), zaś wartościami funkcji f _l (. . .) są łańcuchy będące złożeniami (konkatenacjami) ich argumentów w odpowiednim porządku i liczbie. Istnieją także bar- dziej złożone reguły konkatenacji, wykorzystujące kilka wzajemnie zależnych ciągów S _l , S _l ⁰ , S _l ⁰⁰ , . . . Przykładem prostej reguły jest

S _l = (S _l−1 ) ⁿ  (S l−2 ) ^m (m, n ∈ N), (2.3)

gdzie  oznacza konkatenację, a (. . .) ⁿ — n-krotne powtórzenie, np. A  B = AB, (AB) ² = ABAB . Stosując formułę (2.2) rekurencyjnie przy l → ∞, możemy skonstruować nieskoń- czony łańcuch aperiodyczny.

Jeszcze innym sposobem określenia porządku elementów w aperiodycznym łańcuchu jest reguła podstawiania dla alfabetu złożonego z n symboli α ₁ , . . . , α _n , mająca ogólną postać

α ₁ 7→ s(α 1 ), . . . , α _n 7→ s(α n ), (2.4)

przy czym s(α ₁ ), . . . , s(α _n ) są ustalonymi ciągami (łańcuchami) symboli alfabetu. Sym- bolom tym następnie przypisujemy (nie musi to być odwzorowanie 1–1) elementy A i B.

Reguła taka pozwala rekurencyjnie konstruować kolejne pokolenia S _l łańcucha aperiodycz- nego danego typu po przyjęciu ustalonego łańcucha początkowego S ₀ ; w granicy l → ∞ otrzymujemy łańcuch nieskończony.

W wielu przypadkach ten sam łańcuch aperiodyczny można otrzymać za pomocą rów- noważnych reguł typu (2.1), (2.2), (2.4). Najprostszym przykładem jest łańcuch Fibonac- ciego (tzw. złoty), który otrzymujemy dla S ₀ = B i S ₁ = A za pomocą reguły konkatenacji S _l = S _l−1 · S l−2 lub reguły podstawienia (A 7→ AB, B 7→ A). Kolejne pokolenia złotego łańcucha Fibonacciego to:

S ₀ = B, S ₁ = A, S ₂ = AB, S ₃ = ABA, S ₄ = ABAAB, . . .

Odpowiadają one zarazem dla l > 0 podciągom (a ₀ , a ₁ , . . . , a _F

₋₁ ) ciągu (2.1) dla parame- tru ξ = ¹ ₂ ( √

5 + 1) przy podstawieniu 0 7→ B, 1 7→ A. Liczba elementów w łańcuchu S l jest l-tą liczbą Fibonacciego F _l = F _l−1 + F _l−2 , zaś ξ = lim _l→∞ F _l /F _l−1 .

Łańcuchy aperiodyczne zadane regułami konkatenacji postaci (2.3) dla m, n ­ 1 oraz S ₀ = B, S ₁ = A nazywamy uogólnionymi łańcuchami Fibonacciego. Definiujące je reguły podstawiania mają ogólną postać

A 7→ A ⁿ · B ^m , B 7→ A. (2.5)

Niektóre z tych łańcuchów (dla parametru m = 1) można określić również za pomocą cią- gów zerojedynkowych (2.1); są one, w przeciwieństwie do pozostałych, łańcuchami kwazi- periodycznymi. Kilka początkowych pokoleń dwóch różnych uogólnionych łańcuchów Fi- bonacciego przedstawia tabela 2.1.

Najważniejsze łańcuchy aperiodyczne zbudowane z dwóch rodzajów elementów: uogól- nione łańcuchy Fibonacciego [37–39] oraz łańcuchy: oktagonalny [40], dodekagonalny [40], Severina [41], uogólnione Thue–Morse’a [42], Cantora [43], kołowy [44] i Rudina–Shapi- ro [45], wraz z definiującymi je regułami zestawione są w tabeli 2.2.

Sieciom aperiodycznym utworzonym według reguł (2.1), (2.2) lub (2.4) mogą odpowia- dać różne układy fizyczne. W szczególności rozważane są:

łańcuchy atomów [56–68], w którym składnikom A i B supersieci odpowiadają odcinki (komórki elementarne) różnej długości lub zawierające atomy o różnych masach;

łańcuchy spinów [69–73] o zmieniających się aperiodycznie wartościach lub całkach wymiany;

supersieci półprzewodnikowe [74–81] o segmentach A i B wykonanych z różnych mate-

riałów;

Tabela 2.1. Początkowe pokolenia (l = 2, . . . , 5) uogólnionych łańcuchów Fibonac- ciego dla parametrów n = 2, m = 1 (tzw. łańcuch srebrny) oraz n = 1, m = 2 (tzw.

łańcuch miedziany); S ₀ = B, S ₁ = A l Łańcuch n = 2, m = 1

2 AAB 3 AABAABA

4 AABAABAAABAABAAAB

5 AABAABAAABAABAAABAABAABAAABAABAAABAABAABA l Łańcuch n = 1, m = 2

2 ABB 3 ABBAA

4 ABBAAABBABB

5 ABBAAABBABBABBAAABBAA

układy półprzewodnikowe o innej wymiarowości (superdruty i superkropki) [74] zbudo- wane z koncentrycznie ułożonych w porządku aperiodycznym warstw typu A i B;

supersieci magnetyczne z aperiodycznie modulowanym polem magnetycznym, opisane w dalszej części rozdziału [82–84]

aperiodycze cienkowarstwowe układy optyczne i struktury fotoniczne [85–91].

2.1.2. Wybrane właściwości fizyczne

Geometryczne i fizyczne właściwości układów aperiodycznych są przedmiotem inten- sywnych badań teoretycznych i eksperymentalnych. Rozwój tej dziedziny fizyki ciała sta- łego stymulowany jest przez ciągle rosnące możliwości technologiczne wytwarzania nano- struktur o precyzyjnie zadanej geometrii, w tym aperiodycznych supersieci półprzewodni- kowych.

Właściwości fizyczne układów aperiodycznych są interesujące zarówno ze względów po- znawczych, jak i aplikacyjnych. Najistotniejszym problemem teoretycznym jest wpływ de- terministycznego, lecz nieperiodycznego rozkładu lokalnych charakterystyk fizycznych na właściwości całego układu. Pomimo pozornej prostoty zagadnienia (układ jest kwazijed- nowymiarowy), wymaga ono nowego podejścia metodologicznego, gdyż brak translacyjnej niezmienniczości wyklucza stosowanie aparatu opartego na twierdzeniu Blocha. Poszukiwa- nie zastosowań dla kwazijednowymiarowych struktur aperiodycznych opiera się zaś na ich odmiennych (w stosunku do struktur okresowych) właściwościach, które dodatkowo można w szerokim zakresie modyfikować poprzez zmianę reguł przestrzennego uporządkowania.

Dotychczas przedmiotem badań były następujące właściwości kwazijednowymiarowych struktur aperiodycznych:

dynamika drgań atomów i pojemność cieplna łańcuchów atomów [56–68];

widma elektronowe łańcuchów atomów i funkcje falowe elektronów w ramach modelu silnego wiązania [34, 92–103];

własności magnetyczne i dynamika fal spinowych [69–73, 104];

transmisja fal akustycznych [105–107] i elektromagnetycznych [85–91].

Tabela 2.2. Zwyczajowe nazwy i definicje za pomocą reguł podstawiania i konkatenacji uogólnionych łańcuchów Fibonacciego (ŁF) oraz innych najważniejszych dwuskładniko- wych łańcuchów aperiodycznych. Niektóre reguły podstawiania wymagają użycia więcej niż dwóch elementów (symboli alfabetu); konstrukcja łańcucha dwuskładnikowego polega na końcowym utożsamieniu A ₁ = A ₂ = A oraz B ₁ = B ₂ = B. Reguły konkatenacji są podane tylko w tych przypadkach, gdzie nie wymagają definiowania dodatkowych łańcuchów S _l ⁰ , S _l ⁰⁰ , . . . Łańcuchy, dla których podano wartość parametru ξ (tj. można je zdefiniować za pomocą ciągu postaci (2.1)), należą do klasy łańcuchów kwaziperiodycznych

Łańcuch S ₀ S ₁ Podstawienia S _l ξ

złoty ŁF B A A 7→ AB, S _l−1 · S l−2 1

2 ( √ 5 + 1) B 7→ A

srebrny ŁF B A A 7→ AAB, (S _l−1 ) ² · S l−2

√ 2 B 7→ A

brązowy ŁF B A A 7→ AAAB, (S _l−1 ) ³ · S l−2 1 2 ( √

13 − 1) B 7→ A

miedziany ŁF B A A 7→ ABB, S _l−1 · (S l−2 ) ² — B 7→ A

niklowy ŁF B A A 7→ ABBB, S _l−1 · (S l−2 ) ³ — B 7→ A

oktagonalny B BA A 7→ BAB, (S _l−1 ) ² · S l−2

√ 2 + 1 B 7→ BA

dodekagonalny B A — (S _l−k ) ^k+1 · S l−k−1 2 + √ 3 ^a) (k = l mod 2 + 1)

Severina A B A 7→ BA, S _l = (S _l−2 ) ² · S l−1 — B 7→ AA

Thue–Morse’a A AB A 7→ AB, — —

B 7→ BA

uogólniony T.–M. A A ⁿ B ^m A 7→ A ⁿ B ^m , — — B 7→ B ^m A ⁿ

Cantora B BAB A 7→ AAA, — —

B 7→ BAB

kołowy ^b) A ₁ BA ₁ B A ₁ 7→ BA 1 B, — —

A ₂ 7→ A 1 BBBA ₁ B, B 7→ A 1 A ₂ BA ₁ B

Rudina–Shapiro A ₁ A ₁ A ₂ A ₁ 7→ A 1 A ₂ , — — A ₂ 7→ A 1 B ₁ ,

B ₁ 7→ B 2 A ₂ , B ₂ 7→ B 2 B ₁

a)

Wymagana jest zamiana 0 ↔ 1 w ciągu (2.1), tj. a

7→ 1 − a

.

b)

Łańcuch kołowy można zdefiniować w jeszcze inny sposób, tj. za pomocą funkcji charakterystycznej

odcinka h0,

).

przewodnictwo elektryczne w ramach modelu silnego wiązania oraz modelu Kroniga–

Penneya [75–81, 108–111];

Badania teoretyczne właściwości kwazijednowymiarowych struktur aperiodycznych do- tychczas prowadzono za pomocą:

metod teorii układów dynamicznych opartych na formalizmie dynamicznych map śla- dów, zapronowanym przez M. Kohmoto, L. Kadanoffa i C. Tanga [78–80, 112];

metod grupy renormalizacyjnej [113, 114];

metod analitycznych [44, 115, 116] i rachunku zaburzeń [57];

metod numerycznych — np. [42, 56, 62, 69, 70, 75–77, 81, 97, 105, 109].

Poniżej przedstawione są krótko najważniejsze wyniki wspomnianych badań.

Widma elektronowe i fononowe skończonych struktur aperiodycznych mają charakter odmienny zarówno od widm struktur periodycznych (których widma są kwaziciągłe), jak i od widm struktur nieuporządkowanych (których widma są punktowe — w przypadku widm elektronowych mówimy tu o lokalizacji Andersona [117]). Są one obiektami fraktal- nymi wykazującymi podobieństwo do zbioru Cantora [43]. Wycałkowana funkcja gęstości stanów (dystrybuanta) ma charakter funkcji Cantora (tzw. diabelskiej drabiny). Przerwy energetyczne w przypadku nieskończonych łańcuchów są rozmieszczone gęsto (widoczne są w dowolnej skali), a suma szerokości podpasm podlega potęgowemu prawu skalowania.

Podobnie funkcje falowe elektronów nie są ani zdelokalizowane (rozciągłe), jak w przy- padku łańcuchów periodycznych, ani zlokalizowane, jak w łańcuchach nieuporządkowa- nych, lecz mają charakter pośredni między tymi dwoma typami.

Pokazano, że przewodnictwo Landauera G jednowymiarowego kwazikryształu typu Fi- bonacciego spełnia relację G(L) ∼ 1/L ^ , gdzie L — rozmiar kwazikryształu, a  przyjmuje wartości ze skończonego przedziału [109, 118]. Sugerowana była także nieskończona wartość przewodnictwa elektrycznego [108].

Zaobserwowano silne fluktuacje funkcji G(ε), gdzie ε oznacza energię nośników prądu, wskazujące na rezonansowy charakter przewodnictwa. Pokazano, że funkcja G ⁻¹ (ε) od- twarza prefraktalną strukturę poziomów energetycznych elektronów łańcucha Fibonac- ciego [75].

W opisie przewodnictwa Landauera aperiodycznych supersieci model silnego wiąza- nia zastąpiono [110] modelem Kroniga–Penneya, pozwalającym łatwiej uwzględniać realne cechy badanych układów (wysokość i szerokość barier potencjału). Wprowadzono także for- malizm dynamicznych map śladów, zapożyczony z badań nad dynamiką aperiodycznych łańcuchów atomów. Obok łańcuchów Fibonacciego [78–81, 110], badano w ten sposób także uogólnione łańcuchy Thue–Morse’a [119].

Rozpatrywane były właściwości dynamiki elektronów w półprzewodnikowych super-

sieciach Fibonacciego [76, 77]. W badaniach dynamiki elektronów stosowano także cza-

sowe równanie Schr¨odingera [120]. Zajmowano się również wpływem zewnętrznego stałego

pola elektrycznego na właściwości transportu nośników prądu w aperiodycznych supersie-

ciach [77, 79, 81, 121, 122].

2.2. Supersieci półprzewodnikowe

W tym podrozdziale, po krótkim omówieniu idei supersieci półprzewodnikowych, cha- rakteru przewodnictwa elektrycznego w tych układach i metod stosowanych w jego opisie, przedstawiony jest szczegółowo rozważany w pracy model supersieci półprzewodnikowej.

2.2.1. Idea i wybrane właściwości supersieci

Struktura pasmowa kryształu, np. półprzewodnika — szerokości pasm walencyjnych, zabronionych i przewodnictwa oraz postaci zależności dyspersyjnych ε(k) — jest konse- kwencją periodyczności sieci krystalicznej i rozmieszczenia atomów w komórce elemen- tarnej kryształu [123, 124]. Zarówno naturalne, jak i sztucznie wytworzone jednorodne materiały półprzewodnikowe mają komórki elementarne o rozmiarach leżących w wąskim przedziale kilku ˚ A, należące do skończonej liczby klas krystalograficznych. Idea supersieci, tj. sztucznego materiału o znacznie większej niż kryształy półprzewodnikowe i praktycz- nie dowolnej stałej sieci, a co za tym idzie, o dającej się stosunkowo łatwo kształtować strukturze pasmowej, pochodzi z roku 1970 od L. Esakiego i R. Tsu [125].

Supersieć jest strukturą (ściślej, nanostrukturą) powstałą przez naprzemienne ułoże- nie dwóch (lub więcej) rodzajów warstw materiałów krystalicznych o zbliżonych stałych sieci i często również podobnych strukturach pasmowych. Dostępne obecnie technologie pozwalają na wytwarzanie takich struktur z dokładnością do pojedynczej warstwy ato- mowej, a co za tym idzie, na uzyskanie periodycznego ułożenia warstw. Pojawienie się w strukturze długookresowego potencjału powoduje rozszczepienie pasm przewodnictwa materiału krystalicznego budującego supersieć na liczne podpasma, oddzielone przerwami wzbronionymi.

Technologie wytwarzania nanostruktur pozwalają także na precyzyjnie kontrolowane aperiodyczne ułożenie poszczególnych warstw, dające w wyniku supersieć aperiodyczną (rys. 2.1).

- x z 6

 y

A B A A B B B A A

Rysunek 2.1. Supersieć półprzewodnikowa (aperiodyczna) zbudowana z kolejnych warstw materiałów dwóch typów, A i B

Supersieci półprzewodnikowe były i są nadal przedmiotem licznych badań eksperymen-

talnych i teoretycznych [126]. Ważną grupą stosowanych metod badawczych są badania

optyczne, nie tylko z uwagi na zastosowania supersieci w przyrządach optoelektronicz-

nych, ale także jako nieniszczące ogólne metody ich charakteryzacji. Pozwalają one badać

m.in. strukturę podpasm i stanów zlokalizowanych.

Przewodnictwo elektryczne w supersieciach zachodzi na drodze różnych mechanizmów fizycznych i jest złożonym procesem, który trudno opisać zależnością liniową typu prawa Ohma [126–130]. Obserwowane są zjawiska takie, jak ujemna różniczkowa przewodność, tworzenie się domenowej struktury pola elektrycznego, drabina Wanniera–Starka i oscyla- cje Blocha.

Opis teoretyczny przewodnictwa supersieci możliwy jest w ramach różnych podejść.

Spotykane są podejścia oparte na równaniu kinetycznym Boltzmanna oraz na zjawiskach przeskoków (hoppingu) i sekwencyjnego tunelowania. Do supersieci o dużej wartości śred- niej drogi swobodnej ma również zastosowanie podejście balistyczne, wykorzystujące w opi- sie przewodnictwa tunelowanie koherentne. Jest ono stosowane w niniejszej pracy.

2.2.2. Model supersieci półprzewodnikowej

Rozpatrywany w pracy model aperiodycznej supersieci półprzewodnikowej zbudowany jest z dwóch podstawowych elementów konstrukcyjnych — komórek elementarnych typu A i B, których przestrzenne uporządkowanie wzdłuż osi X układu współrzędnych okre- ślają reguły (2.3), (2.5). Każda z komórek stanowi jednorodną warstwę materiału półprze- wodnikowego (odpowiednio typu A i B) o określonej grubości L _A lub L _B , jak na rys. 2.1.

Pozostałymi parametrami odróżniającymi warstwy i = A, B są:

szerokość przerwy energetycznej ε _g,i ; różnica ε _g,A − ε g,B rozkłada się na pasmo prze- wodnictwa i pasmo walencyjne w określonym stosunku (ang. band offset) i odpowiada za wysokość V _b barier potencjału w pasmie przewodnictwa;

masa efektywna m ^? _i elektronów;

przenikalność elektryczna κ _i .

Model zakłada, że na granicach warstw występuje nieciągłość parametrów ε _g , m, κ, zaś wewnątrz warstw są one stałe, tj. ε _g (x), m ^? (x), κ(x) są funkcjami przedziałami sta- łymi. Jest to idealizacja układów, które można zrealizować w praktyce, nanosząc metodami epitaksjalnymi [2] w odpowiednim porządku kolejne cienkie warstwy dwóch różnych ma- teriałów półprzewodnikowych.

Jeśli umieścić układ współrzędnych w geometrycznym środku j-ej komórki supersieci typu i _j (i = A, B) o grubości L _i , wówczas potencjał w komórce przyjmuje postać

V _j (x) = V _b

_i,B , V _b = c _CBO (ε _g,B − ε g,A ),

przy czym współczynnik c _CBO określa ułamek różnicy szerokości przerw energetycznych między materiałami A i B przypadający na pasmo przewodnictwa. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że ε _g,A < ε _g,B . Pozostałe parametry materiałowe dane są wzorami

m ^? _j (x) = m _i

( ¹ ₄ L ² _i − x ² ), κ _j (x) = κ _i

( ¹ ₄ L ² _i − x ² ).

Cała supersieć, złożona z N przylegających do siebie komórek o środkach w punktach

¯x _j (j = 1, . . . , N), jak na rys. 2.2, opisana jest funkcjami

V (x) = X N j=1

V _j (x − ¯x j ), m ^? (x) = X N j=1

m ^? _j (x − ¯x j ), κ(x) = X N j=1

κ _j (x − ¯x j ).

Po przyłożeniu zewnętrznego pola elektrycznego do potencjału supersieci V (x) dodaje się

potencjał elektrostatyczny eφ(x). Należy w tym miejscu zauważyć, że (w przeciwieństwie

x V

¯x ₁ ¯x ₂ ¯x ₃ ¯x ₄ ¯x ₅ ¯x ₆ ¯x ₇ ¯x ₈

−eU 0 V _b − eU

V _b

A B B A A B A A

Rysunek 2.2. Potencjał w modelu supersieci półprzewodnikowej: linia ciągła — bez zewnętrznego pola elektrycznego, linia przerywana — po przyłożeniu różnicy poten- cjałów U (rysunek nie uwzględnia niejednorodności pola spowodowanej zależnością κ = κ(x))

do funkcji m ^? (x) i κ(x)) potencjał V (x) traci w zewnętrznym polu elektrycznym wła- sności funkcji kwaziperiodycznej, nawet jeśli uogólniony łańcuch Fibonacciego definiujący supersieć należy do klasy łańcuchów kwaziperiodycznych.

Równania opisujące powyższy model supersieci półprzewodnikowej zostaną w dalszej części pracy szczegółowo opisane i posłużą do sformułowania algorytmu numerycznego pozwalającego obliczać przewodność elektryczną badanych supersieci.

2.3. Dwuwymiarowy gaz elektronowy w lateralnym polu magnetycznym

Podrozdział ten wprowadza pojęcie lateralnej supersieci magnetycznej i omawia jej eksperymentalne realizacje oraz metody stosowane w opisie teoretycznym. Przedstawia szczegółowo model supersieci magnetycznej rozpatrywany w pracy.

2.3.1. Lateralne supersieci magnetyczne

Współczesna technologia pozwala nie tylko na wytwarzanie układów, w których pole magnetyczne jest niejednorodne makroskopowo, oraz takich, gdzie elektrony podlegają działaniu pól magnetycznych niejednorodnych w skali atomowej, pochodzących od ma- gnetycznych domieszek (jak w półprzewodnikach półmagnetycznych [18]). Integracja ma- teriałów o odmiennych właściwościach fizycznych — półprzewodników, metali i nadprze- wodników oraz ferromagnetyków i materiałów niemagnetycznych — w hybrydowych na- nostrukturach umożliwia wytworzenie pól magnetycznych niejednorodnych w skali pośred- niej, nanometrowej i mikrometrowej. Technologie te można wykorzystać w konstrukcji nowych urządzeń, jak przełączniki oparte na sile Lorentza i nieulotne magnetyczne pa- mięci RAM [23, 131].

Najprostszymi strukturami hybrydowymi z polem magnetycznym są planarne (dwuwy-

miarowe) układy elektroniczne zintegrowane z elementami wytwarzającymi pole magne-

tyczne, które istotnie modyfikuje właściwości fizyczne struktury. Elementy magnetyczne

mogą być oddzielone od obwodu elektrycznego bądź też, w bardziej złożonej konfiguracji, stanowić jego część.

Należy tu nadmienić, że przestrzenną modulację pola magnetycznego w skali nanome- trowej można (w ograniczonym zakresie) uzyskać w planarnych strukturach niehybrydo- wych. Przykładem jest układ przedstawiony schematycznie na rys. 2.3 [132]; za pomocą technologii trawienia i epitaksji uzyskano wartwę dwuwymiarowego gazu elektronowego o modulowanym kącie nachylenia względem jednorodnego zewnętrznego pola magnetycz- nego. Oznacza to, że modulacji podlega składowa pola prostopadła do warstwy, mająca najistotniejszy wpływ na dynamikę elektronów.

- x

 y z 6

HHH

HHH

 

 

HHH  

6 6 6 6 6

B B B B B



A A B _⊥ B _⊥ AK

Rysunek 2.3. Układ z jednowymiarowo modulowanym polem magnetycznym otrzy- many w wyniku specjalnego trawienia heterostruktury półprzewodnikowej. Dwuwy- miarowy gaz elektronowy (2DEG) znajduje się w warstwie zaznaczonej grubszą linią;

modulacji podlega składowa prostopadła B _⊥ wektora jednorodnego zewnętrznego pola magnetycznego B

Znacznie szerszy zakres modulacji przestrzennej pola magnetycznego (zwróćmy uwagę, że w strukturze na rys. 2.3 składowa B _⊥ ma wszędzie ten sam znak) zapewniają struktury hybrydowe. Modulację w układzie planarnym można uzyskać, nanosząc na powierzchnię heterostruktury półprzewodnikowej:

kawałki materiału ferromagnetycznego (mikromagnesy) o różnych kierunkach i zwro- tach namagnesowania (rys. 2.4);

paski materiału przewodzącego, w których płyną prądy wytwarzające lokalne pola magnetyczne;

kawałki materiału nadprzewodzącego, zaburzające rozkład pola magnetycznego w stuk- turze po umieszczeniu jej w polu zewnętrznym.

Ponieważ ruch elektronów jest (w przybliżeniu) ograniczony do dwuwymiarowej płasz- czyzny, istotna jest składowa pola magnetycznego prostopadła do warstwy dwuwymiaro- wego gazu elektronowego (B _z na rys. 2.4); układ taki nazywany bywa lateralną supersiecią magnetyczną.

W dotychczasowych pracach dotyczących dwuwymiarowego gazu nieoddziałujących elektronów w przestrzennie modulowanym prostopadłym (lateralnym) polu magnetycznym rozważano układy z modulacją jedno- i dwuwymiarową (rysunki 2.3 i 2.4 przedstawiają wybrane realizacje modulacji jednowymiarowej).

Wśród układów z jednowymiarową modulacją pola magnetycznego rozważane były

zarówno bardzo proste konfiguracje pola [23], takie jak:

- x

 y z 6

66 ?? - -  

Rysunek 2.4. Układ z jednowymiarowo modulowanym polem magnetycznym otrzy- many w wyniku nałożenia na strukturę półprzewodnikową mikromagnesów (pasków materiału ferromagnetycznego) o różnych orientacjach namagnesowania. Dwuwymia- rowy gaz elektronowy (2DEG) znajduje się w warstwie zaznaczonej grubszą linią stopień magnetyczny, B(x) = B ₀

(x),

bariera magnetyczna, B(x) = B ₀

(a ² − x ² ), studnia magnetyczna, B(x) = B ₀

(x ² − a ² ),

jak i periodyczne oraz aperiodyczne supersieci magnetyczne [133, 134]. Na szczególną uwagę zasługuje tzw. magnetyczny model Kroniga–Penneya [135] — układ periodyczny z komórką elementarną długości a, na której pole magnetyczne ma rozkład postaci

B(x) = B ₀

a [

(x + b) −

(x − b)] (b < a).

Układ ten (oraz jego zmodyfikowane warianty) przedstawiony jest na rys. 2.5. Występujące w opisie modelu potencjały wektorowe A(x) i efektywne V (x) omówione są dokładnie w rozdziale 3.

W układach tych badano m.in. funkcje falowe elektronów i stany związane [136], prze- wodnictwo balistyczne [83, 137, 138] oraz klasyczne trajektorie elektronów [139]. Przedmio- tem rozważań był też spinowo spolaryzowany transport nośników ładunku [84, 140–145].

Rozpatrywane były również układy, takie jak kropki [23] magnetyczne (z cylindrycznie symetrycznym rozkładem pola), druty kwantowe [146–148], oraz dwuwymiarowe układy periodyczne i losowe. Przedmiotem badań były w nich m.in. stany związane i rozprosze- niowe elektronów.

2.3.2. Model supersieci magnetycznej

Rozpatrywany w pracy model lateralnej supersieci magnetycznej stanowi idealizację

układu, który można zrealizować w praktyce w heterostrukturze półprzewodnikowej z war-

stwą dwuwymiarowego gazu elektronowego o wysokiej ruchliwości, na powierzchni której

naniesiono paski namagnesowanego materiału ferromagnetycznego, jak na rys. 2.4. Super-

sieć zdefiniowana jest poprzez tworzące ją cegiełki — komórki elementarne dwóch typów

A i B, ułożone aperiodycznie według reguł (2.3), (2.5). Komórki te odpowiadają uogól-

nionemu modelowi Kroniga–Penneya ze spinem, naszkicowanemu na rys. 2.5d–f. Są one

a)

x

B A B d)

x

B A B

b)

x

A A B e)

x

A A B

c)

x

V A B f )

x

V A B

Rysunek 2.5. Magnetyczny model Kroniga–Penneya i jego uogólnienia:

a)–c) — odpowiednio rozkład pola magnetycznego B(x), potencjału wektorowego A(x) i potencjału efektywnego V (x) w klasycznym magnetycznym modelu K–P na dwóch przy- kładowych komórkach elementarnych A i B supersieci magnetycznej (jednostki dowolne);

d)–f) — analogiczne wykresy dla uogólnionego modelu z bardziej realistycznym, nieoso- bliwym rozkładem pola magnetycznego.

Na wykresach c) i f) linia ciągła odpowiada modelowi bezspinowemu, linia przerywana

— modelowi uwzględniającemu rozszczepienie Zeemana. Strzałki na wykresach a) i c)

oznaczają osobliwości typu delta Diraca

a)

x B

− ¹ ₂ L _i −d i +d _i + ¹ ₂ L _i

−B 2,i

B _1,i

2w _1,i 2w _2,i

2d _i

komórka i

b)

x A

− ¹ ₂ L _i −d i +d _i + ¹ ₂ L _i

1

2 A _max,i A _max,i

2w _1,i 2w _2,i

Rysunek 2.6. Komórka elementarna rozpatrywanej lateralnej supersieci magnetycz- nej: a) rozkład pola magnetycznego oraz b) odpowiadający mu potencjał wektorowy.

Początek układu współrzędnych umieszczony jest w geometrycznym środku komórki szczegółowo przedstawione na rys. 2.6–2.7, które ilustrują także znaczenie parametrów modelu.

Zarówno komórka typu A, jak i B, zadane są przez rozkład pola magnetycznego postaci B = [0, 0, B(x)] (skąd automatycznie wynika div B = 0). Rozkład ten dla j-ej komórki (typu i _j ) ma postać

B _j (x) =

 

 

 

 

 



0 ( − ¹ ₂ L _i ¬ x ¬ −d i − w 1,i ) B _1,i (−d i − w 1,i < x < −d i + w _1,i ) 0 (−d i + w _1,i ¬ x ¬ +d i − w 2,i )

−B 2,i (−d i − w 2,i < x < −d i + w _2,i ) 0 (+d _i + w _2,i ¬ x ¬ + ¹ ₂ L _i ),

(2.6)

gdzie i = A, B, L _i jest długością komórki, a współrzędna x jest liczona względem jej środka

(rys. 2.6a). Parametry B _1,i , B _2,i , w _1,i oraz w _2,i są tak dobrane, że średnia wartość pola

magnetycznego w komórce jest równa zeru:

B _1,i w _1,i = B _2,i w _2,i = A _max,i ,

Z +L

/2

−L

/2

B(x) dx = 0, (2.7)

co ma podstawowe znaczenie dla przyjętego modelu. Równość ta oznacza zarazem znikanie całkowitego strumienia indukcji magnetycznej przez komórkę elementarną.

a)

x V

− ¹ ₂ L _i −d i +d _i + ¹ ₂ L _i

k ²

2w _1,i 2w _2,i

k _y = 0 k _y < 0 k _y > 0

b)

x V

− ¹ ₂ L _i −d i +d _i + ¹ ₂ L _i

k ²

2w _1,i 2w _2,i

k _y = 0 k _y < 0 k _y > 0

Rysunek 2.7. Efektywny potencjał w komórce elementarnej supersieci magnetycznej:

a) dla elektronu bezspinowego oraz b) dla elektronu ze spinem. Poszczególne krzywe odpowiadają elektronom o składowej wektora falowego k _y = 0, k _y < 0 i k _y > 0.

Z rozkładu pola magnetycznego (2.6) wynika postać potencjału wektorowego (rys. 2.6b)

A _j (x) =

 

 

 

 

 



0 ( − ¹ ₂ L _i ¬ x ¬ −d i − w 1,i ) (x + d _i + ¹ ₂ w _1,i )B _1,i (−d i − w 1,i < x < −d i + w _1,i ) A _max,i (−d i + w _1,i ¬ x ¬ +d i − w 2,i ) (d _i + ¹ ₂ w _2,i − x)B 2,i (−d i − w 2,i < x < −d i + w _2,i ) 0 (+d _i + w _2,i ¬ x ¬ + ¹ ₂ L _i ),

(2.8)

określonego z dokładnością do stałej cechowania. Istotne jest, że potencjał wektorowy na obu końcach komórki elementarnej ma tę samą wartość, tj. A(− ¹ ₂ L) = A(+ ¹ ₂ L), co wynika z równości (2.7). Tę samą własność ma potencjał efektywny

V _j (x) = 1

2m ^? [¯hk _y + ^e _c A(x)] ² + gµ _B σB _j (x),

gdzie k _y — składowa poprzeczna wektora falowego elektronu, zaś gµ _B σB — wyraz opisu- jący rozszczepienie spinowe. W ten sposób pole magnetyczne nie wytwarza dodatkowego progu potencjału efektywnego; w opisie klasycznym oznacza to, że styczne do trajektorii elektronu na obu końcach komórki elementarnej (a zatem również na obu końcach całej supersieci) są do siebie równoległe.

Całą supersieć, tj. N przylegających do siebie komórek o środkach w punktach ¯x _j (j = 1, . . . , N), można opisać funkcjami

B(x) = X N j=1

B _j (x − ¯x j ), A(x) = X N j=1

A _j (x − ¯x j ), V (x) = X N j=1

V _j (x − ¯x j ).

Przyłożenie zewnętrznego pola elektrycznego do potencjału powoduje pojawienie się do- datkowo potencjału elektrostatycznego eφ(x), który modyfikuje V (x) w sposób analogiczny do przedstawionego na rys. 2.2.

Przyjęty model jest ogólniejszy i bardziej realistyczny od stosowanego w większości dotychczasowych prac magnetycznego modelu Kroniga–Penneya z osobliwym rozkładem pola magnetycznego, a ponadto uwzględnia spin elektronu.

W kolejnych rozdziałach równania opisujące przedstawiony powyżej model lateralnej supersieci magnetycznej zostaną szczegółowo opisane i wykorzystane do sformułowania algorytmu numerycznego pozwalającego obliczać przewodność elektryczną supersieci.

2.4. Wyznaczane wielkości fizyczne

Podstawową wielkością fizyczną charakteryzującą badane supersieci jest przewodnictwo elektryczne G = I/U . Wyznaczane jest ono w ramach opisanego w rozdziale 3. modelu kwantowomechanicznego opartego na formalizmie Landauera, przy użyciu metod opisanych w rozdziale 4.

Obok przewodnictwa elektrycznego wyznaczane są inne związane z nim wielkości fi- zyczne:

przewodnictwo różniczkowe G _diff = dI/dU,

dla supersieci magnetycznych — współczynnik polaryzacji spinowej prądu, tj. iloraz η _sp = (G _↑ − G ↓ )/(G _↑ + G _↓ ), gdzie G _↑,↓ — przewodności dla spinowo spolaryzowanych elektronów.

Właściwości rozważanych układów niskowymiarowych opisane wielkościami G, G _diff i η _sp badane są w funkcji:

rodzaju przestrzennego uporządkowania supersieci, parametrów defininiujących komórki elementarne,

przyłożonego zewnętrznego pola elektrycznego (napięcia U na kontaktach),

poziomu Fermiego w zasilających układ kontaktach.

3

Kwantowy model przewodnictwa elektrycznego supersieci

W rozdziale tym sformułowany jest zastosowany w pracy model przewodnictwa elek- trycznego supersieci. Przedstawiony jest formalizm Landauera, pozwalający wyznaczyć przewodność elektryczną badanych układów na podstawie rozwiązań równania Schr¨odin- gera. Wyprowadzone są bezwymiarowe postacie podstawowych równań mechaniki kwanto- wej opisujących rozpatrywane układy niskowymiarowe. Rozwiązania tych równań posłużą w dalszej części pracy do wyznaczenia przewodnictwa elektrycznego rozważanych układów.

3.1. Przewodnictwo układów mezoskopowych. Formuła Landauera

Przepływ prądu przez układ mezoskopowy można próbować opisywać za pomocą sto- sunkowo złożonego formalizmu klasycznej teorii transportu [8]. Dla układów małych roz- miarów, w których występuje praktycznie tylko koherentne rozpraszanie sprężyste nośni- ków prądu i nie zachodzi dyssypacja energii, można jednak zaproponować opis znacznie prostszy. Polega on na potraktowaniu przepływu prądu nie jako odpowiedzi układu na zewnętrzne zaburzenie w postaci pola elektrycznego, lecz jako skutku wstrzykiwania no- śników ładunku do układu przez kontakty i ich przechodzenia przez układ z określonym prawdopodobieństwem. Podejście to pozwala na wyznaczenie makroskopowej właściwości układu — przewodności, poprzez jego charakterystyki mikroskopowe: kwantowomecha- niczne współczynniki odbicia i przejścia. Zostało ono zaproponowane przez R. Landauera w jego pionierskiej — i poniekąd obrazoburczej — pracy z 1957 roku [149], a następnie rozwinięte wraz z M. B¨uttikerem, Y. Imrym i innymi [8, 150–154].

Formalizm Landauera, pomimo że oparty na bardzo szczególnych założeniach, może być także wyprowadzony z równań klasycznej teorii transportu [8, 155, 156] i znajduje szerokie zastosowanie w opisie własności transportu elektrycznego w układach mezoskopowych.

3.1.1. Układ jednowymiarowy z pojedynczym kanałem przewodnictwa

Rozważmy barierę lub układ barier potencjału, połączony przez idealne (tj. o płaskim potencjale dna pasma przewodnictwa) jednowymiarowe przewodniki z parą rezerwuarów elektronów o różnych potencjałach chemicznych (rys. 3.1). Zakładamy, że w układzie wy- stępuje wyłącznie rozpraszanie sprężyste elektronów na barierach potencjału, wkład roz- praszania niesprężystego jest pomijalnie mały — mówimy o przewodnictwie balistycznym.

Ponadto zakładamy, że funkcje falowe elektronów w rezerwuarach nie są wzajemnie kohe- rentne.

25

j - ⁱ

j ^r j ^t -

µ ₁ µ _L

µ _R µ ₂

rezerwuar idealny bariera rezerwuar

przewodnik

idealny przewodnik

Rysunek 3.1. Geometria układu jednowymiarowego rozpatrywanego przez R. Lan- dauera. Rezerwuary cząstek: lewy i prawy mają potencjały chemiczne odpowiednio µ ₁ i µ ₂ , zaś odcinki idealnego przewodnika po lewej i prawej stronie bariery — µ _L i µ _R

Bariera scharakteryzowana jest przez wartości współczynników odbicia R i transmi- sji T = 1 − R, dane z zewnątrz (tj. nie wynikające z samego formalizmu Landauera), np.

jako rezultat rozwiązania równania Schr¨odingera, opisującego rozpraszanie nośników ła- dunku (elektronów) na barierze. W temperaturze T = 0 różnica potencjałów chemicznych powoduje przepływ prądu o natężeniu

I = evν(µ ₁ − µ 2 )T ,

gdzie ν — gęstość stanów w jednowymiarowym kanale przewodnictwa z uwzględnieniem degeneracji spinowej:

ν = ∂n

∂ε = ∂n

∂k

 ∂ε

∂k

 −1

= 2 2

m

¯h ² k = 1



¯hv , (3.1)

w przewodzeniu biorą udział elektrony o energiach z przedziału hµ 2 , µ ₁ i, a współczynnik T jest wzięty dla elektronów o energiach z poziomu Fermiego.

Przewodność G układu możemy zdefiniować dwojako. Przy założeniu, że do pomiaru prądu płynącego przez układ i różnicy potencjałów (spadku napięcia) używamy tych sa- mych końcówek (sond, elektrod), otrzymujemy tzw. formułę dwukońcówkową (ang. two- -terminal ); na rys. 3.1 odpowiada to przyjęciu różnicy potencjałów U = (µ ₁ − µ 2 )/e.

Przewodność dana jest wówczas wzorem G = I

U = eI µ ₁ − µ 2

= e ²



¯h T . (3.2)

Formułę czterokońcówkową (ang. four-terminal) otrzymujemy zakładając, że prąd i różnica potencjałów są mierzone przy użyciu oddzielnych par sond. Na rys. 3.1 odpowiada to przyjęciu różnicy potencjałów µ _L − µ R :

G ⁰ = eI µ _L − µ R

= e ²



¯h

T

R ; (3.3)

związek między µ _L − µ R a µ ₁ − µ 2 jest przedstawiony dalej, dla ogólniejszego przypadku

wielu kanałów przewodnictwa.

Należy tu podkreślić, że nie ma sensu pytanie, który ze wzorów: (3.2) czy (3.3) jest prawdziwy (było to przedmiotem dyskusji w literaturze przedmiotu [8]). Wzory te opisują różnie zdefiniowane wielkości fizyczne i oba są słuszne w przedstawionym powyżej sensie.

Różnicę przewodności wynikających z dwóch powyższych formuł interpretuje się jako skutek obecności na końcach idealnego przewodnika dwóch makroskopowych rezerwuarów.

Opór 1 G − 1

G ⁰ =

¯h e ²

 1 T − R

T



=

¯h

e ² ≈ 12,9 kΩ. (3.4)

(zapisany w przypadku pojedynczego przewodzącego kanału) interpretowany jest jako opór idealnego jednowymiarowego przewodnika i stanowi zarazem uniwersalną wielkość fi- zyczną — kwant oporu elektrycznego. Zauważmy, że dla bariery całkowicie przepuszczalnej (T = 1) otrzymujemy z formuły czterokońcówkowej (3.3) nieskończoną przewodność (ze- rowy opór elektryczny). Podkreślmy więc, że przewodność opisana formułą Landauera (3.2) jest nie tyle właściwością samej bariery potencjału, co całego układu użytego do jej po- miaru.

Przyczyna występowania oporu (3.4) jest przedmiotem dyskusji [156]. Tłumaczy się go obecnością kontaktów z makroskopowymi rezerwuarami i występującymi tam procesami niesprężystego rozpraszania elektronów towarzyszącymi ich termalizacji [8]. Problem ten jest dokładniej omówiony dalej.

3.1.2. Przewodnictwo wielokanałowe

Rozważmy teraz układ o skończonym przekroju (tzn. układ kwazijednowymiarowy), w którym w przewodzeniu prądu biorą udział elektrony przynależne do N _⊥ różnych kana- łów przewodzenia (modów poprzecznych jednowymiarowego kwantowego falowodu) o ener- giach

ε = ¯h ² k _i ²

2m + ε _i (i = 1, . . . , N _⊥ ),

gdzie k _i — wektor falowy elektronu w i-tym kanale w kierunku przewodzenia, a ε _i — energia związana z ruchem tego elektronu w płaszczyznie prostopadłej do kierunku prze- wodzenia. Liczba kanałów N _⊥ zależy od poprzecznych rozmiarów układu. W przypadku układów o dwóch skończonych wymiarach poprzecznych (przekroju S) otrzymujemy liczbę kanałów na jednostkę powierzchni równą

n ^(2D) _⊥ = N _⊥ ^(2D)

S = 1

(2

) ²

k _F ² = k _F ² 4

,

zaś dla układów o jednym skończonym wymiarze poprzecznym l liczba kanałów na jed- nostkę szerokości wynosi

n ^(1D) _⊥ = N _⊥ ^(1D)

l = 1

2

2k _F = k _F



,

przy czym k _F oznacza wektor falowy na powierzchni Fermiego. Czynnik 2 wynikający

z degeneracji spinowej został już uwzględniony w gęstości stanów pojedynczego kanału

przewodnictwa (3.1).