Dodatek 9 Klasyczna teoria przewodnictwa elektrycznego

1

Dodatek 9

Klasyczna teoria przewodnictwa elektrycznego

Rozwój kwantowej teorii przewodnictwa poprzedził etap klasyczny. Twórcą modelu klasycznego był P. Drude (1902). Model odnosił znaczne sukcesy. Jego podstawowe założenia były następujące:

(1) metal jest zbiorem jonów sieci przenikanym przez „morze” elektronów – gaz elektronowy

(2) elektrony mogą się poruszać swobodnie, ale napotykają od czasu do czasu przeszkody z którymi zderzają się

(3) w temperaturze T>0 elektrony są w ciągłym ruchu, podobnie jak cząsteczki gazu w naczyniu, między zderzeniami poruszają się po liniach prostych

(4) jeżeli do kawałka metalu przyłoży się różnicę potencjałów, jego wnętrze przeniknie pole elektryczne, wprawiając elektrony w dodatkowy ruch o składowej wzdłuż przyłożonego pola

Przed przyłożeniem pola ruch elektronów jest całkowicie bezładny, tak jak cząsteczek gazu w powietrzu. Pomiędzy zderzeniami elektrony poruszają się ze średnią prędkością termiczną v_T. Średnia prędkość takiego ruchu w dowolnym wybranym kierunku jest równa zero. Dopiero po przyłożeniu pola elektrycznego nastąpi dryf elektronów w kierunku elektrody dodatniej.

Prędkość dryfu v_D jest, jak się okazuje, znacznie mniejsza niż średnia prędkość termiczna v_T ruchu chaotycznego każdego z elektronów.

w polu elektrycznym na pojedynczy elektron działa siła F=-e E , stąd przyspieszenie m E

e dt

x d ₂ = −

2

(1)

jeżeli średni czas pomiędzy zdarzeniami oznaczymy przez 2τ, wówczas średnia prędkość ruchu wywołanego działaniem pola wynosi

E

τ

v_E = e (2)

przy wyłączonym polu średnia prędkość dryfu v_D wynosiła zero, po włączeniu pola będzie ona równa vE, stąd

E

τ

v_D = e (3)

(prędkość vD jest również nazywana prędkością unoszenia)

średnią prędkość termiczną można ocenić na podstawie teorii kinetycznej, ponieważ elektron ma 3 stopnie swobody ruchu stąd energia kinetyczna jednego elektronu jest równa

2

kT v

m

E_{k T}

2 3 2

1 ₂

=

= (4)

stąd

m v

3 kT

= (5)

je

eli

redni czas pomi

dzy zdarzeniami wynosi 2 τ ,

rednia droga swobodna elektronu jest równa

v

l = 2 τ (6)

za przewodnictwo elektryczne metalu odpowiedzialny jest ruch elektronów z pr

dko

ci

dryfu, st

d g

sto

pr

du jest równa

v

ne

j = (7)

podstawiaj

c (3) widzimy,

e

m E j ne

τ

= (8)

poniewa

jest to prawo Ohma, st

d

m ne τ σ

2

= (9)

jest przewodno

ci

wła

ciw

metalu, a

τ

ρ

ne

= m

(10)

jego oporno

ci

wła

ciw

przewodno

zapisuje si

tak

e w postaci formuły µ

σ

(11)

gdzie parametr

m e

τ

µ

(12)

nazywa si

ruchliwo

ci

, z (8) i (11) wynika,

e

j =

µ (13)

porównuj

c (7) i (13) widzimy,

e

E v_D

µ

[m

/Vs] (14)

ruchliwo

jest to pr

dko

dryfu przypadaj

ca na jednostk

nat

enia pola elektrycznego.

3

Teoria Drudego jest u

yteczna, poniewa

wszystkie parametry wyst

puj

ce we wzorze (11) mog

by

wyznaczone do

wiadczalnie. Jednak w miar

post

pu metod do

wiadczalnych załamała si

ona w nast

puj

cych punktach:

(1) zmierzone warto

ci

redniej drogi swobodnej okazały si

o kilka rz

dów wielko

ci wi

ksze ni

oczekiwane

(2) teoria nie daje zale

no

ci temperaturowych

(3) pomiary efektu Halla wykazały,

e w ciałach stałych istniej

no

niki zarówno ujemne jak i dodatnie, czego teoria nie przewiduje

(4) nie przewiduje istnienia półprzewodników i izolatorów

Andrzej Kułak, CII p. 205/tel. 6173637/radiol1@wp.pl