Wykorzystanie metod morfologii matematycznej oraz rozpoznawania obrazów do opisu geometrii powierzchni przełamów skalnych

(1)

Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 9, nr 1-4, (2007), s. 161-172

Wykorzystanie metod morfologii matematycznej

oraz rozpoznawania obrazów do opisu geometrii powierzchni przełamów skalnych

MARIUSZ MŁYNARCZUK, TERESA RATAJCZAK, JAROSŁAW AKSAMIT Instytut Mechaniki Górotworu PAN, ul. Reymonta 27, 30-059 Kraków

Streszczenie

W pracy opisano badania, które koncentrowały się na wykorzystaniu metod rozpoznawania obrazów do klasyfi kacji przełamów skalnych. Powierzchnie tych przełamów odwzorowane były przy użyciu profi lomierza laserowego.

Wykorzystanie metod morfologii matematycznej do obróbki danych pomiarowych prowadzi do uzyskania szeregu parametrów opisujących ukształtowanie powierzchni przełamu skalnego. Z punktu widzenia rozpoznawania obra- zów, parametry te mogą być użyte do zdefi niowania tzw. ciągów uczących w uprzednio przyjętej przestrzeni cech.

Bazując na nich oraz defi niując odpowiednie funkcje przynależności można podejmować w sposób automatyczny decyzję o klasyfi kacji poszczególnych przełamów skalnych. W pracy zdefi niowano i przetestowano kilka funkcji przynależności oraz przedstawiono możliwości praktycznego wykorzystania tej metody.

Słowa kluczowe: przełam skalny, chropowatość powierzchni, morfologia matematyczna, rozpoznawanie obrazów

1. Wstęp

Prowadzone w IMG PAN w ostatnich latach badania nad wykorzystaniem metod analizy obrazu i profi lometrii laserowej do opisu ukształtowania powierzchni przełamów skalnych doprowadziły do za- proponowania nowych metod opisu tej powierzchni (Młynarczuk i in., 2001, 2002a, 2002b, 2004, 2006, Młynarczuk 2002, 2004). W wyniku zastosowania proponowanej metodyki badawczej można otrzymać szereg parametrów opisujących morfologię przełamu. Jednym z zadań, jakie postawiono sobie w opisywanych pracach było przebadanie czy istnieje możliwość klasyfi kacji skał (w ramach pewnej wybranej grupy skał) w oparciu o tak zmierzone parametry. Niniejszy artykuł koncentruje się na opisie prac mających na celu zbadania możliwości takiej klasyfi kacji poprzez wykorzystanie metod rozpoznawania obrazów.

Tadeusiewicz i Korohoda (1997) dzielą proces przetwarzania obrazu na kilka podstawowych eta- pów:

− recepcja (akwizycja) obrazu,

− przetwarzanie obrazu (fi ltracja, eksponowanie ważnych cech, itp.),

− analiza obrazu (wydobycie ważnych cech – segmentacja),

− rozpoznanie obrazu i jego interpretacja.

W dotychczasowych badaniach dotyczących wykorzystania metod analizy obrazu do opisu przeła- mów skalnych koncentrowano się na trzech pierwszych etapach (akwizycji, przetwarzaniu i segmentacji).

Niniejsza praca prezentuje ostatni etap procesu przetwarzania obrazu, który zmierza do automatycznego rozpoznawania całości obrazu lub jego elementów.

(2)

2. Zarys metodyki badawczej

W pracach Młynarczuka (2004) oraz Młynarczuka i in. (2004, 2006) zaproponowano wykorzystanie metod morfologii matematycznej i analizy obrazu do opisu ukształtowania powierzchni przełamów skalnych. Można w nich znaleźć szczegółowy opis tej metodyki badawczej oraz dyskusję otrzymanych wyników. Niniejszy rozdział ma jedynie charakter informacyjny, wprowadzający czytelnika do rozpatry- wanego w pracy zagadnienia i co za tym idzie przedstawia jedynie ogólny zarys metody pomiarowej oraz sygnalizuje niektóre tylko wyniki.

2.1. Akwizycja danych i odwzorowanie mapy bitowej

U podstaw proponowanej metodyki pomiarowej leży idea, że macierz wartości XYZ, otrzymaną w wyniku skanowania powierzchni przełamu skalnego można przedstawić jako obraz (mapę bitową). Na obrazie tym piksele o współrzędnych XY odpowiadają położeniu odpowiedniego punktu pomiarowego w macierzy, a poziom szarości danego piksela odpowiada wysokości danego punktu w mikrometrach (rys. 1). Takie po- dejście pozwala na wykorzystanie do analizy ukształtowania przełamu skalnego aparatu matematycznego stosowanego w metodach analizy obrazów, a w szczególności procedur morfologii matematycznej.

Rys. 1. Analizowane pole na przełamie (a) można odwzorować jako wykres 3D (b) lub analizować jako obraz szary (c)

a) b) c)

Pomiary będące punktem wyjścia do opisywanych badań wykonane zostały przy użyciu profi lomierza laserowego (rys. 2), którego opis można znaleźć w pracy Młynarczuka (1993). Badania prowadzące do opracowania i testowania metodyki pomiarowej wykonywano na pięciu rodzajach skał o zróżnicowanej strukturze petrografi cznej i odmiennych właściwościach fi zyko-mechanicznych. Skałami tymi były: wapień z Czatkowic, kwarcyt z Wiśniówki, dolomit z Rędzin, piaskowiec z Tumlina oraz dolomit z Laskowej Góry.

Szczegółowy opis tych skał można znaleźć w pracy Młynarczuk i In (2006).

Rys. 2. Profi lomierz laserowy

(3)

2.2. Przetwarzanie i analiza obrazów

Obrazy uzyskane w sposób opisany w poprzednim rozdziale były obiektem analizy prowadzącej do wyodrębnienia parametrów geometrycznych opisujących obraz (czyli ukształtowanie powierzchni przełamu).

W tym celu wykorzystano w szczególności metody morfologii matematycznej, takie jak: fi ltry morfologiczne, operacje geodezyjne prowadzące do wyznaczenia ekstremów lokalnych, linii działów wodnych (watershed), funkcję dystansu, operacje chybił-trafi ł (hit or miss), itp. Wykorzystano również narzędzia analizy obrazu wywodzące się z zastosowań geostatystycznych, np. wariogramy, madogramy, granulometrię itp.

Wykorzystanie tych metod doprowadziło do uzyskania szeregu parametrów geometrycznych opi- sujących badane przełamy. Ich opis, sposób uzyskiwania oraz interpretację można odnaleźć w pracach Młynarczuka i in. (2001, 2003, 2006).

3. Rozpoznawanie obrazów

W rozdziale zostaną przedstawione podstawy rozpoznawania obrazów. Szerszy opis tej tematyki można znaleźć w pracy Tadeusiewicza i Flasińskiego (1991).

Rozpoznawanie obrazów (obiektów) ma na celu określenie przynależności różnego typu obiektów (lub zjawisk) do pewnych, uprzednio zdefi niowanych klas. Jest ono zazwyczaj prowadzone jest w sytuacji braku apriorycznej informacji dotyczącej przynależności obiektu. Jedyna informacja jaką dysponujemy zawarta jest w ciągu uczącym, złożonym z obiektów, dla których znana jest klasyfi kacja.

Od strony formalnej możemy przyjąć, że zadanie rozpoznawania obrazów polega na skonstruowaniu pewnego algorytmu realizujący odwzorowanie A:

} { :D I i₀

A ® È (1)

gdzie:

D – zbiór obiektów,

I – zbiór indeksów klas zaś parametr {i₀} oznacza brak decyzji.

Odwzorowanie to realizowane jest jako złożenie trzech odwzorowań:

B C F

A= o o (2)

które można opisać jako:

– recepcję:

X D

B: ® (3)

– obliczanie wartości funkcji przynależności:

RL

X

C: ® (4)

– oraz podejmowanie decyzji:

} {

:R I i₀

F ^L® È (5)

3.1. Recepcja

Odwzorowanie to prowadzi do zamiany obiektów w punkty pewnej przestrzeni, zwanej przestrzenią cech. Struktura przestrzeni cech jest z reguły arbitralna i zdeterminowana przez możliwości pomiarowe. Jej elementami są n-wymiarowe wektory:

X x x x

x= ₁, ₂..., _n Î (6)

Składowe x_k tych wektorów będziemy traktowali jako liczby rzeczywiste określające ilościową miarę określonej cechy, co powoduje, że przestrzeń X traktowana będzie jako n-wymiarowa przestrzeń euklide- sowa.

(4)

Rysunek 3 prezentuje wyniki uzyskane z pomiarów 5 rodzajów skał (patrz rozdział 1) umieszczone w dwuwymiarowej przestrzeni cech zdefi niowanej przez różnice wysokości pomiędzy sąsiednimi ekstre- mami (maksimum – minimum) oraz kątem jaki tworzy (z płaszczyzną z = 0) prosta poprowadzona przez te ekstrema.

Rys. 3. Lokalne parametry powierzchni przełamów umieszczone w przestrzeni cech

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 Ró¿nica wysokoœci [mm]

K¹tnachylenia[°]

3.2. Ciąg uczący

Omawiane w niniejszej pracy metody rozpoznawania obrazów bazują na wykorzystaniu tzw. ciągów uczących. Ciąg uczący U można zdefi niować jako zbiór par:

} ..

2 , 1 ), ,

{(x i k N

U= ^k ^k = (7)

Elementy zbioru U nazywamy przykładami. Każdy przykład składa się z wektora cech x^k pewnego obiektu d^k oraz z informacji na temat numeru klasy i^k, do której obiekt powinien być zaliczony. Wybór elementów ciągu uczącego powinien zapewnić reprezentatywność. W praktyce często stanowi on jednak losowo wybraną próbę ze zbioru rozpoznawanych obiektów.

Poprzez dodanie do obiektów przestrzeni cech przedstawionych na rys. 3 informacji o ich poprawnej klasyfi kacji (która dla tych obiektów jest nam znana) możemy uzyskać ciąg uczący. Przedstawiony on został na rys. 4.

Rys. 4. Obiekty z rys. 3 uzupełnione o informację dotyczącą klasyfi kacji tworzą ciąg uczący

Czatkowice Rêdziny Leskowa Góra Tumlin Wiœniówka

Ró¿nica wysokoœci [mm]

K¹tnachylenia[°]

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

(5)

3.3. Funkcje przynależności

Funkcja przynależności prowadzi do ustalenia pewnej miary podobieństwa nieznanego obiektu do poszczególnych klas (których jest z defi nicji L, stąd odwzorowanie w R^L). W praktyce odbywa się to po- przez wyznaczanie pewnej funkcji przynależności C(x) wektora cech x badanego (nieznanego) obiektu do wszystkich klas zdefi niowanych w ciągu uczącym. Wybór funkcji przynależności C(x) jest zagadnieniem kluczowym w procesie rozpoznawania obrazów, a różnice w poszczególnych metodach (opisanych w roz- dziale 3.5) sprowadzają się przeważnie do różnych defi nicji funkcji C(x).

Rysunek 5 prezentuje rozpatrywaną uprzednio przestrzeń cech oraz nieznany punkt A (reprezentowany przez wektor cech A), który ma podlegać rozpoznaniu. Na tym etapie rozpoznawania obrazów wybieramy pewną funkcję przynależności i obliczamy jej wartości (czyli miary przynależności) pomiędzy obiektem A oraz każdą z analizowanych 5 skał. W efekcie otrzymujemy następujące parametry C^Czatkowice(A), C^Rędziny(A), C^L.Góra(A), C^Tumlin(A), C^Wiśniówka(A).

Rys. 5. Położenie obiektu A w przestrzeni cech A

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

Czatkowice Rêdziny LeskowaGóra Tumlin Wiœniówka

K¹tnachylenia[°]

3.4. Podejmowanie decyzji

Etap ten prowadzi do podjęcia ostatecznej decyzji dotyczącej rozpoznania obiektu (lub jego braku).

Zazwyczaj odbywa się to poprzez przyjęcie reguły majoryzacyjnej:

[ ] [ ]

úú û ù êê

ë

é = º" <

"

Î¹

Î F(C¹(x),C²(x),...,C (x)) i C (x) Cⁱ(x)

iI S L

x h

hh (8)

Najczęściej podejmowana jest decyzja o przynależności obiektu d opisywanego wektorem cech x do tej klasy i dla której wartość funkcji przynależności Cⁱ(x) jest maksymalna.

3.5. Metody rozpoznawania obrazów

Jak wspomniano w rozdziale 3.3 w literaturze jest zdefi niowanych wiele funkcji przynależności, co prowadzi do istnienia wielu metod rozpoznawania obrazów. W badaniach skupiono się na metodach skla- syfi kowanych w dwóch zasadniczych grupach, a mianowicie:

− metody minimalnoodległościowe:

° metoda najbliższego sąsiada (NN),

° metoda α najbliższych sąsiadów (αNN).

− metody wzorców:

° metoda optymalnych otoczeń kulistych (OOK),

(6)

° metoda jednakowych otoczeń kulistych (JOK),

° metoda najbliższej mody (NM),

− metody aproksymacyjne (MA).

3.5.1. Metody minimalnoodległościowe

Najczęściej stosowaną metodą jest metoda najbliższego sąsiada (NN). Jej zasada polega na tym, ze jako rozpoznanie wybiera się tą klasę ciągu uczącego, do której należy obiekt najbliższy (w myśl przyjętej metryki ρ) rozpoznawanemu obiektowi. Tak więc funkcję przynależności można w tym przypadku zdefi - niować jako:

) ' , ( ) 1

( _,

e

r +

= _i_k

i

x x x

C (9)

gdzie:

x^i,k – wektor cech dla obiektu k klasy i, x – wektor cech rozpoznawanego obiektu,

Cⁱ(x) – funkcja przynależności obiektu x (opisanego wektorem cech x) do klasy i.

Podejmowanie decyzji następuje przy zastosowaniu metody majoryzacynjej (rozdz. 3.4). Istnienie (stosunkowo małego i dodatniego) parametru ε’ jest podyktowane koniecznością uniknięcia braku rozwiązań w dla przypadków gdy ρ(x,x^i,k) = 0.

Przyjęcie tej metody prowadzi do podjęcia ostatecznej decyzji dotyczącej sytuacji przedstawionej na rys. 5. Efektem rozpoznania jest przypisanie nieznanego obiektu A do klasy reprezentującej wapień z Czatkowic (rys. 6).

Rys. 6. Efektem rozpoznania jest przypisanie nieznanego obiektu A do klasy reprezentującej wapień z Czatkowic Czatkowice (metoda NN)

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

Czatkowice Rêdziny LeskowaGóra Tumlin Wiœniówka

K¹tnachylenia[°]

Niekiedy stosuje się modyfi kację metody NN poprzez wyznaczenie odległości do α najbliższych sąsiadów (obiektów) z ciągu uczącego. Nieznany obiekt klasyfi kuje się do tej klasy, która najczęściej wy- stępuje pośród tych „α najbliższych obiektów” (αNN). Modyfi kacja ta ma za zadanie eliminację wpływu ewentualnych błędów występujących w ciągu uczącym.

3.5.2. Metody wzorców

W metodach tych odwzorowanie C sprowadza się do określenia zawierania się nieznanego obiektu x w obszarze wzorca i-tej klasy Wⁱ. Funkcję przynależności można więc zapisać w postaci:

îí ì

Ï

= Î ⁱ_i

i

W x dla

W x x dla

C 0

) 1

( (10)

(7)

Typowym przykładem metody wzorców są metody otoczeń kulistych. Polegają one na obtoczeniu każdego elementu ciągu uczącego kulą o promieniu ε.

Promień ε może być różny dla każdej kuli. Mamy wtedy do czynienia z metodą optymalnych otoczeń kulistych (OOK):

úûù êëé

= minÏ ( , ) 2

1 ,

, _m r x xm

e ⁱ^k

U x k i

i (11)

Możliwe jest też zdefi niowanie stałego promienia dla wszystkich kul. Prowadzi to do zdefi niowania metody jednakowych otoczeń kulistych (JOK):

) min (

min ^,

] , 1 [

k i N I k

e i _i

Î Î

= e ⁽¹²⁾

Inna z metod opartych na wzorcach polega na eliminacji niektórych elementów ciągu uczącego i za- stąpieniu każdej klasy jednym reprezentantem – modą:

N

i m m m

M = 1, 2,... (13)

Istnieje wiele sposobów wyznaczania mody. Stosunkowo często wyznacza się ją jako „środek cięż- kości” danej klasy. Decyzja o klasyfi kacji podejmowana jest (podobnie jak w metodzie NN) w oparciu o odległość nieznanego obiektu od najbliższej mody (NM):

' ) , ( ) 1

(x x M e

Cⁱ _i

= +

r ⁽¹⁴⁾

3.5.3. Metody aproksymacyjne

Przedstawione do tej pory metody opierały się na podejściu geometrycznym dotyczącym analizy położenia punktu w przestrzeni cech, a w szczególności jego usytuowaniu w stosunku do obiektów ciągu uczącego. Możliwe jest jednak inne podejście polegające na przeprowadzeniu w przestrzeni cech powierzchni rozgraniczających poszczególne klasy ciągów uczących. Powierzchnie te dzielą przestrzeń cech na tyle obszarów ile rozpoznajemy klas. Decyzja dotycząca przynależności rozpoznawanego obiektu podejmowana jest w oparciu o wyznaczenie przynależności tego obiektu do któregoś z tych obszarów.

Szczegółowy opis metod aproksymacji MA jak również sposobu wyznaczania i optymalizowania równań płaszczyzn został pominięty ze względu na jego obszerność. Informacje te można odnaleźć w pracy Tadeusiewicza i Flasińskiego (1991). W pracy wykorzystywana jest tzw. metoda aproksymacji liniowej, która poprzez wykorzystanie linii (2D) lub płaszczyzn (3D i więcej wymiarów) dzieli przestrzeń cech na podprzestrzenie zawierające (w sytuacji idealnej) obiekty tylko jednej klasy.

4. Wykorzystanie metody do klasyfikacji przełamów

Jak wspomniano w rozdziale 2 w ostatnich latach wyznaczono szereg parametrów opisujących powierzchnię przełamu skalnego. W prezentowanych badaniach skoncentrujemy się na rozważeniu kilku z nich.

Zmierzono przełamy 5 wspomnianych wcześniej skał. Skanowano pola o wielkości 256 × 256 punktów odległych od siebie o 10 µm. W sumie, dla wszystkich pięciu skał odwzorowano 131 pól pomiarowych.

Zdecydowano się na wykorzystanie 6-wymiarowej przestrzeni cech. Tworzyły ją następujące parametry:

1) średnie pole powierzchni obszarów wyznaczonych przez watershed,

2) średnia różnica pomiędzy ekstremami lokalnymi na obszarach wydzielonych przez watershed, 3) średni kąt, który tworzy odcinek łączący te ekstrema z płaszczyzną z = 0,

4) objętość obrazu gradientu morfologicznego,

5) wartość progu madogramu obrazu przełamu dla h = 300 µm,

6) wartość progu madogramu profi lu chropowatości wyodrębnionego z obrazu przełamu (próg obliczano dla h = 300 µm).

(8)

Opis uzyskiwania tych parametrów można odnaleźć w pracach Młynarczuka i in. (2004, 2006) Rysunki 7-12 zestawiają w formie grafi cznej wartości w/w parametrów.

Ze względu na właściwości wykorzystywanych metod rozpoznawania obrazów (bazowanie na para- metrach odległości) wartości parametrów z rys. 7-12 zostały unormowane w przedziale od 0 do 100, przy

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000

Wapieñ z Czatkowic Dolomit z Rêdzin Kwarcyt z Wiœniówki Dolomit z Laskowej G. Piaskowiec z Tumlina

Œr.poleobszarów[µm]2

Rys. 7. Średnie wielkości pól powierzchni dla obszarów wyznaczonych przez watershed

Rys. 8. Średnie różnice wysokości pomiędzy ekstremami lokalnym na obszarach wyznaczonych przez watershed

Rys. 9. Średni kąt, który tworzy odcinek łączący ekstrema lokalne z płaszczyzną z = 0

Rys. 10. Objętości obrazów gradientów morfologicznych

0 50 100 150 200 250

Œr.ró¿niceekstr.lok.[µm]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Œr.k¹tpom.ekstr.lok.[°]

0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000

Objêtoœæobrazugradientu

(9)

czym za 100 przyjęto maksymalną zmierzoną wartość dla każdego z przyjętych parametrów. Następnie, w sposób losowy wyselekcjonowano po 10 pól pomiarowych dla każdej z badanych skał. Parametry opi- sujące te pola tworzyły ciąg uczący. Pozostałe 81 pól potraktowano jako „nieznane” i poddano procedurze rozpoznawania. Rezultaty tego rozpoznawania zestawiono w tabeli 1.

Tab. 1. Zestawienie poprawności klasyfi kacji przełamów w przestrzeni cech 6D

Metoda Ilość poprawnych decyzji Ilość błędnych decyzji Ilość braków decyzji

NN 77 4 0

αNN (α = 5) 77 4 0

NM 75 6 0

JOK 31 0 50

OOK 67 2 12

MA 75 6 0

Wyniki wskazują na stosunkowo dobre rozpoznanie tak skomplikowanych struktur, jakimi są przełamy skalne. Można zauważyć, że najlepsze wyniki dają metody minimalnoodległościowe. Zdecydowanie najmniej poprawnych rozpoznań daje metoda JOK. Mimo więc tego że jako jedyna nie zwraca ona błędnych decyzji, to jej przydatność wydaje się być niewielka. Rozpatrując metody pod względem wiarygodności rozpoznań należy zwrócić baczniejszą uwagę na metodę OOK, która również miała niewielką ilość pomyłek, natomiast o wiele lepiej radziła sobie w rozpoznawaniu od metody JOK.

Aby określić wpływ selekcji przełamów skalnych do ciągu uczącego na wyniki klasyfi kacji dokonano, podobnie jak w poprzednich badaniach – w sposób losowy, selekcji dwóch innych ciągów uczących (cu.2 i cu.3). Wyniki rozpoznań dla tych przypadków zestawiono w tabeli 2.

Tabela pokazuje, że dla rozpatrywanych metod minimalnoodległościowych oraz aproksymacyjnych zmiana ciągu uczącego wpływa bardzo nieznacznie na zmianę poprawności działania. Większą różnice widać dla metody OOK, a szczególnie dla metody JOK. Wydaje się także, że przydatność metody JOK w prezentowanych badaniach jest znikoma.

Rys. 12. Wartość progu madogramu profi lu chropowatości wyodrębnionego z obrazu przełamu (próg obliczano dla h = 300 µm)

Rys. 11. Wartość progu madogramu dla h = 300 µm

0 20 40 60 80 100 120

Prógmadogramudlah=300

Wapieñ z Czatkowic Dolomit z Rêdzin Kwarcyt z Wiœniówki Dolomit z Laskowej G. Piaskowiec z Tumlina 0

10 20 30 40 50 60

Prógmadogramupofiltracji (h=300)

(10)

Tab. 2. Zestawienie poprawności klasyfi kacji przełamów w przestrzeni cech 6D dla ciągów uczących cu.2 i cu.3 różnych niż w tabeli 1

cu.2 cu.3 cu.2 cu.3 cu.2 cu.3

NN 80 77 1 4 0 0

αNN (α = 5) 80 77 1 4 0 0

NM 79 75 2 6 0 0

JOK 17 8 0 0 64 73

OOK 60 62 0 1 21 18

MA 80 72 1 9 0 0

Przyjęcie przestrzeni 6D wiązało się z chęcią jak najszerszego opisania badanych przełamów. Jak dowodzą tabele 3 i 4 nie zawsze jest to konieczne. Tabele te zawężają przestrzeń cech do 3D. W tabeli 3 są to pierwsze trzy parametry poprzedniej przestrzeni (przedstawione na rys. 7, 8 i 9), a w tabeli 4 następne trzy parametry (przedstawione na rys. 10, 11 i 12). W tych (i następnych badaniach ) rozpatrywać się będzie ciąg uczący jak w tabeli 1.

Tab. 3. Zestawienie poprawności klasyfi kacji przełamów w przestrzeni cech 3D – parametry jak na rys. 7, 8 i 9 Metoda Ilość poprawnych decyzji Ilość błędnych decyzji Ilość braków decyzji

NN 73 8 0

αNN (α = 5) 72 9 0

NM 71 10 0

JOK 5 1 75

OOK 65 4 12

MA 69 12 0

Tab. 4. Zestawienie poprawności klasyfi kacji przełamów w przestrzeni cech 3D– parametry jak na rys. 10, 11 i 12 Metoda Ilość poprawnych decyzji Ilość błędnych decyzji Ilość braków decyzji

NN 77 4 0

αNN (α = 5) 78 3 0

NM 77 4 0

JOK 43 0 38

OOK 70 3 8

MA 78 3 0

Analiza powyższych tabel sugeruje, że wyniki klasyfi kacji przełamów zestawione w tabeli 4 są co najmniej tak dobre jak te zaprezentowane w tabeli 1. Pokazuje to, jak ważnym etapem w opisywanych metodach jest właściwy dobór przestrzeni cech. Możemy podczas niego znacznie uprościć prowadzoną analizę, jak również poprzez wybór niewłaściwych (z punktu widzenia metody) parametrów znacznie ją utrudnić.

Prezentowane metody analizują wektory cech badanych obiektów (przełamów) w pewnej przestrzeni.

Dlatego, analizując wzajemne ułożenia punktów musimy narzucić pewną metrykę. Do tej pory prowadziliśmy pomiary w metryce euklidesowej, która wydaje się być najbardziej oczywista:

å

₌ ^-

= ⁿ

e x x x x

1

)2

( )

, (

n

nh nm h

r m ⁽¹⁵⁾

Niemniej jednak istnieje wiele różnych metryk, które możemy zaimplementować do problemu rozpoznawania obrazów. W tabelach 5 i 6 zestawiono wyniki uzyskane dla przestrzeni 6D oraz metryki ulicznej (16) oraz Czebyszewa (17).

å

₌ ^-

= ⁿ

u x x x x

1

) , (

n

nh nm h

r m (16)

nh nm n h

r xm x x x

u = n -

£ 1£

max ) ,

( (17)

(11)

Tab. 5. Zestawienie poprawności klasyfi kacji przełamów w 6D – metryka Czebyszewa

NN 78 3 0

αNN (α = 5) 77 4 0

NM 75 6 0

JOK 18 0 63

OOK 62 1 18

MA 75 6 0

Tab. 6. Zestawienie poprawności klasyfi kacji przełamów w 6D – metryka uliczna

NN 78 3 0

αNN (α = 5) 76 5 0

NM 75 6 0

JOK 36 1 44

OOK 70 2 9

MA 75 6 0

Wykorzystanie innych niż euklidesowa metryk prowadzi do niewielkich zmian w działaniu metod minimalno odległościowych, natomiast znacznie poprawia działanie metod wzorców, szczególnie metody OOK. Niemniej jednak zasadniczy wniosek z prowadzonych badań pozostaje niezmienny – przy wykorzystaniu proponowanych metody pomiarowych, oraz ograniczając się do pewnej, wybranej uprzednio grupy skał, jesteśmy w stanie poprawnie klasyfi kować badane przełamy rozdzielcze.

5. Wnioski

Przedstawiono podstawy rozpoznawania obrazów, które mogą być wykorzystane do automatycznej klasyfi kacji powierzchni przełamów skalnych odwzorowanych przy użyciu profi lomierza laserowego.

Z zaprezentowanych wyników można wnioskować, że najlepiej z postawionym zadaniem radziły sobie metody minimalnoodległościowe oraz metoda aproksymacyjna. Dawały one stosunkowo duży odsetek poprawnych klasyfi kacji, sięgający nawet ok. 98%. Świadczy to z jednej strony o ich poprawnym działaniu, z drugiej zaś o doborze właściwych parametrów defi niujących przestrzeń cech. Gorzej spisywały się metody wzorców, co było pewnym zaskoczeniem zwłaszcza przy metodzie OOK.

W rozpoznawaniu obrazów fundamentalne znaczenie ma dobór przestrzeni cech, w której prowadzona jest klasyfi kacja oraz właściwy dobór obiektów defi niujących ciągi uczące. Powyższe postulaty sprowadzają się w zasadzie do wybrania takich parametrów opisujących badane struktury, które będą „grupowały” prze- łamy poszczególnych skał w odrębne klasy. Idea zdefi niowania takich parametrów na bazie metod analizy obrazu i morfologii matematycznej towarzyszy od pewnego czasu badaniom prowadzonym w IMG PAN.

Analizując przedstawione w niniejszej pracy wyniki klasyfi kacji przełamów skalnych można stwierdzić, że prace te dały pozytywne rezultaty.

Pracę wykonano w ramach pracy statutowej realizowanej w IMG PAN Kraków w roku 2007, fi nanso- wanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.

Literatura

Isaaks E.H., Srivastava R.M., 1989: Applied Geostatistics, Oxford University Press, New York

Młynarczuk M., 1994: Methods of Determining the Fracture Surface Roughness of Rock Samples by Means of a La- ser Profi lometer, IV International Conference Stereology and Image Analysis in Material Science, STERMAT, Wisła 1994.

Młynarczuk M., 2004: Możliwości wykorzystania analizy obrazu i morfologii matematycznej do analizy stereologicznej

(12)

struktur skalnych, Archives of Mining Sciences, vol. 49.

Młynarczuk M., Ratajczak T., Sobczyk J., Aksamit J., 2001: Zastosowanie metod automatycznego przetwarzania obrazów do analizy morfologii powierzchni wybranych próbek skalnych, Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, Vol. 3, No. 3-4.

Młynarczuk M., Ratajczak T., Aksamit J., 2004: Opis powierzchni przełamów wybranych skał metodami morfologii matematycznej, Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, vol. 6, p. 79-92.

Młynarczuk M., Ratajczak T., Aksamit J., 2004: Zastosowanie metod analizy obrazu i profi lometrii laserowej do ilościowej oceny nieciągłości występujących w skałach analizowanych w skali mikro i makro, Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN.

Salembier P., Serra J., Beucher S., 1994: Course on Mathematical Morphology and Image Processing, Ecole des Mines de Paris/Armines.

Serra J., 1982: Image analysis and mathematical morphology, Academic Press.

Serra J., 1988: Introduction to Morphological Filtering, Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume II, Theoretical Advances, ed. J. Serra, Academic Press.

Tadeusiewicz R., Flasiński M., 1991: Rozpoznawanie obrazów, PWN Warszawa.

Tadeusiewicz R., Korohoda P., 1997: Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków.

Application of mathematical morphology and pattern recognition to rock fracture analysis Summary

Paper presents research focused on application of pattern recognition methods to classifi cation of rock fracture. Rock surfaces were measured by means of laser profi lometer. Application of mathematical morphology to the processing of obtained data allows calculating parameters that describe rock fracture surface. In the pattern recognition methodology these parameters may be used to defi ne so called training sets in the feature space. Based on the training sets we can defi ne decision functions in order to automatically classify the rock fractures. In the paper several decision functions are listed and their usefulness to rock fracture classifi cation are tested.

Keywords: rock fracture, rock roughness, mathematical morphology, pattern recognition

Recenzent: Dr hab. Marek Gawor, Instytut Mechaniki Górotworu PAN